2022-2023学年四川省成都市高三年级上册期中考试理数试题及答案

高三

成都2022〜2023学年度（上）高三年级半期考试

数学试卷（理科）

（试卷总分:150分,考试时间:120分钟）

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知全集。={0,123,4,5,6},集合Z={1,2,4},8={1,3,5},则4n&B）=（）

A.{0,6}B.{1,4}

C.{2,4}D.{355}

2.复数z=之二卫（其中i为虚数单位）的虚部为（）

2+1

A.-2B.-1C.1D.2

3.青少年视力被社会普遍关注，为了解他们的视力状况，经统计得到图中右下角12名

青少年的视力测量值1,2,3,…,12）（五分记录法）的茎叶图，其中茎表示个位数，

叶表示十分位数.如果执行如图所示的算法程序，那么输出的结果是（）

A.4B.5C.6D.7

4.抛物线y2=2px（pw0）上的一点P（-9,12）到其焦点尸的距离|尸尸|等于（）

A.17B.15C.13D.11

5.已知一个几何体的三视图如图，则它的表面积为（）

A.3〃B.44C.5乃D.6兀

试题

高三

6.在一丄1的展开式中，X3项的系数为（）

A.-54B.54C.-24D.24

UULLMULL

7.在平行四边形力8CQ中，AB=2,AD=l,/以。=60。，E是8C的中点，则力。.力£二

（）

A.3B.4C.5D.6

8.为第二象限角”是"sina-JJcosa>1”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

9.直线依+如一1=0（。>0,6>0）与圆/+夕2=4相切，则logz^+log2b的最大值

（）

A.3B.2C.-2D.-3

10.关于函数/（x）=sinxcos[q）的叙述中，正确的有（）

①〃x）的最小正周期为2万；

②“X）在区间内单调递增；

o3

③/卜+。）是偶函数；

④“X）的图象关于点仔,0）对称.

A.①③B.①④C.②③D.②④

11.攒尖在中国古建筑（如宫殿、坛庙、园林等）中大量存在，攒尖式建筑的屋面在顶

部交汇成宝顶，使整个屋顶呈棱锥或圆锥形状.始建于1752年的廓如亭（位于北京颐和

园内，如图）是全国最大的攒尖亭宇，八角重檐，蔚为壮观.其檐平面呈正八边形，上

檐边长为a,宝顶到上檐平面的距离为厶，则攒尖坡度（即屋顶斜面与檐平面所成二面

c.>+屮D.2(&-9

2a2a3aa

试题

_____________________________________

12.如果直线/与两条曲线都相切，则称/为这两条曲线的公切线，如果曲线G：y=lnx

和曲线6号=平（工>0）有且仅有两条公切线，那么常数a的取值范围是（）

A.（-8,0）B.（0,1）C.（l,e）D.（e,+8）

二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.命题“出eN,2、<X2"的否定是.

14.若不等式4'-2"+'+2>0对xeR恒成立，则实数”的取值范围是.

v-22

15.已知双曲线C:=—v4=l（a>0,b>0）的两个焦点分别为£、乙，且两条渐近线互

ab

相垂直，若C上一点p满足|尸耳|=3|P阊，则/用岑的余弦值为.

16.已知某品牌电子元件的使用寿命X（单位：天）服从正态分布N（98,64）.

A

K1—□~~।

B

（1）一个该品牌电子元件的使用寿命超过100天的概率为；（2分）

（2）由三个该品牌的电子元件组成的一条电路（如图所示）在100天后仍能正常工作

（要求K能正常工作，A,8中至少有一个能正常工作，且每个电子元件能否正常工

作相互独立）的概率为.（3分）

（参考公式：若X~N（〃,cr2）,则尸（〃-0.25<7<*〈〃+0.25<7）=0.2）

三、解答题:解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题,每个题

目考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.

（一）必考题:共60分.

17.（12分）已知〃eN*,数列｛%｝的首项4=1,且满足下列条件之一：①a„+l=会+£；

②2〃%=（〃+1”“.（只能从①②中选择一个作为已知）

⑴求｛。“｝的通项公式；

（2）若｛%｝的前〃项和S„<m,求正整数m的最小值.

18.（12分）如图，在直四棱柱Z8CO-48cA中，底面N8CZ）是菱形，E是8c的中

点.

试题

高三

⑴求证：BDJ/平面CQE；

⑵已知N48C=120。，AAi=y12AB,求直线4。与平面CQE所成角的正弦值.

19.（12分）某企业有甲、乙两条生产线，其产量之比为4:1.现从两条生产线上按分

层抽样的方法得到一个样本，其部分统计数据如表（单位：件），且每件产品都有各自

生产线的标记.

产品件数一等品二等品总计

甲生产线2

乙生产线7

总计50

（1）请将2x2列联表补充完整，并根据独立性检验估计：大约有多大把握认为产品的等级

差异与生产线有关？

（2）为进一步了解产品出现等级差异的原因，现将样本中所有二等品逐个进行技术检验

（随机抽取且不放回）.设甲生产线的两个二等品恰好检验完毕时，已检验乙生产线二

等品的件数为4,求随机变量4的分布列及数学期望.

2

P(K>kn)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

n^ad—hcf

参考公式：片=

(Q+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

20.（12分）已知椭圆C:[+/=l（a>/）>0）的短轴长为26，左顶点/到右焦点厂的

距离为3.

试题

高三

（1）求椭圆C的方程

（2）设直线/与椭圆C交于不同两点〃，N（不同于4）,且直线/A/和力N的斜率之积

与椭圆的离心率互为相反数，求尸在/上的射影H的轨迹方程.

21.（12分）已知函数/（x）=e'-Asinx在区间（0,1）内存在极值点a.

（1）求实数k的取值范围；

（2）求证：在区间（0,7）内存在唯一的厂,使〃0=1,并比较尸与2a的大小.

（二）选考题:共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答.如果多做,那么按所做的第一题

计分.

22.［选修4-4:坐标系与参数方程］（10分）

在平面直角坐标系X。中，伯努利双纽线C（如图）的普通方程为卜2+；；2）2=2卜2-/）,

fx=/cosa（不、

直线/的参数方程为.（其中aw0,g,，为参数）.

［歹=EsinaI4丿

（1）以。为极点，X轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求C和/的极坐标方程；

（2）设A,B是C与X轴的交点，M,'是C与/的交点（四点均不同于O）,当a变化

时，求四边形的最大面积.

23.［选修4-5:不等式选讲］（10分）

设“为不等式|x+l|+4邛x-l|的解集.

⑴求〃；

（2）若a,beM,求|若-"可的最大值.

试题

成都2022〜2023学年度（上）半期考试高三数学试题

参考答案及评分意见（理科）

一、选择题：（每小题5分，共60分）CABCBADADCDB

二、填空题：（每小题5分，共20分）

31

13、VxWN,14、（-00,-）；15、-；16、0.4（2分）；0.256（3分）.

23

三、解答题：（共70分）

17、解：（1）若选择条件①，则由已知得21“用=2"-%+2.（2分）

所以｛2"«,｝是首项为2,公差为2的等差数列，故2"q=2n.（4分）

于是｛内｝的通项公式为%=—（5分）

2〃一］r,«eN,.

或解：若选择条件①,则由已知得勺“+”手，于是a川—黑=-詣）.

（2分）

1〃

又叫一3=0,所以｛%_台｝为常数数列｛0｝.（4分）

于是可一6=0,故｛飙｝的通项公式为%=（7，”eN”.（5分）

若选择条件②，则由已知得出!■=丄•&.

（2分）

〃+12n

所以｛a｝是首项为1,公比为工的等比数歹IJ,故纟=丄1

（4分）

n2nT

于是｛a〃｝的通项公式为=—TT，〃£N二（5分）

或解：若选择条件②，则由已知得也=丄•"L

（2分）

*2n

ra„a„,a,1nn-\2,n

于是a——……亠“=----------------4=--（4分）

%%%2"T〃-1〃-212"T

于是｛%｝的通项公式为%=3,NdN*.（5分）

（注:如果选择两个条件作答，则以第一个计分；若两个条件同时使用，则不计分）

/c、OTAL0123M-1n

（2）=-T+-T+—r+---+—r+—r>

"2021222n'22"~'

_,,1123n-\n

er（6分）

22'22232”TT

两式错位相减，得gS“=J+J+最+…+一盘

（7分）

1_±

n+2

-——q————=2---------.（9分）

112"2"

1-2

高三（上）半期考试数学（理科）参考答案（第1页，共4页）

〃+2

于是S“=4一<4（〃GN*）.（10分）

2""1

13

又因为S&=宁＞3,所以正整数，〃的最小值为4.（12分）

18、（1）证明：连结CR交。G于点区连结EF.（1分）

由已知，易得尸是CR的中点.（2分）2G

因为E是8c的中点，所以E尸〃反九（3分）4TH

因为平面C.DE,且EFU平面C.DE,（4分）

二83〃平面CQE.（5分）

；

（2）解：由已知可得，△BCD为正三角形,\：/\

所以。£丄BC,于是QE丄4）.（6分）

以D为坐标原点,DA,DC,DD,为坐标轴，建立如图所示的空间直角B

坐标系。-平,并设48=2.（7分）

则。（0,0,0）,（2,0,272）,£（0,V3,0）,C,（-1,73,2V2）.（8分）

于是方=（0,百,0）,DC^=（-1,73,272）,5^=（2,0,272）.（9分）

A73V-0得平面CQE的一个法向量7=（2啦,0,1）.

（10分）

"何-2伝=0

e,/TTT一\4-72+0+2V2娓

Er⑴分）

故直线4。与平面CQE所成角a的正弦值为—.（12分）

3

19、解：⑴由题意，补充完整的2X2列联表如下.

产品件数一等品二等品总计

甲生产线38240

乙生产线7310

总计45550

（3分，每两空给1分）

=皿二空著』56.

（5分）

45x5x40x109

因为5.556e（5.024,6.635）,所以大约有98%的把握认为产品的等级差异与生产线有关.（6分）

（注:位于区间［97.5%,99%）内均可给分）

（2）随机变量E的可能取值为0,1,2,3,则（10分，各1分）

2。）呼4C»；_I

）

尸4=1=£一丁

尸―屮濡_3C：石团_20123

）PC=3）=e

「©一2-方一-10,4-5,

P0.10.20.30.4

故随机变量4的分布列如右.（11分）

随机变量《的数学期望£产0X0.1+1X0.2+2X0.3+3X0.4=2（件）.（12分）

20、解：（1）设椭圆C的半焦距为c,由已知,a+c=3.（1分）

高三（上）半期考试数学（理科）参考答案（第2页，共4页）

又匕=百，所以4-C?=3.（2分）

解得a=2,c=l.故椭圆C的方程为二+己=1.（3分）

43

椭圆C的离心率©=丄.（4分）

2

（2）当直线/垂直于y轴时,直线AM,AN的斜率乘积为正,与已知矛盾.（5分）

故可设I的方程为x二伊（俄¥-2），代入3x2+4y=12,并整理得（3『+4）户6〃?少+3（M-4）=0.（6分）

—6mt3（Z722—4）

设M（m+m,y）,N（伊2+犯必），贝Ijy+y2=3/2+4，必必=3『+4•（※丿（7分）

因为4（-2,0）,由kAM也*=」,得---------及立-----------=---

2（W[+加+2）（^2+小+2）2

整理得（『+2）歹必+（加+2）£（y+%）+（加+2）Wk（8分）

将（*）式代入,得3（疗-4）（『+2）-6加（加+2）/+（机+2）之（3f+4）=0.

因为加W-2,化简得3（加-2）（/+2）-6加、（加+2）（3/+4）=0.（9分）

22

化简得3（772-2）+2（加+2）2=0,解得（此时△>0恒成立），所以直线/经过定点P。,。）.（10分）

又因为PHLFH,所以”的轨迹是以PF为直径的圆（除去点F）.（11分）

7o

故点”的轨迹方程为（X-历）2+歹2=需。。1）.（12分）

（说明：未注明除去点尸和X去1,整体只扣1分）

21、解：（1）求导，得/'（x）=e*-4cosx.（1分）

7T

①当kWl时，因为X£（03），于是左cosxWcosx。，所以f\x）>1-kCOSx>0.（2分）

TTIF

此时/（x）在区间（0,7）内单调递增，故/（x）在区间（0,]）内无极值点.（3分）

IT

②当k>\时，易知/'（X）在区间（0,-）内单调递增.（4分）

又/，（0）=1一攵<0,/，（$=1〉0,所以存在唯一的ac（0,5）,使得/'（a）=0.（5分）

综上可知，所求实数4的取值范围是（1,+8）.（6分）

或解：求导，得/'（x）=e工一左cosx.（1分）

ICOSX

由/''（X）=0,得£=-^（显然上#0）.（2分）

Ke

设函数左（X）=絵±（0<X<,）,则k'（x）=®n::cosx）<0（3分）

TT

所以Mx）在区间（0,2）内单调递减.（4分）

711

又-0）=1,仪一）=0,故0<丄<1.（5分）

2k

于是所求实数％的取值范围是（1,+8）.（6分）

7T

（2）由（1）知，当0<x〈a时，/'（x）<0;当a<x<^时，/'（x）〉0.（7分）

7T

又当5WX<兀时，/'（X）>0恒成立，

高三（上）半期考试数学（理科）参考答案（第3页，共4页）

所以/（X）在区间（0,a）内单调递减,在区间（a,兀）内单调递增.（8分）

故当OGWa时,/（x）q、（0）=l恒成立.又/（兀）=铲>1,

所以在区间（0,兀）内存在唯一的△使得/（£）=1,且4e（a,兀）.（9分）

由/'（a）=0,得左cosa=e",所以/（2a）=e?"-2左sinccosa=eVe。-2sina）.（10分）

设函数g（a）=ea-L-2sina（0<a<y）,则g'（a）=e"+e-a-2cosa>2-2cosa>0.

7T

所以g（a）在区间（0,5）内单调递增，故g（a）〉g（0）=0,即e。一25也U>片，于是/（26（）>1.（11分）

又/（⑼=1,所以/（2a）"）.因为/（x）在区间（a,兀）内单调递增，且2a/e（a,Tt）,所以2a>£.（12分）

22、解：（1）由（》为/）2=23-_/）得,=2（22cos3--sin'J）.（1分）

于是/=2（cos筲-sin沿），所以C