十年高考2023年高考数学 不等式解析

一、选择题

02

1.（2019•天津•理•第6题）已知a=logs2,b=log050.2,c=O.5,,则的大小关系为

（）

A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

-1

解析：a=log52<log5y/5=^:.ae[0,^-j,b=log050.2=logrl5=log25>log24=2,即b〉2,

所以a<c<b.

2.（2019•全国I•理•第3题）已知Q=log2（）,2,b=20-2,c=O.203,则（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

【答案】答案：B

解析：a=log20.2<log21=0,b=2°2>2°=1,c=0.2°<0.2°=1,/.ce（0,1）,故a<c<b.

3.（2014高考数学四川理科•第4题）若。>6>0,c<d<0,则一定有（）

Kabcababab

A.—>—B.—<—C.—>—D.—<—

cdcddcdc

【答案】D

解析：由c<d<0n—工〉—,〉0,又a>6>0,由不等式性质知：一区〉—2〉0,所以应<2

dcdede

4.（2018年高考数学课标III卷（理）•第12题）设。=logo2（）.3,6=log20.3,则

（）

A.a+b<ab<0B.ab<a+b<0

C.a+b<0<abD.ab<0<a+b

【答案】B

解析：一方面a=logo20.3£（0,l）,b=log20.3G（-2,-1）,所以ab<0

-=log030.2,y=log032,所以工+5=logo3（0.2x2）=logo30.4e（0,1）

abab

所以0<4+,<1即0<竺2<1,而ab<0,所以a+6<0,所以生吆<lna+b〉ab

ababab

综上可知ab<Q+b<0,故选B.

5.（2014高考数学湖南理科•第8题）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为夕，第二年的

增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为（）

A.与B.S+[+l）Tc.弧D.

【答案】D

解析：设两年的平均增长率为X,则有（l+x）2=（l+p）（l+q）nx=J（l+0（l+q）—1,故选D.

6.（2017年高考数学山东理科•第7题）若a>6>0,且仍=1,则下列不等式成立的是

)

a+：<V<log2(a+b)

A.B.<log2(Q+6)<a+1

C.a+]<log2(a+，)D.log?(a+b)<a+g<

【答案】

B

【解析】ci>1,0<<1,<l,log2(<7+6)>log22y[ab=1,

a+—i

2b>10g2(<7+Z?)，所以选B.

bb

二、填空题

1.（2017年高考数学北京理科•第13题）能够说明“设凡伉。是任意实数.若a>6>c,则a+6>c”是

假命题的一组整数。，“c的值依次为.

【答案】-1,-2,-3（答案不唯一）

【解析】—1>—2>-3,-1+（-2）=-3>-3出现矛盾,所以验证是假命题.

三、多选题

1.（2020年新高考全国I卷（山东）•第11题）已知。>0,b>0,且a+b=L则（

A.a2+b2>—B.2a-b>-

22

c.log2a+log2b>-2D.y[a+4b<42

【答案】ABD

解析：对于A,a2+b2=a2+(l-a)2=2a2-2a+1=

当且仅当a=b=工时,

等号成立，故A正确;

2

对于B,a-b=2a-\>-\,所以2""〉2一1=工，故B正确；

2

对于C,log2a+log2b=log2ab<log2=log2；=-2,

当且仅当。二b二,时，等号成立，故C不正确；

2

对于D,因为(G+JF)=1+21^'V1+a+6=2,

所以G+JFvJi，当且仅当a=b=；时，等号成立，故D正确；故选：ABD

2.(2020年新高考全国卷H数学(海南)•第12题)已知a>0,b>0,且a+b=l,则

()

A.a2+b2>-B.2a-b>-

22

D.4a+VF<V2

C.log2a+log2b>-2

【答案】ABD

解析:对于A,a2+b2=a2+(l-a)2=2a2-2a+1=

当且仅当。=人二工时，等号成立，故A正确;

2

对于B,a-b=2a-\>-\,所以2““〉2一1=工，故B正确;

2

11o

对于C,lo=2

log2a+log2b=log2ab<log2=g2--)

当且仅当。=b=,时，等号成立，故c不正确;

2

对于D,因为(C+JF)=1+2>fab<1+a+b=2，

所以后+指《正，当且仅当。=b=|■时，等号成立，故D正确；故选：ABD

题型二：解不等式

一、选择题

1.(2015高考数学北京理科•第7题)如图，函数/(x)的图象为折线ACB,则不等式/(%)2log2(x+l)

的解集是()

()

A.{x|-1<XW0}B.{X|-1WXW1}

C.I-1<xW1}D.{x|-l<xW2}

【答案】C

解析：如图所示，把函数J=10g2X的图象向左平移一个单位得到歹=bg2（X+l）的图象X=1时两图象相

交，不等式的解为-用集合表示解集，故选C.

二、填空题

1.（2015高考数学江苏文理•第7题）不等式2、-、<4的解集为.

【答案】（-1,2）.

解析：由题意得：x2-x<2^-l<x<2,解集为（-1,2）.

2.（2017年高考数学上海（文理科）•第7题）不等式—〉1的解集为一

X

【答案】（-00,0）

【解析】l-L〉ln,<0nx<0,解集为（—8,0）.

XX

题型三：基本不等式

一、填空题

1.（2021高考天津•第13题）若。>0,6>0,则工+9+6的最小值为一

【答案】272

解析：:。>0,6>0,,、+/b»2春冬+b=”丸>=2®,

当且仅当工=二且2=6,即a=6=亚时等号成立，所以：的最小值为26

abb

故答案为：2夜.

11Q

2.（2020天津高考•第14题）已知。>0,b>0,且/=1,则±+2-+^的最小值为

2a2ba+b―

【答案】4

■八7八7118abab8

【角牛1;Q>0,b〉0,「.Q+Z?〉0,ctb—1,-----1------1---------------1------1--------

2a2ba+b2a2ba+b

=*+2/*x_§_=4,当且仅当。+6=4时取等号，

2a+bv2a+b

结合ab=1,解得Q=2-=2+,或a=2+=2-时，等号成立.

故答案为：4

3.（2020江苏高考•第12题）已知5尤2/+/=©）€&,则的最小值是一

【答案】|4

1_4

【解析】••,5x2/+/=],...尸0且工2=1v，

■-5y

・&+/=一+/=3+尤22Hzz当且仅当白=芈，即/二,必=9寸取等号.

-5/5y25V5/555/5102

.•-.>/+/C的最小值为（4•故答案为：4

4.（2019•天津•理•第13题）设x〉0,y>0,x+2y=5,则（x+D/j+D的最小值

为.

【答案】473

_____5S\i2.

解析：5=x+2y22d2xy,Jxy—产=----,

2V24

（x+1岩+—+2丫孙+1=号=二+2而22疝=45当且仅当而=也即

J孙Eyjxy<xy

-x=2

<"=3或3时等号成立，因为3〈竺，所以百<多,故°+Dg3'+.的最小值为4省.

3=1J=-82V2向

、乙

（2019•上海•第7题）若X、yeR+,且,+2y=3,则上的最大值为.

5.

9

,求二次最值

8

4

6.（2019•江苏•第10题）在平面直角坐标系xOy中，尸是曲线y=x+—（x>0）上一动点，则点P到直线

x+y=0的距离最小值是.

【答案】4

4卜2x+-2/2%--

【解析】法工：由已知，可设尸（x,x+3）,x>0,所以一尸囚='^2_V1=4.

xV2V2V2

41—

当且仅当2X=3,即工=夜时取等号，故点尸到直线的距离的最小值为4.

X

法2：距离最小时，'=1-4=-1'则》=形，所以P（夜,3行）,所以最小值为4.

x

7.（2018年高考数学江苏卷•第13题）在△/BC中，角43,C所对的边分别为。，4c,ZABC=120°,NABC

的平分线交/C于点。，且AD=1,则4a+c的最小值为.

【答案】9

解析：由题意可知，S^BC=S^ABD+SABCD，由角平分线性质和三角形面积公式得，

—acsin120°=—axlxsin60°+—cxlxsin60°,化简得ac=a+c,—+—=1,因止匕

222ac

4tz+c=（4tz+c）（—+—）=5+—+—^5+2./—•—=9,当且仅当c=2a=3时取等号，所以4。+c的最小值

acac\ac

为9.

8.（2018年高考数学天津（理）•第13题）已知a,6eR,且a-36+6=0,则2〃+二的最小值

型

为.

【答案】-

4

解析：由。一36+6=0,得a=36—6,所以2"+[=嗯.十*》?打…^=2*27=1,

8"4

当且仅当36—6=—35,即b=-1,。=-3时等号成立，故2"+1的最小值为工.

8"4

9.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元,

要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则X=一吨.

【答案】20

解：某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买X吨，则需要购买宏^次，运费为4万元/次，一年

X

的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为理-4+4x万元，^-4+4x^160,

XX

当妈=4x即X=20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小。

X

10.（2014高考数学上海理科•第5题）若实数X/满足孙=1,则x2+2y2的最小值为.

【答案】2V2

解析：x2+2y2>242\xy\=2y[2

题型四：简单的线性规划问题

一、选择题

x+l>0

,则2=工-；>的最小值是

1.(2021年高考浙江卷•第5题)若实数x,y满足约束条件

2x+3y-i<o—

()

A7R3pl

A.—zD.L.u.—

2210

【答案】B

x+l>0

解析:画出满足约束条件卜-歹(0的可行域，如下图所示：

2x+3j^-l<0

/I,

21./万“

—4；、//

1

1fx——1\x——1

目标函数z=x_7y化为y=2x_2z,由,解得《，设/（一1,1）,当直线y=2x-2z过A

2[2x+3>一1=0[y=1

13

点时，Z=x-5y取得最小值为-:，故选B.

x-3y+1<0

2.(2020年浙江省高考数学试卷•第3题)若实数x,y满足约束条件，',贝Sx+y的取值

x+y-3>0M

范围是()

A.(-co,4]B.[4,4-00)C.[5,+00)D.(-oo,+co)

【答案】B

解析：绘制不等式组表示的平面区域如图所示,

其中Z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，

z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，

据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点力处取得最小值，

x—3y+1=0/、

联立直线方程：。八，可得点z的坐标为：4（2,1）,

[x+y-3=0'7

据此可知目标函数的最小值为：z.=2+2x1=4

且目标函数没有最大值.故目标函数的取值范围是[4,+8）.故选：B

x-2>0,

3.（2022年浙江省高考数学试题•第3题）若实数x,y满足约束条件2x+.v-7W0,则z=3x+4y的最大

x-y-2<0,

值是（）

A.20B.18C.13D.6

【答案】B

解析:不等式组对应的可行域如图所示：

当动直线3x+4y-2=0过A时z有最大值.

x=2x=2

可得故4(2,3),

2x+y—7=0J=3

故=3x2+4x3=18,故选,B.

x-3j+4>0,

4.(2019•浙江•第3题)若实数x,V满足约束条件<3x7-440,则z=3x+2y的最大值是

x+y>0,

()

A.-1B.1C.10D.12

【答案】C

【解析】根据约束条件画出可行域，如图所示，其中N(2,2).由z=3x+2y得y=_|x+gz，当直线

=-3x+^z过/(2,2)时，在>轴上的截距最大，所以z有最大值为10.故选C.

22

xy—2/0,

x—y+220,

5.(2019•天津•理•第2题)设变量满足约束条件〈J则目标函数z=-4x+y的最大值

X》-1,

歹2-1,

为()

A.2B.3C.5D.6

【答案】答案：C

解析：作可行域为如图所示的四边形455,其中/(一1,1),C(3?-l),。(0,2),

则=5,ZB=3,zc=-13,ZD=2,所以Zm以=z，=5.

V满足|x区l-y,且贝！|3x+y的最大值为

A.-7B.1C.5D.7

【答案】C

-1Vy

【解析】由题意可得1/1，作出可行域如图阴影部分所示.

y-l<x<l-y

设z=3x+y,则^=2-3%，故当直线y=z—3x经过点时，z取得最大值5,故选C.

2x-y<4

7.(2018年高考数学天津(理)•第2题)设变量满足约束条件<则目标函数z=3x+5y

—x+y<1

的最大值为()

A.6B.19C.21D.45

【答案】C

解析：作可行域为如图所示的四边形/BCD,其中2(—1,0),8(2,0),C(3,2)£>(2,3),由z=3x+5y,可

3z3z3

=+表示斜率为一己，纵截距为|■的直线，作直线y=—(x并平移，当直线经过点£»(2,3)时,

直线在歹轴上的截距最大，此时Z取得最大值，Zmax=3x2+5x3=21.

y^x

8.设变量x,y满足约束条件\x+y^2,则目标函数

z=2x+y的最小值为

y23x-6

A.2B.3C.4D.9

【答案】B

y^x

解：设变量X、歹满足约束条件<x+722，在坐标系中画出可行域AABC,A(2,0),B(l,1),C(3,3),

y>3x-6

则目标函数z=2x+y的最小值为3,选B.

x+y-2>0,

9.(2014高考数学天津理科•第2题)设变量xj满足约束条件x-y-2V0,则目标函数z=尤+2^的最小值

”1,

为)

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

解析:画出可行域,不难发现在点4(1,1)处目标函数z=x+2y有最小值z1rali=3.故选B.

x—y—1V0,

10.(2014高考数学山东理科•第9题)已知苍y满足约束条件《,当目标函数

2x-j-3>0,

z=ax+〃(a〉0,b〉0)在该约束条件下取到最小值2行时，a2+b2的最小值为

()

A.5B.4C.V5D.2

【答案】B

解析：画出可行域如图所示，由a〉01〉0可知当ax+力=z经过2x-y-3=0与、一y一1二0的交点

(2,1)时，z疝n=2a+b=26，所以。2+/="+(2宕一zap=5。2—8君。+2024.

'x+y-7<0

11.（2014高考数学课标2理科•第9题）设x,y满足约束条件［x-3y+l<0，则2=2x-y的最

3x-y-5>0

大

值

为

1o832

A.B.c.D.

答

I案

析

解

：画出不等式表示的平面区域，可以平移直线y=2x-z,可得最大值为8.

12.（2014高考数学课标1理科♦第9题）不等式组J"*.''1的解集记为D.有下面四个命题:

x-2y<4

Pi:V（x,j?）eD,x+2j>-2；p2:3（X,J/）GZ）,X+2J>2

:V（x,y）eZ）,x+2j<3；pA:eD,x+2j/<-1.

其中真命题是）

A.p,,p3B.Pl,p4C.p3P2D.P3P3

【答案】C

1z

解析:作出可行域如图:设x+2y=z,即^=一,1+^

当直线过4（2,-1）时，z^n=-2+2=0,・・.z20,・••命题2］、p?真命题，选口

y＜x

13.（2014高考数学广东理科•第3题）若变量满足约束条件x+yVl,且z=2x+y的最大值和最小

*1

值分别为"和〃，则加-"=（）

A.8B.7C.6D.5

【答案】C.

解析：求出三条直线的交点为（一1,—1）,（2,—故加=3,〃=—3,m-n=6

x+v-2>0

14.（2014高考数学北京理科•第6题）若X,y满足<kx-y+2>0,且2=y—x的最小值为-4,则上的

J>0

值为()

D.-J-

A.2B.-2C.-

22

【答案】D

解析：可行域如图所示，当左＞0时，知2=j一%无最小值，当左＜0时，目标函数线过可行域内A点时

y=02

Z有最小值.联立《‘解得A(——,0),

kx-y+2=0k

c2471

故Zmin=0+—=-4,即左=——.

mmk2

x+y—2W0,

15.（2014高考数学安徽理科•第5题）满足约束条件<x-2y-2W0,若z=y-◎取得最大值的最优解

2x-y+2>Q.

不唯二，则实数0的值为（）

A.■或-1B.2或工C.2或1D.2或-1

22

【答案】D

解析：线性约束条件下，线性目标函数的最优解一般出现在可行域的边界处，尤其在顶点处.

作出可行域，如图所示，

由题知：目标函数的最优解不唯一，

所以动直线在平移过程中会与直线x+j-2=0或直线2x-y+2=0重合，

从而可求a=2或-1,故选D.

x+2>0

16.（2015高考数学天津理科•第2题）设变量满足约束条件x-y+320,则目标函数z=x+6.v

2x+y-3<0

的最大值为（）

A.3B.4C.18D.40

【答案】C

x+2>0

解析：不等式y+320所表示的平面区域如下图所示，当z=x+6歹所表示直线经过点5（0,3）时，

2x+y-3<0

z有最大值18.

•[/

—一

I到2».,-3・・

x-v>0

17.(2015高考数学山东理科•第6题)已知X,y满足约束条件｛x+yV2,若2=办+》的最大值为4,则

7>0

a=()

A.3B.2C.—2D.—3

【答案】B

若z="+y的最大值为4,则最优解可能为x=l,y=1或x=2,y=0,经检验，x=2,y=0是最

优解，此时a=2；x=l,y=1不是最优解.故选B.

X+J>-1

18.(2015高考数学湖南理科•第4题)若变量x,y满足约束条件<2x-yWl,则z=3x-y的最小值为

J<1

()

A.-7B.-1C.1D.2

【答案】A.

分析：如下图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，作直线：3x-y=0,平移，从

而可知当x=—2,y=l时，Zmm=3x(—2)—1=—7的最小值是—7,故选A.

4x+5y>8

19.（2015高考数学广东理科•第6题）若变量X,y满足约束条件<则z=3x+2y的最小值为

0<j<2

A.4B.—C.6D.—

55

【答案】B

解析：不等式所表示的可行域如下图所示，

由z=3x+2y得y=—3》+三，依题当目标函数直线/:y=—+二经过/卜,时，z取得最小值

即Zmm=3X1+2X—4=上23，故选B

55

x+2y>0,

20.（2015高考数学福建理科•第5题）若变量x/满足约束条件卜-y<0,则z=2x-y的最小值等

x-2v+2>0,

于（）

53

A.——B.-2C.——D.2

22

【答案】A

«0

R

■—I

解析：画出可行域，如图所示，目标函数变形为y=2x-z,当z最小时，直线y=2x-z的纵截距最

大，故将直线了=2x经过可行域，尽可能向上移到过点8(-1,g)时，z取到最小值，最小值为

z=2x(-l)--=--,故选A.

22

x-yW0,

21.(2015高考数学北京理科•第2题)若x,»满足x+yWl,则z=x+2y的最大值为

x20,

()

A.0B.1C.-D.2

2

【答案】D

解析：如图，先画出可行域，由于z=x+2y,则y=—Lx+^z,令Z=0,作直线y=--x,

222

在可行域中作平行线，得最优解(0,1),此时直线的截距最大，Z取得最小值2,故选D.

x>0,

22.(2017年高考数学浙江文理科•第4题)若x,y满足约束条件[x+7-320,则z=X+2y的取值范围

x-2yW0,

是()

A.[0,6]B.[0,4]C.[6,+oo)D.[4,+00)

【答案】D

【解析】由图可知，7=-|+1在点(2,1)取到z的最小值为z=2+2xl=4,z没有最大值，故

ze[4,+co).故选D.

2x+y>0

x+2y-2>0

23.（2017年高考数学天津理科•第2题）设变量X,J满足约束条件则目标函数z=x+y的

x<0

”3

最大值为()

2,3

A.—B.1C.D.3

32

【答案】D

2x+y>0

x+2y-2＞0

【解析】变量x，V满足约束条件Jx：o的可行域如图，目标函数z=x+＞经过可行域的/点时,

[”3

x=0

目标函数取得最大值，由一可得/（0,3）,目标函数2=%+＞的最大值为3,故选D.

卜=3

x-y+340

24.（2017年高考数学山东理科•第4题）已知满足.3x+y+5W0,贝i]z=x+2y的最大值是

x+3>0

A.0B.2C.5D.6

【答案】

C

x-y+3<0

【解析】由3x+y+540画出可行域及直线x+2y=0如图所示，平移x+2y=0发现,

x+3>0

当其经过直线3x+y+5=0与》=-3的交点（—3,4）时，z=x+2y最大为z=—3+2x4=5,选c.

2x+3j-3<0

25.（2017年高考数学课标H卷理科•第5题）设x,y满足约束条件12x-3y+320,则z=2x+.y的最

j+3>0

小值是（）

A.-15B.-9c.1D.9

【答案】A

【解析】解法一：常规解法

2x+3_y—3<0

根据约束条件2x-3y+320画出可行域（图中阴影部分），作直线/:2x+y=0,平移直线/,

）+320

将直线平移到点/处Z最小，点N的坐标为（-6,-3）,将点/的坐标代到目标函数Z=2x+y,

解法二：直接求法

对于封闭的可行域，我们可以直接求三条直线的交点，代入目标函数中，三个数种选其最小的

为最小值即可，点/的坐标为（-6,-3）,点3的坐标为（6,-3）,点C的坐标为（0,1）,所求值分

别为一15、9.1,故Z血"=一15,Zmax=9.

解法三：隔板法

首先看约束条件方程的斜率

约束条件方程的斜率分别2为彳2、0；

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其次排序

按照坐标系位置排2序o,24；