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第五章数列

单元过关检测(五)

(120分钟150分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要

求的)

1.已知数列,,5,…,,那么15是数列的()

A.第22项B.第23项

C.第24项I).第25项

【解析】选B.根据通项公式an=有=15,解得n=23.

2.已知等比数歹lj{aj的前n项和为S“且Sn=3"+a(nCN*),则实数a的值是()

A.-3B.3C.-lD.1

【解析】选C.当n22时,a„=Sn-Sn-,=2畤",当n=l时,a】=Si=3+a,因为数列{aj是等比数列,所以3+a=2,解得

a=T.

3.已知等差数歹U{a“}的前n项和为S”,若S3=9,SS=25,贝IJST=()

A.41B.48C.49D.56

'S3=94+38=9,

【解析】选C.设S„=An2+Bn(AW0),由题意知,Iq5-=37^cAT-I-JK"R-=3,解得所以349.

【变式备选】已知等差数列{an}的前13项之和为39,则ae+ai+aF()

A.6B.9C.12D.18

【解析】选B.设等差数列{a“}的公差为d,根据等差数列的求和公式可得:Si3=13ai+d=39,化简得⑶+6d=3,

所以a6+a-+a8=ai+5d+ai+6d+ai+7d

=3ai+18d=3(ai+6d)=3X3=9.

【一题多解】本小题还可以采用以下解法:

选B.由等差数列的性质得Si3=13a7=39,所以ai=3,所以a6+a7+as=3a7=9.

4.(2018•长沙模拟)等差数列{aj的前n项和为S„,且aKO,若存在自然数m23,使得a,.=S*则当n>m时,S„

与的大小关系是()

A.SriVa。B.SWa„

C.Sn>anD.大小不能确定

+,,

【解析】选C.由题意得公差d>0,且am>0,所以当n>m时,Sn-an=Sn-SB1+a1n-an=a.+am+i,+an-i>O,所以Sn>an.

(2an,0<an<1,

5.数列{aj满足a*l%—1,14时<2,若a尸,则a2述的值是()

A.B.C.D.

【解析】选D.由数列的递推公式及首项出=可得a2=,a3=,a.=,所以数列具有周期性,所以a?018=a2=.

6.若。是由正数组成的等比数列,其前n项和为Sn,已知31且S3=7,则Sk

()

A.B.C.D.

【解析】选C.由a„>0,且aia5==l,得a3=l.由S3=7,得++a3=7,即+=6,

234

又q>0,解得q=.所以S7=S3+a3q+a3q+a3q+a3q=7++++=.

7.已知数列{a„}的前n项和为Sn,ai=l,a?=2,且对于任意n>l,nGN*,满足S„+i+Sn-i=2(Sn+l),则S】。的值为

()

A.91B.90C.55D.54

'1,九=1,

n

【解析】选A.由S“3S"T=2(S.+1)得S„,-S„=S„-S„-,+2即a„,i=a„+2,所以a„=\^~2,H>2,即数列从

第二项起为等差数列,公差为2,所以SK)=1+9X2+X2=91.

8.(2018•重庆模拟)在数列{aj中,已知a.=(ndN*),则⑸}的前n项和S.=()

A.—

B.

1/411\

c2\3n+1n+3)

聿11]

D2\6n+2n+3/

【解析】选D.由a.=

1/11\

=2\n+1n+3)

Sn=(-+-+-+•••+-+-)

亡+工--^―-1

2\23n+2n+3

1/511\

=216几+2n+3/

9.在等差数列{a,,}中,a70,&oQa?o13>O,a2以•a20l3<0,则使S„>0成立的最大自然数n是)

A.4025B.4024

C.4023D.4022

[解析]选B.{a„}为等差数列,ai>0,a2oi2+a2ois>0,a2012,a2oi3<0,

所以a?oi2>O,a?oi3<O,

所以d<0,

4024(%+a4024)

因为St024=2,ai+a,i021

二82012+32013,

所以S024>0.

4025(d]+(I4Q25)

2

因为S.|025=,ai+a,iQ25=2a2013.

所以S4025<0,

所以使Sn>0成立的最大自然数n是4024.

10.(2018•临川模拟)我国古代数学名著《九章算术》中,有已知长方形面积求一边的算法(“少广”算法),

其方法的前两步如下.第一步:构造数列1,,.①第二步:将数列①的各项乘以,得到一个新数列

aba2,a3,an.则aez+a2a3+a3a(+…+&1血等于()

A.B.

C.D.

【解析】选C.由题意,所得新数列为IX,X,义,…X,所以aia2+a2a3+a3a.i+•••+a„-ia„=[+++•«•+]

[+++・••(-)]=・

11.(2018•杭州模拟)设{aj是等差数列,{bj是等比数歹山且akbi=l,a20K=b2°H=2017,则下列结论正确的

是()

A.at008/31009

B.S2OlMbz016

C.VnGN*,l<n<2017,an>b„

D.3noGN*,l<n0<2017,使得=

【解析】选C.A项,{a.}是等差数列,a,=l,&。产2017,所以数列单调递增,错误;因为等差数列的图象为一次

函数上孤立的点,而等比数列为指数函数上孤立的点,且由题意两个函数分别单调递增,故画出相对应的函

数图象,一条直线与一条下凸的曲线,在自变量n取1和2017时有交点,因此在l〈n〈2017时,a“>b”,n>

2017时,a„<b„,所以B,D错误,C正确.

H

12.设数列{a“}的前n项和为S„,已知a2=2,a„t2+(-l),'a„=l,则S4()=()

A.260B.250C.240D.230

n

【解析】选C.因为a„t2+(-l)'a„=l,所以aeazxl,a2k+2-a2k=l,kGN*,所以数列是等差数列,首项为2,公差

为1.SM=[(ai+as)+…+(a3?+a39)+(az+a“+…+a3«+aM)]=10+2X20+X1—240.

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)

13.在等差数列{aj中,a2+a6+2a8=8,则此数列的前11项的和等于.

【解析】由题知,a2+a6+2as=8,所以2ai+2as=8,所以at+as=4,所以2a6=4,解得a6=2,所以数列的前11项的和

Sn===llae=22.

答案:22

(一题多解】本小题还可以采用以下解法:

由题知,a2+a6+2as=8,所以4ai+20d=8,即a)+5d=2,Sn=llai+d=llX(ai+5d)=22.

答案:22

14.已知正项数列{aj满足-6=a."a”.若a尸2,贝!]数歹U{aj的前n项和为_.

【解析】因为-6=an“a”

所以(ao+「3an)(an+i+2an)=0,

因为a„>0,所以a„H=3a„,

又因为ai=2,所以数列{a.}是首项为2,公比为3的等比数列,

所以数列{aj的前n项和S„-=3"-l.

答案:3nT

15.如图所示是毕达哥拉斯的生长程序:正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形边上再连接正方

形,…,如此继续,若共得到1023个正方形,设初始正方形的边长为,则最小正方形的边长为________.

【解析】设1+2+4+…+2”胃023,即=1023,2=1024,n=10.正方形边长构成数列,,,…,其中第10项为=,

即所求最小正方形的边长为.

答案:

16.已知{aj是等差数列,d为其公差,S”是其前n项和,若只有S,是数列{SJ中的最小项,则可得出的结论

中正确的是.

①d>0,②a,K0,@a5>0,@S7<0,⑤%>0.

【解析】S„=nai+d,

因为只有S,是{SJ中的最小项,

d

—>0,

2

d

所以'乙

,d>0,

——4d<ci]<-3dV0.

因为a4=a,+3d,a5=a,+4d,所以-d〈a1+3d<0,0<a,+4d<d,即

aKO,a5>0.S?=7ai+d=7⑶+3d)=7a《0.S8=8a,+d=4(2ai+7d),由-4d〈a<-3d可得-d<2ai+7d<d,即-4d〈SM4d所以

S,的符号正、负、0均有可能.综上可得结论正确的有①②③④.

答案:①②③④

三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)(2018•沈阳模拟)已知数列{aJ是公差不为0的等差数列,首项&=1,且a„a2)&成等比数列.

(1)求数列{aj的通项公式.

⑵设数列{bj满足b“=a"+,求数列{b,,}的前n项和为T,..

2

【解析】(1)由题设,#=aia4,即(l+d)2=l+3d化简,得d-d=0

又dro,所以d=l,所以a„=n.

⑵由⑴得,bn=n+2"

T„=(1+2+3+…+n)+(2+22+-+2n)=+2n<1-2.

18.(12分)已知数列中,bi=l,b„+1=2b„+3,n£N*.

(1)求证:是等比数列.

(2)若c„=log2(b„+3),求数列的前n项和R,,.

【解析】(1)因为==2且E+3=4,

所以{b.+3}是首项为4,公比为2的等比数列.

⑵由⑴知bn+3=4X2"'=2"",

所以b0=2n”-3,

则c„=log2(b„+3)=n+l,=-,

R„=-+-+,,,+-=-=.

【误区警示】需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题,导致计算结果错误.

【变式备选】已知正项等差数列的前n项和为S“且满足al+a5=,Sv=63.

(1)求数列的通项公式.

(2)若数列满足bi=ab且bn-i-b,Fan+i,求数列的前n项和T“.

【解析】(1)设正项等差数列的首项为a,.公差为d,且a„>0,

[2(%+2d/

2%+4d=---------------,

则[7al+21d=63,解得:或(舍去)

所以an=2n+l.

(2)因为b『i-bn=an+i且a“=2n+l,所以bn+i-bn=2n+3,

当nN2时,bn=(bn_bn-i)+(bi-bn-2)+…+(b2-bi)+bi=(2n+l)+(2n-l)+…+5+3=n(n+2),

当n=l时,bi=3满足上式,所以bn=n(n+2),

所以二二

所以T产++…++

=[+++・・・+(一)+]

19.(12分)(2018•武汉模拟)已知S„是等比数列{aj的前n项和,S3+2,S9+2,S6+2成等差数列且a2+a5=4.

⑴求数列{a0}的公比q.

⑵设bn=log21a„|,求数列{bn}的前n项和T„.

【解析】(1)设等比数列等“}的公比为q,当qWl时,因为S3+2,Sg+2,Se+2成等差数列,

且az+as=4,

所以2(S9+2)=S6+2+Sa+2,a,(q+q')=4.

所以2X=+,

化为(2q3+l)(qLl)=0,

解得:q、-,出=8,当q=l时,不满足条件,舍去,

所以q=­.

(2)由(1)可得心=22醴2=(-1)日・.

/IIn

-1<n<11,

3

n-11

—,n>12.

bn=log21a”|=3

/io11n

n\-----1-----

133

当nW11时,数列{b,,}的前n项和T“=2

当n》12时,数歹lj{b,,}的前n项和T0=T”+++…+

(n-ll)(12+n)

=+x[2-11X(n-ll)]

n2-21n+220

=6

2

20.(12分)已知数列{aj,{b„},Sn为数列{aj的前n项和,a2=4bi,S„=2a„-2,nb„.i-(n+1)b„=n+n(nGN*)

(1)求数列{aj的通项公式.

(2)证明为等差数列.

anbn

,几为奇数,

2

an^n

,九为偶数,

(3)若数列的通项公式为c„=\令T”为的前n项的和,求Tz”.

【解析】(1)当n>l时,

fSn=2an-2,

=

Pn-124_]-2—-

=an—2an2an402,

当n=l时,Si=2ai-2=>ai=2,

综上,⑸}是首项为2,公比为2的等比数列,a„=2n.

⑵因为a2=4bb所以bi=l,

2

因为nbn+i-(n+l)bn=n+n,

所以一二1

综上,是首项为1,公差为1的等差数列.

⑶由(2)得,=l+n-l=»bn=n2.

令Pn二C2n-l+C2n

(2n-l)2.22n-1

2+=(4n-l)-22n-2=(4n-l)•4'",

Tzn=3X40+7X4'+llX42+-+(4nT)X4"1,①

23n

4Ln=3X4'+7X4+l1X4+-+(4n-5)X4")+(4nT)X4,②

2n

①-②,得-3T2n=3X40+4X4'+4X4+-+4X4"--(4n-l)X4,

-3T2„=3+-(4n-l)X4",

%=+X4".

【变式备选】已知a”是单调递增的等差数列,首项ai=3,前n项和为S„,数列是等比数列,首项bFl,且

a2,b2=12,S3+b2=20.

⑴求数列{a.}和的通项公式.

⑵设c产&•b,„求数列的前n项和心.

【解析】(1)设数列{aj的公差为d,数列b”的公比为q,

((3+d)q=12,

则由题意得:(9+3d+q=20,

解得:d=-,q=18或d=3,q=2.

因为{①}是单调递增的等差数列,所以d>0,

所以d=3,q=2,

所以an=3+(n—1)X3—3n,b“=2"

(2)Cn=anbn=3nX2'

则T„=3X1X2°+3X2X2'+3X3X2?+…+3X(

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