指数函数与对数函数互为反函数-2023年高考数学高效速解突破技巧含答案

专题04指数函数与对数函数互为反函数-【二级结论速

解】备战2023年高考数学高效速解突破技巧

专题04指数函数与对数函数互为反函数

一、结论

若函数y=/（x）是定义在非空数集。上的单调函数，则存在反函数y=/T（X）.特别地，丁=。'与

y=logax（a>0且awl）互为反函数.

在同一直角坐标系内，两函数互为反函数图象关于y=x对称，即（Xo，/（X。））与（/（Xo）,x0）分别在函

数y=/（x）与反函数^=/7。）的图象上.

若方程X+/（X）=左的根为玉，方程》+/7（》）=左的根为々，那么西+々=左.

二、典型例题

例题1.（2022•高三课时练习）若关于X的方程x+logsX=4与x+5、=4的根分别为加、〃，则机+〃的

值为（）

A.3B.4C.5D.6

例题2.（2022春•河南新乡•高二封丘一中校考期末）已知事是方程=4的根，迎是方程x/og3X=4

的根,则g=（)

A.16B.8C.6D.4

三、针对训练举一反三

一、单选题

1.（2023・全国•高三专题练习）若不满足2*=5-x,&满足》+1。82》=5,则Jq+x?等于（）

A.2B.3C.4D.5

2.（2022・陕西咸阳•校考模拟预测）已知X］是函数〃x）=2'+x-2的零点，X2是函数

g（x）=log2（x-l）+x-3的零点,则占+七的值为（）

A.17B.5C.12D.3

3.（2020秋•湖南常德•高二临澧县第一中学校考阶段练习）若a>1,设函数〃x）=a*+x-4的零点为加，

g（x）=log“x+x-4零点为"，则的取值范围是（）

mn

A.-,+oojB.-,+oojC.［L+8）D.［4,+oo）

4.（2023•全国•高三专题练习）己知。是方程x+lgx=3的解，b是方程2x+100*=3的解，则（）

A.a+b2=—B.a+b2=3

2

3

C.a+2b=3D.a+2b=—

2

5.（2020秋•高一课时练习）关于x的方程x+lgx=3,x+e=3的根分别为B,则的值为

（）.

A.3B.4C.5D.6

YI4

6.（2022・全国•高三专题练习）设机,〃分别是方程丫*/_4和工+6地尸=气。〉］）的根，则―7十:丁的

x十a一今加+14+3〃

最小值是（）

1312八二8

A.—B.—C.2v2-1D.—

211913

7.（2017秋•山西太原•高一山西实验中学校考期中）若不满足工+2、=4,修满足工+四2工=4,则玉+%=

（）

5一7

A.—B.3C.—D.4

22

8.（2022秋•黑龙江牡丹江•高一牡丹江市第三高级中学校考期末）已知三个函数/（x）=2'+x-2,

g（x）=x3-8,〃（x）=log2X+x-2的零点依次为a、b、c,则a+6+c=

A.6B.5C.4D.3

9.（2020•高一课时练习）若X］是方程xe、=4的解，X2是方程xlnx=4的解，则玉超等于（）

A.4B.2C.eD.1

二、填空题

Y

10.（2023秋•陕西渭南•高一统考期末）设方程2，“+x-6=0的解为多，方程log?,+x-6=0的解为X2,

贝！］x,+x2=.

11.（2022春播南•高一校联考阶段练习）己知函数〃x）=e、+x-7i,g（x）=x+lnx-兀，若

aAx'j=/优）=1（°>0,“*1）,贝Ij*+x?=.

12.（2021秋•陕西安康•高一统考期中）若实数。、分满足2"=2-a,log2（/,-l）=3-/）,则a+b=

13.（2022•上海•高一专题练习）设方程x+log2X=2的解为X1，x+2、=2的解为X2，则X+x?

14.（2019•浙江宁波•高一校联考期中）若X是方程2、T+X—4=0的根，&是方程x+bg?工=3的根，则

x}+x2=.

专题04指数函数与对数函数互为反函数

一、结论

若函数y=/（x）是定义在非空数集。上的单调函数，则存在反函数y=/T（X）.特别地，丁=优与

y=logax（a>0且awl）互为反函数.

在同一直角坐标系内，两函数互为反函数图象关于V=x对称，即（Xo，/（x。））与（/a。）,/）分别在函

数V=/（x）与反函数歹=/T（X）的图象上.

若方程x+/（x）=左的根为玉，方程X+.广1（》）=左的根为々，那么m+々=%.

二、典型例题

例题1.（2022•高三课时练习）若关于*的方程x+logsx=4与x+5、=4的根分别为加、〃，则机+〃的

值为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【详解】解由题意，可知logsX=-x+4,5*=-x+4,作出函数V=logsX,y=5*,y=-x+4的图像（如

图），

fy=x,

/、8两点的横坐标分别为加、〃，且/、8关于直线y=x对称，的中点为C,联立〃可得点C

[y=-x+4,

的横坐标为2,因此m+"=4.

【反思】本题也可直接利用结论解题：若方程x+/（x）=%的根为玉，方程X+/T（X）=A的根为々，那

么玉+赴=4.在本例中，记/（x）=log）则广（x）=5、，这样利用结论，可快速得到：“+〃=4。

例题2.（2022春•河南新乡•高二封丘一中校考期末）已知须是方程=4的根，%是方程x-log]x=4

的根，贝！1占£=（）

A.16B.8C.6D.4

【答案】D

【详解】方程x,3'=4可变形为3、=24,方程x」og3%=4可变形为k）g3X=4—,

XX

所以，不是》=3、与y=24的图象的交点横坐标，&是^=1"3%与歹=之4的图象的交点横坐标，

因为y=3'与歹=log3X互为反函数，这两个函数的图象关于直线'对称，

在函数歹=之图象上任取一点（。,与，该点关于直线歹='的对称点的坐标为（b,。），

x

444

由6=—可得。=；，则点（仇。）也在函数》=一的图象上，

abx

故函数歹=之4的图象关于直线V=x对称，

所以，点与点关于直线y=x对称，所以玉=色，故%％=4.

故选：D.

【反思】本题主要考查反函数的性质，在N=/（x）上，贝！1（6,。）在y=/T（x）上，结合图形的对称性,

从而得到结论占％=4.

三、针对训练举一反三

一、单选题

1.（2023•全国•高三专题练习）若X1满足2、=5-x,X2满足x+log?x=5,则x+x2等于（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【详解】由题意5—石=2』,故有5-々=唾23

故X1和*2是直线V=5-x和曲线y=2'、曲线夕=log?x交点的横坐标.

根据函数y=2、和函数y=log2X互为反函数，它们的图象关于直线V=x对称，

故曲线y=2'和曲线y=bgzx的图象交点关于直线夕=》对称.

即点G/,5-x/）和点02，5-x,）构成的线段的中点在直线产x上，

即当2=土巧卢%，求得々+.0=5,

故选：D.

2.(2022•陕西咸阳•校考模拟预测)已知%是函数/(x)=2'+x-2的零点，&是函数

g(x)=10g2(X-l)+X-3的零点，则X]+*2的值为()

A.17B.5C.12D.3

【答案】D

【详解】由己知可得/(再)=23+再-2=0,所以，2斗=2-玉，

所以，X]为直线y=2-x与曲线y=2、的交点的横坐标，

g(x2)=log2(X2-1)+X2-3=0,则地2(%2-1)=2-卜2-1),

则Z-1为直线P=2-x与曲线y=logzx的交点的横坐标，如下图所示：

函数丁=1幅》与y=2、的图象关于直线y=x对称，联立\/y=x，可得x=y=i,

[y=2-x

所以，直线V=x与直线y=2-x交于点

由图象可知，点A、B关于点C对称，所以，王+》2-1=2,可得%+尤2=3.

故选：D.

3.(2020秋•湖南常德•高二临澧县第一中学校考阶段练习)若。>1,设函数〃x)=a、+x-4的零点为机，

g(x)=1og“x+x-4零点为〃，则’的取值范围是()

mn

A.—,+oo^B.—,+oo^jC.[1,+co)D.[4,+oo)

【答案】C

[详解]优+x-4=0=qX=4_x,logax+x-4=0<x>logax=4-x,

见"可以看作是直线V=4-x与函数y=优和y=log”X交点的横坐标，

作出图象，如图，

歹=10&%与^=优互为反函数，图象关于直线N=x对称，而直线y=4-x与直线y=x垂直，因此直线

优和图象交点P,。也关于直线y=x对称，

所以〃2+〃=4,由图象知0<加<2,2工〃<4.

11m+n4

y=—+—=------=---------,

mnmn

又y=加（4一加）=-〃/+4机=一（加一2）2+4,0<w<2,所以0<加（4一加）W4,

-^,1.

加（4-优）

所以所求范围是口,内）.

故选：C.

4.（2023•全国•高三专题练习）已知。是方程x+lgx=3的解，b是方程2x+100'=3的解，则（）

A.a+b'=-B.a+b~—3

2

3

C.a+2b=3D.a+2b=—

2

【答案】C

【详解】在2x+100，=3中，令f=2x,则有f+10，=3,

因为y=lgx与y=10*互为反函数，图象关于F=x对称.

依题意可知。，，就是直线V=3-x与曲线y=lgx,y=10,交点的横坐标，

所以也=3,所以。+/=3,即a+2b=3.

22

故选：C.

5.（2020秋•高一课时练习）关于％的方程x+lgx=3,1+10丫=3的根分别为a,B,则a+尸的值为

（）.

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【详解】lgx=3-x,io，=3-x.

作出N=lgx,y=10*和V=3-x的图象如图所示.

A,B两点的横坐标分别是夕，。，点A,3关于直线对称,

A,B两点的中点是C.联立了=》和y=3-x,

求得C点的横坐标为］3,4=2x^3=3.

13

6.(2022・全国•高三专题练习)设犯〃分别是方程如mY_4和x+ebgak%。〉。的根，则—7+7丁的

x十a一4加+14+3〃

最小值是()

,1312…「8

A.—B.—C.2>/2—1D.—

2119713

【答案】B

【详解】方程x+「=4和彳+61。&户=4(4〉1)可化为：

X|

ae=(ae)x=4-x,log,x=4-x,

ae

即方程的根分别为函数y=(-y,y=l°g“：x图象与y=4-X的交点的横坐标,

因为y=(U)，，N=l°g/互为反函数，

所以y=(a*，蚱吗：X的图象关于直线y=x对称，

因为直线y=4-x与直线y=x垂直且交点为(2,2)

所以〃2+〃=4,

所以3加+3+3〃+4=19,

牧m+\+4+3〃=3m+3+4+3〃=1?"痴+3)+(4+3«)](^^y+4+3〃)

$6+#+*)4(6+2囱Y

1311

当且仅当3〃?+3=4+3〃，即加=7，〃=”时，等号成立,

66

故选：B

7.(2017秋•山西太原•高一山西实验中学校考期中)若X满足x+2，=4,X2满足》+/咕2》=4,则再+々=

()

57

A.-B.3C.-D.4

22

【答案】D

【详解】由题不满足2*=4-x,*2满足bg2X=4-x.故画出y=4-x与y=logzX和y=2'的图像可知，因为

歹=唾2》和尸2，关于尸工对称,且了=》与昨4_》交于(2,2).

故占+/=2x2=4.

8.(2022秋•黑龙江牡丹江•高一牡丹江市第三高级中学校考期末)已知三个函数/(x)=2，+x-2,

g(x)=x3-8,4(x)=k>gzX+x-2的零点依次为a、b、c,则a+6+c=

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

【详解】令〃x)=0,得出2，=2-x,令〃(x)=0,得出log2X=2-x,

则函数y=2-x与函数y=2、、y=bg2X交点的横坐标分别为“、c.

函数y=2、与y=k>g2x的图象关于直线V=x对称，且直线>=x与直线y=2-x垂直，

如下图所示：

\y=x/、

联立.、,得x=y=i,则点/1,1,

[y=2-x

由图象可知，直线y=2-x与函数夕=2:V=log,x的交点关于点A对称，则a+c=2,

由题意得g（b）="-8=0,解得6=2,因此，a+b+c=4.

故选：C.

9.（2020•高一课时练习）若X]是方程xe、=4的解，》是方程xlnx=4的解，则玉等于（）

A.4B.2C.eD.1

【答案】A

4

【详解】因为M是方程X/=4的解，所以不是函数丁=，与歹=（交点尸的横坐标；

4

又&是方程工1。x=4的解，所以4是函数^二历工与y=交点。的横坐标；

因为函数丁=j与y=lnx互为反函数，所以函数歹=，与y=lnx图像关于直线丁二不对称，

4

乂歹=一的图像关于直线歹=%对称，

x

因此，p,。两点关于直线J，=X对称，所以有1"二%，

因此占占=看必=4.

故选：A

二、填空题

X

10.（2023秋•陕西渭南•高一统考期末）设方程2向+》-6=0的解为为，方程log25+x-6=0的解为入2,

则xt+x2=.

【答案】6

XX

【详解】由方程2，”+x-6=0得21=6-*,由方程logz^+x-6=0得log2]=6-x.

由于/(x)=2e与g(x)=log,]互为反函数，图像关于了=》对称.

X

如图示，2川=6-x的根为点力的横坐标，log2；=6-x的根为点5的横坐标，

因为〃x)=2㈤与g(x)=log25图像关于P=x对称，且与y=6-x垂直，所以

48两点为y=x与y=6-x的交点，且关于V=x对称.

y=x

由＜",解得：x=3,则尤|+赴=6.

[y=6-x

故答案为：6.

11.(2022春•湖南•高一校联考阶段练习)已知函数/(x)=e'+x-7t,g(x)=x+lnx-7t,若

/(3)==](q＞Qa*[),则X]+X2=.

【答案】兀

【详解】/")=/沁)=1(。＞0,。#1),则/(xj=e*+X]-兀=0,得：e*=7t-X]；

令g(x2)=2+111/-兀=0,得：lnx2=n-x2；

所以Xj々分别为〉=e，和y=lnx与y=Jt-x的图像交点的横坐标，如图所示：

因为N=e，和y=l