函数的对称性讲义-2024届高三数学一轮复习

函数的对称性（讲+练）含答案

知识储备：函数的奇偶性、单调性、周期性

同一函数的对称性

轴对称点对称

f(a+%)+f(b—x)=2c

于(a+x)=f(b-x)=>/(x)关于％=以；2对称

=/(x)关于点(2，cj

对称

推论

f(a+x)=f{a一x)=/(x)关于％=々对称/(a+x)+f(a-x)=2b=>/(x)关于点(a,b)对称

/(x)=f(2a-x)=>/(x)关于x=a对称/(x)+f(2a-x)=2Z?/(x)关于点(a,〃)对称

/(-x)=/(2a+x)=/(x)关于x=々对称f(-x)+/(2a+x)=2/?=/(X)关于点(a,》)对称

特例

偶函数奇函数

f(x)+f(-x)=0或/•(—x)=-fix')

f(x)=f(-x)=关于x=a(y轴)对"称

n/(x)关于点(0,0)原点对称

技巧：内部相反轴对称，内外均反点对称

【习题精练】

一、单选题

1.已知定义在A上的奇函数/(X)满足/(x—4)=-/(X),且在区间［0,2］上单调递增，则()

A./(2019)=/(2017)B./(2019)=/(2020)

C./(2020)>/(2019)D./(2020)>/(2018)

2.已知/(力是定义域为(HO,+8)的奇函数，满足/(I-x)=/(l+x).若/⑴=2,则

/(1)+/(2)+/(3)+.+/(50)=()

A.-50B.0C,2D.50

3.已知函数/(%)="-%记4=/(也),b=f(—)9c=/(—),则()

A.h>c>aB.b>a>c

C.c>b>aD.c>a>b

4.已知函数/(x)=lnx+ln(2-x),则()

A.”X)在(0,2)单调递增B./(X)在(0,2)单调递减

C.y=/(x)的图象关于直线x=l对称D.y=/0)的图象关于点(1,0)对称

5.定义在户上的偶函数/(x)满足/(X—2)=—/(x+2),对\/冷々€［0,4］,王工/，都有

以史二£3.〉0,则有()

X］—x2

A./(1921)=/(2021)</(1978)B./(1921)</(1978)</(2021)

C./(1921)</(2021)</(1978)D./(2021)</(1978)</(1921)

6.已知函数/(%)的定义域为R当x<0时，，(幻=V-］；当一啜Jr1时，/(-%)=-/(%)；当时,

，卜+£)=小则”6)=()

A.-2B.1C.0D.2

7.已知函数/(x)=l+log2X-log2(4-x),则()

A.y=/(x)的图象关于直线x=2对称B.y=/(x)的图象关于点(2,1)对称

C./(x)在(0,4)单调递减D.7(x)在(0,4)上不单调

8.已知定义在上的奇函数y=/(%)满足〃%+2)=-/(力，若四,七40』且x产々时，都有

%,f(x,)+x2/(x2)>x,/(x,)+^/(x2),则下列结论正确的是()

A.》=/(%)图象关于直线x=2020对称B.》=/(%)在［2019,2021］上为减函数

C.》=/(%)图象关于点(2020,0)中心对称D.》=/(%)在［2020,2022］上为增函数

二、多选题

9.下列函数中，图象关于原点对称的是()

A.f(x)=e'-e-xB./U)=—-1

e+1

C./(x)=ln(x+&+1)D.f(x)=Insinx

3

10.已知函数/(X)及其导函数/'(X)的定义域为此记g(x)=/'(x).若.f(；-2x),g(2+x)均为偶函数,

则()

B.g(-g)=()

A./(0)=0C./(-D=/(4)D.g(—D=g(2)

11.已知/(x)是定义在R上的偶函数，且/(x+3)=/(x—1),若当xe[0,2]时，/(x)=2r-l,则下列

结论正确的是()

A.当xe[—2,0]时，"X)=2-、一1B./(2019)=1

C.y=/(x)的图像关于点(2,0)对称D.函数g(x)=/(x)-log2X有3个零点

12.据新华社电，记者3月12日从中国卫星导航系统管理办公室了解到，北斗三号全球卫星导航系统自2020

年建成开通以来，运行连续稳定可靠，持续提供功能强大的卫星导航服务，高精度、短报文等特色服务能

力已得到充分验证.北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数

/。)=的、+工竽+笺上+三上+*^近似模拟其信号，/'(x)为/(x)的导函数，则下列说法正确

的是()

TT

A./(x)为偶函数B.的图象关于点(万,0)对称

C.1@)的最小正周期是乃D.尸(x)的最大值为5

三、填空题

13.定义域为"的偶函数/(x)为周期函数，其周期为8,当xe[y0]时，/(x)=x+l,则/(25)=

14.写出一个同时满足下列三个条件的函数/(x)的解析式―—•①/(1+幻=/(1一幻；②

33

/(-+x)=-/(--x)；③/U)在(0,1)上单调递增.

cos—,0<x,,2

2

15.函数/(%)满足/(x+4)=/(x)(xeR),且在区间(—2,2］上，/(x)=J；，则,/(./(15))

|xH—|,—2<X,,0

I2

的值为.

X

16.已知函数y=/(x+2)为奇函数，且/(x+3)=/(3-x),当XG［0,1］时,/(x)=2+log4(x+l)-l,

给出下列四个结论：

①/(x)图象关于(—2,0)对称；

②/(x)图象关于直线x=1对称；

③/(2021)=；；

@f(x)在区间(2021,2022)单调递减.

其中所有正确结论的序号是—

1X1220212022

17.若/(九)=—+k)g2(q),则/(—^)+/(上)+…+/(巴)+〃*)=

八'2*2\-x2023202320232023

答案和解析

1.【答案】A

2.【答案】C

【解答】

解：函数是奇函数，故有/(x)=-/(-x),/(0)=0，

又函数满足了(I一幻=/(1+幻，即有/(x+2)=-/(x),进而得到了(%+4)=-/(%+2)=/(%),

二函数/(x)是周期为4的函数，

若/(1)=2,可得/(3)=/(-1)=-/(1)=-2,

〃2)=-〃0)=0,/(4)=/(0)=0,

.-./(1)+/(2)+/(3)+/(4)=0

.••/(I)+/(2)+/(3)+…+/(50)=/(1)+/(2)=2,

故选C.

3.【答案】A

解：函数=尸图象关于直线x=l对称，则/(乎)=/(匕等)，

函数在(tq』)上单调递增，在(1,2)上单调递减，立〈上逅<X3<i，

222

则Z?>c>a

故选A.

4.【答案】C

解：由题意得函数/(x)的定义域为(0,2),

f(x)=Inx+ln(2—x)

-ln(-x2+2x)=ln[-(x-l)2+IJ,

所以函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，故选项4,8错.

由于函数y=—(x—l)2+1,XG(0,2)的图像关于直线x=l对称，

所以函数/(x)=Inx+ln(2-x)的图像关于直线x=1对称.

故选C.

5.【答案】B

解：因为函数/(x)满足/(x—2)=—/(x+2),

所以/'@)=-〃x+4),/(x+4)=-/(%+8),得/(x)=/(x+8),

则函数f(x)是周期为8的函数，

所以/(1921)=/(240x8+1)=/⑴，

/(2021)=/(253x8-3)=/(-3),

/(1978)=/(247x8+2)=/(2),

又函数f(x)为偶函数，

|J/(2021)=/(-3)=/(3),

又对任意司,电6［。，4］且斗声/，都有二">0，

玉一々

则函数/(%)在区间［0,4］上为增函数，

进而有/(D</(2)</(3),

即/(1921)</(1978)</(2021).

故选B.

6.【答案】D

解：因为当时，/(x+-)=/(%--)

222

故y(x+i)=/(x),

所以当x>,时，周期为1,

2

所以/(6)=/(1),

当—啜Ik1时，/(-%)--/(%),

所以/(—D=—/⑴，

因为当x<0时，/(x)=x3-1,

所以/(—D=-2,

故八6)=/⑴=2

故选D

7.【答案】B

［x>0

解：根据题意，函数/(x)=l+log2X-1唯(47),有“C，解可得0cx<4,即函数的定义域为(0,4),

［4—X〉U

/(4-x)=1+log2(4-x)-log2(4-4+x)=l+log2(4-x)-log2x,

有/(4-x)w/(x),则y=/(x)的图象关于点(2,1)对称，不关于直线x=2对称，8正确,4错误，

y=l+log2%在(0,4)上为增函数，y=log2(4-x)在区间(0,4)上为减函数，

则/5)=1+1。82犬一1。8式4一为在(0,4)上为增函数，a〃都错误，

故选：B.

8.【答案】C

解：函数/(x)为〃上奇函数，.・・/(—x)=—/(x),f(x+2)=-f(x),

f(-x)=f(x+2),f(x+4)=-f(x+2)=f(x),

・•・函数/(x)的一个对称中心为(0,0),一条对称轴为x=l,4是函数的一个周期.

对于4根据周期性及对称性知函数的一条对称轴为x=2021或x=2019,1选项错误；

对于8,e［0,l］且%产w时，都有占/(西)+々/(%)>为/(%)+为，(工2),

且x产々，都有(%-X2)［/(%)一/(%)］>0,

函数/(%)在［0,1］上单调递增，由奇偶性知函数/(x)在上单调递增，

・•・函数/(X)在［—1,1］上单调递增，再由周期性知函数/(X)在［2019,2021］上单调递增，6错误；

对于G/(2020)=/(0)=0,函数图象关于点(2020,0)中心对称，C正确；

对于4x=2021是函数的一条对称轴，所以函数在［2020,2022］上不单调，〃错误.

故选C.

9.【答案】ABC

解：由/(x)=e，—er可得，/(—x)=eT-e'=—/(x),刀右兄二函数为奇函数，图象关于原点对称；

2\-ex［~e~xex-1

由/(x)=---------1=——可得，f(-x)=——-=—/(x)，XWR，・・・函数为奇函数，图象关于

e'+1e'+1ex+1e*+1

原点对称；

由/(尤)=ln(x++1)可得,/(-%)=ln(-x+V-X2+1)=In------,=-f(x),xw兄.•.函数为奇函

x+\jx"+1

数，图象关于原点对称；

由/(x)=lnsinx知，sinx>0,所以2Z%<x<2左"+»，keZ,定义域不关于原点对称，则函数为非

奇非偶函数，图象不关于原点对称，

故选ABC.

10.【答案】a

【解答】解：由f(=3-2x)为偶函数可知/3(x)关于直线x=?对称，

由g(2+x)为偶函数可知g(x)关于直线x=2对称，

结合g(x)=/'(x)，根据g(x)关于直线x=2对称可知/(x)关于点(2,。对称，

33

根据/(x)关于直线X、对称可知：g(x)关于点份,0)对称，

综上，函数/'(X)与g(x)均是周期为2的周期函数，所以有/(0)=/(2)=r,所以/不正确;

/(-I)=/(1),./(4)=/(2),/(1)=/(2),故/(—1)=/(4),所以。正确.

13

g(-/)=g(])=0，g(-D=g(D,所以6正确；

又g(l)+g(2)=0,所以g(-l)+g(2)=0,所以〃不正确.

11.【答案】ABD

解：/(x)是定义在??上的偶函数，当xe[0,2]时，f(x)=2x-\,

.•.当xe[-2,0]时，-XG[0,2],

/(x)=/(-x)=2-r-l,故4正确；

函数户＞)满足/(x+3)=/(x-1),

/(x+4)=/(%),即函数/(x)的周期函数，周期为4,

.•./(2019)=/(505X4-1)=/(-1)=/(1)=2'-1=1,故3正确；

/(x+3)=/(x-l),函数/(x)为偶函数，

.•..f(x+2)=〃x-2)=〃2-x),

则函数关于x=2对称，故C错误；

由题意，作出函数y=/(x)与y=log2X的图像，

由图像得交点个数为3,即函数g(x)=/(x)-log2X有3个零点，故〃正确.

故选

12.【答案】18

解：对于力选项，函数/(x)的定义域分关于原点对称，

”、，、cos3(-x)cos5(-x)cos7(-x)cos9(-x)cos3xcos5xcoslxcos9x„、

f(-x)=cos(—x)+—-—+—-—+―-—+——=esx+^—+^—+—^―+—^―=/z«,

所以函数/(X)为偶函数，故月正确；

、cos3(x+^r)cos5(x+^)cos7(x+^)cos9(x+%)、

对于8选项，/(x+万)=cos(x+/)+————-+-----——-+---1——-+————-=-f(x),

即/(x+乃)+.f(x)=O,

又了(x)为偶函数，故/(x+m+/(-x)=o,

故函数/(X)的图象关于点(三,0)对称，即6正确；

2

对于。选项，f'M=-sinx-sin3x-sin5x-sin7x-sin9x,

f\x+4)=-sin(x+7T)-sin3(x+%)—sin5(x+不)-sin7(x+4)-sin9(x+兀)=-f\x)

所以对于函数/(%)定义域中任意一个自变量％r(x+»)=r(x)不恒成立,

因此其最小正周期不是"，故。错误；

对于〃选项，

f\x)=-sinx-sin3x-sin5x-sin7x-sin9x,

当sinx,sin3x,sin5x,sin7x,sin9x同时取最小值一1时，/'(x)取最大值5,

37r贝ljsin3(,+

当sinx=-l时，x=-——I-2k7r,keZ

2

即sinx,sin3x不能同时取最小值-1，故f'(x)取不到最大值5,即〃错误.

13.【答案】0

解：定义域为7?的偶函数/(x)为周期函数，其周期为8,

当xe[-4,0]时，f(x)=x+1,

.-./(25)=/(8x3+l)=/(I)=/(-1)=-1+1=0.

故答案为：0.

14.【答案】/(x)=-COSG(答案不唯一)

33

解：因为/(l+x)=/(D,fE+x)=-fG-x),

3

所以函数/(x)的对称轴为x=1,函数f(x)的对称中心为(-,0),

2

易知该函数可以是余弦型函数，

不妨取/(X)=-COS7TX,

当X=1时，"D=_COS乃=1；当X=3时,/(-1)=—COS-1^-=(),

则函数/(X)=-COS兀X满足条件①②；

因为xe(0,l),则7rxe(0,万)，

易知函在(0,万)上单调递减，

所以函数/(X)=-COSTTX在(0,1)上单调递增，满足条件③，

所以函数/(X)=-cosnx.

故答案为：/(x)=-cos4X(答案不唯一，满足条件即可).

15.【答案】—

2

解：由/(x+4)=/(x)得函数是周期为4的周期函数，

则/(15)=/(16-1)=/(-I)=|一1+g|=g，

/(1)=cos(gx：)=cosgg,

22242

即/(7(15))=孝，

故答案为：注.

2

16•【答案】①②④

解：根据题意，因为y