第4讲三角函数最值教师版

三角函数求最值的七种类型类型1.与辅助角公式1.辅助角公式:形如的式子可做如下变换:(1)令(1)式=,其中.例1．已知.求的单调递增区间.解析：化简得，令，，解得，所以单调递增区间为，.例2．已知函数，其中，且．（1）求函数的单调递增区间；（2）若，且，求的值．解析：，，，解得：，又，，；令，解得：，的单调递增区间为；（2）.跟进训练：1．已知函数．(1)求函数的单调递增区间；(2)求函数在区间上的最大值和最小值；(3)若为锐角，，求的值．解析（1）由已知．令，解得故函数的单调递增区间为（2）由，可得所以，故，所以函数在区间上的最大值为2，此时，即，函数在区间上的最小值为1，此时，即，（3）由，可得，因为，可得，．类型2.二次函数型（1）把形如或的三角函数最值问题看成与或有关的二次函数解析式，再将其解析式变形转化为或，最后根据已知变量的范围求最值.（2）对于和的形式，也可转化为二次函数来求解.例3．函数的定义域为，值域为，则α的取值范围是（）A． B．C． D．解析：由，令，得：，二次函数开口向下，对称轴为，因为，所以函数为递增函数，因为当时，，当时，，所以，即时，，使函数的值域为，所以由余弦函数图象与性质可知，，所以的取值范围是：．故选：A跟进训练：．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．函数的最小正周期是B．函数的最大值为1，最小值为C．函数的图像在区间上单调递减D．函数的图像关于对称解析，对于A：设的周期为，则,所以，其中，解得，所以最小值为，故A正确；对于B：设，则，所以函数的最大值为1，最小值为，故B错误；对于C：由B得当时，，且在上单调递减，因为在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，故C错误；对于D：由，，所以，所以关于直线对称，故D正确，故选：AD．类型3.如求三角函数的最值，可将看作，则原函数可变形为，该函数是我们熟悉的二次函数，可求它的最值.例4．已知函数，则的最大值为（

）．A． B． C． D．解析：，令，即，由，则.故选：A.跟进训练：1．（2022秋·江西赣州·高三校联考阶段练习）已知，则的最大值是（

）A．1 B． C． D．解析：因为，，令．所以，因为函数在上单调递增，故，即的最大值为，故选：D．2．（2023·河南郑州·校考模拟预测）已知函数，将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，则（

）A．为的一个周期B．的值域为[－1，1]C．的图象关于直线x＝0对称D．曲线在点处的切线斜率为解析对于A，，故不为的一个周期，故A不正确；对于B，令，且，所以原函数变为，当时，，当时，，又，所以，或，所以或，所以的值域为[－1，1]，故B正确；对于C，将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，则，又，故C不正确；对于D，，所以，故D不正确；故选：B.类型4.分式型其中同名函数利用分离常数法，形如非同名函数利用数形结合的方法，形如利用单位圆与直线相交相切来解决最值问题.例5.求值域。解：，故，则值域为.例6.求函数的最大值和最小值。解：法一：如图所示，表示过点的直线与单位圆有交点时，直线的斜率，令直线方程为，原点到直线的的距离为，故函数的最大值为，最小值为0.法二：利用辅助角公式：计算，，解得：.跟进训练：求函数的值域.解析由可得，即，由三角函数辅助角公式可得，（为辅助角），则，解得，故函数的值域为.类型5.三次函数（1）形如：等均为三次函数.（2）三倍角结构这类函数虽然最后是借助导数来实现，但它的转化方向是一致的，结果就是三次函数！例7．已知函数，则函数的最大值为_____.解析：因为，令，则，，令，解得，当时，在上是减函数；当时，在上是增函数；当时，在上是减函数，又，，由此，得在时取得最大值，最大值为，故的最大值为.故答案为：例8．函数的值域为____________．解析：，设，，则，，令，解得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，又，，，，所以值域为.例9．函数在上的最大值为______.解析：.又，故令，.，，当时，；当时，，在单调递增，在单调递减..故答案为：.类型6.导数型例10．（2018全国1卷）已知函数，则的最小值是__________．解析：，所以当时函数单调减，当时函数单调增，从而得到函数的减区间为，函数的增区间为，所以当时，函数取得最小值，此时，所以，故答案是.例11．已知函数，则的最小值是（

）A． B． C． D．解析：函数；显然，，函数值才取最小；由．令，可得：或．当，可得；当，，，时，函数取得最小值为．故选：A．例12.（2022·全国乙（文）T11）函数在区间的最小值、最大值分别为（）A. B. C. D.答案D解析，所以在区间和上，即单调递增；在区间上，即单调递减，又，，，所以在区间上的最小值为，最大值为.故选：D跟进训练：1．（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）关于函数，下列结论正确的是（

）A．函数的周期为 B．函数图象关于直线对称C．函数在上递增 D．函数的最大值为1解析因为，，故的周期不是，A错误；因为，故关于直线对称，B正确；当时，设，，则，故、上，上，所以在上递增，而，则，而在上递增，所以在上递增，故C正确；由C分析知：在上递减，在上递增，在上递减；且，，所以函数的最大值为，故D错误.故选：BC.2．（2023·湖北武汉·统考三模）已知函数，，则函数的最小值为______.解析因为，所以，记，，则，因为，所以，所以在上单调递增，所以，所以在上恒成立，所以在上单调递增，故当时，函数有最小值为，故答案为：3．已知函数，则下列结论正确的是（

）A．的周期为 B．的图象关于对称C．的最大值为 D．在区间在上单调递减解析：由于，故A正确；由于，即的图象不关于对称，故B错误；，当时，，函数单调递增；当或时，，函数单调递减；所以，故C正确；由C项分析可知，在上单调递减，故D正确；故选：ACD.类型7.三角换元例13．（1）求函数的值域.（2）求函数的值域；（3）求函数的值域；（4）已知，求的最值解析（1）可化为，令，则，，，∴,故函数的值域为.本题可以用柯西不等式求最大值，但最小值没法求.（2）函数的定义域为，令，．则．由于，．而当时，为减函数，此时，当时，为增函数，此时．故函数的值域为．（3）解法一：，可设．则．设，则，从而．（其中，）．，，，且，，，故函数的值域为．解法二：由解法一得，则为与点连线的斜率．设过点的直线方程为，即，显然，点在半圆上，