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文档简介
第二章直线和圆的方程单元总结
一、思维导图
二、知识记诵
要点1.直线的倾斜角的斜率
令直线的倾斜角为a,斜率为*,
(1)k=tana(a*/),其中aw[0,乃),&eR,当a=g时,斜率不存在;
(2)过田弓,%),2(%,%)的直线斜率忆=三二&(x户当)•
X2~X\
要点2.直线方程的几种形式
(1)点斜式
y-%=z(x-%)
注意:①=幺表示不含几小,%)才是整条直线方程。
②当直线的斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为x=x0.
③在解题时若选用点斜式的话,应单独考虑斜率不存在时的情况.
(2)斜截式
y=kx+b.
注意:在解题时若选用斜截式的话,应单独考虑斜率不存在时的情况.
(3)两点式
上九=三"-((必-X)(%-xjw0)
注意:①两点式方程的条件是玉二/,%二%,即不能表示平行(或重合)于坐标轴的直线。
②若把两点式写成:(x「xJ(y-x)=(y2-X>(x-xJ,则可适用任何位置的直线.
(4)截距式
—+j-=l(abH0).
注意:①截距是坐标而不是长度.
②当斜率不存在或为零时,或直线过原点时,都不能用截距式,因此用截距式时应单独考虑这几种情
形.
(5)一般式
Ax+By+C=O(A2+B2#0).
要点3.两直线的位置关系
(1)两直线的位置关系
TS.lt:y=kjX+b,l2:y=k2x+b2.(.的都存在)
①4与,2相交o々产&,特别地仁义=-1=/1_L4;
②4%0仁=%且4片瓦;
③4与6重合。仁=&且a=与.
设/,:A|X+BjV+C,=0,/2:4x+B2y+C2=0(4,5,^0,A,S2w0)
①4与4相交oA与寸&用,特别地A4+4员=0oaJ_4;
②4/2。4员=4出且4g二44;
③4与4重合0AB2=A24且AC?=40.
(2)点到直线的距离
设A(%,%),直线4:Ar+B),+C=0,点A至恒线/的距离”=与詈能口,特别地,Ae/od=0.
注意:①当A(Xo,yo)在/上时,贝ljAr。+8.%+C=0;
②当A在/上方,则AXo+gy0+C>O;
③当A在/下方,则AXo+By0+C<O.
(3)两平行线间距离
^/,:Ax+By+C=0,l2:Ax+By+C'=0.
4/,与4间的距离“=!0一01.
yjA2+B2
(4)直线系方程
①平行直线系:y=kx+b(k为常数,b为变数),表示一组斜率为上的平行直线。
②共点直线系:y-%=/(x-Xo)[定点为(x。,%),改为变数],表示一■束过定点(七,丫0)的直线(不包括直
线x=%).
③过直线小4交点的直线系:设4:Ax+4>+G=04&y+c?=0,则
尔+外,+中(/+与),+。2)=0(;1€均表示一束过4、4交点的直线(不包括4).
(5)中心对称和轴对称
①中心对称:设点尸(内,其)、。(孙必)关于点M(%,%)对称,则与="%,%=巧目.
②轴对称:设P(X1,yJ、。(兀2,%)关于直线/:Ar+3y+C=0对称,则
a.8=0时,有土/=-©,且%=%;
2A
b.4=0时,有U、?-=-",且X]=%;
c.M/O时,有=0且A.山+B.A1A+C=0.
x2-xtA22
要点4.几个值得注意的问题
(1)关于五种形式的直线方程及其转化形式要注意:
①直线斜率往往是求直线的关键,若不能判定直线有斜率,必须分两种情况讨论;
②在直线的斜截式或截距式中,其“截距”不等于“距离”;
③当斜率不存在时,会正确选择直线的表示形式,同时注意直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式
表示直线的局限性。
(2)关于两条直线的位置关系要注意:
①判断垂直或平行时,要考虑两条直线中一条无斜率或都无斜率的情况;
②区分“到角”与“夹角”的异同,以及“4到4的角”与N到4的角”的不同;
③利用公式〃=也上坦亡q,要注意将直线方程化为一般形式,利用公式“=隼二且求平行线间的
>JA2+B2>JA2+B2
距离,要注意把“对应项的系数化为相同.
(3)关于直线倾斜角要注意:
①注意与斜率概念的区别
直线的斜率是直线倾斜角的正切值,任何一条之下都有倾斜角,但并不是任何一条直线都有斜率,当
直线的斜率不存在时,其倾斜角等于90';
②注意倾斜角的取值范围
直线倾斜角的取值范围是[(),乃),且当时,40;当1<0(万时后<0.在通过斜率的范围求倾
斜角的范围时,应特别注意,否则容易出现错误
要点5.圆的方程
(1)标准式:圆心为点(。/),半径为r的圆的标准方程为(x—a)2+(y-»2=/.特别地,当圆心在坐
标原点时,圆的方程为/+;/=产;
(2)一般式:x2+y2+Dx+Ey+F=Q[D2+E2-4F>0);
(3)值得关注的几个问题
①在二元二次方程中,V和>2的系数相等摒弃没有孙项,只是表示圆的必要条件,而不是充分条件.
②如果问题中给出了圆心两坐标之间的关系或圆心的特殊位置时,一般用标准方程;如果给出圆上的三个
点的坐标,一般用一般方程.
③在一般方程中,当。?+£—4/=0时.方程表示一个点当。2+炉_4尸<0时,无轨
迹.
④由于圆的方程均含有三个参变(。、b、r或。、E、F),而确定这三个参数必须有三个独立条件,因
此,三个独立条件确定一个圆.
⑤待定系数是求圆的方程的常用方法.
要点6.点与圆的位置关系
(1)点在圆上
①如果一个点的坐标满足圆的方程,那么该点在圆上.
②如果点到圆心的距离等于半径,那么点在圆上.
注意:若P点是圆C为一定点,则该点与圆上的点的最大距离:41ax=|PC|+广,最小距离:dmin^\PC\-r.
要点7.直线一与圆的位置关系
(1)直线与圆的位置关系有相交、相离、相切三种,其判别方法有:
①代数法:通过解直线方程与圆的方程所组成的方程组,根据解的个数来研究.若有两组不同的实数解(即
A>0),则相交;若有两组相同实数解(即△=()),则相切;若无实数解(A<0),则相离.
②几何法:由圆心到直线的距离d与半径「的大小来判断.当d<r时,直线与圆相交;当d=r时,直线
与圆相切;当d〉r时,直线与圆相离.
(2)值得关注的几个问题
①当直线与圆相离时,圆上的点到直线的最大距离=。+广,最小距离=d—r.其中d为圆心到直线的距
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//\2
②当直线与圆相交时,设弦长为/,弦心距为d,半径为r,则有1/J+d2=r2.
③当直线与圆相交时,设弦长为AB,则|A8|=+心•区―41;I,回一词.
④当直线与圆相切时,切线的求法有如下几种:
a.若点(%0,%)在圆/+V=,上,则切线方程为无0尢+%丫=,.
若点(为,%)在圆(x-a)-+(y-b)2=r2上,则切线方程为小_。)(%_。)+(%-,)3_。)=户.
b.斜率为人且与圆元2+y2=/相切的切线方程为y=kx+痛+炉.
斜率为人且与圆(x-疗+❶-与2=,相切的切线方程的求法,可以设切线为y=Ax+〃z,然后变成一般
式辰-y+/n=O,利用圆心到切线的距离等于半径列出方程,求m.
C.若点(%,%)在圆(x—a)2+(y-〃)2=,外,则设切线方程为%),变成一般式
日-y+%-日o=O因为直线与圆相切,所以有二"匚r.由此解出左,若此方程有一个实
K"42+1"°L
根,则还有一条斜率不存在的切线,务必要补上.
要点8.圆与圆的位置关系
(1)圆与圆的位置关系共有外离、外切、相交、内切、内含五种,其判别方法有:
①代数法:解两个圆的方程所组成的二元二次方程组.若方程组有两组不同的实数解,则两圆相交;若方
程组有两组相同的实数解,则两圆相切(内切或外切);若
无实数解,则两圆外离或内含.
②几何法:设两圆半径分别为两圆心分别为4、r2,两圆心分别为G、C2,则
当IGG|>《+々时,两圆相离;
当=弓时,两圆外切;
当|GG|=k一目时,两圆内切;
当|彳一4<|GG|<h+臼时,两圆相交;
当|GG|<|{—G|时,两圆内含.
(2)值得关注的几个问题
共交点圆系:已知两圆/+>2+。俨+骂y+6=。相交,则与两圆共交点的圆系方程为
222
x+y+D,x+E{y+F,+A(x+/+D2x+E2y+F2)=0,其中夕为/LH—1的任意常数,此圆系不包括
第二个圆.
当;1=一1时,为根轴方程,即两圆公共弦所在的直线方程为(R—°)x+(4—七方+伍一周)=0.
三、能力培养
专题一直线的倾斜角与斜率的问题
例1已知坐标平面内的三点4-1,1),8(1,1),C(2,G+1).
(1)求直线AB,BC,AC的斜率和倾斜角;
(2)若。为八48。的边他上一动点,求直线8的斜率&的取值范围.
解:(1)由斜率公式,得砥8=上匚=0,原。="产=6,kG+i-i_上
AB1-(-1)2-(-1)=T
因为tan()o=0,所以AB的倾斜角为0。;因为tan6()o=6,所以AB的倾斜角为60。:因为tan3()o=也,
3
所以45的倾斜角为30。.
(2)如图3-1,当斜率々变化时,直线8绕点C旋转,当直线CD由C4逆时针旋转CB到过程中,直线
Q与他恒有交点,即〃在△ABC的边/W上,此时上由增大到心。,所以上的取值范围是程,6
解后反思:在解答直线的倾斜角和斜率问题时,注意结合有关概念和公式,注意斜率不存在时的情况不能
忽略.
专题二直线方程的五种形式
例2求与直线y=gx+g垂直,并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24的直线/的方程.
解:方法1:由直线,与直线y=gx+g垂直,可设直线方程为y=+6则直线/在x轴,y轴上的截距分别
为七==b.又因为直线与两坐标轴围成的三角形的面积为24,所以S=3叫为卜24,Rig(网=24,
.44
Z?~=36»解得6=6或。=-6.故所求直线方程为y=-—x+6或y=-—x-6,即3x+4y-24=0或
3x+4y+24=0.
方法2:设直线/的方程为三+上=1,则直线的斜率%=心.因为/与直线产3+2垂直,所以无=-2=一3,
aba33a4
即:=又因为直线/与两坐标轴围成的三角形的面积为24,所以。阈=24,即|回=48.
所以a=8,/?=6或a=-8,6=-6.所以直线/的方程为土+上=1或二+上=1,即3x+4y-24=0或
86—8—6
3x+4y+24=0.
解后反思:直线的方程由五种形式,在求直线方程时要选择恰当的形式,其中以点斜式、斜截式最为常用,
通常采用待定系数法求直线的方程.
专题三两条直线的位置关系
例3已知点0(0,0),402),3(a,苏),若记为直角三角形,则必有()
A.b=aiB.b=a3+-C.(b-a3)(b-a3--)=0D.|/7-a3|+b-a}--=0
aa11a
解析:若以O为直角顶点,则B在x轴上,则。必为0,此时。,5重合,不符合题意;
若A=90。,则6="二0;若3=90。,根据斜率关系可知,。3.3卫=一1,所以°(/-刀=一[,即6一/—_[=0,
aa
综上,只有C满足条件.故选C.
解后反思:由于直角的位置不确定故而应分类讨论求解,对于特殊位置不要遗漏.
例4已知两条直线4:ax-6y+4=0,/,:(a-l)x+y+6=0.求分别满足下列条件的a,6的值.
(1)直线4过点(-3,-1),并且直线4与直线4垂直;
(2)直线4与直线平行,并且坐标原点到〃的距离相等.
解:(1)因为《,勾,所以a(a-D+(-6)J=0,BPa2-a-h=0.①
又因为点(-3,-1)在4上,所以-3a+b+4=0.②
由①②解得a=2,0=2.
(2)因为直线4与直线人平行,且4的斜率为l-a,即6=」一,故4与4的方程可分别表示为
1一〃
ll:(a-l)x+y+^^=0,/2:(a-l)x+y+'=0,因为原点至此,4的距离相等,所以40=,
a\-aa\-a
(_0_2
所以〈,c,或〈3.
ib=2
解后反思:考查两条直线的平行与垂直的关系时,通常有两种方式可以选择:一是直线方程以斜截式给出,
此时可通过斜率和直线在y轴上的截距来处理;二是直线方程以一般式给出,此时可转化为斜率和直线在y
轴上的截距来处理,也可直接利用系数处理.
专题四距离问题
例5已知44,一3),8(2,-1)和直线/:4x+3y—2=0,求一点P,使|PA|=|叫,且点P到直线I的距离等于2.
解:方法1:设点尸(x,y),因川尸A|=|PB|,所以J(x-4)2+(y+3)2=J(x-2)2+(y+l)2.①
又因为点P到直线/的距离等于2,所以—+?-2]=2.②
由①②联立方程组解得P(1,T)或P(2,-»).
77
方法1:设点P(x,y),因为|P4|=|P四,所以点P在线段AB的垂直平分线上,由题意知砥8=-1,线段
AS的中点为(3,-2),所以线段钻的垂直平分线的方程是y=x-5.所以可设点尸(x,x-5).
因为点P到直线/的距离等于2,所以』/+3*5)2|=2,解得工=1或
57
所以尸(1,-4)或尸作用.
解后反思:解决解析几何问题的主要方法就是利用点的坐标反映图形的位置,所以只要将题目中的几何条
件用坐标表示出来,即可转化为方程的问题,其中方法2是利用了点尸的几何特征产生的结果,所以解题
时注意多发现,多思考.
专题五直线中的最值问题
例6在平面直角坐标系中,到点A(l,2),8(1,5),C(3,6),£>(7,-1)的距离之和最小的点的坐标是.
解析:由题意可知,设P为平面直角坐标系的任意一点,则|PA|+|PC|?|AC|,等号成立的条件是点「在线
段AC匕归耳+|尸。|》怛。|,等号成立的条件是点尸在线段即上,所以到A,B,C,O四点的距离之
和最小的点为4c和B力的交点.直线4c的方程为2x-y=0,直线80的方程为x+y-6=0,所以由
I;,。’得til即所求点的坐标为Q,4).
答案:(2,4)
解后反思:利用几何图形,借助三角形的三边关系,将所求点与已知四点之间的距离最小问题转化为两线
段之和最小的问题,本例充分体现了数形结合思想在解决直线中的最值问题的作用,在学习中要注意借鉴.
例7有两条直线or-2y—2。+4=0和2x_(l-4)y_2-2“2=o,当a在区间(0,2)内变化时,求直线与两
坐标轴围成的四边形面积的最小值.
解:解方程卜一。-"-)--%』,得卜]所以两直线的交点为C(2,2),如图32
ar-2y-2。+4=0U=2
2
在2x-(l-2-2〃=0中,令y=0,W%s=1+a:在ac-2y-2a+4=0中,令x=0,得以=2-a.
+
助以S明四成.080=S.oc+SAOSC=万y.♦*c+]Nc./=力+x0=a—a+3=("—/)•
因为aw(0,2),所以当a=g时,四边形498C面积取最小值日.
解后反思:求不规则四边形的面积,可以先将四边形分成若干个小三角形,利用三角形的面积公式来求解.本
题根据已知条件,结合图形可知S四.MBCMSMJC+SAOBC,因此只需要求出两三个三角形的面积.因为
SAAOc=~\^O\-h,,&弥=]忸。|•他,\=xc,h1=yc,\AO\=yA,忸O|=/,所以只需要求出两直线的交
点,以及两直线与x,y轴的交点.根据S西边彩230=SAAOC+SAOPC=gy.及ae(0,2),即可求出
四边形AOBC的最小面积.
专题六对称问题
对称问题包括点关于点、点关于直线、直线关于点、直线关于直线以及曲线关于点、直线的对称.其
中点关于点、点关于直线对称式所有对称中的两种最基本的对称,应该重点掌握,并能够把其他对称都转
化为这两种对称.由于对称问题综合运用了两直线垂直、平行的判定,点到直线的距离公式等知识点,因
此对称问题一直是高考考查的重点.对称是图形的一种几何特征,如角的平分线,入(反)射光线,在一
条定直线上求一个点到两个定点的距离之和最小,差的绝对值最大等问题都隐含着对称关系,因此,要注
意对称在解题中的重要作用.
(1)点时(为,%)关于点Q(a,b)的对称点的坐标是'(2〃-%,2匕-%).
(2)点P(a,b)不在直线/:Ar+3y+C=0上,点P关于直线/的对称点的求法是利用/垂直平分
线段PP,即《,解出P(x。,%)即可.
A
(3)曲线(直线)关于点的对称可以转化为点关于点的对称.
(4)曲线(直线)关于直线的对称可以转化为点关于直线的对称.
例8已知直线/:y=3x+3,求:
(1)点P(4,5)关于直线的对称点的坐标;
(2)直线y=x-2关于直线/的对称直线的方程;
(3)直线/关于点A(3,2)的对称直线的方程.
解:(1)设点尸关于直线/的对称点为P'(x',y'),则线段PP的中点M在直线/匕且直线尸产垂直于直线
/+5_.x'+4
x'=-2
所以,解得
/-5y=7
x3=-1
x,-4
所以点P的得坐标为(-2,7).
(2)设直线4:y=x-2关于直线/对称的直线为4,则《上任一点4(中凹)关于/的对称点鸟(々,%)一定
在与上,反之也成立.
乂+>2_3::芭+占I343V9
一勺+DL%----■*-r--+->2---
故—,解得5把(牛乂)代入y=x-2,整理得7々+必+22=0,
纯&3=-1liyl
yXi+i2+
A)-x2I'5-55
所以直线4的方程为7x+y+22=0.
(3)设直线/关于点A(3,2)的对称直线为「,由/〃,可设,为y'=3x'+人。工3).
由点到直线的距离公式,得|3:3-2+.*3-2+3],即k+7卜]0解得5=77或匕=3(舍去).
向+(-1)2a+㈠)?
所以直线/'的方程为),'=3x'-17,即对称直线的方程为3x-y-17=0.
解后反思:中心对称问题可分为点的中心对称与直线的对称问题;轴对称是关于直线的对称问题.
专题七求圆的方程
求圆的方程,主要是根据圆的标准方程和一般方程,利用待定系数法求解.用待定系数法求圆的方程
的一般步骤:
第一步:选择圆的方程的某一形式;
第二步:由题意,得a,b,r(或£),E,E)的方程(组);
第三步:解出(或。,旦尸);
第四步:代入圆的方程.
在高考中单独求圆的方程的问题不多,一般在考查直线与圆的位置关系中间接考查.
例9若圆。经过坐标原点和点(4,0).且与直线y=l相切,则圆C的方程是
解析:因为圆的弦的垂直平分线必过圆心,且圆经过原点和(4,0),所以设圆心为(2,m).又因为圆
与直线y=l相切,所以4-2)-+(0-加)-=|1-m\,所以根2+4=机2-2〃z+l,解得加=-?,所以圆
2
325
的方程为(x-2『+4=——
24
2
325
答案:(x-2)H--=——
24
解后反思:确定圆的方程关键在于确定圆心和半径.本例先通过圆经过两点确定圆心的位置,再利用
和圆相切表示出半径,最后建立方程求解.
例10有一圆与直线/:4x-3),+6=0相切于点A(3,6),且经过点6(5,2),求此圆的方程.
解:方法1:由题意可设所求圆的方程为(x-3『+(y-6/+/(4x-3y+6)=0,又圆过点(5,2).代
入求得/=-1.故所求圆的方程为V+J-I。X-力+39=0.
方法2:设圆的方程为(x-a1+(y-/=,,则圆心为eg,。),ill|C4|=|Cfi|,C4垂直于直线/,
o7c;“一J,
ka-3『+p6)2=(7)-+仅-2)一=尸
解得力
得汐-64
A----1--1.i2
Ia-33
J225
t4
H92_25
故所求圆的方程为(X-51+
2-T
方法3:设所求圆的方程为炉+;/+6+£>'+尸=0,圆心为。,由C4垂直于直线/,A(3,6),B(5,2)
i
i
i
1
j3"+6?+3。+6E+F=0i£)=-10
在圆上,得[52+22+3。+6E+/=0,解得[E=-9.故所求圆的方程为Y+V-io》-9y+39=0.
;•E.件=39
7---oA
方法4:设圆心为。,则CA垂直于直线/,乂设C4与圆的另•交点为P,则C4所在直线的方程为
QX1
y-6=--(x-3),即(x-3)3x+4y-33=0.又因为怎B=-2,所以原?=-一.所以直线族的
43-52
?3x+4y_33--0\x—^19
方程为2y・1=0.解方程组:,,得;.所以P(7,3).所以圆心为AP的中点(5:),
jx-2y-1=0jy=32
半径长为|C4|,故所求圆的方程为(x-5)2+S-|25
T
解后反思:求圆的方程,主要是联系圆系方程、圆的标准方程、圆的一般方程等,利用待定系数法求
解.
专题八直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系是本章的重点内容,在处理直线与圆的位置关系时,常用的方法有几何法和代数
法.此部分在高考中也是考查重点,其中切线问题是重点中的重点.在处理直线与圆位置关系时要注意圆
的几何性质的应用,以达到简化解题过程的目的.
例11已知点在圆0:/+y2=1外,则直线6+刀=1与圆0的位置关系是()
A.相切B.相交C.相离D.不确定
解析:由题意,知点M在圆外,则圆心到直线的距离d=,I<1,故直线与圆相
交.
答案:B
解后反思:确定直线与圆的位置关系可用几何法,也可用代数法,但代数法计算较为繁琐,而几何法
的关键在于比较圆心到直线的距离与半径的大小关系,儿何法应熟练掌握.
例12在平面直角坐标系直»中,直线x+2y-3=0被圆(x-2『+(y+lp=4截得的弦长为
图4-1
解析:由圆的方程可知,圆心为(2,-1),半径为2.如图4-1所示,设已知直线被圆截得的弦为AB,
取弦的中点P,连接CP,则CPAAB,圆心到直线中8的距离d='+2勺上W
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