高考数学考前20天终极冲刺模拟卷14（解析版）含解析

考前20天终极冲刺高考模拟考试卷（14）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x|-2<x<4},B={xeZ|0<x<10},则AfW的子集个数为（）

A.4B.6C.8D.9

2.已知复数2=«2«4?+匹27皿c?，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是（）

33

A.z?的共扼复数为zB.z?的实部为1

C.Z+Z2=1D.|z?|=2

3.已知等差数列{4}中,«2+0,4=18,%=3,则4（）=（）

A.10B.11C.12D.13

丫2v2

4.已知双曲线与=1的离心率为近,则其渐近线方程为（）

ab

A.y=±xB.y=±&xC."±AD.y=±2x

5.设x>0,y>0,则“x+y=l”是“初，丄”的（）

4

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中得到了世界领先的成果.哥德巴赫猜想如下:

每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，如20=7+13.在不超过20的素数中，随

机选取2个不同的数，则这2个数的和是奇数的概率是（）

A.—B.-C.-D.—

144814

7.已知锐角A4BC的角A,B,C所对的边分别为。，b,c,且“sinA=b（sin8+sinC）,

则!的取值范围为（）

b

A.（1,2）B.（1,3）C.（2,3）D.[1,72]

8.已知三角形48c的三个顶点在球O的球面上，AABC的外接圆圆心为外接圆面积

为4万，且4?=BC=AC=2MO,则球O的表面积为（）

A.487rB.36%C.32%D.28万

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中。有多项

符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。

9.Keep是一款具有社交属性的健身厶依，致力于提供健身教学、跑步、骑行、交友及健

身饮食指导、装备购买等--站式运动解决方案.心即可以让你随时随地进行锻炼，记录

你每天的训练进程.不仅如此，它还可以根据不同人的体质，制定不同的健身计划.小吴根

据Keep记录的2019年1月至2019年11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）数据整理

并绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论正确的是（）

A.月跑步里程逐月增加

B.月跑步里程最大值出现在10月

C.月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数

D.1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小

10.已知点。（4,0）,过圆（x-4）2+y2=i6上的一动点p作圆（x-4）2+V=4的两条切线

PA、PB,切点分别为A、B，两个切点A、8之间的线段/W称为切点弦.则下列结论

正确的是（）

A.PQLABB.\PA\=2y/3

C.|A3|=3D.四边形AP8。的面积为

11.如图，矩形所所在平面与正方形所在平面互相垂直，AD=DE=2,G为线

段AE上的动点，则（）

A.AEYCF

Q

B.多面体A8C。耳■的体积为-

3

C.若G为线段AE的中点，则GB//平面CEF

D.BG2+CG2的最小值为11

12.直线/:y=Mx+g（p>0）与抛物线C:y?=2px有公共点M,N（M,N可以重合），F

是抛物线C的焦点，直线/与x轴交于点P.下列结论成立的是（）

A.|MN|=Vfc2+11||-1F7V||

B.若|FM|=4,\FN\=2,则抛物线C的方程是丁=靜

C.当N重合时，A/物尸内切圆的面积为万p?

D.点尸到直线/的最大距离为也〃

2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在（五-2户的展开式中，常数项是.

X

14.已知cos（e+f）=2,且。€（-《,《）,则tan（。-9为的值是.

21322

15.圆柱上、下底面的圆周都在一个体积为竽的球面上，圆柱底面直径为8,则该圆柱

的表面积为.

16.已知定义在??上的函数/（X）,其导函数为/'（幻，满足/'（X）>2,f（2）=4,则不

等式双x-1）>-2x的解集为.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.设等比数列｛〃,,｝的公比为q（qwl）,前”项和为5”.

9

（1）若％=1,5=-S,求的的值；

6O3

⑵若4>1,am+am+2=|aOT+1,且邑”=9。“，加wM,求机的值・

18.在AABC中，角A,B,C的对边分别为“，b,c,J3.Z>cosA+-a=c.

2

（1）求角5的大小；

（2）若AC边上的中线3M的长为6，求厶43c面积的最大值.

19.第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京和张家口举办，为了普及冬奥知识，京西某

校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了20名学生作为样

本，得到他们的分数统计如表：

分数段130,40)[40,50)[50,60)160,70)170,80)[80,90)[90,100]

人数1228331

我们规定60分以下为不及格；60分及以上至70分以下为及格；70分及以上至80分以下为

良好；80分及以上为优秀.

（I）从这20名学生中随机抽取2名学生，恰好2名学生都是优秀的概率是多少？

（II）将上述样本统计中的频率视为概率，从全校学生中随机抽取2人，以X表示这2人

中优秀人数，求X的分布列与期望.

20.如图，AB丄平面ADE,AB!1CD,AD=CD=-AB=-AE=3,ZDAE=120°,四

22

边形的对角线交于点“，N为棱DE上一点、,且MV//平面ABE.

(1)求D器N的值；

DE

(2)求二面角3—AC-N的余弦值.

21.在平面直角坐标系xOy中，原点为O,抛物线C的方程为V=4y,线段45是抛物线C

的一条动弦.

(1)求抛物线C的准线方程；

(2)求。4.O3=T，求证：直线恒过定点；

(3)过抛物线的焦点尸作互相垂直的两条直线乙、4，4与抛物线交于P、。两点，4与

抛物线交于C、。两点，M、N分别是线段P。、8的中点，求A/皿W面积的最小值.

22.已知函数〃犬)=三的，且方程f(x)-a=0在［多，学］上有解.

cosx34

(I)求实数〃的取值范围；

(II)设函数g(x)=(a+l)sinx-xcosx(xe或，乃D的最大值为G(a),求函数G(a)的

最小值.

考前20天终极冲刺高考模拟考试卷(14)答案

1.解：集合A={x|-2<x<4},B={XSZ|0<X<10}={1,2,3,4,5,6,7,8,9},

•.AB={1,2,3),

，ArB的子集个数为23=8.

故选：C.

@

至1

2帼n-+

•3=-22

6

-1

Z2+-2

4=-2

.•"2的共规复数为z,故A正确;

z2的实部为-g,故3错误;

216.16,

Z+Z故C错误;

2222

㈠|=/(_/+(_亭2=1，故。错误.

故选：A.

3.解:在等差数列｛4｝中,由a2+-4=18,得2%=电+4=18,则4=9,

E-,CL—U-,9—3.

又〃2=3,/.d=—~~—=——=1,

8-26

.0.4()=%+2d=9+2x1=11.

故选：B.

22

4.解：双曲线1=1(4>0,。>0)的离心率为2,

a~b~

可得e=£=0,即有c=&a，

a

由C2=〃+庁，可得〃=4,

即。二a,

则渐近线方程为y=±x,

故选：A.

5.解：①当x+y=l时，无>0,y>0,:.x+y..2y[xy,.,.职，；，

当且仅当x=y时取等号，.•.初,J,.•.充分性成立，

4

②当初，时，比如x=l,y=丄时，孙，二成立，但x+y=l不成立，

454

•・•必要性不成立，

・•・X+y=1是孙，丄的充分不必要条件.

4

故选：A.

6.解：不超过20的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,共8个，

在不超过20的素数中，随机选取2个不同的数，

基本事件总数〃=盘=28,

这2个数的和是奇数时，必选2,包含的基本事件个数m=C：G=7,

.•.这2个数的和是奇数的概率是尸='=17=；1.

〃284

故选：B.

7.解：H«sinA=b(sinB+sinC),

由正弦定理可得"二庁+历,

显然。>6,可得A>B,

b2c2-a2c2-bec-b八

可得cosA=+---------=------->0upo<---<1

2bc2bc2b2b2

所以=

b

又同理COSC="2+'-L=26+从一)>0,出+bc>d，可得一1<：<2,

lablabb

综上，可得即:的取值范围为(1,2).

bb

故选：A.

8.解：设AA6c的外接圆半径为『,由AABC的外接圆面积为44,可得；r，=4乃，解得r=2,

—尸=2x2_

又AB=BC=AC=2MO,故厶48c为正三角形，则遮，解得AB=2>/5，

T

MO=6

如图，设球。与外接圆〃的其中一个交点为N,则ON2=。例2+価2，即

ON=13+4="，

・•.球。的半径为幷，

其表面积为4乃x(币¥=28乃.

故选：D.

9.解：由所给折线图可知，月跑步里程并不是逐递增，故A错误；

月跑步里程最大值出现在10月，故3正确；

月跑步里程中位数为5月份对应的里程数，故C正确；

1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月，波动性更小，故。正确.

故选：BCD.

10.解：因为。(4,0)为两已知圆的圆心，由几何性质可知IB4RPBI,\QA\=\QB\,

所以P。丄A8,故A正确：

因为1尸。1=4,\AQ\=\BQ\=2,所以|P8Rft4|=J|QP『-|04|2=26,故8正确；

因为sinZAPQ=g^=；,又NAPQ为锐角，所以NAPQ=30。，同理可得/8尸。=30。，

IL丫I乙

所以厶尸8=60。，则AAP8为等边三角形，所以|AB|=2月,

阳e=2Sw0=|PA|-|AQ|=4G，故C错误，。正确,

故选：ABD.

11.解：如图所示，将几何体ABCDE产补全成棱长为2的正方体，

在正方体中，因为b//O0,DMLAE,所以越丄b,故A正确，

416

因为^ABCDEF~/方体=-2匕=8-2x§=~y，所以8错误，

当G为线段他的中点时，因为平面GBD//PMCEF,所以GB//PMCEF,故C正确，

过G作4）的垂线，垂足为，，连接HC,

贝|JBG-+CG2=AB2+AG2+CD2+DG2=8+AG2+DG2=8+AH2+DH2+2GH2,

因为AH=GH,所以

1222222

BG+CG=8+DH+3AH=8+（2-AH）+3AH=4AH-4AH+12=4（AH-g）”+n,

当AH=g时，BG?+CG?取得最小值为11，故。正确，

故选：ACD.

12解：对于A,设%）,N（三,必），则l|RW|-|KV|Ha+争一①+争冃百一电I,

27

|MN|=Vl+A:|%,-x21=VF+71|FM|-1FN||,故A正确；

对于8,由A知，玉=4一导9=2—

••X=4Z,y2—2k,

（4盼2=2p（4-9,（2＞尸=2p（2-g,解得T,

二抛物线C的方程是丁=%,故5正确；

对于C,当M,N重合时，直线/和抛物线C相切于点M§,p）或"（当,-p）,APMF是腰

为P的等腰直角三角形，

它的内切圆半径为（1-日）P，内切圆面积不等于乃/户，故C不正确；

对于。，由C知产最大值为1,点尸§,0）到直线l:y=k[x+^）的距离

d=2⑻=P五

VFTi[—F,当&2=1时，〃取得最大值注/7,故。正确.

+2

故选：ABD.

3-3r

13.解：展开式的通项公式为4+I=C；.(a产•(二y=C；•(-2)”丁,

X

令^^=0,解得/'=1,

2

所以常数项为C；«2)i=-6,

故答案为：—6.

7T557171

14.解：cos(6+—)=—=-sin。，/.sin0=------,结合。£(—,—),

2131322

可得(一工，0),cos^=Vl-sin20=—tan=S^n=---.

213cos，12

则tan(6—9%)=tan6=—―,

故答案为：'

彎£,所以球的半径为R,

15.解：由题意球的体积为:

500%

，解得H=5,

3

所以圆柱底面直径为8,圆柱上、下底面的圆周都在一个体积为一J-的球面上,

所以圆柱的高为：7102-82=6.

可得圆柱的表面积：8万x6+2x4?万=80万.

故答案为：80%.

16.解：xf(<x-1)>2x2-2x,

，x>0时，/(x-l)>2(x-l),

令，=x—l,则r>-l,,/(0>2t,

令g«)=/(r)-2f,贝iJg")=r(r)-2>0,g⑺递增，

而g(2)=f(2)-4=0,故gQ)=/(f)-2f>0=g(2),

故f>2即x-l>2,解得：x>3,

x=0时，不等式MXx-1)>2x?-2x显然无解，

x<0时，/(x)<2(x-l),

令r=x-l,则f<-l,f(t)<2t,

令g(f)=/Q)—2f,则g")=r(f)—2>0,g(f)递增，

而g(2)=f(2)-4=0,故g(r)=/(f)-2f<0=g(2),

故，<2即x-l<2,解得：x<3,故x<0,

故不等式4(》-1)>2/-2》的解集为(-8,0)U(3,+8),

故答案为：(-00,0)53,+00).

17.解：(1)等比数列的公比为式421),前”项和为S..

9

4=1，56=O53>

O

g

3

•-56=53+</S3=S3(l+<7)=-S3,

o

解得4=；，

21

⑵・q>\,4+*=|%1，且s2m=95阳,meN；

25251八

am+amq-=~amq,：.q---q+\=0,

由4>1，解得勺=2,

……屮x修

。产0,/.l-22w,=9(1-2W/),

解得m=3.

18.解：(1)因为〃cosA+丄a=c,

2

由正弦定理可得sinBcosA+—sinA=sinC,

2

又sinC=sin(A+3)=sinAcosB+sinBcosA,

所以丄sinA=sinAcos3,

2

又厶为三角形内角，sinA>0,所以COS3=5，

TT

因为Be(0,m,所以8=

(2)延长线段AM至。，满足=连接亜，

在AAB£)中，BD=2AM=273.AD=a,AB=c,ZBAD=n--B=~,

由余弦定理，有(26)2="+金-2ac(-g),

可得12=/+°2+〃c.2〃C+〃C=3〃C，解得的,4,当且仅当a=c=2时取等号,

所以又诋=—acsinB,,—x4x—=73,当且仅当a=c=2时等号成立，

mac222

即AABC的面积的最大值为6.

19.解：（I）设恰好2名学生都是优秀这一事件为A,....................................（1分）

C23

尸(4)=V=—（2分）

C95

41

（H）设每名同学为优秀这一事件为6,由题意可得P（8）=4=g,•・一・•（2分）

X可取0,1,2,.........................-.........-.......................................................(1分)

P(X=0)=《(l-$2嘿

11Q

P(X=l)=^-x(l--)=-,

p(X=2)=C；g)2=......................(3分)

X012

p1681

252525

（1分）

2

E(X)=0X16+1X£+2X±=（2分）

2525255

20.解：(1)因为AB//DC,所以“力==?=二，所以=彳

MBAB62DB3

因为MY//平面45E,平面BEDC平面ABE=BE,例Nu平面BED,

,…,DNDM1

所cr以isMN//BE,所dri以s---=----=—.

DEDB3

（2）过N作NF丄4）于尸，过F作FP丄AC于P,连接PN,

因为丄平面ABu平面ABCD,所以平面4史丄平面AfiCO,

平面4DEC平面钻8=4）,所以NF丄平面/WCD,

方尸为NP在平面A8CD内的投影，所以AC丄PN,

所以NNPF为二面角N-AC-。的平面角，

由余弦定理得DE=VAE2+AD2-2AEAD-COSZDAE=3币'DN=S，

sinZADEsinZDAEh2

由正弦定理得,sinZADE=—j=,cos/ADE=~^=,

AEDE

NF=DN-sinZADE=»DF=DNcosZADE=2,AF=AD-DF^\,

因为45=DC,DCA,AD,所以NC4Z)=45。,

PF=AFsinNCAD=也,

2

NF有i-

tanZNPF=——=与=瓜.KrDC1_>/7

PFs[2<cosZ.NPF

Jl+館/e7

2

因为二面角B—AC—N与二面角N—AC—。互补,

所以二面角B—AC—N的余弦值为一也.

7

21.解：（1）抛物线C:d=4），的准线方程为y=-l；

(2)证明：设直线AB方程为丁=履+8，A(x,,y),B(x2,y2),

[y=kx+h

由jf=4)，，可得/_4辰-48=0,

所以西+占=4&,=-4b,

OA-OB=x}x^+yxy2=x}x9+.(>玉)-=-4b+=-4,解得b=2,

1--12*-1616

则直线y=fcv+2过定点(0,2)；

(3)由F((M),由题意，直线4，4的斜率都存在且不为0，

设直线4的方向向量为（1,k）（k>0）,则（1,幻是直线4的一个法向量，

故直线4的方程为一=与「，即了=履+1,

1K

直线厶的方程为x+&（y-l）=0,即y=—，x+l,

k

f12=4y

由〈.可得丁-4履-4=0，

[y=fcx+l

设P（±，M），Q（X2>%），可得孑+々=4%,

则M（2k,2公+1）；

同理可得M-彳，1+标）.

所以5"的=；I検IT尸N1=；&2庁+（2&2>.Jj）2+（#=2也+：）..4，

当且仅当k=1时，A/^的面积取最小值4.

­/T、「,、-xsinx2九3冗、

22.解：(I)f(x)=----------,xG[―-,——],

cosx34

-(sinx+xcosx)cosx-(-xsinx)(-sinx)sinxcosx+x_sin2x+2x

ffW=

cos2xcos2x2cos2x

sin2x4-2x