基于数学建模素养的教学设计研究以导数及其应用为例

基于数学建模素养的教学设计研究——以“导数及其应用”为例摘要【论文摘要】数学核心素养是学生遵循教育发展规律和知识水平成长应掌握的数学技能和基本特征。新课标提出学科核心素养中数学建模素养位列其中，能够让学生从生活实际问题数学抽象化中建立数形结合思想，感受现实生活中蕴含的数学知识理念，培养学生的数学建模意识。本篇论文为了查找“导数及其应用”中蕴含的数学建模素养，采用了文献综合法去大量查阅资料总结，逐步确定培养“导数及其应用”数学建模素养的教学原则；接着根据新课标要求从“导数及其应用”中选取导数的概念这一内容进行基于数学建模素养的教学设计分析，总结出围绕数学建模素养教学的“导数及其应用”中的三个模型思想策略，让学生体验建立数学建模到解决数学模型以及探究数学建模的过程，从中培养其数学建模素养；最后根据提出的教学原则和教学策略，从“导数及其应用”内容中选取一个颇及代表性的内容进行教学设计。【关键词】：数学建模；数学建模素养；导数及其应用；教学设计

目录TOC\o"1-3"\h\u84摘要 I246671.绪论 1320851.1研究背景 1194331.1.1中学数学建模现状 165501.1.2新课改的走向 1180491.2本论文研究的目的和意义 2305601.2.1研究的目的 244941.2.2研究的意义 23981.3本文的研究思路和方法 3263991.3.1研究思路 35571.3.2研究方法 4185492.文献综述 5325632.1导数及其应用的教学相关研究 536852.2数学建模相关研究 556242.3归纳总结 6126623.本文的研究理论基础 649393.1元认知理论 6123063.2建构主义理论 7136584.“导数及其应用”教材与数学建模素养的联系 8274804.1“导数及其应用”内容分析 8117284.2“导数及其应用”内容中蕴含的数学建模素养 8223394.3“导数及其应用”教学蕴含的数学建模素养 9281064.4“导数及其应用”中培养数学建模素养的教学原则 93244.4.1主体性原则 9211434.4.2适应性原则 10185684.4.3创造性原则 10167394.5“导数及其应用”中培养数学建模素养的教学策略 10157374.5.1精确加工模拟建模策略 10289804.5.2理清知识联系应用模型策略 1126214.5.3合作探究培养建模素养策略 11240405.基于数学建模素养的“导数及其应用”教学设计案例 1251865.1案例：导数的概念 12297206.研究结论与反思 1518200参考文献 171.绪论1.1研究背景1.1.1中学数学建模现状当今的世界，在科学研究不断深入的同时，大数据潮流又风起云涌，定量化、数字化、精确化已经成为了各个领域研究的主流趋势，故而组建完整的数学研究体系是各个学科走向成熟的重要标志。数学理论与实际问题之间数学建模是不可或缺的组成部分，在各个领域的科学研究中都发挥着极其重要的作用。为了培养学生们严谨的逻辑思维能力，我国高度注重数学建模的教学。2003年，国家颁布了《普通高中数学课程标准》，要发展素质教育，推进教育公平，对培养学生用数学思维分析和解决实际问题的意识和能力十分重视REF_Ref31983\r\h[1]。随后全国各地逐步掀起数学建模竞赛和数学应用知识竞赛的浪潮，使传统的教学体系逐渐发生转变，高中数学教师将数学建模融入课堂的教学意识得到提升。1.1.2新课改的走向2011年，我国颁布的《义务教育数学课程标准》中提出了义务教育阶段数学学习十大核心素养，并指出数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，其中模型思想作为一个重要的核心概念被提出REF_Ref32574\r\h[2]。随着新课程改革的推进，2017年，我国颁布了《普通高中数学课程标准》中包含了学科核心素养和课程目标的相关要求，而数学建模就是数学学科六大核心素养之一，对学生的终生发展起着至关紧要的作用，《普通高中数学课程标准》更是明确将学科核心素养进行了进一步的水平划分REF_Ref80\r\h[3]。由此，数学模型思想的重要程度是不言而喻的。可以说，新课程改革给中学生数学建模素养的数学教学发展提供了新的指导和希望。1.2本论文研究的目的和意义1.2.1研究的目的研究“导数及其应用”中数学建模素养的教学设计的目的有两个。了解中学生对数学模型的了解及感受，以及教师对数学建模素养的培养的方式，理解数学建模素养的意义，为今后中学教学做出准备。虽然数学建模活动已经在全国推行，但是主要是集中在大学生数学建模竞赛当中，中学学习模型思想较为轻视，应用于课堂之上教师更是没有那个意识，更没有了解学生对模型思想的了解及感受，作此研究希望能够有助有为培养学生数学建模素养的教学的落实。为其他教师在有意识的进行建模教学以及学生学习数学建模时提供建议。现今大部分中学生的模型思想较为薄弱，缺少数学建模思维，而现在大多数的数学建模教学研究却正好没有考虑学生的抽象思维的发展，学者们更多的是研究学习如何学习和提高成绩，导致只有部分对数学建模有兴趣的学生有一点建模基础，为了能够给学生数学建模素养的高楼奠定地基，本文从具体的内容出发感受教学过程中的教学研究，从而让学生数学建模素养培养得到更好的机会。1.2.2研究的意义本文的研究意义也分为两个，从理论和实践上探究。从理论上，大多数高中生没有数学建模能力，更别提数学建模思维的发散，因为课堂上以学生为主体的教学案例很少，本文根据新课改的要求完善“导数及其应用”中数学建模素养的教学原则和教学策略，为“导数及其应用”的教学设计提出数学建模的课前、课中和课后的教学建议，也为教师日后在课堂数学建模内容提供参考。从实践上，从学生身边的实际问题入手，指导如何将数学建模素养体现于“导数及其应用”的教学设计，将数学建模导入课堂，发挥学生的主观能动性，帮助和引导学生对实际问题进行抽象化成数学问题，培养学生的数形结合思维，使学生养成使用数学建模方法解决问题的习惯，打破现实生活与数学之间的壁垒，从而日渐提高学生的数学建模素养。1.3本文的研究思路和方法1.3.1研究思路本文首先通过文献综述，了解有关数学建模的各类研究和“导数及其应用”教学的原则和策略。总结出前人的方向，另辟蹊径以学生为主体进行分析，根据研究主题出发，查找文献，确定研究方向和研究意义，发现需要的研究理论。然后根据数学建模的各阶段的框架去分析“导数及其应用”中蕴含的数学建模素养，并以“导数及其应用”的为例提出基于数学建模素养教学设计研究方向，按照构建数学模型的步骤，进一步研究教学方法和策略。最后，根据教学策略和方法，选取一个在“导数及其应用”这部分内容中具有代表性的案例进行具体的教学案例分析，做出相应的教学设计。具体思路如图1.1所示。1.3.2研究方法（1）文献资料研究法：初期通过各方面渠道收集有助于本文思考的数学建模和“导数及其应用”相关研究，找出对应的理论基础，整理并分析前人的成果和结论。（2）个案研究法：在新课标教学要求的指导下，选取高中数学知识中“导数及其应用”这代表性较强的内容，结合基于数学建模素养进行具体的案例分析，并做出相应教学设计。（3）文本分析法：通过熟读高中数学教材人教版《必修2-2》和《普通高中数学课程标准(2017版)》，研究数学建模素养的涵义以及“导数及其应用”这部分内容的教学目标。2.文献综述2.1导数及其应用的教学相关研究针对导数及其应用的教学设计，安常胜认为要理解课程标准的要求，把握课堂教学主线一逼

近思想、以直代曲思想、数形结合思想REF_Ref217\r\h[4]。张美娟认为针对“导数及其应用”的教学应渗透数学文化，培养建模能力；总结导数及其应用的考察题型；从高等数学的角度看待导数的某些知识REF_Ref380\r\h[5]。刘嘉祥认为在导数及其应用的的案例教学中，为了学生们更好的掌握，应该使用综合分析、专题分析、项目分析等方法REF_Ref456\r\h[6]。杨晓转在进行“导数及其应用”的教学时，应加强对微积分历史的介绍；加强教师多媒体使用技巧的培训；教师之间应相互讨论开阔视野弥补教学中的不足加强新课改提倡的新的学习方式使用的培训；以及改变学生评价体系，在关注学生成绩的同时关注学生多方面的发展REF_Ref488\r\h[7]。2.2数学建模相关研究我们的一些数学领域的学者对数学建模一直有着各方面的研究和讨论，各自对数学建模思想抱着不同的看法和理论，但总体都是注重如何发展数学建模素养，提升学生的数学建模能力。

针对数学建模的教学，褚小婧认为，中学数学建模是通过对问题进行抽象、概括和求解，培养学生发现和建立模式，来把握数学的本质REF_Ref622\r\h[8]。韩茂利认为，数学建模教学可以采用将数学建模思想融入日常数学教学中，激发学生学习数学的兴趣，培养学生联系实际、认真求实的学习习惯和学习态度REF_Ref661\r\h[9]。张晓莉认为，中学数学建模教学中，必须让学生能够动手去实践，教师应转变自己的观念，要让学生所学到的数学建模思维应用到整个课程的学习中REF_Ref691\r\h[10]。针对基于数学建模的教学原则，范菁，李培梁认为，中学数学建模教学有以下五条原则：教师先行意识原则；因材施教原则；授之以渔原则；课内外相统一原则；科学性原则，使他们慎重对待数学的应用REF_Ref818\r\h[11]。

针对基于数学建模的教学策略，覃秋敏提出了精拟建模问题、渗透建模思想方法、实施合作建模教学等策略REF_Ref919\r\h[12]。

孟振萍就数学建模方法，对中学数学建模提出了以下教学策略；在教师的讲课过程中感受数学建模的过程和作用；重视练习题中的应用行问题；培养学生发现生活中的数学；在适当的时间点明数学建模；组建数学建模兴趣小组REF_Ref945\r\h[13]。

徐礼刚针对初中课堂教学中，他认为在中学数学教学中渗入数学建模思想具有重要意义应在课堂教学、教学实验、生活实例方面更好的渗入数学建模思想REF_Ref1380\r\h[14]。2.3归纳总结

经过整理分析“导数及其应用”和数学建模的各类相关研究，不难发现专家们对数学建模的涵义有着基本相同的标准，一个完整的数学建模就是一个经过对实际问题抽象化成数学思想，建立模型、分析模型、求解模型的过程。关于数学建模素养，在高中数学知识中占着较为重要的地位，专家认为这是一个包罗万象的数学素养。也有一些专家对数学建模的教学策略和教学进行了比较广泛的研究，给出了各自的看法和指导方向。通过整理和分析“导数及其应用”教学的相关研究，可以知道，部分专家提出了关于“导数及其应用”的教学策略、原则，也有部分专家在“导数及其应用”的教学设计提出了一些建议，还有专家研究学生学习“导数及其应用”的易错点和难点，做出了对应的解决方案，另外，关于数学建模的教学上的教学原则和教学策略也因人而异，种类繁多；但从学生角度去研究“导数及其应用”如何体现数学建模思想的教学设计却少之又少。本文将在前人的研究成果中采取经验，尝试以学生为主体探究培养数学建模素养的“导数及其应用”的教学设计，探究如何提高学生数学建模素养。本研究借鉴新课标，探究“导数及其应用”与数学建模的联系，并给出蕴含数学建模素养的“导数及其应用”的教学设计原则以及教学策略，希望能够给日后“导数及其应用”的教学设计中培养学生数学建模素养的提供一些建议与参考。3.本文的研究理论基础3.1元认知理论元认知是主体对其认知活动的自我意识、自我监控和自我调节，即对认证的认知。元认知理论的主体是让学生在探究的过程中有思考、探索的时间和机会，可以让学生体验求知的历程；一定的难度和成功喜悦的情感体验，有助于学生比较充分地意识到自己如何经历从不知到知的过程，在该过程中自己存在哪些问题，为什么会在这些地方出现问题，使用什么方法让问题得以顺利解决。在构建数学模型时，元认知具体表现在学生在数学建模的全过程中的自我体验，感受如何将实际问题数学化、从中抽象建立数学模型、根据所学知识逐步求解数学模型、研究所求得的数学建模结果的历程时，产生较强的求知欲，并且能根据不同的实际情况，可以不断的丰富自己的知识经验，并且在这种体验中逐渐的掌握更多的学习方法和策略。数学建模过程中学生体验模型的建立到求解就是一个自我完善，自我认知的过程。3.2建构主义理论建构主义学习观认为，学生应该积极主动的对所学知识进行消化在重建，将教师教授的表面知识化作自己的经验。因此，学生在课堂上应以教师为主导，发挥自身的主观能动性对所学知识理解掌握并尝试主动建构。学生需要积极参与数学建模的全程，而不是填鸭式的学习来应对考试，学生应该整理所学知识，在反思中建构出新的知识，完成对新知识理解，才能提升自我，学会对数学问题进行分析，抽象出恰当的数学模型解决问题。

建构主义教育知识观认为，世界的法则无法用生硬的定理去准确衡量，具体的问题需要具体的分析，要根据不同的问题情境，发散思维，对现有知识进行转化和重构。学生理解并转化成自己的知识才是教学上的成功，不经历思考转化的知识都无比羞涩，想要在教学上体现学生的数学建模素养，就要培养其合作交流的意识，带领学生进行各种小组交流以及师生之间的交流，才可以使学生更好的消化新知识，在合作探究的基础在培养学生的交流思想，发展学生的数学建模素养。

4.“导数及其应用”教材与数学建模素养的联系4.1“导数及其应用”内容分析随着新课程改革，2017年颁布的《普通高中数学课程标准》将“导数及其应用”编入高中数学的选择性必修课程，主要针对的是一元函数的导数及其应用内容，在一元函数的基础上有意识的让学生接触数学建模思想，提高学生对微积分的重视，因为导数正式微积分中较为简单的知识，适合高中生感受微积分的基本思想。其中高中阶段主要学习导数概念及其意义和导数运算。在导数及其应用的教学中，主要通过现实生活问题中构建情境引入概念，引导学生感受由平均变化率无限接近瞬时变化率的过程，体现一个逼近思想，理解导数的概念以及导数的意义。在导数运算的学习中，要求能熟练运用导数的运算法则求解简单的函数导数能将导数的计算结果转化成所研究问题的实际意义。4.2“导数及其应用”内容中蕴含的数学建模素养从内容上看，在学习导数概念及其意义时，发现其中的数学问题大都源自于现实生活，如汽车加速度，跳水运动、圆柱的体积关于高或者半径的变化率、利润关于价格变化率等，能够让学生感受数学的魅力，从而产生疑问和思考，并尝试将实际问题抽象成具体数学实例。学习导数的概念时，恰当的建立情境，更能让学生感受一个逼近的过程，知道导数的概念是由平均变化率转变而来，分析问题，才能引发学生进行思考，产生学习兴趣。从学生的方面看，在学习“导数及其应用”中创设的情境中提出的数学问题，更加贴近生活，更容易对数学问题产生学习的欲望，主动尝试解决问题，开始去构建数学模型，调动学习的积极性。当数学问题具有一定难度时，能够激发学生的创造性思维，发散思考，不断挑战自我、提升自我，也建立起新旧知识之间的桥梁。4.3“导数及其应用”教学蕴含的数学建模素养在“导数及其应用”教学过程中，想要培养学生的数学建模素养，就需要在实际的情境中代入数学问题，将学生从现实世界引入数学丰富多彩的海洋，也就是发展学生数形结合思想，这就是一步步发掘学生的内在潜力，建立数学模型思想基础。在学习导数的概念时应用的的运动员跳水问题，机器工作效率问题与现实生活贴近，易引发学生思考，如何将问题抽象化成数学问题，体验平均变化率，这也是数学建模素养的一种培养方式。在课堂教学上常常需要采取小组合作进行探究，师生交流、生生交流，有利于学生将实际问题数学化，更熟练运用数学模型，学会建立模型并利用新知识解决现有问题，为日后学习打下基础。再通过合作研究完善和理解数学模型，在探究过程中学生交流探讨就是一个培养学生数学建模素养的方式，养成与他人交流的习惯，学生的数学建模素养在不经意间获得提升。

综上，“导数及其应用”的蕴含着数学建模素养可以在各方面传授给学生，在“导数及其应用”的教学中能够培养学生的数学建模素养，在学生合作交流间也可以促进数学建模素养的提升，这样的过程不仅有助于学生领悟数学建模的本质,更将数学的本质进一步展现在学生面前。4.4“导数及其应用”中培养数学建模素养的教学原则4.4.1主体性原则新课程改革在对待教学上对教师提出了新的要求，教师在课堂教学上应强调帮助、引导学生，遵循“以教师为主导，学生为主体”的教学模式，教学过程中实际应用的数学问题有时难度较大，超出了学生初学者的承受范围，有时又不能体现问题的意义，学生得不到任何的成长。面对这种情况，只有在教师在日常教学活动中具有数学建模的思想，将学生放在主体地位，从最基础的问题下手，帮助和引导学生，才能在教学过程中将数学建模思想植入学生心中，也才能在教学活动中培养学生的数学建模思想，从课本中提取出训练学生进行数学建模的素材。应当引导学习者从旧的知识基础上，产生新的知识，重视学生对问题理解的差异性，研究他们产生这些想法的缘由，并从中总结归纳，引导学生完善或反思自己的解释。4.4.2适应性原则高中生正是高速发展的阶段，需要更多新知识的熏陶，但是学生是独特的人，拥有自身的独特性，因为学生的数学基础知识是逐步学会的，学生在不同的年级所具有的能力、知识是不同层次的认知原则。所以首先要根据学生的知识能力水平进行不同的教学，让学生逐步接受数学建模思想，根据学生知识水平的差别，经历一个循序渐进、逐步提高的过程，以确保学生都能掌握数学建模基础知识；然后再分小组、分阶段教学，让熟练掌握着带动其他人进行数学建模准备，进过合作交流完成求解和探究；最后根据不同学生、不同阶段展开教学，才是真正适合学生发展数学建模素养的原则。4.4.3创造性原则数学建模的目的对于中学生来说，是要培养他们的数学应用观念，掌握数学建模的技能，为将来需要时拥有储备知识。所以在“导数及其应用”的教学设计中培养学生数学建模素养应注重培养学生发散能力，培养学生的创新意识，发展学生的创新能力，这样学生将具备更敏锐的数学直觉，就是从创造性原则出发培养学生的思维品质和理性精神。在“导数及其应用”教学中，教师的地位从传统传授者转变为学生学习的辅导者，成为学生学习的高级同学或合作者，要注重发展学生把客观事物的原型和抽象的数学模型联系起来的能力，培养学生的创造性思维。所以，在“导数及其应用”教学中，面对实际问题要敏锐观察其规律，发现问题并产生疑问，用数学模型思想去探究发现，敢于创新，不断尝试。4.5“导数及其应用”中培养数学建模素养的教学策略4.5.1精确加工模拟建模策略

学生学习“导数及其应用”知识时运用的认知策略主要是对实际问题进行分析整理在构建，也就是一个精细加工的过程，在数学建模教学中一个恰当的数学问题决定这数学建模的成败，所以教学目标能否实现关键在于所选取数学建模问题的合适程度，太难的问题容易让学生产生挫败感，太简单不能起到发展作用，所以数学建模问题影响学生学习数学建模的情感态度、兴趣及信念。因此，教师应时刻注意学生的兴趣爱好，出其不意，在学生日常生活中选取他们熟悉的数学问题，让其进行思考，更容易激发其学习兴趣。但教师应根据大部分学生的建模能力，设计符合各个阶段学生的建模问题，让学生得到更好的背景理解材料，展开更高效率的学习。例如，在导数的概念及几何意义时，运动员高台跳水问题问题，就是学生日常生活中会接触到的数学问题，学生感受从平均速度到瞬时速度，贴近生活学生也更容易进入相应的问题情境。4.5.2理清知识联系应用模型策略在教学上，对“导数及其应用”实际问题转化成数学建模时，主要通过理清“导数及其应用”的新旧知识之间的脉络，建立起抽象化、符合逻辑的联系，帮助学生进行更高效率的学习。通过对数学问题的抽象化，发现和提出问题，模拟简单的数学模型到求解数学模型，完善数学建模，最后运营构建的数学模型研究和解决数学问题，从中体会现实生活中建模思想的意义。在“导数及其应用”内容中，前面学习过的函数知识与导数相关知识有紧密的联系，在学习导数之前帮助学生梳理导数相关知识，有助于学生更高效的学习新知识，更熟练掌握“导数及其应用”的内容。例如，在使用导数运算法则解决导数问题时，求解一些基本初等函数的导数就需要函数相关知识的基础，有了旧知识的铺垫更利于学生理解导数公式和求导法则，加深对8个基本初等函数求导公式的印象，理解大于记忆。4.5.3合作探究培养建模素养策略在“导数及其应用”培养学生数学建模素养学习中，教师将学生分成小组合作探究，研究“导数及其应用”中的数学建模问题，进行自主合作探究，教师应时刻关注学生并在合适的时机加以帮助和引导，使学生在旧知识的基础上构建出新的知识。在探究结束后，要让学生各小组思考并提出质疑，相互讨论，教师从中指出学生逻辑的问题，使学生产生疑问，激发学生的求知欲，让学生不断反思和思考问题。在这种探究活动中，使学生养成自主学习、合作探究的学习习惯，为学生数学建模素养的发展提供可能性。5.基于数学建模素养的“导数及其应用”教学设计案例5.1案例：导数的概念5.1.1案例呈现【教材分析】

本节课选自人教A版选修2-2第一章1.1.2节导数的概念。本节课内容为导数概念的形成及其简单导数的求解。本节课是在关于物理课程学习了瞬时速度，故选取了上一节课运动员跳水问题来研究变化率问题，在此基础上探求瞬时变化率，是对瞬时速度知识的一个扩展，也是感受平均变化率来刻画瞬时变化率的过程，淡化了极限的形式化定义，直接通过实例让学生感受问题情境。因此，让学生充分体现数学建模思想，在探究和推理中不断逼近导数概念，感受数学的魅力。【内容分析】

本节课导数的概念是微积分的核心概念之一，蕴含着高度抽象的概括思想。本节课的重点主要在于理解平均变化率与瞬时变化率的关系，理解导数的本质，懂得瞬时变化率就是导数，从导数的概念中体会数学建模思想。【学情分析】

本节课所学习内容属于高中二年级所学知识，高中阶段的学生正处于青年期初期阶段，学习目的性强，思维发散能力极高、抽象概括意识极强。所以在学生较好掌握平均变化率之后，对新知识的求知欲为本节课奠定了基础。由于导数就是瞬时变化率，又是用平均变化率来逼近研究，这是一个跳跃性的知识过渡。【教学目标】

(1)知识与技能：运营逼近思想，一步步由平均变化率无限接近瞬时变化率，归纳总结出导数的概念。

(2)过程与方法：通过自主交流的探究活动，感受无限接近的两种变化率，明白瞬时变化率就是导数。情感态度与价值观：从瞬时变化率建立建立数学模型，体会数学建模思想，通过奥运会跳水夺金实例，渗透导数思想的价值与作用。

【教学重难点】

重点：经历从平均速度到瞬时速度的过程，在理解瞬时变化率就是导数的过程，感受无限接近的思想，从而引出数学建模思想。

难点：从导数概念的理解数学模型来将实际问题抽象化的过程中，渗透数学建模思想，发展数学建模素养。

【教学过程】

(一)创设情境

问题1：回顾上一课学习的内容，同学们还记得关于运动员跳水平均变化率问题吗？是不是发现平均速度是0，那么在此刻我们应如何表示运动员起跳到入水的速度呢？（画板导入）【设计意图:这是回顾旧知识对新知识进行引入，平均速度是0？，通过上一节课的知识基础，过渡到本节课内容为导数概念的引入做好准备。】

问题2:如果跳水下落过程中，刚好在t0时刻时，那么此时的要怎么表示瞬时速度呢?（画板跳水）

【设计意图：借助所得出的图像和数据，使学生尝试运用数据建立数学模型，探究平均变化率与瞬时变化率的联系，让学生通过自主探究“无限”“逼近”深入探讨，概括提升。

问题3:类比运动员高台跳水的问题，请你列举几个函数模型，指出平均变化率与瞬时变化率的关系。【设计意图：除了学生的举例，教师需要对学生的不足进行补充说明。从各方面完善变化率的数学模型，也就是以认识导数为基础培养学生的数学建模素养。进一步将数学模型思想刻入学生心中。】

例1

：观察这个表格，当时间间隔无限变小是，平均速度有怎样的变化趋势？【设计意图：经历表格数据的观察，得出瞬时速度的大小，培养了学生观察分析，抽象概括的能力】。

问题4:请说出你的解题步骤，并说明为什么要这样解。【设计意图：经历特殊时间下的瞬时速度的计算表达式的得出过程，力图让学生体验抽象概括的思想思维和解题方法】归纳总结，引导学生建立导函数的概念，函数在处的瞬时变化率就是在处的导数，记作（也可记作），并给出导函数的概念。问题5：求函数在处的导数，你能说说函数在处的导数的步骤吗？【设计意图：对新知识进一步进行巩固，加深学生记忆力，学会运用导数的概念解决问题，完成对新知识的消化。】

(三)梳理知识，归纳总结

问题6：回顾本节课学习的内容，你有什么收获？平均速度与瞬时速度的联系。瞬时变化率就是导数。求导的步骤。研究平均变化率跟导数有什么关系？学习导数能够让我们解决什么样的实际问题？本节课我们学习到什么样的数学思想？【设计意图：回顾本节所学的核心概念、思想方法，学会反思，帮助学生对新知识进一步思考，建立现实生活与数学之间的桥梁。】

5.1.2案例分析

本案例属于高中阶段二年级所学习的内容，在高三复习中也占据重要地位，在此教学设计中，回顾上一节学习的平均变化率的知识，从运动员跳水引入瞬时速度，为学生建立新旧知识之间的联系。复习平均变化率的有关知识，本节课从运动高台跳水的生活情境出发，由平均变化率无限接近瞬时变化率，充分元认知理论，学生通过自我体验建立了学生数学建模素养的发展基础。本节课为奠定了学生数学建模萌芽的机会，践行新课标指导下教师引导学生发挥主观能动性的教学新模式，通过建构主义思想培养学生将旧知识整理和消化的学习习惯。本节课在旧知识的基础上创设情境，发散学生思维，激发了学生的创造能力，融入精细加工策略，为数学建模素养培养提供方向。

在案例中分析了数学建模活动需要的几个重要条件，确定了运动员瞬时速度变化的影响因素，根据跳水的高度和为落水的时间有关，还要考虑一些阻力问题数学模型的构建需要考虑较多的因素，其中主观因素的影响必须重视，然后需要根据数据构建某一时刻的瞬时速度的数学模型。数值越趋近于0，这个数值越稳定。在导数概念的探究活动中让学生学会将情境中数学抽象化的技能，并掌握数学技能进行分析，发现问题中蕴含的数学知识，这就是培养学生的数学建模素养。研究结论与反思本文以数学建模素养为背景研究高中教学“导数及其应用”的内容，收集了关于“导数及其应用”与数学建模教学的各类研究进行了梳理和问题分析，以及确定了研究的教学原则和教学策略。然后，根据对“导数及其应用”的内容和教学上的分析，找出“导数及其应用”中蕴含的数学建模素养，再研究如何让学生的数学建模素养得到培养和发展。通过研究分析，理论和实践出发，培养学生的价值观和学习习惯，锻炼学生的发散思维能力，这样结合相应策略和原则的“导数及其应用”内容教学，就能帮助学生提高数学建模素养。本文对高中的“导数及其应用”中导数的概念内容在学习中构建导数模型理解导数概念进行了尝试，想要遵循一个由特殊到一般的过程，让学生掌握抽象性思维，在课堂上用自身的数学建模意识对学生进行熏陶。在本教学案例研究中，希望在教学活动时能够进行实践，起一个抛砖引玉的作用，吸引更多的学者进行这方面的研究，不断完善提升中学生的数学建模素养。纵观整篇文章，还是存在很多不足的地方，没有对高中生数学建模水平情况进行调查，实践性的研究不够全面，个人的知识面狭窄，仍需不断修改完善。

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Education

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附录资料：不需要的可以自行删除HYPERLINK不用鼠标怎么用键盘操作电脑.有哪些快捷键?快捷键大全F1显示当前程序或者windows的帮助内容。F2当你选中一个文件的话，这意味着“重命名”F3当你在桌面上的时候是打开“查找：所有文件”对话框F10或ALT激活当前程序的菜单栏windows键或CTRL+ESC打开开始菜单CTRL+ALT+DELETE在win9x中打开关闭程序对话框DELETE删除被选择的选择项目，如果是文件，将被放入回收站SHIFT+DELETE删除被选择的选择项目，如果是文件，将被直接删除而不是放入回收站CTRL+N新建一个新的文件CTRL+O打开“打开文件”对话框CTRL+P打开“打印”对话框CTRL+S保存当前*(糙)*作的文件CTRL+X剪切被选择的项目到剪贴板CTRL+INSERT或CTRL+C复制被选择的项目到剪贴板SHIFT+INSERT或CTRL+V粘贴剪贴板中的内容到当前位置ALT+BACKSPACE或CTRL+Z撤销上一步的*(糙)*作ALT+SHIFT+BACKSPACE重做上一步被撤销的*(糙)*作Windows键+M最小化所有被打开的窗口。Windows键+CTRL+M重新将恢复上一项*(糙)*作前窗口的大小和位置Windows键+E打开资源管理器Windows键+F打开“查找：所有文件”对话框Windows键+R打开“运行”对话框Windows键+BREAK打开“系统属性”对话框Windows键+CTRL+F打开“查找：计算机”对话框SHIFT+F10或鼠标右击打开当前活动项目的快捷菜单SHIFT在放入CD的时候按下不放，可以跳过自动播放CD。在打开word的时候按下不放，可以跳过自启动的宏ALT+F4关闭当前应用程序ALT+SPACEBAR打开程序最左上角的菜单ALT+TAB切换当前程序ALT+ESC切换当前程序ALT+ENTER将windows下运行的MSDOS窗口在窗口和全屏幕状态间切换PRINTSCREEN将当前屏幕以图象方式拷贝到剪贴板ALT+PRINTSCREEN将当前活动程序窗口以图象方式拷贝到剪贴板CTRL+F4关闭当前应用程序中的当前文本（如word中）CTRL+F6切换到当前应用程序中的下一个文本（加shift可以跳到前一个窗口）在IE中：ALT+RIGHTARROW显示前一页（前进键）ALT+LEFTARROW显示后一页（后退键）CTRL+TAB在页面上的各框架中切换（加shift反向）F5刷新CTRL+F5强行刷新激活程序中的菜单栏F10执行菜单上相应的命令ALT+菜单上带下划线的字母关闭多文档界面程序中的当前窗口CTRL+F4关闭当前窗口或退出程序ALT+F4复制CTRL+C剪切CTRL+X删除DELETE显示所选对话框项目的帮助F1显示当前窗口的系统菜单ALT+空格键显示所选项目的快捷菜单SHIFT+F10显示“开始”菜单CTRL+ESC显示多文档界面程序的系统菜单ALT+连字号(-)粘贴CTRL+V切换到上次使用的窗口或者按住ALT然后重复按TAB，切换到另一个窗口ALT+TAB撤消CTRL+Z使用“Windows资源管理器”的快捷键如果当前选择展开了,要折叠或者选择父文件夹左箭头折叠所选的文件夹NUMLOCK+负号(-)如果当前选择折叠了，要展开或者选择第一个子文件夹右箭头展开当前选择下的所有文件夹NUMLOCK+*展开所选的文件夹NUMLOCK+加号(+)在左右窗格间切换F6可以使用Microsoft自然键盘或含有Windows徽标键的其他任何兼容键盘的以下快捷键。在任务栏上的按钮间循环WINDOWS+TAB显示“查找：所有文件”WINDOWS+F显示“查找：计算机”CTRL+WINDOWS+F显示“帮助”WINDOWS+F1显示“运行”命令WINDOWS+R显示“开始”菜单WINDOWS显示“系统属性”对话框WINDOWS+BREAK显示“Windows资源管理器”WINDOWS+E最小化或还原所有窗口WINDOWS+D撤消最小化所有窗口SHIFT+WINDOWS+M关闭所选文件夹及其所有父文件夹按住SHIFT键再单击“关闭按钮（仅适用于“我的电脑”）向后移动到上一个视图ALT+左箭头向前移动到上一个视图ALT+右箭头查看上一级文件夹BACKSPACE五、使用对话框中的快捷键目的快捷键取消当前任务ESC如果当前控件是个按钮，要单击该按钮或者如果当前控件是个复选框，要选择或清除该复选框或者如果当前控件是个选项按钮，要单击该选项空格键单击相应的命令ALT+带下划线的字母单击所选按钮ENTER在选项上向后移动SHIFT+TAB在选项卡上向后移动CTRL+SHIFT+TAB在选项上向前移动TAB在选项卡上向前移动CTRL+TAB如果在“另存为”或“打开”对话框中选择了某文件夹，要打开上一级文件夹BACKSPACE在“另存为”或“打开”对话框中打开“保存到”或“查阅”F4刷新“另存为”或“打开”对话框F5选择项目时，可以使用以下快捷键。目的快捷键插入光盘时不用“自动播放”功能按住SHIFT插入CD-ROM复制文件按住CTRL拖动文件创建快捷方式按住CTRL+SHIFT拖动文件立即删除某项目而不将其放入SHIFT+DELETE“回收站”显示“查找：所有文件”F3显示项目的快捷菜单APPLICATION键刷新窗口的内容F5重命名项目F2选择所有项目CTRL+A查看项目的属性ALT+ENTER或ALT+双击可将APPLICATION键用于Microsoft自然键盘或含有APPLICATION键的其他兼容键七、Microsoft放大程序的快捷键这里运用Windows徽标键和其他键的组合。Windows徽标+PRINTSCREEN将屏幕复制到剪贴板（包括鼠标光标）Windows徽标+SCROLLLOCK将屏幕复制到剪贴板（不包括鼠标光标）Windows徽标+PAGEUP切换反色。Windows徽标+PAGEDOWN切换跟随鼠标光标Windows徽标+向上箭头增加放大率Windows徽标+向下箭头减小放大率八、使用辅助选项快捷键目的快捷键切换筛选键开关右SHIFT八秒切换高对比度开关左ALT+左SHIFT+PRINTSCREEN切换鼠标键开关左ALT+左SHIFT+NUMLOCK切换粘滞键开关SHIFT键五次切换切换键开关NUMLOCK五秒用AIT+TAB还有微软微标的个键，方向键。最多的是用到AITF1显示当前程序或者windows的帮助内容。F2当你选中一个文件的话，这意味着“重命名”F3当你在桌面上的时候是打开“查找：所有文件”对话框F10或ALT激活当前程序的菜单栏windows键或CTRL+ESC打开开始菜单CTRL+ALT+DELETE在win9x中打开关闭程序对话框DELETE删除被选择的选择项目，如果是文件，将被放入回收站SHIFT+DELETE删除被选择的选择项目，如果是文件，将被直接删除而不是放入回收站CTRL+N新建一个新的文件CTRL+O打开“打开文件”对话框CTRL+P打开“打印”对话框CTRL+S保存当前*(糙)*作的文件CTRL+X剪切被选择的项目到剪贴板CTRL+INSERT或CTRL+C复制被选择的项目到剪贴板SHIFT+INSERT或CTRL+V粘贴剪贴板中的内容到当前位置ALT+BACKSPACE或CTRL+Z撤销上一步的*(糙)*作ALT+SHIFT+BACKSPACE重做上一步被撤销的*(糙)*作Windows键+M最小化所有被打开的窗口。Windows键+CTRL+M重新将恢复上一项*(糙)*作前窗口的大小和位置Windows键+E打开资源管理器Windows键+F打开“查找：所有文件”对话框Windows键+R打开“运行”对话框Windows键+BREAK打开“系统属性”对话框Windows键+CTRL+F打开“查找：计算机”对话框SHIFT+F10或鼠标右击打开当前活动项目的快捷菜单SHIFT在放入CD的时候按下不放，可以跳过自动播放CD。在打开word的时候按下不放，可以跳过自启动的宏ALT+F4关闭当前应用程序ALT+SPACEBAR打开程序最左上角的菜单ALT+TAB切换当前程序ALT+ESC切换当前程序ALT+ENTER将windows下运行的MSDOS窗口在窗口和全屏幕状态间切换PRINTSCREEN将当前屏幕以图象方式拷贝到剪贴板ALT+PRINTSCREEN将当前活动程序窗口以图象方式拷贝到剪贴板CTRL+F4关闭当前应用程序中的当前文本（如word中）CTRL+F6切换到当前应用程序中的下一个文本（加shift可以跳到前一个窗口）在IE中：ALT+RIGHTARROW显示前一页（前进键）ALT+LEFTARROW显示后一页（后退键）CTRL+TAB在页面上的各框架中切换（加shift反向）