2024年新高考数学一轮复习：重难点突破12 导数中的“距离”问题（七大题型）（解析版）

重难点突破12导数中的“距离”问题

目录

导数中的“距离，，问题，利用化归转化和数形结合的思想可把问题转化为点到直线的距离、两点间的距

离问题，再利用导数法来求距离的最值.方法之一是转化化归，将动点间的距离问题转化

为点到直线的距离问题，而这个“点”一般就是利用导数求得的切点；方法之二是构造函数，求出导数，利

用导数求解最值.

题型一：曲线与直线的距离

例1.（2023•浙江•高二校联考期中）已知函数"x）=（x-r）2+（31nx-3f）:其中feR,若存在吃,使得

“铲得成立，则实数率的值为.

【答案】10

［解析］设=3InX,g(x)=3x,

则/(x)=(x-/)2+(31nx-3f)2可看做h(x)图象上任意一点尸与g(x)=3x图象上点的距离的平方,

设函数版x)过点尸(x0,31nx。)的切线/平行于直线y=3x.

则〃'(x)=3,令2=3,解得%=1,.♦.切点尸(1,0).

x/

39

点尸到直线y=3%的距离d=砺,此时/(/)=_,

9

，存在为二1，使存F)47,

过点P且与直线y=3x垂直的直线方程为：),=-g(x-i).

y=3x

13

联立1“，解得》=用产指.

y=--(x-\)1010

1139包=J_=10

即UR,知£,亍)时，存在%=1使得为:；；成立，此时.1.

1010101()历

故答案为：10

例2.(2023・湖南衡阳•高三衡阳市八中阶段练习)已知实数4也C,4满足〃=21na,d=2c+i,则

(a_c)2+(6_d)2的最小值______.

【答案】|

【解析】由题意可得(a-c)2+0-dp可以表示两点(。力)与(c,d)之间距离的平方

Hlb=2lna,d=2c+\

可以看成是函数y=2mr,y=2x+l

即函数y=2/nr在(a,b)的切线与函数y=2*+l平行时求出最小值

2=2解味[a=0\

则a

2lna=b

此时d=T==£5

V4+15

故(a-c)2+(6-d)2的最小值为q

例3.(2023•辽宁锦州•高二校联考期中)若实数4也°,4满足卜+/一31114+9—4+2)2=0,则

(a-c)2+(b-d)2的最小值为

【答案】8

【解析】实数。、b、c、"满足：

（b+a2-3lna）2+（c-d+2）2=0,

:.b+a2-3lna=0，设匕=丫，a=x,则有：y=Mnx-x2,且c-d+2=0,设。=X，d=y,则有：y=x+2,

...（a-c）2+S-d）2就是曲线y=3/肛与直线y=x+2之间的最小距离的平方值，

3

对曲线y=3加v-x?求导：V（x）=--2x,

x

与y=x+2平行的切线斜率k=l=±3-2x,解得：x=l或x=-3=（舍）,

x2

把x=l代入y=3以-f,得：y=-l,即切点为

11+1+21

切点到直线y=x+2的距离:~jr~=2&,

（a-c）2+（b-d）2的最小值就是8.

故答案为：8.

变式1.（2023.江西鹰潭•高二统考期末）若实数。，b,c,4满足卜+/-41na|+|2c-4+2|=0,则

（4-4+伍-1）,的最小值为一.

【答案】5

【解析】由k+“2-41n《+|2c-d+2|=0,得人+片一41na=2c-d+2=0,

所以（a-4+（。-1）?表示直线2x-y+2=0上点尸到曲线y=41nxr?上点Q距离的平方，

4

由>'=一一2x,令y'=2,解得x=l或x=-2<0(舍),

x

|2+l+2p

得Q(L-l),所以所求最小值为=5,

故答案为：5.

变式2.（2023•江苏苏州•高二苏州市相城区陆慕高级中学校考阶段练习）实数“，4c,"满足:

(e"—"+(C-</-2)2=0,则(a-c)2+(6-4)2的最小值为

9

【答案】y/4.5

【解析】由题设可得6=e",c=d+2,

Sk(a-c)2+0-4/)2=(a-</-2)2+(eM-J)2,

设A(a,e"),B(d+2,d),则(a-d—2『+(e"=|A*,

即函数y=e'的图象的点A与直线y=x-2上的点B的连线段的平方,

而y'=e，，令e、=l,则x=0,此时），=e”对应的函数值为1,

故函数y=e，的图象在(0,1)处的切线为y=x+l,

\AB\的最小值即为平行线y=x+l,y=x-2之间的距离，

此距离为《=孚，故|A砰的最小值为，

9

故答案为：j

变式3.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/。)=V-2皿+吃-601*+10/的最小值是则。的值是

【答案】0.3*3

【解析】函数f(x)=x2-lax+e6*-6ae"+10a2

=(x2-20r+a2)+(e6A-6ae3r+9tz2)

=(x-a)2+(e3x-3a)2,

可得fM表示两点(xd，),5,3a)的距离的平方，

即有函数>=y=3x图象上的两点距离的最小值的平方为《，

设直线y=3x+r与函数尸针的图象相切，

—

设切点为(ml”),可得3=3，％解得机=0,则e3"，=l,

即有切点为(0,1),

贝1](0-。)2+(1-3。尸=\,

3

解得a端,

则〃的值为0.3.

故答案为：0.3.

变式4.(2023•湖南常德•高二临澧县第一中学校考阶段练习)已知函数/(x)=(x-a)2+(hu2-2“『，其中

,4

x>0,awR,存在/,使得成立，则实数。=.

【答案】1/0.2

【解析】设P(x,ln/),Q(a,2a),设/=|加匕则/“)=/,

而点P在曲线y=21nx(x>0),点。在直线y=2x上，

当过曲线〉=2也道X>0)上的一点加(如为)的切线与直线y=2x平行时，

点M（x。，%）至IJ直线y=2x的距离取得最小值

由VLF=-=2,可得%=1,所以M（1,O）,

|2|244

4（1,0）到直线y=2x的距离d=次;+；2=飞，则d"，即/（幻二恒成立，

44

由题意可知存在与€犬，使得〃与）4丁贝厅（％）=《

过点M（1,O）垂直于y=2尤的直线为产

1\x=-

由“'=-5（1）,可得，।,则壮!，，则

J=2x24I,'）5

故答案为：—

变式5.（2023・湖北孝感•高二校联考阶段练习）设C（“,b）=+（lna-l-l）2（a>0/eR）,当a,b变

化时，则C（“力）的最小值______.

【答案】夜

【解析】由Q（a,/?）=yj（a-b）2+（\na-b-i）2（a>0,6eR）可知，此式表示点3,Ina）与点仍为+1）间的距离，

而点（4,1114）在曲线丫=1门上，点（。,。+1）在直线丫=工+1上，

所以问题转化为求直线丫=x+1与曲线y=Inx间的最小距离，

将直线y=x+l向下平移恰好与曲线相切时，所平移的距离为所求的距离，

设直线y=x+i向下平移与曲线相切时的直线方程为y=》+机，

设切点为（为，%）,y=-,则一=1,得%=i,

Xx0

所以%=lnx（）=0,切点为（1,0）,

所以切线方程为y=x-i,

此时直线y=x+l与尸XT间的距离为专=&,

故答案为：V2

题型二：曲线与点的距离

例4.（2023•全国•高三专题练习）若点&『,0）与曲线y=e，上点P的距离的最小值为26,则实数r的值为

/In2八.In2C.3+qcoIn3

A.4-----B.4-----D.3+—

3232

【答案】D

【解析】先设切点B,再根据导数几何意义以及最值列式解得实数，的值.因为26>1,所以，>0,由题意得以

A为圆心，26为半径的圆与曲线y=e、相切于点B,设8(/e"),则在B点处切线的斜率为e"，所以

-------ex*=-1

X-f（王一/）2—（%一/）-12=0

&x「t）2+ey=26

X1—tv0X1—t——3,(e")~=3/.Xj=—In3,/=~In3+3,D.

例5.(2023•全国•高三专题练习)若点A(0,f)与曲线y=lnx上点8距离最小值为26，则实数r为

A.In24-3B.In34-2C.—In3+3D.—In2+2

22

【答案】C

【解析】设点5的坐标为(肛Inm),根据直线AB与曲线y=lnx在点B处的切线垂直，得到，关于机的表达

式，再利用两点间的距离公式结合|钻|的最小值为26,求出加的值，即可得出实数，的值.设点8的坐标为

(/n,ln/n),对函数y=lnx求导得y，=',

由题意可知，直线AB与曲线y=lnx在点B处的切线垂直，贝，

—m

得/=>+Inzn,

由两点间的距离公式得|AB|==加+川,

由于|A目的最小值为26，即/+布=12,m>0,解得机=&，因此，，=3+ln百=3+gln3.

故选：C.

例6.(2023•河北石家庄•石家庄二中校考模拟预测)设点A«,0),P为曲线y=e，上动点，若点4尸间距离

的最小值为卡，则实数f的值为()

I-_cln2-cln3

A.y/5B.-C.2H------D.2H------

222

【答案】C

【解析】设P(x,e"),则|AP「=(xT)2+e”,记8(》)=02*+。-。2,

g'M=2e2x+2(x-t),易知g'(x)=2e2、2(xT)是增函数,且g'3的值域是R,

&'(x)=0的唯一解%,且尤时，g'(x)<0,x>x()时,g'(x)>0,g|Jg(x)mi„=g(x0),

2x,

由题意g(x())=+(x°—f)~=6,而g'(Xo)=2e~"+2(x0—f)=。，x0—t=-e',

e2x,'+eiXo=6>解得e2%=2,.

.In2

^+x0=2+—.

故选：c.

题型三：曲线与圆的距离

例7.(2023•福建龙岩•高三统考期末)己知P为函数y=lnx图象上任意一点，点。为圆/+卜-02-1『=1上

任意一点，则线段尸。长度的最小值为一.

【答案】ey/e2+\-1

【解析】由圆的对称性可知，只需满足圆心(0,e2+l)到y=lnx图象上一点的距离最小值

设y=lnx图象上的一点为(巾,/”机)(加>0)

贝厂」

X

即有切线斜率为上=,

m

―-e~一1

可得---------=-m

m

：.zn2+lnm-e1-1=0,

设g(m)=n?+Inm—e2-1

/(间=2"?+—>0,

g㈣递增

又g(e)=。

可得〃?=e处点(e,l)到Q的距离最小，为“6_0)2+(j2_1)2=«7771

则线段尸。长度的最小值为

例8.(2023・上海•高二专题练习)对于平面曲线S上任意一点尸和曲线7上任意一点Q,称1尸。1的最小值

为曲线S与曲线T的距离.已知曲线S:y=6和曲线T：y=Jl-*-3)2,则曲线S与曲线7的距离为()

A.--1B.—C.72-1D.2

22

【答案】A

【解析】由题意得：

2

设2(占,4),。(々,^1-(X2-3))

222

贝U|PQ「=(x2-x,)+(71-(X2-3)-^)

—+xJ_+1——3)+Xj—2小1-(X)-3)~•

2

=x)-2X}X2+6X2+玉一8-一3)2

=—

(6—2%|)(x23)—2Jl-(x,-3)~,yj~x^+%~-5x,+10

根据柯西不等式:(片+层)(c2+J2)>(ac+bd)2

于是\ac+bd\</(a?+后)卜2+/)

ac-\-bd>-J/+/)卜2+/)

于.是|PQ|2=(6—24)(々_3)_2/_(。_3)2.惠+xj_5~+10

2

N-J(6-2X1)"+4%[•-3)~+]-(/-3)+x}—5x1+10

=-2yjx；-5X|+94-X|2-5%|+9+1

令Qx；-55+9=t，则t=J卜।+]>

故|PQ「=/_2r+[=«_l)22--1"|=>|Pe|>--1

、2J2

^(.d=\PQ\.=--1

I2

故选：A

例9.(2023•全国•高三专题练习)已知点。为函数/(x)=lnx的图象上任意一点，点。为圆

上任意一点，则线段尸。长度的最小值为()

、e-y/e2-TB2\le2+1-e

e2e

【答案】B

【解析】依题意，圆心为0卜+50),设P点的坐标为(x,lnx),

贝|J|尸C『=x-^e+-j+(lnx)2=x2-2fe+-jx+fe+-j+ln2x,

令〃(x)=(，则"(x)=1，

当X£(O,e)时，//(x)>0,函数〃(x)单调递增，

当X£(e,+8)时，”(“<0,函数/2(x)单调递减，

所以〃(x)4Me)=L故叱一1<0,

exe

所以xe(O,e)时，x—e<0且?一：<0,

所以xe(O,e)时,g<x)<0,函数g(x)单调递减,

当xe(e,物)时，令f(x)=2(x-e)+2((T),则Q?(〈,

12工2—1

令e(x)=x?—lnx+l,xw(e,+oo),则”(x)=2x――=~—>0>

XX

所以函数e(x)在xe(e,+oo)匕单调递增，

则9(x)>9(e)=e~>0,即/(犬)=」---------->0,xe(e,+oo)>

所以x«e,")时，f(x)单调递增,即g'(x)单调递增,

所以g'(x)>g'(e)=0,故当xe(e,+8)时，函数g(x)单调递增,

所以g(xL=g(e)=/+l，

故|PC|的最小值为、耳二也互，

vee

则线段PQ的长度的最小值为一1-1="正£.

Ve222e

故选：B.

变式6.(2023・全国•高三专题练习)已知点P为函数/(x)=lnx+e(x>2)图像上任意一点，点。为圆

x-(e+g+l[]+丁=1上任意一点，则线段PQ的长度的最小值为()

Ay/1+e?(1+e)-eDJ2e~+1—e

A.-------------------------D.---------------------

ee

CJe~+1—eDe--]

ee

【答案】A

【解析】设PHln;v+e),又圆x-fe+l+lH+/=1的圆心为M(e+/+l,0

令g(x)=PM2=(x-e-----1)2+(lnx+e)2(x>2),

e

，/、-〜1.、2e21nx/〜、

g(x)—2x—2(eH—F1)4----1---------(x>2),.

exx

h(x)=2x-2(e+-+1)+—+V(x>2),

exx

〃(x)=2-3+^^=2(^+l?n”-e)(尤>为,

XXX

令(p{x}=x24-1-Inx-e(x>2),

19r2_1

0'(x)=2x-±=^^,x>2时，/(x)>0,

XX

到工)=X2+1-111;1:-6在(2,+00)上单调递增，9(x)>以2)=4+l-ln2-e>0,即〃(x)>0

所以田x)在(2,+8)上单调递增，即g3在(2,+8)上单调递增，而g〈e)=O.

g'(x)<0,解得2<x<e；g'(x)>0,解得X>e,

；.g(x)在(2,e)递减,在(e,+8)递增，

，g(x『g(e)=y+Q+e)=空号出，

e

则线段PQ的长度的最小值为更三辿2_1,

e

故选：A.

变式7.(2023・全国•高三专题练习)已知点P为函数/(*)=，的图象上任意一点，点。为圆(x-l)2+y2=l上

任意一点，则线段PQ长度的最小值为()

A.72-1B.1C.72D.73-1

【答案】A

【解析】

由圆的对称性可得只需考虑圆心〃(1,0)到函数f(x)=e*图象上一点的距离的最小值.

设〃x)图象上一点N(见e"'),令/(*)图象上一点NG〃,e")的切线为/

由fM的导数为广⑴=e',即切线/的斜率为后=em,

当MVIZn-J',圆心M(1,O)到函数/(x)="图象上一点的距离最小,

此时£=-e-"',即有e2"'+，w-l=0,

由g(x)=e2*+x-l,可得g，(x)=2e2，+l>0,g(x)递增，乂g(0)=0,

所以“7=0,N(O,1),

所以点(o,D到点。的距离最小，且为近，

则线段PQ的长度的最小值为0-1,

故选：A.

题型四：曲线与抛物线的距离

例10.(2023•全国•高三专题练习)设9(〃,。)=^(a-i>)2+^lna-—J+—(a>0,beR),当a,b变化时，9(“力)

的最小值为.

【答案】五-1.

I'_7>2y<2

【解析】<p(a,b)=J(a-b)~+Ina-■—+—,

函数表示点A®Ina)和8卜?)的距离加上8的纵坐标，

画出/(x)=lnx和y=、-的图像，如图所示：

故AB+BCuAB+BO—lnAB+BF—lVAF-l,当A3尸共线时等号成立.

设g(x)=x2+(lnx—l『，则g'(x)=2"x1+2x,g'⑴=。，

当x>l时，2见匕>-2,故g'(x)=2处1+2x〉0,函数单调递增；

XX

当0<x<l时，2蛆二!■<一2,故g'(x)=2如二+2x<0,函数单调递减.

XX

g(x)min=g(l)=2'lfeAF-l<>/2-l.

综上所述：8(4,6)的最小值是0-1.

故答案为：72-1.

例11.(2023•全国•高三专题练习)设D=J(x-"y+卜,"GJ+a+2淇中”2.71828,则D的最小值为

A.y/2B.GC.72+1D.6+1

【答案】C

【解析】分析：由“x一a)?+(e*-2&)表示两点C(x,e')与点4(〃,2&)的距离，而点A在抛物线丁=4x上，

抛物线的焦点尸(1,0),准线为％=-1,则。表示A与C的距离和A与准线的距离的和加上1,由抛物线的定

义可得。表示A与C的距离和加上1,画出图象，当尸,AC三点共线时，可求得最小值.

由题意Q=J(x-a)2+(e'-2历+〃+2,

illy](x-a)2+(e'-2yfa)表示两点C(x,ex)与点A(a,2&)的距离，

而点A在抛物线y2=4x上，抛物线的焦点F(LO),准线为x=-l,

则。表示A与C的距离和A与准线的距离的和加上1,

由抛物线的定义可得。表示A与C的距离和加上1,

由图象可知EAC三点共线时，且。尸为曲线)，=e，的垂线，此时。取得最小值，

即〈为切点,设(机,e'"),

p,u_0

由^—-em=-l,可得〃?+

m-1

设g(w)=/n+e2m,则g(m)递增,且g(0)=l,可得切点0(0,1),

即有|尸。卜/巾=及，则。的最小值为a+1，故选C.

例12.(2023•全国•高三专题练习)设。=J(x-a)2+(lnx-T+^+i，(ae/?),则。的最小值为

A.—B.1C.J2D.2

2

【答案】C

【解析】由题可得：设/(x)=lnx,g(x)=!x2,所以。为g(x)上任意一点到/(x)上任一点及抛物线焦点的距

4

离之和，所以距离表达式为Jf+(lnx-l)2、令/z(x)='+(lnx-l)2,/z'(x)=2x+皿?，显然在［0,1］递减，

［l，w)递增所以力O'%"=力⑴=2,故Jf+(lnx-l)2最小值为72

题型五：曲线与曲线的距离

例13.(2023.黑龙江哈尔滨―高三哈尔滨三中校考期中)设点户在曲线丫=111(》-1)上，点。在曲线)'=靖-'上，

则归。的最小值为.

【答案】V2

【解析】由于曲线y=ln(x-l)是由y=lnx向右平移1个单位得到的，y=e*T是由y=e*现右平移1个单位

得到的，所以|PQ|的最小值可以看成曲线V=Inx上的点与y=e，上的点间的最小值，

因为y=e，与y=Inx互为反函数，其图象关于直线y=x对称，

所以所求的最小值为曲线y=，上的点A到直线y=*的最小距离的2倍，

设与直线y=x平行的直线与曲线y=e，相切于点仞

因为y=e*,由*=1，得%>=。，

所以切点”(0,1),

所以点A到直线y=x的最小距离为〃=阜=变，

V22

所以归。的最小值为血，

故答案为：亚

例14.(2023•四川成都•高二棠湖中学校考阶段练习)设点尸在曲线y=ge*上，点。在曲线y=ln(2x)上，

则IPQI的最小值为.

【答案】>/2(l-ln2)

【解析】函数y=ge'与函数y=ln(2x)互为反函数，图象关于y=x对称.

11-ex-X

函数y=上的点尸口:1)到直线y=x的距离为/2

22d=~jr

设函数g(x)=ge*-x,则g'(x)=ger-l

因为当x<ln2时，g'(x)<0,当x>ln2时，g'(x)>0

所以当x=ln2时，5Wmin=l-ln2>0

所以|最小值为2dmM=V2(l-ln2).

故答案为：V2(l-ln2)

例15.(2023•黑龙江哈尔滨•高三哈尔滨三中校考期中)设点尸在曲线y=lnx上，点。曲线y="上，则归0

的最小值为.

【答案】夜

【解析】因为曲线丫=，与曲线y=lnx互为反函数，所以其图象关于，=工对称，

所以可先求点「到直线y=x的距离的最小值，

设曲线y=炉上斜率为1的切线方程为y=x+6,

由>=,，可得y，=e;令，=1,解得x=0,所以切线的坐标为(0,1),

所以切线(0,1)到直线y=X的距离为d=?=也，

&2

所以伊。的最小值为24=&.

故答案为：血.

变式8.(2023•全国•高三专题练习)设点尸在曲线y=e2*，2+i上，点Q在曲线y=i+in&7i上，则|PQ的

最小值为.

［答案］何"M2)

2

【解析】令f(x)=e2("D、8(》)=E，1口'分别向上平移一个单位可得卜=62"2+1、y=i+in«7T,而f(x)

与g(x)关于V=x对称，

...当两条曲线在P、。处的切线均与y=x+】平行时，p、。关于y=x+i对称，『。|有最小，对应曲线平移到

/(x)、g(x)后，p、。关于y=x对称即可,

・,•令£=x+1>0,贝lJ/(x)=相(力=e2t,

，,、3ln2.../ln2、1In21、

••根(力=2e-=1有，=--—,则皿--—)=即nil尸(一一—,

JIn2

P至ljy=x的距离,_5+可।_同n2+l),

^/2~~4

应(In2+1)

\PQ\=2d=

2

故答案为：-^(ln2+1).

2

变式9.(2023•辽宁葫芦岛•高二统考期末)设点尸在曲线产V+1(北0)上，点。在曲线丫=«^1&21)上，

则IPQI的最小值为.

【答案】逑

4

【解析】由y=x：+l,得：V=y_l,x=±J71所以，尸犬+1(箕。)与广47!互为反函数.

它们的图像关于y=x对称.

。在曲线y=d+i(xzo)上，点。在曲线y=GT上，

设网用/+1),01,5/7^1),

要使IPQ的距离最小，则。应在y=』+1(x20)上，

又尸，。的距离为尸或。中一个点到y=x的最短距离的两倍.

以。点为例，。点到直线y=x的最短距离

d=O=72=72

所以当4TT=!，即x=。时"取得最小值述，

则IPQ的最小值等于2、迷=逑.

84

变式10.(2023•黑龙江大兴安岭地•高三校考阶段练习)设点P在曲线y="(a>e)上，点。在曲线y=10g〃X

上，若|PQ|n“n4逆，则”的取值范围是.

e

【答案】，,+8)

【解析】由函数y="(a>e)和J=10gaX互为反函数，其图像关于直线丫=8对称，

可先求得点点尸到直线y=x的距离为d,

设曲线y=a'(a>e)上斜率为1的切线方程为y=x+d

因为y=/lna,令a*lna=l，可得优=/一,BP=log,,--,

\na\na

即切线的坐标为(log,,「一，J—)

inaIn。

।los---1--------1-

乂由切点到直线y=x距离为,“Inaina,

d=―—

因为|PQ|jW冬旦，所以2ds2立,即°"ln〃Ina亚,即loga'j-----—工一，

,n,n------7=-----3—ln〃inae

eeV2e

因为a>e,可得Ina>1,0<」—<l』og"」—<0,

InaIna

112HU1In---GHF111]1,2

所以■;----log--<-即1Ina<2,HP--------In--W-,

Inainae;------;----3一Inaln«mae

In〃Inae

12

令---=«0<f<1),则，一〃n/K一,

\nae

令g(，)=『Tln1,(()<f<1),可得g'«)=_lnf>0,

所以g(。在区间(0,1)卜.为单调递增函数，

1111?91

因为g(-)=---ln-=-，所以不等式,—"nd一等价于g(r)4g(一),

eeeeeee

贝即OvJ-sL,所以InaNe,解得aNe"

eInae

故实数。的取值范围是［e，,+a>).

故答案为：［，,+8).

变式11.(2023•福建南平•统考模拟预测)A8分别是函数)，=e'T和y［图象上的点，若AB与x轴平

行，则|A邳的最小值是()

l-ln2rl+ln2

A.-----B.------

22

「3-ln2n3+ln2

C.-----D.------

22

【答案】B

【解析】因为A5与-轴平行,设A3方程为y=m,("00),

y—m[y=m

i，可得..j即A(ln"+1,根)，

{y=e[x=lnm+l

y=m[y=m

由/-7,可得{2「即例/+1,加)，

y=yjx-l[X=〃2+1

所以|AB|=/n2+l-(ln/n+l)=/n2-Inm,

1,丫2_]

设/(x)=x2-lnx,(x>0),则f'(x)=2x--=—~-

XX

当xe(0，¥)时，/'(x)<0，/(x)在(0,乎)上单调递减,

当净田)时，/^x)>0,“X)在(0,争上单调递增，

故选：B

变式12.(2023•福建泉州•校联考模拟预测)设点尸在曲线y=；e(E上，点。在曲线y=ln(2x-2)上，则|尸。

的最小值为()

A.l-ln2B.夜(l-ln2)

C.I+In2D.72(1+In2)

【答案】B

【解析】令r=x-l,则y=；e',y=ln2r这两个函数互为反函数，图象关于，=x对称.

所以y=ge('f与y=ln(2x-2)的图象可以看成是由y=ge',y=ln2f这两个函数图象向右平移个单位得

到的.

所以|的最小值即为曲线y=；e'与y=In2f上两点的最小值.

曲线y=ge'上的点到直线y=x的距离为[臼

2127d=HT

设=>0),则r(0=^e,-i.

由尸(r)=ge'-120可得rNIn2,由尸(r)=ge‘一l<0可得0<t<ln2

所以/⑺=ge'—&>0)在(0,In2)上单调递减，在(In2,收)上单调递增.

所以当t=ln2时，函数f(f)mM=In2,所以"而“=二^

由图象关于y=x对称得：|PQ|的最小值为241M=2xL^=&(l-ln2).

故选：B

题型六：横向距离

YI

例16.(2023・重庆永川•高二重庆市永川北山中学校校考期中)已知函数〃x)=，，g(x)=ln]+；的图象

分别与直线y=M">())交于48两点，则|AB|的最小值为()

[3

A.2B.2+ln2C.e2+-D.2e-ln-

22

【答案】B

【解析】因为函数f(x)=e*,g(x)=ln5+g的图像与直线，=机分别交于4,B两点，

‘、(}।

所以A(ln〃z,m),B2e2,/n,其中2丁一5>皿%，且〃2>0，

所以|AB|=2e，n"一In机，

令=2e2-Inx(x>0)'

则/f(x)=2e2_1令〃(x)=o得：x=l.

所以易得：时，”(x)>0；0<x<5时，"(x)<0；

即函数Mx)在(o,£)上单调递减，在(；,+"上单调递增，

因此/i(x"/(；)=2+ln2,即|A四的最小值为2+ln2.

故答案为：B.

例17.(2023•黑龙江佳木斯•高二佳木斯一中校考期中)直线分别与直线y=3x+3,曲线y=2x+lnx交

于A,B两点，则IA31的最小值为

B.1D.4

【答案】A

【解析】设4不。)，8(和。)，贝IJ3玉+3=2々+111%2，/•Xj=-(2x2+lnx2-3),

=1(x-lnx2)+l,令y=；(x-lnx)+l,则y'=；

\AB\=X2-X12J函数在(0，l)上单调递减,在(L+8)

4

上单调递增，，k=1时，函数的最小值为I,故选A.

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程.

4

例18.(2023・全国・高三专题练习)已知抛物线。1：丁2=戊(¥>()/>0)在点加(：2)处的切线与曲线。2：尸炉

相切，若动直线分别与曲线C1、G相交于A、B两点,则|4却的最小值为

ln3+lln3-l-l+ln2l-ln2

B.------C.------D.------

322

【答案】D

1

y2=tx{y>0)y=匹:k

【解析】

x

y'=ee"='=:.\--x0=2-e*e%x0+1-e*=0

4L。4

^f(x)=exx+l-ex,f\x)=exx>0恒成立，故］(无)单调递增,又"0)=0故%=0j=4

22i1

r

故=7i—I"。，令y=—Ina,y=———=0=>a=>/2ymin=y(V2)=——In>/2>0

442a2

BA8|mM=l黑,选口

变式13.（2023•黑龙江哈尔滨,哈尔滨市第一中学校校考三模）已知函数"x）=/-lnxxW乎，函数

\7

g（x）=x—直线y=f分别与两函数交于A、B两点、,则|钿|的最小值为（）

A.!B.1C.-D.2

22

【答案】A

【解析】设Aq,。，8®,。，则r=x：-inX1,r=x2-1,消去，得々=T-ln±+；.

所以|4叫=卜2-%|=x"lnx1+g-X1,其中王士#.

令-inx+g-x,x>g

....\c12x2-x-\(2x+l)(x-l)

则h1fr(x}=2x----1t=---------=1----------L,

XXX

当孝<X<1时，〃(x)<o,当X>1时，〃'(x)>0.

故M力在乎』上为减函数，在(1，+8)上为增函数,

所以=所以|A5|的最小值为?

故选：A.

变式14.（2023・全国•高三专题练习）已知函数/（x）=e2，，g（x）=lnx+；的图像分别与直线y=方交于A,B

两点，则IA例的最小值为（）

2+ln2

A.1B”cD.e--

2

【答案】c

【解析】由题意，A(；lnb,q,“-旬，其中eT>glnb,且b>0,

_111

贝ij//(x)=eX2一三=0时，解得x=],

所以0<xv；时，〃'(x)<0；X〉]时，

则〃(外在(o,g)上单调递减，在上单调递增，

所以当时，|A8L.=手，

故选：C.

变式15.(2023♦江苏•高二专题练习)函数/(x)=e‘，g(x)=ln]+；的图象与直线y=帆分别交于A,8两

点，则|A8|的最小值为()

13

A.e'H—B.2e—In—C.2+In2D.2

22

【答案】C

【解析】由/(x)=e*="nj得x=lnm,

x1

由8(力=1115+5=，〃可得工二26叮，

1

所以|AB|=2e2-Inm

।W_1i

设/2(加)=2:二一111帆，相>。，贝ij/(〃7)=2e2--,

记E(〃?)=2e"5-'，贝ij/(相)=2e"2+4>。恒成立，

mm"

所以t(m}=即h'(m]=2e*-2•在(0,+。)上单调递增，

tnm

且〃'1[=2e0-2=0,

所以当时，<0；当机>：时，/?4m)>0,

所以/?(〃?)=In〃L2e"'W在(0，；)上单调递减,在(g,+8)上单调递增,

所以〃(机)面“="[5='I'M；=2+In2,所以|A8|的最小值为2+In2,

故选：C.

变式16.(2023