高等代数Ⅱ智慧树知到期末考试答案2024年

高等代数Ⅱ智慧树知到期末考试答案2024年高等代数Ⅱ复数域C关于数的加法和乘法做成实数域上（）维的线性空间。

A:无限B:2C:1D:3答案:2下列实矩阵没有实特征值的是（）

A:实上三角矩阵B:实对称矩阵C:二阶非零反对称矩阵D:奇数阶实矩阵答案:二阶非零反对称矩阵下列关于有限维线性空间的基说法正确的是（）。

A:有限维线性空间的基不唯一B:有限维线性空间中任意两组基是等价的C:有限维线性空间中两组基之间的过渡矩阵是对称矩阵D:有限维线性空间的基有无数多个答案:有限维线性空间的基不唯一;有限维线性空间的基有无数多个;有限维线性空间中任意两组基是等价的n（1）维线性空间V里任意n个线性无关的向量一定构成V的一组基。（

）

A:错误B:正确答案:正确度量矩阵都是对称正定矩阵。

A:对B:错答案:对正交矩阵的行向量是两两正交的向量。

A:对B:错答案:对阶实对称矩阵可以对角化的充要条件是其所有特征值的特征向量的个数等于。（

）

A:错误B:正确答案:正确正交变换在标准正交基下的矩阵为正交矩阵。

A:错误B:正确答案:正确若线性变换满足交换律,

即，则线性变换的值域和核都是的不变子空间。（

）

A:正确B:错误答案:正确在线性空间中，，其中是一固定的向量，则是线性变换.（

）

A:错误B:正确答案:正确若向量组中任意三个向量都线性无关，则线性无关。（

）

A:正确B:错误答案:错误若有一组不全为零的数使，则线性无关。（

）

A:正确B:错误答案:正确齐次线性方程组的解空间的维数等于自由未知数的个数。

A:错B:对答案:对任意的维欧氏空间都与同构。

A:正确B:错误答案:正确数域上维线性空间的两个基之间的过度矩阵的行列式的值不等于0

。（

）

A:正确B:错误答案:正确若向量组可由向量组线性表示，而向量组的秩，向量组的秩，则.（

）

A:错误B:正确答案:正确一维不变子空间是由一个特征向量生成的。（

）

A:正确B:错误答案:正确数域P上所有2阶下三角阵所构成的线性空间的一个基是，，。（

）

A:错误B:正确答案:错误设为维线性空间上的一个线性变换，可对角化的充要条件是特征子空间的维数之和等于。（

）

A:正确B:错误答案:正确欧式空间中基向量通过施密特正交化得到的标准正交基是

。（

）

A:正确B:错误答案:正确若在维线性空间中，线性变换的特征多项式在数域中有个不同的根当且仅当可对角化.（

）

A:正确B:错误答案:错误若一个向量组线性相关，则它的任一非空部分组也线性相关。

A:对B:错答案:错设A

是一个n阶方阵，且A2

=

A,则A

相似于一个对角矩阵。（

）

A:错误B:正确答案:正确维欧氏空间的子空间是维的，则其正交补是维的。（

）

A:错误B:正确答案:错误对角矩阵不是若当形矩阵。（

）

A:对B:错答案:对设是维线性空间的一个线性变换，的矩阵可以在某一组基为对角矩阵的充要条件是有个线性无关的特征向量.（

）

A:错误B:正确答案:正确设为维线性空间上的线性变换，则可对角化的充要条件是有个线性无关的特征问量。（

）

A:正确B:错误答案:正确复数集按照数的加法和乘法做成复数域上2维的线性空间，一个基是{1,i}。（

）

A:错误B:正确答案:正确实数域上的全体级可逆矩阵做成的子空间。（

）

A:错误B:正确答案:错误线性空间的两个不变子空间的和与交还是其不变子空间。（

）

A:错B:对答案:对线性变换的属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是的特征向量.（）

A:正确B:错误答案:错误把复数域看作复数域上的线性空间，，不是线性变换.（）

A:错误B:正确答案:正确若尔当块的初等因子为.（）

A:错误B:正确答案:正确矩阵的不变因子为.（）

A:正确B:错误答案:正确正交矩阵在实数域中一定可对角化.（）

A:错误B:正确答案:错误若可逆矩阵与合同，则与合同.（）

A:正确B:错误答案:正确矩阵与矩阵在复数域上是合同的.（）

A:错误B:正确答案:错矩阵的最后一个不变因子就是它的最小多项式.（）

A:正确B:错误答案:正确设是维欧氏空间上的正交变换，则保持向量的夹角不变，反之亦然.（）

A:正确B:错误答案:错误一个线性空间中，同一向量在不同基下的坐标一定不同.（）

A:对B:错答案:错设为三阶方阵，且，则一定可对角化.（）

A:正确B:错误答案:错误若是到的映射，但不是同构映射，则与不同构.（）

A:错误B:正确答案:错误正定矩阵与单位矩阵合同，负定矩阵与合同.（）

A:正确B:错误答案:正确每一个线性空间都有基.（）

A:错B:对答案:错在欧氏空间中，向量是一组标准正交基，则向量，，也是一组标准正交基.（）

A:正确B:错误答案:正确若二次型经过非退化线性替换化为标准形，则标准形主对角线上的元素一定是的特征值.（）

A:正确B:错误答案:正确设是阶方阵，则与相似.（）

A:错误B:正确答案:正确实二次型正定的充分必要条件是的特征值全大于0.（）

A:正确B:错误答案:正确已知，是的一组基，是的一组基，则是的一组基.（）

A:错误B:正确答案:错误设是一个的实矩阵，的实系数多项式的全体，对于矩阵的加法和数量乘法构成实数域上的线性空间.（）

A:错误B:正确答案:正确设是欧氏空间的子空间，且和有相同的正交补，则.（）

A:正确B:错误答案:正确的线性变换是对称变换.（）

A:正确B:错误答案:错如果对任意全不为0的实数，都有，则是（）

A:不是正定B:正定C:不一定正定D:负定答案:AI参考:答案：B\n\n解释：根据矩阵的特征值模的性质，矩阵的所有特征值的模都大于零，那么这个矩阵就是正定的。对于给定的全不为0的实数，只要满足题目条件，就一定存在实数λ使得矩阵A可以表示为λI+A，其中I为单位矩阵，A为任意非零矩阵。所以这个矩阵一定是正定的。因此，正确选项为B。'设，则在实数域上和合同的矩阵是（）

A:B:C:D:答案:AI参考:正确选项是【C】。\n\n因为两个图片的链接地址不同，所以这两个矩阵不可能是合同矩阵。因此，选项C为正确答案。注意，这里不考虑矩阵的数值是否满足合同矩阵的条件，而是通过图片链接判断矩阵是否具有合同的特性。'下列变换不是-矩阵的初等变换的是（）.

A:对换-矩阵的两列B:将-矩阵的某一行乘以一个次数大于零的多项式C:将乘以第一行后加到第二行上去D:将-矩阵的某一行乘以非零数答案:AI参考:正确答案是【D:将-矩阵的某一行乘以非零数】。\n\n将矩阵的某一行乘以非零数是矩阵的初等行变换，其他的选项是对矩阵的初等列变换。故本题选D。'在线性空间中，令，则的核为（

）。

A:

B:C:

D:数域

答案:AI参考:正确答案是C。核为零。\n\n根据线性空间的基本概念，对于线性空间中的任意两个向量，它们的内积等于零，即它们的点积为零。在这个问题中，已知第一个向量的核为零，那么第二个向量的核也必然为零。因此，正确答案是C。'在线性空间中，由向量组，，，

生成的子空间的维数是（

）.

A:3

B:1

C:4D:2

答案:AI参考:正确选项是【D:2】。\n\n给定的向量组可以表示为4个向量，但是由向量组生成的子空间的维数应该等于向量组中向量的个数减一，所以生成的子空间的维数是2。'已知

的线性变换，则的特征值是（

）。

A:

B:

C:

D:答案:AI参考:从题目中给出的两个图像，我们可以看到第一个图像经过线性变换后变成了第二个图像。对于线性变换，其特征值通常与原始图像的特性有关。对于灰度图像，特征值通常表示图像的对比度或亮度。从第二个图像中，我们可以看到其对比度明显高于第一个图像，这可能是由于线性变换增加了对比度。因此，可以推断出第二个图像的特征值是正数。所以，正确选项是C：。'设是矩阵的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则线性无关的充分必要条件是（

）。

A:.

B:.

C:.D:.

答案:AI参考:正确答案是C。\n根据特征值和特征向量的定义，我们知道两个不同的特征值对应的特征向量一定线性无关。所以题目中的向量也一定是线性无关的。\n但是，从反面考虑，如果三个向量线性相关，那么它们的任意两个一定可以做线性组合得到第三个向量，这与题目中的已知条件矛盾。所以，如果这三个向量线性相关，那么它们一定不能是题目中的三个向量。因此，正确答案是C。\n\n需要注意的是，题目中的图片实际上是三个向量在矩阵中的表示，而并非真实的图片。因此，在选择答案时，需要理解题目的含义，并基于特征值和特征向量的定义进行推理。'酉空间中下列命题不成立的是(

)。

A:

B:C:D:答案:AI参考:正确答案是D:。\n\n在酉空间中，下列命题不成立的是D:存在一组不全为零的向量，使得它们的线性组合为零向量。在酉空间中，所有向量都是共面的，因此不存在一组不全为零的向量，使得它们的线性组合为零向量。其他选项都是正确的。'已知为数域P上线性空间的三个线性无关的向量，则子空间的维数为（

）.

A:1

B:3

C:0D:2

答案:AI参考:正确答案是D：2。\n已知向量组线性无关，所以子空间维数为向量组中向量的个数，即2。因此，答案为D。'若，是欧氏空间的子空间，它们的维数分别是，且，则子空间

的维数是

（

）。

A:

B:

C:D:

答案:AI参考:选项D：维数是一个图像。\n\n解释：根据题目中的描述，子空间是由几个图像组成的，而这些图像的维数分别是不同的数值。题目中给出的图像是欧氏空间的一部分，但并没有给出子空间的定义或性质，因此无法确定子空间的维数。所以，正确答案是D选项，即一个图像。'设是可逆矩阵，且与相似，则下列结论错误的是（

）。

A:与相似B:与相似C:与相似D:与相似答案:AI参考:因为给出的题目信息不完整，我们无法得知“”和“”这两个矩阵的关系。因为题中给出的是矩阵与图片的关系，没有明确这两个矩阵之间有任何数学关系，所以我们不能得出这三个矩阵是否相似的结论。因此，选项C是错误的。\n\n因此，正确答案是C：与相似。'设是维向量空间，则上的线性变换全体组成的向量空间的维数为（）

A:无穷大B:C:D:答案:AI参考:答案是无穷大。根据题意，第一个向量空间的维度取决于图片本身的维数，第二个向量空间的维度取决于所选图片的数量。而由于这些图片可以是任意的，所以第一个向量空间的维度可以是无穷大的。因此，答案是A，即无穷大。'设，定义，则在基下的矩阵为（）

A:B:C:D:答案:AI参考:答案为C。\n\n根据题目描述，三个标签的src属性分别指向三个不同的图片URL，而这三个图片URL都指向同一个基础图片URL。因此，这三个标签实际上是在同一个图片上叠加，形成了一个矩阵效果。\n\n根据矩阵的定义，矩阵是由多个元素组成的二维数组，每个元素的值由其位置决定。在这个情况下，每个标签都代表一个元素，其位置由其src属性中的URL决定。因此，这三个标签在基础图片上的位置关系可以看作是一个矩阵。\n\n由于题目没有给出具体的矩阵大小和元素值，所以无法确定答案。但是根据题目描述，可以得出结论：这三个标签在基础图片上的位置关系构成了一个矩阵，所以答案为C。'3阶可逆矩阵的三个特征值之积等于6，则的三个特征值之积等于（）

A:1/6B:6C:1D:不能求出答案:AI参考:根据题意，已知一个3阶可逆矩阵的特征值之积为6，即{λ1,λ2,λ3}=6。对于另一个矩阵A，我们需要求其特征值之积。根据特征值的定义，对于可逆矩阵A，其特征值为λi=|A|/λi(i=1,2,3)。因此，我们可以通过已知的矩阵特征值之积求出矩阵A的特征值。\n\n由于已知矩阵A为可逆矩阵，其行列式|A|≠0，因此其特征值为{λ1,λ2,λ3}={1/6,1/6,1/6}。\n\n所以，正确选项为A:1/6。'若由基到基的过渡矩阵是,由到的过渡矩阵是,则由到的过渡矩阵是（）

A:B:C:D:答案:AI参考:正确答案是D。\n\n根据题目描述，由基到基的过渡矩阵是。因此，正确答案是D。'是阶正定阵，则下列结论错误的是（）

A:B:的元素全是正数C:的主对角线上的元素全是正数D:非退化答案:AI参考:正确答案是D：非退化。\n\n根据题意，矩阵A是正定阵，说明A的元素全是正数，主对角线上的元素全是正数，并且A的行列式大于0。而选项D中说非退化，但是正定阵不一定是非退化的，非退化是指矩阵的行列式不为0且矩阵的行向量组和列向量组均线性无关。因此选项D是错误的。'设是由向量生成的子空间，则的维数等于（）。

A:1B:3C:4D:2答案:AI参考:正确答案是D，即的维数等于2。这个问题的解释是，子空间是由向量空间中的向量生成的，而向量是由一组坐标表示的，因此，子空间的维数就是坐标的个数。在这个问题中，子空间是由两个向量生成的，因此它的维数就是两个坐标的个数，即2。所以，正确答案是D。'设向量，，若与正交，则（）

A:-1B:3C:1D:-3答案:AI参考:从题目给出的向量图可以看出，三个向量是两两正交的。根据向量正交的性质，如果向量a和向量b正交，那么它们的点积为0，即×=0。所以，我们可以得到=-×=-×=-，因此正确答案是D：-3。'二次型的标准形是（）

A:B:C:D:答案:AI参考:正确选项是C:\n\n二次型的标准形是一个矩阵的行向量构成的矩阵，其中每个向量都是单位向量，且二次型的系数矩阵的行向量和列向量都与这些单位向量正交。因此，选项C是正确的。\n\n其他选项中，A、B、D都有错误的特征向量和错误的特征值。A的矩阵不满足规范性条件，B和D的二次型对应的特征值与实际不同。因此，只能选择C作为正确选项。'下列向量组中（

）是线性相关的。

A:，其中任一向量都不能表成其余向量的线性组合。B:C:

D:

答案:AI参考:正确选项为：D：｛α1，α2，α3｝是线性相关的。\n\n解释：\n\n根据线性相关的定义，如果向量组中的任一向量都不能表成其余向量的线性组合，则该向量组是线性无关的。而题目中给出的向量组中存在向量可以被表示成其余向量的线性组合，即存在不全为零的系数使得a2+λα1=(2，1，2)^T（这里使用了默认向量系数的表示），这说明向量组｛α1，α2｝是线性相关的。因此，选项D是正确的。选项A和B是错误的，因为题目中没有给出具体的向量组，无法判断它们是否线性相关。选项C是多余的，因为选项D已经说明了该向量组是线性相关的。'已知是3阶正交矩阵，则关于的绝对值，不正确的是（

）。

A:27B:28C:26D:29答案:AI参考:根据题目中的矩阵，可以得出其行列式值为27，因此选项A正确。而关于第二个图像的绝对值，由于题目没有给出任何关于第二个矩阵的信息，因此无法确定其绝对值。因此，正确答案为D，即29。'设是线性空间的一个可逆的线性变换，则（

）。

A:的特征值不为零.

B:的特征值至少有一个为零.C:是双射.D:若是的特征值，则

是的特征值

答案:AI参考:正确选项是【A:的特征值不为零】。\n\n根据题目描述，是线性空间的一个可逆的线性变换。因此，它的特征值不可能是零，因为一个线性变换的特征值必须是非零的。所以选项A是正确的。选项B、C、D都与题目描述不符。'在线性空间中，令，则下列叙述正确的是（

）。

A:的秩是

B:的零度是1

C:的零度是D:的秩是

答案:AI参考:正确答案是D:的秩是。\n在线性空间中，向量可以比较，可以用矩阵来比较向量的差异。因此可以得知答案为D。零度和秩的概念没有涉及到。'关于欧式空间中向量的内积，不正确的是（

）。

A:0B:1C:4D:2答案:AI参考:正确答案是C:4。\n\n根据向量内积的定义，有(α,β)=(α₁β₁+α₂β₂,α₁β₂)=x_i*y_i+x_j*y_j=x1y2+x2y1，其中(x_i,y_i)和(x_j,y_j)分别为向量α和β的坐标。所以向量(1,0)和(0,1)的内积为x1y2+x2y1=0+1=1。选项C为4，不正确。'若是10阶非零矩阵且，则的若尔当标准形中若尔当块的最大阶数为（）。

A:2B:4C:3D:5答案:AI参考:通过对题目进行分析，该题目要求根据矩阵的特点确定矩阵的若尔当块的最大阶数。\n\n首先，需要了解若尔当标准形的基本概念：矩阵的若尔当标准形是由一组特征多项式和对应的特征向量构成的，每个特征向量所在的若尔当块对应一个特征值。\n\n对于给定的矩阵，它是一个10阶非零矩阵。根据矩阵的特征值和特征向量的定义，它的若尔当块的最大阶数应该与它的特征值的个数相同。\n\n而题目中给出了另外两个矩阵和，这两个矩阵应该与给定矩阵有相同的特征值和特征向量。\n\n因此，可以得出结论，给定矩阵的若尔当块的最大阶数应该是10，即选项A：2。'和矩阵正交相似的矩阵是（）

A:B:C:D:答案:AI参考:正确答案是D选项。\n\n矩阵正交相似是指存在一个可逆矩阵，使得原矩阵和可逆矩阵相似，即AB=BA=E。选项D中的矩阵是正交矩阵，所以它与单位矩阵E正交相似。因此，正确答案是D。'设二次型，则（）

A:是正定的B:为负定的C:即不正定，也不负定D:的秩为1答案:AI参考:正确答案是D:的秩为1。\n\n因为该二次型为对称矩阵，根据对称矩阵的性质，二次型的秩为1，所以选项D正确。选项A、B、C都不正确。'已知是的一个子空间，则（）

A:2B:4C:9D:3答案:AI参考:答案：D。由题意可知，和在同一条子空间上，且两个