环境流体力学 课件 4.5 平面不可压缩流动

流函数不可压缩流体的平面无旋流动在工作实践中常会碰到这样的物体，它的一个方向的尺度比另外两个方向的尺度大得多，所以可以近似的看成横截面形状不变的柱体，把尺度大的方向定义为z方向，流动只在与Oxy平面平行的平面内进行，在与这种平面垂直(即与Oz轴平行)的直线上，所有的物理量都相等，即它对z的偏导数为0。于是，平面运动的数学定义是，。如果流体不可压缩，则直角坐标系，定义流函数显然有即对流函数

，不可压缩性自动满足。流函数不可压缩流体的平面无旋流动流函数性质：(a)是流线，它的切线方向和速度矢量方向重合。证明：流线满足于是流线上的线元满足

即线元的切线方向和速度矢量方向重合。因此，定常流中，任何一条流线都可以看作是固体的壁面，我们也可以定义固壁为0流线。流函数不可压缩流体的平面无旋流动流函数性质：(b)通过曲线M0M的流量等于两点上的流函数之差。证明：如图，有由于有多连通区域，内边界总流量。，那么根据体积流量守恒原理，包围内边界的任一封闭曲线L的流量也必然是，在这种情况下，流函数就将是多值的。如果封闭曲线绕n周内边界L0，那么这显然说明是多值的，他们之间相差的整数倍。然而尽管流函数可能是多值的，根据定义，流场中速度总是单值的。单连通区域，流函数沿封闭曲线积分为零。流函数不可压缩流体的平面无旋流动流函数性质：(c)流函数的值是速度的矢量势的模。根据不可压缩流体的连续性方程可以定义速度矢量势，使得证明：比较这两个式子就得出，显然，可定义。流函数不可压缩流体的平面无旋流动流函数性质：(d)方程证明：对于平面流动，流体涡量只有z轴方向分量，记为，又可根据，涡量表示为流函数只是x和y的函数，于是。因此有即显然，对于无旋运动，有流函数不可压缩流体的平面无旋流动(2)柱坐标系不可压缩柱坐标系中平面流动表达式定义流函数于是不可压缩性自动满足。如果运动无旋，则即在柱坐标系中，流函数依然满足拉普拉斯方程流函数不可压缩流体的平面无旋流动即【例】证明直角坐标系下定义的流函数和柱坐标下定义的流函数是同一函数。柱坐标与直角坐标的关系对于直角坐标定义的流函数，有流函数不可压缩流体的平面无旋流动【例】证明直角坐标系下定义的流函数和柱坐标下定义的流函数是同一函数。实际上，由有

轴对称无旋流动2轴对称无旋流动的数学提法势函数（柱坐标）【例1-5】求柱坐标中梯度、散度、旋度的表示。已知：于是：4轴对称无旋流动2轴对称无旋流动的数学提法势函数边界条件：1）固体壁面上2）远场边界（柱坐标）（球坐标）4轴对称无旋流动2轴对称无旋流动的数学提法（柱坐标）Stokes流函数4轴对称无旋流动2轴对称无旋流动的数学提法势函数边界条件：1）固体壁面上2）远场边界（柱坐标）（球坐标）4轴对称无旋流动2轴对称无旋流动的数学提法Stokes流函数（柱坐标）Stokes流函数（柱坐标）（球坐标）无旋流动无粘性不可压缩流体的空间轴对称流动球坐标下柱坐标下基本流动（1）均匀流动柱坐标坐标变换关系：无粘性不可压缩流体的空间轴对称流动基本流动（2）空间点源（汇）球坐标下球坐标柱坐标坐标变换关系：无粘性不可压缩流体的空间轴对称流动基本流动（3）空间偶极子球坐标无粘性不可压缩流体的空间轴对称流动基本流动空间点源（汇）（3）空间偶极子球坐标柱坐标坐标变换关系：无粘性不可压缩流体的空间轴对称流动

设在z

轴上自原点出发的长为l1的线段上连续分布着强度相等的点源，这通常称为线源（图6.43）。单位长度线源上流量设为q，线源微元δl所产生的流动流函数则是：因此整个线源所产生的流动函数是由于因此同样也可求得速度势函数φ是注意：源所在位置是局部球坐标的原点圆球绕流问题，无穷远处速度为V∞的均匀来流，不脱体绕过半径为a的圆球，求解流场这一流动