2022年全国统一高考数学卷(新高考1卷)含答案解析(原卷版)

绝密★启用前

2022年普通高等学校招生全国统一考试(新高考1卷)

数学

副标题

学校：——姓名：一班级：——考号：一

题号一二三四总分

得分

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在

答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷(选择题)

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题

目的一项)

1.若集合M={x|«<4},N={x|3x21},则MnN=()

A.{x|0<x<2]B.{x||<x<2}

C.{x|3<x<16]D.{x||<x<16}

2.若i(l-z)=1,则z+2=

A.-2B.-1C.1D.2

3.在△ABC中，点。在边AB上，BD=2ZM.记刀=万，而=元,则而=()

A.3m-2nB,-2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水

库.已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0卜山2；水位为海拔

157.5m时;相应水面的面积为180.0卜62将该水库在这两个水位间的形状看作一

个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为(6”

2.65)()

A.1.0x109/B.1.2x109nl3C.L4xl09nl3D.1.6x109nl3

5.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为()

第1页，共22页

A.\B.TC.2D.,

6.记函数f(%)=sin(cox+?)+b@>0)的最小正周期为T.若称vT<兀，且

y=/(x)的图像关于点

潦,2)中心对称,则/《)=()

A.1B.|C.|D.3

7.设b=g,c=-ln0.9,则()

A.a<b<cB,c<b<aC.c<a<bD,a<c<b

8.已知正四棱锥的侧棱长为I,其各顶点都在同一个球面上，若该球的体积为36TT,

且3W，S3g，则该正四棱锥体积的取值范围是()

A.[18号]B.噂为C.4,金D.[18,27]

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.已知正方体4BCD-4iBiQDi，则()

A.直线BQ与所成的角为90°

B,直线BCi与CAi所成的角为90°

C.直线BCi与平面BBiDi。所成的角为45°

D.直线BCi与平面4BCD所成的角为45°

10.已知函数/'(x)=炉一%+1,则()

A.f(%)有两个极值点

B.f(x)有三个零点

C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心

D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线

11,已知0为坐标原点，点4(1,1)在抛物线C-.x2=2py(p>0)±,过点8(0,—1)

的直线交C于P，Q两点，则()

A.C的准线为y=-lB.直线ZB与C相切

C.\0P\■\0Q\>|。川2D.\BP\•\BQ\>\BA\2

12.已知函数/Q)及其导函数的定义域为R,记g(x)=f'(x).若/"(I-2X),

9(2+工)均为偶函数，则()

A./(0)=0B.g(-；)=0C./(-1)=/(4)D.g(-l)=g(2)

第H卷(非选择题)

第2页，共22页

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.(1-2)Q+y"的展开式中的系数为(用数字作答).

14.写出与圆芯2+y2=1和(X_3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方

程.

15.若曲线y=Q+a)/有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是.

16.已知椭圆C5+3=l(a>b>0)，C的上顶点为4两个焦点为F1，F2>

离心率为看过％且垂直于上的直线与。交于。，E两点，|阳=6,则△力DE

的周长是.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演

算步骤)

17.(本小题10.0分)

记S”为数列｛6｝的前n项和，已知即=1,｛£｝是公差为3的等差数列.

(1)求｛即｝的通项公式；

(2)证明：/+*+…+*<2.

18.(本小题12.0分)

记△力BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知皆”叱

l+sin/4l+cos2B

(1)若。=季求8;

(2)求邛的最小值.

*

19.(本小题12.0分)

如图，直三棱柱4BC—AiBiCi的体积为4,ZkaiBC的面积为2vL

(1)求A到平面&BC的距离；

(2)设D为&C的中点,44i=4B,平面4BC1平面求二面角A-BD-C

第3页，共22页

的正弦值.••

OO

..

..

..

..

..

郑

郑

..

..

..

..

..

..

..

..

..

OO

.※.

.※.

..

.I※I.

.※.

体小题分).如.

20.12.0※

I※I

一支医疗团队研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良-I-

.-※£.

好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例.※.

.郑.

组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据:.※.

.※.

不够良好良好氐

O※O

※

病例组

4060.摒.

.※.

对照组1090.※.

.祖.

※

能否有的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？..

(1)99%※

媒

堞

从该地的人群中任选一人，表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，表示郸

(2)4B.※.

.※.

..

事件“选到的人患有该疾病”，撰罂与黑"的比值是卫生习惯不够良好对患该疾长

..

.※.

.※.

..

病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.姻.

..

.派.

OO

⑴证明•R一°里⑼P(7E).※

..

..

3)利用该调查数据，给出PQ4|B),ppE)的估计值，并利用(i)的结果给出R的估..

..

计值...

..

附.K2=n(ad-bc)2

代

一(a+b)(c+d)(a+c)(h+d)'氐

.

..

2.

P(K>k)0.0500.0100.001..

..

..

k.3.8416.63510.828..

..

..

..

OO

21.(本小题12.0分)..

..

..

第4页，共22页

.

.

.

.

.

O己知点4(2,1)在双曲线碍一番=l(a>D上，直线，交C于P，Q两点，直线

.

.AP.AQ的斜率之和为0.

.

.(1)求I的斜率；

.

.(2)若tantPAQ=2近，求APAQ的面积.

郑

.

.

.22.(本小题12.0分)

.

.

.已知函数/(x)=ex-ax和gQ)=ax-Inx有相同的最小值.

.

.

O(1)求a;

.(2)证明：存在y=b直线，其与两条曲线y=/(%)和y=g(x)共有三个不同的交

.

.点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

.

.

.

“

af中

-*

.

.

.

.

.s

O

.

.

.

.

.S

堞

.

.

.

.=

.辂

.料

.

O

.

.

.

.

.

.

氐

.

.

.

.

.

.

.

O

.

.

.

.

.第5页，共22页

.

答案和解析

O

1.【答案】D

【解析】

【分析】

郢

本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题.

先求出集合M,N,再由交集的运算可得.

【解答】

解：因为M={x[O16},/V={x|x>|),O

故MnN=16}.

2.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了复数代数形式的四则运算及共辄复数，属基础题.

OO

【解答】

解：z=1+i,z+2=1+i+1-i=2.

3.【答案】B堞

【解析】

【分析】

本题主要考查向量的加减及数乘运算，属于基础题.

【解答】OO

解：CD=^CA+^CB,CB=3CD-2CA=-2m+3n.

4.【答案】C

■E氐

【解析】

【分析】

本题考查了棱台的体积公式的应用，属于基础题.

谈懂题意，结合棱台的体积公式即可求解.OO

【解答】

第6页，共22页

解：依据棱台的体积公式

]

K=--(S++yfsS^-h

1.-----------------------------------

=可•(140000000+180000000+V140000000x180000000)x9

*1.4X1()97n3.

5.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了古典概型及其计算，涉及组合数公式、对立事件的概率公式，属基础题.

【解答】

解：由题可知，总的取法有

(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(2,7)(2,8)(3,4)(3,5)(3,6)(3,7)(3,8)(4,5)(4,6)(4,7)(4,8)(5,6)(5,7)(5,8)(6,7)(6,8)(7,8)

，共6+5+4+3+2+1=21种，互质的数对情况有

(2,3)(2,5)(2,7)(3,4)(3,5)(3,7)(3,8)(4,5)(4,7)(5,6)(5,7)(5,8)(6,7)(7,8)共14个，所以两

个数互质的概率为P=”=|.

6.【答案】4

【解析】

【分析】

本题主要考查三角函数的周期性和对称性，属于中档题.

【解答】

解：由题可知：T=G,所以6(2,3).

又因为y=/(x)的图像关于点写,2)中心对称,所以6=2,且〃^XsinQx与+

"b=2.

所以3=|(/c—/)，keZ,所以3=|.所以f(x)=sin(?x+今)+2.所以/(])=1.

7.【答案】C

【解析】

【分析】

第7页，共22页

本题考查了利用导数比较大小，关键是构造合适的函数，考查了运算能力，属于较难题.

先构造函数f(x)=x+ln(l-x),x€(0,0.1],利用导数研究单调性比较a,b,再构造

函数g(%)=+ln(l-6(0,0.1],利用导数研究单调性比较a,c即可.

【解答】

解：a=O.le01,b=,c=-ln(l—0.1),

i—u.i

①Ina—\nb=0.1+ln(l—0.1),

令/(%)=x+ln(l—x),xG(0,0.1],

则八x)=l-±=言<°，

故f(x)在(0,0.1]上单调递减，

可得/'(0.1)</'(())=0,即lna-lnb<0,所以a<b；

(2)a—c=O.le01+ln(l—0.1),

令9(x)=xex4-ln(l—x),xE(0,0.1],

则g'(x)=xex+ex--^-=(1+*-秘—,

u、'l—xl—x

令fc(x)=(1+x)(l—x)ex-1,所以令(%)=(1-x2-2x)ex>0,

所以k(乃在(0。1]上单调递增,可得/%)>々(0)=0,即g'(%)>0,

所以g(x)在(0,0.1]上单调递增，可得g(0,l)>g(0)=0,即Q-C>0,所以Q>C.

故c<aVb.

8.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了球的切接问题，涉及棱锥的体积、球的体积、导数等知识，属较难题.

有正四棱锥的外接球的性质，可得U=ga2八=|(6九一层加，利用求导求最值，即可解

答.

【解答】

解：方法(1):设正四棱锥P-4BC0的高为POi=h,底面边长为a,球心为。，由已知

易得球半径为R=3,

2I

V2+-

所

以n6h=I2

V22+22

/I2-a-2(6h—h)

因为3W143gn946/1W27=|W/i咛,

第8页，共22页

故所以v=la2h=1(6h-九2)九，求导片=2(4-h)h,

所以V=家6-h)层在&4］上单调递增，在［4或］上单调递减，

所以%ax=Y)=y1=min{呜),*)}=V(|)=条

故该正四棱锥体积的取值范围是俘，算

方法(2):

由方法(1)中知V=：(6-/I)/I2,1</i<|,求导片=2(4—九)九，所以V20

在［|,4］上单调递增，在［4弓］上单调递减，所以匕皿=〃(4)=筝%m=

min{y(|)y(|)}=Y)=?>故该正四棱锥体积的取值范围是件探］.

9.【答案】ABD

【解析】

【分析】

本题主要考查直线与直线所成角及直线与平面所成角，属于中档题.

根据正方体的结构特征对各个选项逐一判断分析，即可得解.

【解答】

解：如图，因为BCilBiC,B［C〃DA］，所以BGJ.ZM1，故N正确;

对于选项8:因为&Bi，平面BB&C,BQu平面BB£C,

所以BCI141%,

又BC［.LB［C,且nB［C=B］,力1Bi，B道u'F面CDA^B,

所以BQ1平面CDAB1，且CAAu平面CDAXBX,

所以直线BC】J.C4,故8正确；

第9页，共22页

.

.

.

.

.

对于选项C:连接为C1与％D1交于点。1，O

因为1平面&B1QD1，41clu平面&B1C1D1，O.

.

所以8iB_L&Ci，.

.

又41C].LB]Z)i，且Bi。[nB]B=Bi,B1D-y»Bu平面BBiD〔D,.

.

所以A。1平面BBiDiD,郑

郑.

则NOiBg即为直线BQ与平面BBiDiD所成的角，.

.

.

sin4BG=黑所以乙。凤1=30。，故C错误；.

.

.

.

对于选项。:直线BCi与平面ABCD所成的角即为ZC1BC=45",所以。正确.O

O※.

※.

10.【答案】AC.

I※I.

※

【解析】.

如.

※

【分析】※

I

本题考查利用导数研究函数的极值与零点以及曲线上一点的切线问题，函数的对称性,-※£.

※.

考查了运算能力以及数形结合思想，属于中档题.郑.

※.

【解答】※.

氐

32※O

解：/(x)=X—x+1f'(x)=3x—1»令/''(x)=0得：x=土冬※

摒.

※.

f'(x)>0=X<-导或X>y：f'(x)<0=_y<X<※.

祖.

※

所以人%)在(-8,-苧)上单调递增，在(—苧马上单调递减，在(冬+8)上单调递.

※

媒

郸

增，※.

※.

.

长.

所以f(x)有两个极值点(％=-苧为极大值点，久=/为极小值点)，故/正确；※.

※.

.

姻.

vV3,V3.,.[上26百V3V3,.12V3.

乂/'(一7)=一丁'一(一彳)+1=1+-5->0，/(y)=y-y+1=1-->0>派.

※O

所以f(x)仅有1个零点(如图所示)，故B错;O.

.

.

.

.

.

氐

*E.

.

.

.

.

.

.

O

.

Xf(-x)=—%3+x+1=»/(-x)+f(x)=2,所以/(%)关于(0,1)对称，故C正确;.

.

第10页，共22页

对于D选项，设切点P3),yo),在p处的切线为y-(/一々+1)=(3说1)("Xo),

即y=(3%Q-l)x-2x^4-1,

3%2-1=2

,八，方程组无解，所以。错.

{-2%+1=0

11.【答案】BCD

【解析】

【分析】

本题考查了抛物线的方程，性质，直线与抛物线的位置关系，属较难题.

先求出抛物线的方程，然后再对选项ABCD一一进行分析判断即可得.

【解答】

解：点4(1,1)在抛物线CW=2py(p>0)上,

即l=2pnC:/=y,所以准线为所以4错；

直线AB:y=2x-1代入/=y,

得：/-2%+1=0=(%—1)2=o=%=1,A=0,

所以AB与C相切，故8正确.

由题知直线PQ的斜率一定存在，

则可设直线PQ：y=kx-1,P(xi，yi)，。(电段),

„,fy=fcx—13

则|2=>x2o-kx+1=0,A=Ho-4>o=kv-2或々>2,

ly=xL

此时停

01+丫2=¥+%=01+X2)2-2%1%2=k2-2

[y32=%鸿=1

第11页，共22页

..

..

..

..

\0P\■\0Q\=+2)(22)=J(+y2)(y+y2)

yix+yyi2OO

..

=J(y/2)2+Si%)®1+%)+y/2..

..

=y/2+(/c2-2)=VF>