江苏省宿迁市沭阳2023-2024学年上学期九年级9月 数学练习

2023—2024学年度第一学期九年级9月

数学练习

（分值：150分,时长：120分钟）

一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的，询将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1.下列方程中，关于x的一元二次方程的是（▲）

A.x+y=lB.3x+y2=2C.2x-xa=3D.x+—=4

x

2.用配方法解方程xJ4x-4=0时，原方程应变形为（▲）

A.（x-2）2=0B.（x-2）2=8C.（x+2）J=0D.（x+2）?=8

3.00的半径为3,点A到圆心。的距离为4,点A与。0的位置关系是（▲）

A.点A在。。外B.点A在。0内C.点A在。。上D.不能确定

4.若关于x的一元二次方程x'+3x-4=0,该方程的解的情况是（▲）

A.没有实数根B.有两个不相等的实数根

C.有两个相等的实数根D.不能确定

5.下列说法正确的是（▲）

A.等弧所对的弦相等B.三点确定一个圆

C.相等的圆心角对的弧相等D.三角形的外心到三角形三边的距离相等

6.如图，在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去

覆盖△ABC,则能够完全覆盖这个三角形的最小圆的半径为（▲）

A.V3B.2C.V5D.3五

7.已知x=3是关于x的方程x2-（m+l）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个

实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（▲）

8.如图，AB,BC是。0的弦，ZB=60°,点。在NB内，点D为位上的动点，点M，N,

P分别是AD，DC,CB的中点.若。0的半径为6,则PN+MN的长度的最大值是（▲）

A.6B.12C.3+3百D.6+36

二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需要写出解答过程，请把答

案直接填写在答题卡相应位置上）

9.一元二次方程X—的根是▲.

10.一元二次方程xrt-kx-3=0的一个根是x=l,则k的值是▲.

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3

11.若x¥l与x2-4x+l的值互为相反数，则x的值是▲_•

12.如图，AABC是00的内接三角形,若NABC=45°，AC=6,则。。的半径

是▲.

13.如图：AB为00的直径，CD是。0的弦，AB、CD的延长线交于E点，已知AB=2DE,

ZAOC=48°,则NE的大小是▲°.

13题图18题图

14.设m,n分别为一元二次方程x2-2x-2023=0的两个实数根，则m2-3m-n=

▲.

15.如图，AB是。0的弦，且AB=6,点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一点，

ZADC=30°,则圆心O到弦AB的距离等于▲.

16.一条弦把圆分成1：8两部分，则这条弦所对的圆周角为▲

17.已知关于x的方程ax1+bx+cn。的两根为xi=LX2=2,则方程a(x+2)¥b(x+2)

+c=0的两根之和为▲.

18.如图，已知正方形ABCD的边长为2,点O是BC边的中点，G为正方形内一动点，

且GO1,点P是CD边上另一动点，连接PG,PA,则PA+PG的最小值为▲.

三、解答题(本题共10小题，共96分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤)

19.(本题满分8分)

(1)解方程：x2-6x-1=0.

(2)解方程：x(x-2)-3(x-2)=0.

20.(本题满分8分)阅读下面的例题.

解方程X2—|x|-2=0.

解：原方程化为|X|2一|X|-2=0.

令y=|x|,原方程化成黄一y—2=0,解得y1=2,y2=-1.

当|x|=2时，x=±2；当|x|=—1时(不合题意，舍去).

,原方程的解是xi=2,X2=-2.

请模仿上面的方法解方程：(X-1)2-5|X-1|-6=0.

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21.(木题满分8分)如图，。0的弦AB、CD相交于点P,且AB=CD.求证PB=PD.

22.(本题满分8分)已知关于x的一元二次方程x2+(2k+3)x+P=O有两个不相等的实

数根XI，X2.

(1)求k的取值范围；

(2)若不+七=一再式2，求k的值.

23.(本题满分10分)如图，在RL^ABC中，ZC=90°,以点C为圆心，AC长为半径

的OC与AB并交于点D.

(1)若孤AD、的度数为70°,则ZB=°；

(2)若AC=6,BC=8,求线段BD的长.

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24.（本题满分10分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a#0）有两个实数根，

且其中一个根比另一•个根大1,那么称这样的方程为“邻根方程”,例如，一元二次方

程x2+x=0的两个根是X|=0,X2=-1,则方程x2+x=0是"邻根方程”，

（1）通过计算,判断方程x2-5x+6=0是否是“邻根方程

（2）已如关于X的二次方程x2-（m-l）x+3m-12=0.（m是常数）是“邻根方程”,

求m的值.

25.（本题满分10分）已知等腰三角形ABC中，AB=AC.

（1）用直尺和圆规作出aABC的外接圆。O；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）若AB=AC=13,BC=24,求AABC的外接圆半径R.

B

26.（本题满分10分）2022年北京冬奥会吉祥物深受大家的喜欢.某特许零售店的冬奥

会吉祥物销售量日益火爆.据统计，该店2022年1月的“冰墩墩”销量为1万件，

2022年3月的“冰墩墩”销量为L21万件.

（1）求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；

（2）该零售店4月将采用提高售价的方法增加利润，根据市场调研得出结论：如果将

进价80元的“冰墩墩”按每件100元出售，每天可销售500件，在此基础上售

价每涨1元，那么每天的销售量就会减少10件，该零售店要想每天获得12000

元的利润，且销量尽可能大，则每件商品的售价应该定为多少元？

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5

27.(本题满分12分)探索一个问题：任意给定一个矩形4是否存在另一个矩形H它

的周长和面积分别应已知矩形周长和而枳的一半(完成下列空格).

(1)当已知矩形力的边长分别是6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形的两

边分别是x，y.由题意得方程组+'=消去，化简得2，-7-6=0：

［孙=3

VA=49-48>0,与=：四=；所以满足要求的夕存在：

(2)如果已知矩形力的边长分别是2和1,请你仿照小亮方法研究是否存在满足要求

的矩形凡

(3)如果矩形力的边长为mn,请你研究小〃满足什么条件时，矩形夕存在？

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28.（本题满分12分）

（1）【基础巩固】如图1,aABC内接于。0,若NC=6（T,弦AB=4JJ,则

半径r=：

（2）【问题探究】如图2,四边形ABCD的四个顶点均在00上，若NADC=60。，

AD=DC,点B为弧AC上一动点（不与点A,点C加合）.

求证।AB1BC=BDJ

（3）【解决问题】如图3,一块空地由三条直路（线段AD、AB、BC）和一条道路劣

弧而围成，已知CM=DM=J^千米，ZDMC=60°,而的半径为1千米，市

政府准备将这块空地规划为一个公园，主入口在点M处，另外三个入口分别在

点C、D、P处，其中点P在而上，并在公园中修四条慢跑道，即图中的线段

DM、MC、CP<PD,某数学兴趣小组探究后发现C、P、D、M四个点在同一个

圆上，请你帮他们证明C、P、D、M四点共圆，并判断是否存在一种规划方案,

使得四条慢跑道总长度（即四边形DMCP的周长）最大？若存在，求其最大值;

若不存在，说明理由.

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2023—2024学年度笫一学期九年级9月

数学参考答案

一、选择题（每题3分）

题号12345678

选项CBABACDD

二、填空题（每空3分）

9.xt=O,.r2=110.211.112.113.16

14.202115.g16.20或16017.-118.4\3~\

三、解答题（本题共10小题，共96分.）

19.（1）xi=3+-J\0»*2=3—V10.......................................4分

（2）xi=2,X2=3....................................8分

20.解：原方程化为h1P-5卜-1|-6=0,

令y=|x-1|,原方程化成y2-5y-6=0.

解得：『1=6,>'2=-1..............................................................4分

当年-1|=6,

x-1=16.

解得：xi=7,X2=-5；

当卜-1|=-1IIj（舍去）.

则原方程的解是M=7,xi=-5...............................................8分

21.证明：连接8明

,:AB=CD,

/.AB=CD

AAB-AC=CD-AC.

即俞=萩.......................4分

工NB=ND,

:.PB=PD.8分（其他解法参考得分）

22.ft?：(1)•.•关于x的一元二次方程f+(2A+3)x+^=0有两个不相等的实数根,

，△=⑵+3)2-止＞0,

解得：A＞-4......................4分

4

(2)VXKxz是方程/+(2a+3)x+尸=0的实数根，

.•.X|+X2=-2Jt-3.X|X2=Jt2.

:.-2k-3=-k2,

解得：Jti=3,k2=-1.................6分

又•.、＞-A,

4

：.k=3..............................8分

23.解：(1)ZB=35°.4分

(2)作C〃J_AD于〃，如图，则4〃=。〃,

AB=V62+82=10,

'：1JCH*AB=^AC*BC,

22

6x8_24

•.VJJ-——

105

,24、218

,.AH=J62—(—)=—................6分

V55

：.AD=2AH=—............................8分

5

：.BD=AB-AD=10--=—.....................................10分

55

24.解：(1)解方程/-5x+6=0得：x=3或x=2...2分

V3-2=l,

Ax2-5x+6=0是“邻根方程”：....................4分

(2)由方程x2-(m-I)x+3m-12=0

解得：x=m-4ii£x=3........................6分

由于关于x的二次方程x2-(〃L1)X+3〃L12=0.(，”是常数)是“邻根方程”,

则，”-4-3=1或3-(m-4)=1..................8分

解得“8或6................................10分

25.⑴解：⑴如图,为所作:4分

(2)连接OA交BC于0,如图，

'：AB=AC=13,AAB=AC.

：.OA垂直平分8C,

即8O=CO=』BC=12,ODA.BD,

2

在RtA^BC中，AD=Q132T22=5,...........6分

设。。的半径为r,iflijOB=r,0D=r-5,

在RS0BD中，122+(r-5)2=P,解得r=M2,

10

即。。的半径为凶2...........................10分

10

26.解：(1)设该店“冰墩墩”销质的月平均增长率为X,

由题意可得，lx(1+x)2=1.21........................2分

解得为=0.1,4=-2.1(舍去)，

答：该店"冰墩墩''销员的月平均增长率为10%.............4分

(2)设每件商品的售价应该定为，”元，

则每件商品的销件利润为(/„-80)元，

每天的销售录为500-10(，”-100)=(1500-10/M)件，

依题意可得(m-80)(1500-10m)=12000................6分

解得=110,"n=l20.................................8分

•••要使销员尽可能大，

答：每件商品的售价应该定为110元.........................10分

27.解：(1)Zx2-7x+6=0,

VA=49-48=l>0,

._7±1

••A—■,»

4

・•・—即―-Ze*X—2——3»

2

.•.满足要求的矩形B存在.

故答案为2,4：.......

2分

2

(2)设所求矩形的两边分别是x和)，，由题意，得

心3

产万，……4分

,xy=l

消去y化筒，得

2X2-3x+2=0,

VA=9-16<0,

二不存在矩形8.6分

巾=詈

(3),..............................................8分

mn

[xy=T

/.lx2-x+/〃〃=0,.............................................10分

AA=(-/w-/i)2-8〃i〃=(，〃+〃)2-8/nn>0