《角的比较与运算》名师教案

.3角第二课时(张祖全)角的比较与运算一、教学目标（一）学习目标1.掌握角的大小的比较方法.2.掌握角的和差运算.3.理解角平分线的定义、表示及应用.（二）学习重点1.掌握角的大小的比较方法.2.理解角平分线的定义.（三）学习难点1.从图形中体会角的和差运算.2.角平分线的定义、表示及应用.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）角的大小比较方法（类比线段大小比较方法）①度量法：用量角器量出角的度数比较大小.②叠合法：移动一个角，使一条边重合，看另一条边所落的位置比较大小.（2）角的和、差：如图，∠AOC是∠AOB与∠BOC的和，记作∠AOC=∠AOB+∠BOC；∠AOB是∠AOC与∠BOC的差，记作∠AOB=∠AOC-∠BOC．（3）从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线.预习自测（1）已知∠A=25.12°，∠B=25°12′，∠C=1518′，那么∠A、∠B、∠C的大小关系为()A.∠A>∠B<∠C；B.∠A<∠B<∠C；C.∠B>∠A>∠C；D.∠C>∠A>∠B.【知识点】角的比较与运算.【数学思想】【解题过程】解：，，.【思路点拨】将角化成相同单位比较.【答案】B.（2）按图填空：①∠POM=∠PON+_______；②∠POQ=________—______—______．【知识点】角的比较与运算.【数学思想】【解题过程】解：①∠MON；②∠MOQ,∠MON,∠NOP.【思路点拨】由图形观察角的和差.【答案】①∠MON；②∠MOQ,∠MON,∠NOP.（3）如图所示，如果∠1=∠2，则下列结论成立的是()A.OB平分∠AOC；B.OB、OC是∠AOD的三等分线；C.∠AOC=∠BOD；D.∠AOD=3∠BOC【知识点】角的比较与运算.【数学思想】【解题过程】解：由于不知∠BOC与∠1的大小，故不能判定倍分关系，故A、B、D不成立；由等式性质，可判定C成立.【思路点拨】由于不知∠BOC与∠1的大小，故不能判定倍分关系，由等式性质，可判定C成立.【答案】C.（4）如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠AOC的平分线，且∠COD=25°，则∠AOB等于()A．25°B．50°C．75°D．100°【知识点】角的比较与运算.【数学思想】【解题过程】解：由角平分线定义，∠AOB=2∠AOC=4∠COD=100°.【思路点拨】由角平分线定义直接判断.【答案】D.(二)课堂设计1.知识回顾（1）角的表示方法有4种；角的度量单位是度、分、秒；，.（3）2.问题探究探究一探究角的大小比较方法★●活动①学生自主学习134、135页.师问：线段大小的比较方法有几种？分别是什么方法？学生举手抢答：①度量法；②叠合法.师问：类比线段大小的比较方法，角的大小比较方法有几种？分别是什么方法？学生举手抢答.总结：角的大小比较方法（类比线段大小比较方法）①度量法：用量角器量出角的度数比较大小.②叠合法：移动一个角，使一条边重合，看另一条边所落的位置比较大小.【设计意图】通过类比思想，学习角的大小比较方法，让学生学会学习，培养学生迁移知识的能力.探究二探究新知★▲●活动①探究角的和差运算师问：类比线段和差运算，根据下图，你会进行角的和差运算吗？(1)∠AOC=∠AOB+∠BOC；(2)∠BOD=∠COD+∠BOC；(3)∠AOC=∠AOD—∠COD；(4)∠BOC=∠AOD—∠AOB—∠COD．学生举手抢答.总结：角的和差运算与线段的和差运算一样，要结合图形完成.【设计意图】用类比思想学习角的和差运算.让学生学会学习，培养学生迁移知识的能力.●活动②探究角平分线的定义及表示师问：你还记得什么叫线段中点吗？如何表示？学生举手抢答.师问：类比线段中点，你能给角平分线下定义吗？能用符号表示吗？学生举手抢答.总结：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线.用符号语言表示：如图，OC平分∠AOB，则【设计意图】用类比思想学习角平分线.教会学生学会学习，培养学生迁移知识的能力.探究三运用知识解决问题★▲●活动①学生自主学习133页.师问：度、分、秒是如何定义的？学生举手抢答.师问：度、分、秒之间有何关系？周角、平角、直角的大小如何量化？生答.总结：1°=60′，1′=60″；1周角=360°，1平角=180°，1直角=90°；1周角=2平角=4直角.【设计意图】掌握角的度量单位，及其之间的换算关系.●活动②例1.计算：（1）65°53′26″＋37°14′53″；（2）106°27′30″－98°25′42″；（3）23°25′24″×4；（4）102°48′21″÷3.【知识点】角的比较与运算.【数学思想】【解题过程】解：（1）65°53′26″＋37°14′53″=；（2）106°27′30″－98°25′42″=；（3）23°25′24″×4=；（4）102°48′21″÷3=；【思路点拨】加法：度与度相加，分与分相加，秒与秒相加，满60向高一级单位进1；减法：度与度相减，分与分相减，秒与秒相减，当不够减时，向高一级借1作60再相减：乘法：用乘数分别乘度、分、秒，然后从小到大满60进1；除法：用除数分别去除度、分、秒，若有余数，乘60后加到下一级单位再除，最后四舍五入精确到秒.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.练习：计算：填空：；；；.【知识点】角的比较与运算.【数学思想】【解题过程】解：（1）；（2）；（3）；（4）.【思路点拨】加法：度与度相加，分与分相加，秒与秒相加，满60向高一级单位进1；减法：度与度相减，分与分相减，秒与秒相减，当不够减时，向高一级借1作60再相减：乘法：用乘数分别乘度、分、秒，然后从小到大满60进1；除法：用除数分别去除度、分、秒，若有余数，乘60后加到下一级单位再除，最后四舍五入精确到秒.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【设计意图】掌握角的和差倍分计算，懂得“借位”与“进位”的方法，培养学生计算能力.●活动③例2.如图，OB是的平分线，OD是的平分线，如果，求的度数.【知识点】角的比较与运算.【数学思想】【数学思想】类比思想.【解题过程】解：因为OB是的平分线，OD是的平分线，所以所以【思路点拨】类比线段中点知识解决角平分线的问题.【答案】.练习：如图所示，∠AOB=42°，∠BOC=86°，OD为∠AOC的平分线，求∠BOD的度数．【知识点】角的比较与运算.【数学思想】【解题过程】解：因为∠AOB=42°，∠BOC=86°，所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=42°+86°=128°因为OD为∠AOC的平分线，所以∠AOD=，所以∠BOD=∠AOD-∠AOB=64°-42°=22°.【思路点拨】先由∠AOB、∠BOC计算∠AOC的度数，再由OD为∠AOC的平分线求∠AOD的度数，最后∠AOD-∠AOB即得答案.【答案】22°.【设计意图】加强角平分线的理解与应用，加强解题过程的书写训练.●活动④例3.如图，BD平分∠ABC，∠DBE=29°，且∠CBE比∠ABE的3倍还大18°，求∠CBD的度数．【知识点】角的比较与运算.【数学思想】【解题过程】解：设，则，∵BD平分，，∴，∵，∴，解得：，∴．【思路点拨】设，则，根据角平分线和得出，代入得出，求出即可．【答案】．练习：如图，∠BOC=4∠AOB，OD是∠AOC的平分线，∠BOD=42°，求∠AOB的度数．【知识点】角的比较与运算.【数学思想】方程思想.【解题过程】解：设，则，．∵OD是∠AOC的平分线，∴，∴．∵∠BOD=42°，∴=42°，∴，即．【思路点拨】设，则．由OD是∠AOC的平分线，根据角平分线定义得出，于是．根据∠BOD=42°，列出方程=42°，解方程即可．【答案】．【设计意图】在角的计算问题中，对有关角的平分线、倍分、比例等问题，常设未知数，利用方程求解.3.课堂总结知识梳理（1）掌握角的大小的比较方法.（2）掌握角的和差运算.（3）理解角平分线的定义、表示及应用.重难点归纳（1）掌握角的大小的比较方法.（2）理解角平分线的定义、表示及应用.（三）课后作业基础型自主突破1.若点P在∠MAN内部，现有四个等式：∠PAM=∠NAP，∠PAN=∠MAN,∠MAP=∠MAN，∠MAN=2∠MAP，其中能表示AP是∠MAN的平分线的等式有()A.1个B.2个C.3个D.4个【知识点】角的比较与运算.【数学思想】【解题过程】解：由角平分线的定义，四个等式都正确.【思路点拨】由角平分线的定义及符号表示进行解答.【答案】D.2.如图，已知∠AOB=∠AOD,∠AOC=∠AOD，且∠BOC=15°则∠AOD=_________,∠AOB=_________,∠AOC=_________．【知识点】角的比较与运算.【数学思想】【解题过程】解：由∠AOB=∠AOD,∠AOC=∠AOD，则∠AOC=2∠BOC=30°,所以∠AOD=2∠AOC=60°，∠AOB=∠COB=15°.【思路点拨】由∠AOB=∠AOD,∠AOC=∠AOD，则∠AOC=2∠BOC,所以∠AOD=2∠AOC，∠AOB=∠COB，即可得到解答.【答案】60°，15°，30°.3.计算填空：（1）；(精确到）=___________；(3).【知识点】角的比较与运算.【数学思想】【解题过程】解：（1）；（2）；（3）.【思路点拨】由角的度、分、秒计算.【答案】（1）；（2）；（3）.4.借助一副三角板，不能直接画出下列度数的角是（）A.B.C.D.【知识点】角的比较与运算.【数学思想】【解题过程】解：由三角板的角是角的倍数，故选B.【思路点拨】三角板的角是角的倍数.【答案】B.5.如图，OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，∠EOD=60°，求∠AOB的度数．【知识点】角的比较与运算.【数学思想】【解题过程】解：∵OD是∠AOC的平分线，∴∠AOC=2∠DOC，∵OE是∠BOC的平分线，∴∠BOC=2∠EOC，∴∠AOB=2∠DOE，∵∠EOD=60°，∴∠AOB=120°．故答案为120°．【思路点拨】根据角平分线的概念以及角的和的关系，找到∠AOB和∠EOD之间的关系是关键．【答案】120°．6.如图，OD是∠AOC的平分线，且∠BOC﹣∠AOB=40°，若∠AOC=120°，求∠BOD的度数．【知识点】角的比较与运算.【数学思想】【解题过程】解：（1）∵OD是∠AOC的平分线，∠AOC=120°，∴∠DOC==60°．∵∠BOC+∠AOB=120°，∠BOC﹣∠AOB=40°，∴∠BOC=80°．∴∠BOD=∠BOC﹣∠DOC=20°.【思路点拨】先根据角平分线的定义求出∠DOC==60°，再由已知∠BOC﹣∠AOB=40°求出∠BOC的度数，进而可得出结论.【答案】∠BOD=20°能力型师生共研1.如图所示，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE=90°，OF平分∠AOE，若∠COF=26°，求∠BOD的度数．【知识点】角的比较与运算.【数学思想】【解题过程】解：∵∠COE=90°，∠COF=26°，∴∠EOF=∠COE﹣∠COF=90°﹣26°=64°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOE=2∠EOF=2×64°=128°，∴∠BOE=180°﹣128°=52°，∴∠BOD=∠DOE-∠BOE=90°﹣52°=38°．【思路点拨】先求出∠EOF，然后根据角平分线的定义求出∠AOE，再求出∠BOE的度数，由∠DOE=90°即可解答.【答案】38°.2.已知：如图，BD平分∠ABC，BE分∠ABC为2∶5两部分，∠DBE=24°，求∠ABE的度数．【知识点】角的比较与运算.【数学思想】方程思想.【解题过程】解：设，则，BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠DBC所以，解得，∴．【思路点拨】由角平分线的定义，则∠CBD=∠DBA，根据BE分∠ABC为2∶5两部分这一关系列出方程求解．【答案】80°．探究型多维突破1.如图，已知O为直线AB上一点，OC平分∠AOD，∠BOD=3∠DOE，∠COE=，求∠BOE的度数．【知识点】角的比较与运算.【数学思想】方程思想.【解题过程】解：设，则，∵∴∴∵OC平分.∴.∵∴∴，即,∴.【思路点拨】设，则，用含求出的表达式，然后根据列出方程即可求出的度数．【答案】.2.（1）如图1，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM、ON分别平分∠AOC、∠BOC，则∠MON=°；（2）如图2，已知∠AOB=90°，∠BOC=，OM、ON分别平分∠AOC、∠BOC，求∠BON的度数；（3）如图3，∠AOB=，∠BOC=，仍然有OM、ON分别平分∠AOC、∠BOC，求∠MON．【知识点】角的比较与运算.【数学思想】【解题过程】解：（1）∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°，∵OM、ON分别平分∠AOC、∠BOC，∴，∵，∴；（2）∵ON平分∠BOC，∴∠BON=；（3）∵OM、ON分别平分∠AOC、∠BOC，∴∠MOC=，∠CON=，∴∠MON=∠MOC-∠CON=.【思路点拨】（1）根据OM、ON分别平分∠AOC、∠BOC可知：∠MON=.（2）根据ON平分∠BOC，可知∠BON=；（3）根据OM、ON分别平分∠AOC、∠BOC可知：∠MON=.【答案】（1）45°；（2）∠BON=；（3）∠MON=.自助餐1.两个锐角的和()A.是锐角B.是直角C.是钝角D.以上均有可能【知识点】角的比较与运算.【数学思想】分类讨论.【解题过程】解：两个锐角的和，可能为锐角、直角、钝角，故选D.【思路点拨】考虑所有可能的情况作答.【答案】D.如图所示，∠AOB、∠COD都是直角，下列结论：①∠AOC=∠BOD；②∠AOC+∠BOD=90°；③若OC平分∠AOB，则OB平分∠COD；④∠AOD的平分线与∠COB的平分线是同一条射线，其中结论正确的个数是（）．A.1B.2C.3D.4【知识点】角的比较与运算.【解题过程】解：由角平分线定义、角的大小比较容易判断，①③④正确.【思路点拨】由角平分线定义