高考数学立体几何中的内切球和外接球问题

高考数学中的内切球和外接球问题

一、有关外接球的问题

一、直接法（公式法）

1、求正方体的外接球的有关问题

例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面

积为.

例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表

面积为24,则该球的体积为

2、求长方体的外接球的有关问题

例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条

棱长分别为123,则此球的表面积为.

例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,

体积为16,则这个球的表面积为（）.

A.16乃B.20万C,24〃D,32万

3.求多面体的外接球的有关问题

例5一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该

六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为'底面周长

O

为3,则这个球的体积为:

小结本题是运用公式2=户+/求球的半径的，该公式是求球

的半径的常用公式.

二、构造法（补形法）

1、构造正方体

例5若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为百，则其外

接球的表面积是_______________.

例3若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为百，则其外

接球的表面积是_：

小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分

别为。也c,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体

对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R,则

有2R=77W.出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为a,b,c,则

体对角线长为/=/2+万+°2,几何体的外接球直径为2M本对角线长/

以+…

2

练习：在四面体A3CD中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为

2

1，V6,3,若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表

面积。

例6一个四面体的所有棱长都为后，四个顶点在同一球面上，则此

球的表面积为（）

A.3万B.4万C.36兀D.6〃

例7已知球。的面上四点A、B、C、D,Z）A_L平面4BC,AB±BC,

DA=AB=BC=6,则球。的体积等于.

解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利

用长方体模型很快便可找到球的直径，由于D4L平面ABC,AB±BC,

联想长方体中的相应线段关系，构造如图4所示的长方体，又因为

DA=AB=BC=6,则此长方体为正方体，所以C0长即为外接球的直

径，利用直角三角形解出8=3.故球。的体积等于（如图4）

2、例。口入口点A、B、C、D在同一个球面上，45_1_平图5,DC-LBC,

3

若A5=6,AC=2M,AO=8,则球的体积是

解析：首先可联想到例7,构造下面的长方体，于是AD为球的

直径，。为球心，O8=OC=4为半径，要求B、C两点间的球面距离,

只要求出N8OC即可，在R/AA6C中，求出BC=4,所以ZBOC=60。，

故B、C两点间的球面距离是（7.（如图5）

本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。

三.多面体几何性质法

例.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,

则这个球的表面积是

A.16zrB.20/rC.24^D.32%.

小结:本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直

径”这一性质来求解的.

四.寻求轴截面圆半径法

4

例正四棱锥s-A6co的底面边长和各侧棱长都为痣，点

S,AB,C,O都在同一球面上，则此球的体积为

五.确定球心位置法

例5在矩形ABC。中，A8=4,BC=3,沿AC将矩形ABC。

折成一个直二面角B-AC-D,则四面体A8CQ的外接球的体

积为

A1250125

A.-----TCBS》K-z,-----71

12963

【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边

一半。球心为直角三角形斜边中点。

【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球。的

5

球面上，46•18。且引=7,尸3=5,"'=两＞。=10求球。的体积。

【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。

1.（陕西理・6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上,

其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是

)

A.运Bc

4-T-V

2.直三棱柱ABC-44G的各顶点都在同一球面上，若

A6=AC=A4=2,NBAC=120。，则此球的表面积等于

3.正三棱柱内接于半径为2的球，若A8两点的球面

6

距离为不，则正三棱柱的体积为

4.表面积为26的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球

的体积为

A.立万B.-71。.巫兀

3333

5.已知正方体外接球的体积是,万，那么正方体的棱长等于（）

A.2V2B.逋C.—D.迪

333

6.（山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为（）

A.1:V3B.1:3C.1:373

D.1:9

7.（海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边

形，其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，

且该六棱柱的体积为底面周长为3,则这个球的体积为

O

8.（天津理・12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个

顶点上的三条棱

的长分别为1,2,3,则此球的表面积为.

7

9.（全国II理・15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的

球面上。如果正四棱柱的底面边长为1cm,那么该棱柱的表面积为

cm2.

10.（辽宁）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥尸-ABCD砂,

则此正六棱锥的侧面积是

11.棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个

球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中

三角形（正四面体的截面）的面积是.

12.（枣庄一模）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接

球的表面积为)

A.3兀B.2兀