2023-2024学年高一上数学《三角函数》测试卷及答案解析

2023-2024学年高一数学《三角函数》

选择题（共12小题）

a

1.（2022•鼓楼区校级三模）若Sina=-3,且a∈（兀，旦上），则-------A=（）

521+tan-y

A.ɪB.C.2D.-2

22

2.（2022•鼓楼区校级模拟）己知角。的大小如图所示，则/吃'=（）

co≡2θ

A.-5B.5C..ΛD.ɪ

55

3.（2022•福州模拟）某智能主动降噪耳机工作的原理是利用芯片生成与噪音的相位相反的

声波，通过两者叠加完全抵消掉噪音（如图）.已知噪音的声波曲线y=∕sin（ax+p）（其

中Z>0,a>0,0≤φ<2π）的振幅为1,周期为n,初相为2L,则用来降噪的声波曲线

2

的解析式为（）

噪音的声波曲线

I

用来降噪的声'波曲线

A.y=sin2xB.y=cos2xC.y=-sin2xD.y=-cos2r

4.（2022春•福州期中）已知a为锐角，且Sin（a-ɪ-）=—,则COS（?L-a）=（）

424

A.ɪB.-ɪC.场D.-ʧɜ.

2222

5.（2022•鼓楼区校级三模）已知函数f（χ）=sin（3χ+0）（3〉0,。<鼻）的

图象过点p（0,ɪ）,现将y=∕（x）的图象向左平移三个单位长度得到的函数图象也

过点尸，则（)

第1页（共23页）

A.3的最小值为2B.3的最小值为6

C.ω的最大值为2D.3的最大值为6

6.（2021秋•鼓楼区校级期末）已知角α的终边在射线y=-2x（x≥0）上，则2sinα+cosa

的值为（）

A.3匹B.√5C.-√5D.-ɜʧʒ

55

7.（2021秋•鼓楼区校级期末）函数/（x）的部分图象如图所示，则/（x）可能是（）

兀/、/兀、

A∙f(x)=2sin(2χ-^7^)Bd∙f(x)=2sin(2x-T-)

ð6

兀IT

C∙f(x)=2sin(4x-)D∙f(χ)=2sin(4χ-γ-)

6ð

8.（2021秋•福州期末）已知函数/（x）=sin（ωχ-φ）的部分图象如图所示，则/（x）的

B∙[2k冗V，2kπ+∣],k∈z

c∙[k-ɪ.k÷∣∙],k∈Zd∙[2k-∣.2k+∣],k∈Z

9.（2021秋•仓山区校级期末）与-2022°终边相同的最小正角是（）

A.138oB.132oC.58oD.42°

10.（2022春•马尾区校级月考）已知弧长为工的弧所对的圆心角为三，则该弧所在的扇

36

形面积为（)

第2页（共23页）

A.√3πB.-⅛-πC.MTTD∙ɪTT

333

TTTT

11.(2021秋•鼓楼区校级期末)已知α,β∈(------,-----1,tana=3，

、22)

cos(d+β)=厘•,则tan(α-β)=()

5

A.力B.ɪC.2D.11

222

12.（2021秋•鼓楼区校级期末）下列函数中，周期为n的是（）

ʌ_，兀、

ʌ-∙V-2sin(z-fɪ)B.y=tan2x

C.j∕=sinxcosxD.y=sin∣x∣

二.填空题（共4小题）

13.（2022•福州模拟）已知2sin（a-——）=CoSa,则tana=.

3

14.（2022春•福州期中）如图，半圆。的半径为1,4为直径所在直线上的一点，且。/=

√2.8为半圆弧上的动点.将线段绕点/顺时针旋转工得到线段4C,则线段OC

15.（2022春•仓山区校级期中）在平面直角坐标系中，。（0,0）,P（8,6）,将向量OP

按顺时针方向旋转查后，得向量而，则点。的坐标是.

4

16.（2021秋•福州期末）函数/（x）=sin（ωx+φ）（ω>0,∣φ∣<2L）的部分图像如图所

17.（2021秋•福州期末）已知角a的顶点与坐标原点重合，始边与X轴的非负半轴重合，终

第3页（共23页）

边过点p(3,ɪ).

55

(ɪ)求COS(α+π)的值；

(2)若tanβ=-2,求tan(α-β)的值.

18.(2021秋•鼓楼区校级期末)已知角(X的顶点为坐标原点，始边为工轴的非负半轴，终边

经过点P(1,-W-1),且COSa.

5

(1)求实数〃7的值；

,、/兀、

sin(3兀+a)tan(-y-a)

(2)若加〉0,求-------------------祟------的值.

cos(α-兀)cos)

19.(2021秋•鼓楼区校级期末)设函数f(χ)=cos(χZL)+2cos2上

32

(1)求/(x)的单调增区间；

(2)求/(x)在［0,ιτ］上的最大值与最小值.

20.(2021秋•福州期末)己知函数/(x)≈√3≡in2x+2cos2χ+2∙

(1)求/(x)的最小正周期；

(2)将j=∕(x)的图象上的各点得到y=g(x)的图象，当x∈［-ɪ,ɪ］ir`h

方程g(X)=加有解，求实数W的取值范围.

在以下①、②中选择一个，补在(2)中的横线上，并加以解答，如果①、②都做，

则按①给分.

①向左平移十个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半.

②纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移JL个单位.

21.(2021秋•仓山区校级期末)在①f(x)是偶函数；

(2)(―,0)是/(x)的图象在y轴右侧的第一个对称中心；

4

③/0)相邻两条对称轴之间距离为g-.

这三个条件中任选两个，补充在下面问题的横线上，并解答.

已知函数/(x)=sin(ωx+φ)(ω>0<0<φ<π),满足.

(1)求函数［(x)的解析式；

第4页(共23页)

(2)将函数y=∕(x)的图象向右平移工个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不

4

变，横坐标变为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作y=g(x)；若函数Ea)=

/(x)+k∙g(X)在(O,nπ)内恰有2021个零点，求实数力与正整数”的值.

第5页(共23页)

2023∙2024学年高一数学《三角函数》

参考答案与试题解析

一.选择题（共12小题）

a

I.（2022•鼓楼区校级三模）若Sina=-3,且a£（兀，12L）,则------A（）

ŋya

5l+tan^y-

A.ɪB.C.2D.-2

22

【考点】两角和与差的三角函数.

【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值；数学运算.

・aCt

2sin-^-cos-^-

［分析］由已知可得-----√------J-3,可求tan巴=-3,进而可求值.

.2α2α52

sin-ɪ^÷cos

.αα

2sin-^~cos~τ∙

【解答】解：Sina=-旦，可得3

・2α2^

5sin-^~+cos5

α

2tan-^-

所以-----J—二3,解得tanɪ.=-3或tan©-=-―,

2α

tan5223

）（空），

又α∈（兀，”,.∙.Aɪ.∙.tanW=-3,

212242

a

故上工上d

-2.

l+tan⅜乐不

故选：D.

【点评】本题考查二倍角的正弦公式，属中档题.

2.（2022•鼓楼区校级模拟）已知角。的大小如图所示，则l+sin2θ=（）

cos2θ

第6页（共23页）

A.-5B.5C.-ΛD.ɪ

55

【考点】二倍角的三角函数.

【专题】函数思想；定义法；三角函数的求值；数学运算.

【分析】由已知求得tan(=-5,得到1+tan?=再由倍角公式及同角三

4l-tanθ'

角函数基本关系式化弦为切求解.

【解答】解：：θ+^-的终边过尸(-1,5),Λtan(0T)=-5,

tan8+tan.C

即------------"*5，ʌ1÷tanθ

=-5,

1-tanθtanɪITanθ

...l+si∏2θ_Sin+cos2S+2SinBCoSB_

cos2θ(cosθ+sinθ)(cosθ-Sinθ)

_______(CoS8+sinB)?_______

(cosθ+si∏θ)(cosθ-si∏θ)

=CoS8+sin8=l+ta∏B__5

cosθ-si∏θl-tanθ

故选：A.

【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，考查倍角公式及同角三角函数基本关系式

的应用，是基础题.

3.(2022•福州模拟)某智能主动降噪耳机工作的原理是利用芯片生成与噪音的相位相反的

声波，通过两者叠加完全抵消掉噪音(如图).已知噪音的声波曲线y=∕sin(ax+p)(其

中Z>0,α>0,0≤φ<2π)的振幅为1,周期为π,初相为工，则用来降噪的声波曲线

2

的解析式为()

第7页(共23页)

噪音的声波曲线

I

用来降噪的声波曲线

A.y=sin2xB.y=cos2xC.y=~sin2xD.y=一cos2x

【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.

【专题】数形结合；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算.

【分析】由已知可得4=1,T=π,p=2L,由此即可求出。的值，由此即可求解.

2

【解答】解：由已知可得/=1,T=TI,P=—,

2

贝!∣a=2,所以N=-sin(2x+-Z∑­)=-cos2x,

2

故选：D.

【点评】本题考查了三角函数的图象及其求解解析式问题，考查了学生的运算能力，属

于基础题.

4.(2022春•福州期中)己知α为锐角，且Sin(a-2L)=L则CoS(-ɪ-a)=()

424

A.ɪB.-ɪC.ʧɜ.D.-ɔ/ɪ

2222

【考点】两角和与差的三角函数.

【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算.

【分析】由题意，利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得CoS(ɪ-a)的值.

4

【解答】解：；a为锐角，且SinCa--)=工，.∙.a-工为锐角，CoS(a-ɪ)=

4244

则CoS(ɪ--a)=cos(a-—ɪ-)=Yj

442

故选：C.

【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题.

5.(2022•鼓楼区校级三模)已知函数f(χ)=sin(3χ+Q)(3〉0,。＜鼻)的

图象过点p(0,ɪ).现将y=∕(χ)的图象向左平移二个单位长度得到的函数图象也

过点P,则()

第8页(共23页)

A.3的最小值为2B.3的最小值为6

C.3的最大值为2D.3的最大值为6

【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.

【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑

推理；数学运算.

【分析】直接利用函数的图象的平移变换的应用求出结果.

【解答】解：函数f(χ)=sin(3χ+Q)(3>0,的图象过点

P(θ-y),

所以/(O)=Sinφ=~k,

故叩=工-；

6

当函数/(χ)的图象向左平移今个单位，得至IJg(X)=Sin(0)入吗二立看)，

由于函数的图象经过点(0,ɪ);

2

G匚i、i/、/3Tr兀、1

所以g(0)=sinJ止不)而，

故3的最小值为2.

故选：A.

【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，函数的图象的平移变换，主要

考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.

6.(2021秋•鼓楼区校级期末)已知角α的终边在射线y=-2x(x20)上，则2sina+cosa

的值为()

A.ɜɔ/ʒ...B.√5C.-√5D.-3灰

55

【考点】任意角的三角函数的定义.

【专题】函数思想；定义法；三角函数的求值；数学运算.

【分析】由已知可得a为第四象限角，且红&=.2,结合平方关系求解Sina与CoSa的

CoSa

值，则答案可求.

【解答】解：Y角a的终边在射线y=-2x(x20)上，

∙∙∙a为第四象限角,

第9页(共23页)

由,cosɑ2,解得Sina=2——,CoSot~~~

22

ksinC^+cosa=1

・，・2sinα+cosα=_4"」二卫匹

555

故选：D.

【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义，是基础题.

7.(2021秋•鼓楼区校级期末)函数/G)的部分图象如图所示，则/G)可能是()

兀JT

ʌ,f(x)=2sin(2xz")B・f(χ)=2sin(2xτ~)

36

兀K

Cf(x)=2sin(4xτ~)d∙f(x)=2sin(4xz")

63

【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.

【专题】数形结合；数形结合法；三角函数的图象与性质；数学抽象.

【分析】根据函数/(%)=Zsin(ωx+φ)的部分图象，求出力、T和3、φ的值.

【解答】解：设函数/(x)=ZSin(ωx+φ),由/(x)的部分图象知，

4=2,工=义工-旦二=工，解得7=π,所以ω=22L=2,

212122T

又函数的图象过点(且L2),即2X且L+φ=2L+2⅛π,%∈Z,

12122

解得φ=-2L+2⅛π,⅛∈Z,令k=0,得φ=-工

33

所以f(x)=2sin(2x--ɪ).

故选：A,

【点评】本题考查了函数/(x)=Xsin(ωx+φ)的图象与性质的应用问题，是基础题.

8.(2021秋•福州期末)已知函数∕G)=sin(ωχ-φ)的部分图象如图所示，则/G)的

第10页(共23页)

单调递增区间为（)

ʌ-[kπ-∣,kπ÷∣],k∈zB,[2kπ-∣,2kπ+∣],k∈z

c∙[k-ɪ.k÷∣],k∈ZD∙[2k-∣.2k+∣],k∈Z

【考点】由y=Asin(3x+φ)的部分图象确定其解析式；正弦函数的单调性.

【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算.

【分析】由图可得7=2,可求3,又函数过点（2，1）,可求仍从而可求函数解析式,

6

可求单调递增区间.

【解答】解：由图形可知工=2-工=1,所以7=2,

233

所以空=2,所以3=π,

所以/(x)=Sin(πχ-φ),又函数/(x)过点(S,1),

6

所以Sin(且L-φ)=1,所以、/-φ=JΞ~+2⅛π,⅛∈Z,

662

所以φ=4--2⅛π,所以/(x)=Sin(πx-1-),

由2加-2L≤πx-2L≤2Λπ+2L,可得2无-工≤x≤2发+旦，Q,

23266

所以/(x)的单调递增区间为[24-∙∣∙,2k+∙∣∙],kez,

故选：D.

【点评】本题考查由函数图象求解析式，求单调递增区间，属基础题.

9.（2021秋•仓山区校级期末）与-2022°终边相同的最小正角是（）

A.138oB.132oC.58oD.42°

【考点】终边相同的角.

【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值：数学运算.

【分析】利用终边相同的角的定义得到α=-2022°+⅛∙360o,A∈Z,然后令-2022°

+%∙360°>0,求出左的值，代入求出此时的a即可.

第11页（共23页）

【解答】解：与-2022°终边相同的角为α=-2022°+K360°,AeZ,

由题意-2022°+⅛∙360o>0,解得优>5.61,⅛∈Z,

所以女的最小值为6,此时α=-2022°+6×360o=138°,

故与-2020°终边相同的最小正角是138°.

故选：A.

【点评】本题考查了终边相同的角的应用，解题的关键是掌握终边相同角的表示，属于

基础题.

10.(2022春•马尾区校级月考)已知弧长为工的弧所对的圆心角为工，则该弧所在的扇

36

形面积为()

A.百兀B.—πc.—πD.—π

333

【考点】扇形面积公式.

【专题】计算题；对应思想；综合法；三角函数的求值：数学运算.

【分析】由已知利用弧长公式先求出圆半径，由此能求出这条弧所在的扇形面积.

【解答】解：Y弧长为工的弧所对的圆心角为工，

36

π

•••圆半径厂=9=2,

V

这条弧所在的扇形面积为S=Lr=2X2L×2=2L.

2233

故选：B.

【点评】本题考查扇形面积的求法，考查弧长公式、扇形面积等基础知识，考查运算求

解能力，是基础题.

H.(2021秋•鼓楼区校级期末)己知α,β∈(ɪ,―),tana=3,

122,

cos(a+B)则tan(a-0)=()

5

A.莒B.ɪC.2D.H

222

【考点】两角和与差的三角函数.

【专题】函数思想；分析法；三角函数的求值；数学运算.

【分析】运用三角函数的同角公式,可得sin(a+β)的值，结合正切函数的两角差公式，分

别求得tanp、tan(a-β)的值，即可求解.

第12页(共23页)

【解答】解：∙..tana>O,Q£,子)，β∈(-ɪ,ɪ)

TTTT

'α∈(O,—)1α+β∈(-ɪ,π>

•：cos(α+B)=-%<0,

O

JT

∙∙∙α+B∈(-y,兀)，

由三角函数的同角公式可得,

sin(α+B)=Vl-cos2(ɑ+β)~JI-2=2.，

2√^

Sin(α+B)_5

.∙.tan(α+β)=

CoS(α+B)_泥

^~5~

tan(α+B)-ta∏a=-2_3_,

,tanβ=tan(α+B-ɑl+tan(Cl+β)-tanCl1-2×3=?

ta∏Q-tanβ_3-11

=NtanCltanB1+3X1亍

故选：B.

【点评】本题考查两角和与差的三角函数，考查计算能力，需要学生熟练掌握公式，属

于基础题.

12.（2021秋•鼓楼区校级期末）下列函数中，周期为n的是（）

兀

A∙N=2sin（X?）b∙N=tan2x

C.y=sinxcosxD.y=sin∣x∣

【考点】三角函数的周期性.

【专题】函数思想；分析法；三角函数的图象与性质；数学运算.

【分析】根据三角函数的周期公式，即可得到结论.

【解答】解：函数的周期Th

选项4,ω=l,丁/兀=2T=2兀'故4选项错误，

1ω］乙

选项8,ω=2,τz>2L=2L,故8选项错误，

1ω2

选项C,y=sinxcosx=∕sin2χ,即ω=2,T=^L=^L=兀，故。选项正确，

选项，当x>0时，y=sinx,当XVO时，y=sin（-x）=-sinx,函数不是周期函数，故

。选项错误,

第13页（共23页）

故选：C.

【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，比较基础，属于基础题.

二.填空题(共4小题)

13.(2022♦福州模拟)已知2sin(α--2I_)=cosa,则tana=_l+√3-∙

3

【考点】两角和与差的三角函数；同角三角函数间的基本关系.

【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值；数学运算.

【分析】由已知利用两角差的正弦公式，同角三角函数基本关系式即可求解.

【解答】解：因为2sin(a-2I_)=cosa,

3

所以2(JLSina-Yɪeosa)=Sina-J^CoSa=COsa,可得Sina=cosa,

22

则tana=ι.

cosa

故答案为：l+√ξ∙

【点评】本题主要考查了两角差的正弦公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简

求值中的应用，属于基础题.

14.(2022春•福州期中)如图，半圆O的半径为1,4为直径所在直线上的一点，且0/=

√2.8为半圆弧上的动点.将线段/8绕点/顺时针旋转工得到线段/C,则线段OC

2

长度的最大值是3.

【考点】三角函数的恒等变换及化简求值.

【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算.

【分析】以。点为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，设/N08=e,则8(cose,

sinθ),即可表示出C点坐标，从而得到前，再根据向量模的坐标计算、三角恒等变换公

式及正弦函数的性质计算可得.

【解答】解：如图以。点为坐标原点，建立平面直角坐标系，

第14页(共23页)

设N∕O8=0,则B(CclS8,Sin8),A(√2»。)，则族=(CoS8Sinθ>

过点C、8分别作CO_LX轴、8瓦LX轴，交X轴于点。、E,

显然AOlD与BE全等，

所以CD=ZE,AD=BE,

从而得到C(&+sin8,√2-cosθ),即羽=(√^+si∏8,√^-cosθ).

所以10Cl=V(V2+si∏θ)2+(V2-cosθ)2.5+2V^Sin8-2亚COS8=

,5+4sin(θ-ɪ-),

所以当8工ɔɪ,即θW⅛,I^cI=3，

故答案为：3.

【点评】本题考查了三角函数的性质，属于中档题.

15.(2022春•仓山区校级期中)在平面直角坐标系中，。(O,O),P(8,6),将向量OP

按顺时针方向旋转亚后，得向量无，则点。的坐标是(-√5,-7√5).

4

【考点】弧长公式.

【专题】计算题；对应思想；向量法；平面向量及应用：数学运算.

【分析】由题意可设OP=(10cosθ,ɪθsinθ),其中CoS0=9，sin。=旦，将向量OF按逆

55

时针旋转变•后，得向量由三角函数的公式即可求得点。坐标.

4

【解答】解：・・•点O(0,0),P(8,6),

.∙.0P=(8,6),故可设而=(10cosθ,10sinθ),其中COSO=刍，Sine=3,

55

第15页(共23页)

：将向量"⅛逆时针旋转士ɪ■后，得向量前，设0(X,V)，

4

则X=IoCoS(θ--≥2L)=Io(CoSeCoS♦工+sin)sin.J兀-)=-

444

N=IoSin(θ-.ɜɔɪ.)=IO(SineCoS」兀-CoSeSin3T)=-7

444

，点。坐标是(-J5，-7J5)

故答案为：(-√2,-7√2)∙

【点评】本题考查平面向量的坐标运算，涉及三角函数公式的应用，属中档题.

16.(2021秋•福州期末)函数/(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,∣φ∣<2L)的部分图像如图所

2

示，BC//X⅞⅛,则3=2,φ=2L-.

【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.

【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图象与性质；数学运算.

【分析】由周期求出3,由五点法作图求出φ的值，即可得解.

【解答】解：因为8C〃X轴，

所以/(χ)的图象的一条对称轴方程为X=L(工+空_)=卫L,ZZL-A=A=A

2231212344

X空，

ω

所以3=2.

由2X∙2Ξ-+φ=π+Λπ,⅛∈Z,且O<<p<π,得φ=2L.

33

故答案为2,

3

【点评】本题考查了由y=∕sin(3x+φ)的部分图象确定其解析式，考查了数形结合思

想，属于基础题.

Ξ.解答题(共5小题)

17.(2021秋•福州期末)已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与X轴的非负半轴重合，终

第16页(共23页)

边过点尸(&,―).

55

(1)求COS(α+π)的值；

(2)若tan。=-2,求tan(α-β)的值.

【考点】两角和与差的三角函数.

【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；数学运算.

【分析】角a的终边过点尸(3,可求COSa,tana,可求(1)(2)的值.

55

【解答】解：角a的终边过点尸(2,A).

55

ɪ

.254

..cosa=—,tana=—=—,

5ɪ3

5

O

(1)cos(a+π)=-cosa=--；

5

--(-2)

(2)tan(a-β)=-tan」=1--------=_2.

l+ta∏CXtanβ]+A(~2)

【点评】本题考查三角函数的定义，以及三角恒等变换，属基础题.

18.(2021秋•鼓楼区校级期末)已知角α的顶点为坐标原点，始边为X轴的非负半轴，终边

经过点P(1>-m-1),且cosaXɪ.

5

(1)求实数"?的值；

.、,兀、

sin(3冗+α)tan(-τ--ɑ)

(2)若”?>0,求-------------------克------的值.

cos(α-兀)cos(-τr+a)

【考点】任意角的三角函数的定义.

【专题】函数思想；定义法；三角函数的求值；数学运算.

【分析】(1)由已知借助于余弦函数的定义列式求解机值；

(2)由(1)可得Sina,CoSa的值，结合三角函数的诱导公式可得

,、/兀、

sin(3兀+a)tan(-τ--ɑ.)

---------------------------π------的值.

cos(a-兀)cos(-^-+a)

【解答】解：(1)由题意可得X=1,y=-m-l,r=VI2+(m+l)2,

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ʌeosɑ=--^-r------------整理得(〃?+1)2=4,

5√l2+(m+l)2

解得fn=i或m=-3；

(2)Vw>0,I.由(1)可得加=1,

贝UCOSa=g,Sina=WL

55

sin(3冗+α)tan(ɜɪɪ-ɑ-)-sinɑ'

._________________2________SIna1^√5

π

一(c↑IT∖∕,∖-cosɑ(-sinɑ)Sina

cos(α-Jl)cos+πQ)

【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，考查诱导公式的应用，是基础题.

19.(2021秋•鼓楼区校级期末)设函数f(χ)=cos(χZL)+2cos2W∙

32

(1)求/(x)的单调增区间；

(2)求/(x)在［O,Tt］上的最大值与最小值.

【考点】三角函数的最值.

【专题】整体思想；转化法；三角函数的求值；数学运算.

【分析】(1)利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求

出函数的递增区间即可;

(2)根据X的范围，求出x+工的范围，求出函数的最大值和最小值即可.

6_

【解答】解：(1)f(χ)=(蒋)cosx÷^^SinX+cosx+l=*-SinXVCOSX+1=

.π、

sin(x÷-τ-)+1,

令--^-+2k兀<X-tɪ≤m+2k兀，k∈Z-得-^y-+2kTC≤x≤-y-+2k兀，

所以/(χ)的单调增区间为[2L+2k兀，工+2k冗]，k∈Z;

33

(2)illx∈[0,π],f⅛χ-t^-∈>-ɪr-],

666

所以当X*T，即XWj⅛,/(χ)取最大值2；

当XjLqL,即x=n时，f(x)取最小值上.

662

【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的单调性，最值问题，是基础题.

20.(2021秋•福州期末)已知函数/(x)=√3sin2x+2cos2χ+2∙

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(1)求/(x)的最小正周期；

(2)将y=∕(x)的图象上的各点得到y=g(%)的图象，当x∈[*,时，

方程g(x)=加有解，求实数W的取值范围.

在以下①、②中选择一个，补在(2)中的横线上，并加以解答，如果①、②都做，

则按①给分.

①向左平移千个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半.

②纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移JL个单位.

【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的

周期性.

【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算.

【分析】(1)由题意利用三角恒等变换化简/G)的解析式，再利用正弦函数的周期性,

得出结论.

(2)由题意利用函数y=Zsin(ωx+φ)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，再利用

余弦函数的定义域和值域，求得g(%)的范围，可得〃7的范围.

【解答】解：(1):函数∕*(x)=Λ∕3sin2x÷2cos2x+2=ʌ/ɜsin2x+2•1.C口SK+2=

2

^/3sin2x+cos2x+3=2sin(2x+-ZE_)÷3,

6

故函数的周期为"=ττ∙

2

(2)将/(x)=2sin(2X+2L)+3的图象按照变换①：向左平移工个单位，再保持纵

66

坐标不变，

可得y=2sin(2x+工+工)+3=2COS2x+3的图象，再横坐标缩小为原来的一半可得g(x)

36

=2cos4x+3的图象，

当Xe[-ɪ,2L]时，4x∈[-.2∑L,π],cos4x∈[-1,1],g(x)∈[1,5],

643

若方程g(X)=加有解，则〃正[1,5].

将/(x)=2sin(2X+A)+3的图象按照变换②：纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来

的2倍，

可得y=2sin(X+_ZL)+3的图象，

6

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再向右平移工个单位，可得g(X)=2