2024届新高三开学摸底2023高二年级下册期末试题及答案解析

数学2024届新高三开学摸底2023高二下学期期末试题及答案解析数

学试题(理科)

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写

在本试卷无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

1.若(z+i)i=4-7i,则复数Z的虚部为()

A.-5B.5C.7D.-7

【答案】A

【解析】依题意，z=±N-i=-4i-7-i=-7-5i,故Z的虚部为-5.

1

故选：A

2.已知集合A={x∣2x-4<0},5={x∣lgr<l},则AB=()

A.{x∣x<2}B.{x∣x<10}

C.{x∣0<x<2}D.{x∣x<0或x>2}

【答案】C

【解析】由已知可得，A={x∣x<2},

解lgx<l可得，0<x<10,所以B={x∣0<x<10},

所以，Anβ={x∣0<x<2}.

故选：C.

525则

3.i⅛(2x-1)=a0+axx+a2x++a5x,q+%++a5=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】令X=0,所以(τ)5=%=τ,

令X=1,所以15=%+4+出++¾=1,

所以4+4++%=1+1=2,

故选：D.

4.设α,夕为两个不同的平面，则α〃夕的一个充分条件是()

A.α内有无数条直线与夕平行B.a,夕垂直于同一个平面

C.a,仅平行于同一条直线D.a,4垂直于同一条直线

【答案】D

【解析】对于A：α内有无数条直线与万平推不出α〃/，只有α内所有直线与月平行才能推出，故A

错误：

对于B：«,夕垂直于同一平面，得到α〃夕或α与夕相交，故B错误；

对于C：a,夕平行于同一条直线，得到α〃/或α与夕相交，故C错误；

对于D：因为垂直与同一条直线的两平面平行，故α,夕垂直于同一条直线可得α〃尸，故：D正确.

故选：D

5.已知双曲线厂:兰-亡=1的左右焦点分别为耳,只，过E的直线分别交双曲线「的左右两支于AB两

42

点，且/心AB=N心84,则忸用=()

A.√5+4B.2√5+4C.2√5D.√5

【答案】C

【解析】由双曲线「：=1得出α=2,b=√∑,c=√^.

42

因为/死48=/鸟BA,所以怩AI=IEB

作行CLAB于C,则C是42的中点.

设住Al=内Bl=X,则由双曲线的定义"A|-I4Al=2a,∖FtB∖-∖F2B∖=2a,

可得阳H=X—4,忻却=x+4,∣AB∣=8.

故8S4"2=局ICBI=47

又由余弦定理得cosZFtBF,=(x+4)：X：(2旬=宁+4：4，

-2(x+4)-x(x+4)∙x

4Λ÷4ɪ—4

所以—=7一7\—'解得戈=2百•

X(x+4)∙x

故选：C

C

6.记S,为数列｛q｝的前”项和，设甲：｛4｝为等差数列；乙：｛2｝为等差数列，则()

n

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】C

【解析】方法1,甲：｛4｝为等差数列，设其首项为G，公差为d,

π,lLn(n-V),Snn-∖.ddStl.,Snd

则S"i+〒yF+〒公5…”'滞rm

因此｛、｝为等差数列，则甲是乙的充分条件;

n

ς,Λ±L工="S,m-5+l)S,,="4m-s"

反之，乙：｛、｝为等差数列，即为常数,设为f,

nn+1nn(n+∖)n(n+i)

即崇泮乙则+i),有―忖Tm〃心≥2,

ana

两式相减得：n=n+∖-(«-1)¾-2/n,g∣Jall^-an=2t,对〃=1也成立,

因此｛%｝为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件，C正确.

方法2,甲：｛α,,｝为等差数列，设数列｛q,｝的首项《，公差为d,即5“="q+及Fd

则2=4+纥Dd=《〃+4-《，因此｛4｝为等差数列，即甲是乙的充分条件;

n222n

qςςς

反之，乙：｛二｝为等差数列，即=Sl+(〃-1)。,

nn+1nn

即Sn=nSl+n(n-])DfSl=(〃-I)Sl+(H-1)(Π-2)D,

当〃≥2时,上两式相减得:Szi-Sj=&+2(〃—1)0,当〃=1时，上式成立,

于是4=%+2(∏-1)D,又a”+1一4=q+2"D-[q+2(〃一I)Dl=2D为常数,

因此｛q｝为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件.

故选：C

χ,∣χ∣≤l,

7.已知函数F(X)=.兀一则下列结论正确的是().

sin—X,∣Λ∙∣>1,

A.3⅞∈R,f(-x0)≠-f(x0)B.∀x∈R,f(,-x)≠f{x}

C.函数/(X)在号片上单调递增D.函数/(X)的值域是

【答案】D

【解析】

y

作出函数/(X)的图象，由图可知函数/(X)是奇函数，即对VxeR,f(-x)=-f(x),故A错误；

当x=2时，满足f(-2)=∕(-2)=0,此时VXeR,/(-x)≠f(x)不成立，故B项错误；

函数f(x)在-5,-I上是减函数，在(T,D上是增函数，在上是减函数，故C项错误；

函数F(X)的值域是[T,l],故D项正确.

故选D.

8.在平面直角坐标系中，。为坐标原点，已知圆。的半径为3,直线4,4互相垂直，垂足为“(1,0)，

且人与圆。相交于A,C两点，4与圆。相交于B,O两点，则四边形A8C。的面积的最大值为()

A.10B.12C.13D.15

【答案】B

【解析】设圆心到直线4的距离为4,圆心到直线4的距离为4,

,直线4，4互相垂直，垂足为M(1,回，片+片=IOMF=6,

.∙.∖AC∖=2y∣9-d;,.∙.∣BD∣=2y∣9-d^,

222

.∙.SΛSOT=∙∣×∣AC∣×∣BD∣=279-JI×√9-t∕2≤(9-<∕1)+(9-^)=18-6=12.

故选：B.

π2π单调递增，直线χ=m和X=乌为函数y=∕(χ)的图像的两条

9.已知函数/(x)=sin(0x+e)在区间,

6TOJ

5π

对称轴，则/

~Γ2)

bc

AT∙4∙⅛D∙T

【答案】D

π2π

【解析】因为f(x)=sin(or+a)在区间6,T单调递增,

LL..T2兀TL兀...,._271_

所以l一=----=一,.⅛69>0,则T=π,w=—=2,

2362T

当X=J时，/(x)取得最小值，则2∙^+e=2E-W,keZ,

662

则"X)=Sin(2X-爸,

10.随着科技的不断发展，人民消费水平的提升，手机购物逐渐成为消费的主流，当我们打开购物平台

时，会发现其首页上经常出现我们喜欢的商品，这是电商平台推送的结果.假设电商平台第一次给某人推

2一

送某商品，此人购买此商品的概率为ɪɪ,从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购买的概率为

Γ若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率转∙记第〃次推送时不购买此商品的概率为2,当

〃≥2时，P11<M恒成立，则M的最小值为()

A."93n73

Bd.----D.----

132132C/120

【答案】A

【解析】由题意知，根据第a-1次推送时购买、没有购买两种情况，写出第”次推送时没有购买的概率

3212

第〃次(让2)推送时不购买此商品的概率《二•匕J=五匕

981

所以，由题意知6二打，则片-打二打，

所以是首项为5、公比为，的等比数列，

Q11O11

所以E,F=7T?声’即七五十五？声.

O11Q7

显然数列优｝递减，所以当〃22时，P1,?P2ɪ+-?-三,

ɪɪɪɪɪ4ɪJ4

97

所以M的最小值为急.

故选:A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13,已知向量/;满足a=(3,l),6=(1,左)，(a-θ)∙La,贝IJZ=.

【答案】7

【解析】

【分析】根据题意求得。一/?=(2,1-6，结合(a-b)∙a=0,列出方程，即可求解.

【详解】由向量满足a=(3,l),b=(l,k),可得a-匕=(2,1-幻，

因为可得(a—b)∙a=2χ3+(I-Z)Xl=7-Z=0,解得&=7.

故答案为：7.

14.曲线y=^+111(%-1)在点(2,8)处的切线方程是.

【答案】13x-y-18=0

【解析】

【分析】先求导数，得切线斜率，利用点斜式可得方程.

【详解】y=3∕+-L,当χ=2时，y'=13;

x-1

所以曲线y=d+ln(xT)在点(2,8)处的切线方程是丁-8=13(为一2),

即13x—y-18=0.

故答案为：13x—y—18=0.

第6页/共20页

15.某玩具厂计划设计一款玩具，准备将一个棱长为4cm的正四面体（所有棱长都相等的

三棱锥）密封在一个圆柱形容器内，并且这个正四面体在该圆柱形容器内可以任意转动，

则该圆柱形容器内壁高的最小值为cm.

【答案】2捉

【解析】

【分析】依题意该正四面体内接于该圆柱的内切球时，圆柱形容器内壁高的最小，则正四

面体外接球的直径即为圆柱形容器内壁的高，求出正四面体外接球的半径，即可得解.

【详解】依题意该圆柱内放置一个棱长为4cm的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以

任意转动，

则该正四面体内接于该圆柱的内切球时，圆柱形容器内壁高最小，

则正四面体外接球的直径即为圆柱形容器内壁的高，

如图正四面体P-ABC,设点P在面ABC内的射影为H,即/7/_1_面ABC,

则球心。在P”上，AH=-ABcos30=正,

33

所以/W=-PA?—A”）=/半）=半，

设外接圆的半径为A,OP=OA=R,所以OH=PHT

在RtZ√MH中，OA1=OH2+AH2,即我=［乎一1÷m∙

解得R=ʌ/ð）

所以该圆柱形容器内壁高的最小值为2疯m.

P

第7页/共20页

故答案为：2显

16.已知A，N2是函数/(x)=|log2X-m(meR)的两个零点，且王<工2<2王，记

a=*+%+。，ZJ=(X2+I严叫，C=(Xl+4严叫，用“〈”把α,b,C连接起来

【答案】c<a<b

【解析】

【分析】由/(x)=∣log2R-m=0,得m=∣log2X∣,令g(x)=1log2乂，借助g(χ)的图

象可得x∣,*2的范围，令X2+1=〃，K+4=A，则α=2"'b—n~li，c-k^">利用由函

数y=2'与y=f在(0,+8)上的图象得出的结论，以及指数幕运算和函数的单调性可比

较大小.

【详解】由/(χ)=∣iog2M-∕%=o,得W=Mg2.,

,,[-log,x,0<x<l

令g(x)=l0g2X={^，

[log2x,x>l

作出g(χ)的图象，直线y=加与g(χ)的图象有两个交点,

由图可知O<X∣<1<%，又％2<2玉，贝!]1<工2<2x∣<2,O<∕n<l,

∙.∙-Iog2xi=m=Iog2X2,Iog2xλx2=O,Λxlx2=1,

令工2+1=〃,％+4=%，则2</<3,4<Z<5,

则。=2",b=n2k>c=k2",

作出函数y=2'与y=f在(0,+8)上的图象，

第8页/共20页

由图可知，当x=2时，2Λ=X2=4;当％=4时，2Λ=X2=16；

当0<x<2时，2v>X2;当2vxv4时，2x<X2;当x>4时，2v>X2.

C=Z2"=卜2）",。=2既=（2"）”，而4<左<5,从而公<2*，

则（二）“<（2*）”,即c<a：

4=2λn=（2"）*,b=n2k=[n2）∣,而2<w<3,从而2"</，

则（2"丫,即

综上，c<a<b.

故答案为：c<a<b.

【点睛】方法点睛：解决函数零点问题的方法：

（1）直接解方程法（适用于方程易解的情形）；

（2）利用零点存性定理；

（3）图象法：①研究函数的图象与X轴的交点；②转化为两个函数图象的交点问题.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21

题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求

作答.

（-）必考题：共60分.

17,已知等差数列｛4｝前五项和为15,等比数列｛2｝的前三项积为8,且q=4=1.

（I）求｛4｝和｛2｝的通项公式；

（2）设g=α∕,,,求数列｛c,,｝的前〃项和5“.

第9页/共20页

π

【答案】(1)all=n,bn=2-'

,,

(2)S11=(n-l)2+l

【解析】

【分析】(1)根据数列类型和基本量关系的运算即可求得通项公式；

(2)根据错位相减法可求得结果.

【小问1详解】

设等差数列｛q｝的公差为d,等比数列也｝的公比为夕，

：等差数列｛为｝前五项和为15,且“∣=l,

5×4

Λ5×l+——d=15解得d=l,

21

.*.=q+(〃一l)d=n,

•••等比数列他,｝的前三项积为8,且乙=1,

∖×q×q^=8,q=2,

：・b.=bd-

【小问2详解】

S,,=Ct+C2++cn,

l2

B∣JSn=l+2×2+3×2++n×2"^',

23

：.2Sll=l×2+2×2+3×2++n×2",

1_2〃

Λ-5=l+2+22+23++2"-'-n×2"=--—n×2"=(l-〃)2"-1,

"1-2

.∙.S“=(〃-1)2"+1.

18.某地区新高考要求语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还要从物理、化学、生

物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.现从该地区已选科的学生中

随机选出200人，对其选科情况进行统计，选考物理的占60%,选考政治的占75%,物

理和政治都选的有80人.

第10页/共20页

（1）完成选考物理和政治的人数的2x2列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过

0.1%的前提下，认为考生选考物理与选考政治有关？

选考政治的人数没选考政治的人数合计

选考物理的人数

没选考物理的人数

合计

（2）在该地区已选科的考生中随机选出3人，这3人中物理和政治都选了的考生的人数为

X,视频率为概率，求X的分布列和数学期望.

附：参考数据和公式：

P(κ2≥%)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

ZO2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

六六加芦)：__其中,=α+"c+d.

(Q+b)(c+d)(α+c)(⅛+d)

【答案】（1）列联表见解析，可以

（2）分布列见解析，I

【解析】

【分析】（1）根据题意完成2x2列联表，再计算出片与10.828比较即可得出判断;

（2）因为任取一人物理和政治都选了的概率P=I,且所以根据二项分

布的概率计算公式列出分布列计算数学期望即可.

【小问1详解】

根据题意，选考物理的考生有200x0.6=120人，

选考政治的考生有200x0.75=150人，2x2列联表补充完整如下:

选考政治的人数没选考政治的人数合计

第Il页/共20页

选考物理的人数8040120

没选考物理的人数701080

合计15050200

“2200×(80×10-40×70)2100

因为K=--------------------------------11.111>10.828,

150×50×120×80~9~

所以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，可以认为考生选考物理与选考政治有关.

【小问2详解】

OA2

在该地区已选科的考生中随机选出1人，则物理和政治都选了的概率P=——=-

2005

易知，随机变量X服从二项分布，即X~B0,∣

所以X可取0,1,2,3,

P(X=I)=Cq

TT

19.已知四棱锥P—ABCD的底面ABC。是边长为2的菱形，且N84。=—,

3

PA=PC,PD±AD,E为PB中点.

第12页/共20页

AB

（1）证明：ACLDE-,

（2）若尸2与底面A8CZ）所成角的正弦值为42,求二面角P—AE—。的余弦值.

2

【答案】（1）证明见解析

⑵-

7

【解析】

【分析】（1）连接AC,32ACC8O=O,由题意可得AClBO,POVAC,所以

AC_1平面尸皮＞,从而得结论；

（2）由条件可证得Pr），平面ABeD,则/PBD为PB与底面ABCD所成角，可得

PD=BD=2,由OE〃P。得OEL平面ABC。，以。为坐标原点，以OAoB,OE所在

直线分别为XXZ轴，建立空间直角坐标系，求出平面/¾E,平面AEZ）的法向量，利用

向量夹角公式求解.

【小问1详解】

连接AC,BD,ACC8。=O,

因为底面ABCo是边长为2的菱形，

所以4C18。，且。是AC的中点，

因为∕½=PC,所以PQ_LAC,

又因为POCBD=O,PO,BDU平面PBD,

所以AC_L平面2如，因为。EU平面P3Z）,

所以ACj_DE.

【小问2详解】

第13页/共20页

因为aPAD也Z∖PCD,所以NPD4=NPDC,

π

又因为PZ?L4),所以NPDA=NPOC=―,即

2

因为AD。。=。,4。,8:=平面488,所以PJDJ_平面ABC£),

/y

则NPBD为PB与底面ABCD所成角，故SinNPBD=—，

2

TrTT

因为O<NP80<一,所以NPB。=—,则PZ)=B£>=2，

24

因为0,£分别是8D,P8的中点，则OE〃PD,所以OE，平面ABC。，

以O为坐标原点，以OAOB所在直线分别为χ,χz轴，建立空间直角坐标系,

则O(O,-1,0),P(O,-1,2),A(G,O,O),E(O,O,1),

AE=(-√3,O,1),PΛ=(√3,l,-2),DE=(0,1,1),

设平面B4E的法向量为m=(xl,y∣,Z]),

m∙AE=Sx[+Z]=O

由>令Xl=1,则Z]=ʌ/ɜ,y=ʌ/ɜ，w=(l,√f3,T3).

th∙PA=ʌ/ɜɪj+yl-2z1=O

设平面AED的法向量为〃=(X2,%，Z?)-

n∙AE--∖∕3X2+Z2=0

由，^令々=1则Z2=G,%=-G,〃=(1,一百,百)，

H-DE=y2+z2=O

因为二面角产一AE—。的大小为锐角,

第14页/共20页

故二面角「一AE—。的余弦值为L.

7

20.已知抛物线E：=2px(〃>0)上任意一点M到焦点F的距离比M到y轴的距离大

1.

(1)求E的标准方程；

(2)∕lI2=F,lill2,L交E于A,C两点,“交E于B,力两点.求四边形ABCO

的面积的最小值.

【答案】(1)V=4χ

(2)32

【解析】

【分析】(1)由题意，根据抛物线的定义可知4=1，从而可得抛物线E的标准方程；

2

(2)设出4的方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理及抛物线定义求出IACI,

∖BD∖,由SABCD=^∖AC∖-∖6。I结合基本不等式求出最小值.

【小问1详解】

抛物线E-y2=2庶(〃>0)的焦点Feθ],准线x=g.

抛物线上任意一点M到焦点F的距离比M到y轴的距离大1.

根据抛物线的定义可知，卜1,.∙.p=2,

抛物线E的标准方程为y2=4x.

【小问2详解】

由题可知44均有斜率且斜率不为零，且过焦点F(LO),

第15页供20页

设∕∣:X=B+1,/2：x=-Jy+l，k≠0,设A(XI,必),。(％2，%)，

K

VzzZy+1

由<,2_4X，消X可得,2_的_4=0,

.∙.∆=(4)2-4X(T)=16公+16>O,yl+y2=4k,

：.Ai+x2=左(X+%)+2=4%2+2,

二IACI=%+w+〃=4攵2+4=4(d+1),

同理可得IBOI=4

,SABS=TAa∙∣8D∣=8(22+1)[*+1]

=8(2+22+*>82+2J40=32,

当且仅当左=±1时取等号，

.∙.四边形ABCD面积的最小值为32.

21.已知函数/(x)=2InX—依(αeR),g(x)=W(x).

(1)求函数屈(x)的单调区间;

(2)若函数g(x)存在极大值点％,且g(∙⅞)>e2,求”的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

⑵U

【解析】

第16页/共20页

【分析】(1)求出函数的导数，通过讨论”的范围，求出函数的单调区间即可；

(2)求导函数，转化为导函数有零点问题，构造函数必幻=匕g,(x>O),数形结合

X

1+Inx/、

得“e(O,l),且α=--------0,⅞>11,又g(%)>e92,所以

XO

2ΛolnXo-αx;=XOInXO-Xo>e?,设O(X)=XInX-X(X>D，由函数。(工)的单调性可

得∕>e2,进而可得实数”的取值范围.

【小问1详解】

,2

/(x)=21nx-0x(β∈R),的定义域是(0,+∞),/(%)=——a,

X

当α<0时，/'(为>0,/(幻在(。,+8)递增，

2

当α>0时，令/'(x)=。，解得：X=一,

a

22

当0<x<—时，/(x)〉0,/(九)递增；当x>—时，/(x)<O,/(x)递减，

aa

综上：当α<0时，F(X)在(0,+8)递增；

当〃>0时，/。)在(0,：)递增，在(∙∣,+8)递减.

【小问2详解】

因为g(x)=0(X)=2xlnx-tιx2,(x>0),

所以g'(x)=2(l+lnx-0x)=2«1,

若函数g(X)=2xlnx-αr2存在极大值点⅞,

则g<x)有零点小,且零点与左侧导数大于0,右侧导数小于0.

令g'(x)=。得α=l+∣n∙λ,(χ>0),

X

、，，、1+lnx八、…，，，、Inx

I己∕z(x)=--------,(zx>0),贝!]∕ι(X)=———)

XX

令”(x)>0,解得O<χ<l,即〃(X)在(0,1)上单调递增，

令厅(x)<0,解得χ>l,即〃(X)在(l,+∞)上单调递减，

第17页/共20页

O,O<x<1时力(，)<0,%>，时/7(!)>0,

则力(X)max=力U)=1，且」

1+Inx„,

作出〃(X)的图象如图所示，则“e(O,l),且α=---------,⅞>1.

⅞

2

OXX=x0Inx0-x0>e

设°(x)=XInX-X(X>1)»则(X)=InX>0,

所以函数。(X)=XlnX-X在(1,+8)上单调递增，

而Λ0InA0-X。>e?=e?Ine?-e?,即°(∕)>0(e，，所以Xo>e∖

l+lnxl+lne23

所cc以ιuα=--------0-<——j—==，

x0e^e^

所以()<α<［,即实数”的取值范围为(θ,∙∣∙)∙

【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法

(I)直接法，先对函数求导，根据导数的符号求出函数的单调区间与极值，根据函数的基

本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与X轴的交点问题，突出导数的工具作用，

体现了化归与转化思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；

(2)构造函数法，将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

(3)参变量分离法，将问题等价转化为直线与函数图象的交点问题.

(-)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，

则按所做的第一题计分.

［选修4-4：坐标系与参数方程］

22.在平面直角坐标系Xo)，中，曲线C的方程为(χ-3y+y2=4,直线/过点尸(3,1)且倾

斜角为ɑ.以坐标原点。为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(I)写出直线/的参数方程(用P点坐标与a表示)和曲线C的极坐标方程；

第18页/共20页

11

(2)设直线/与曲线C交于A,B两点,求网+网的最小值.