数学模型在投资风险与收益中的应用

－PAGE１２－摘要数学模型常用来解决经济中的问题。本文根据马科维兹均值—方差模型，用期望与方差将抽象的风险与收益进行量化。并选取了5种投资商品的历史收益率、收盘价等数据进行实证分析，根据Matlab程序计算协方差、方差、平均收益率等得出有效前沿，运用矩阵求出每种证券商品对应的权重，从而实现组合最优。关键词：投资组合理论；有效前沿；投资风险；收益

AbstractMathematicalmodelsareoftenusedtosolveproblemsintheeconomy.ThispaperquantifiestheabstractrisksandbenefitswithexpectationandvarianceaccordingtotheMarkowitzmean-variancemodel.Andselected5kindsofinvestmentcommodity'shistoricalreturnrate,closingpriceandotherdatatocarryontheempiricalanalysis,accordingtotheMatlabprogramcalculationcovariance,variance,averagereturnrateandotherformulastogettheeffectivefrontier,usingthematrixtofindthecorrespondingweightofeachsecuritycommodity,toachievetheoptimalcombination.Keywords:portfoliotheory;effectiveboundaries;investmentrisk;return－－PAGE１２－目录TOC\o"1-3"\h\u176651引言 １112271.1研究背景 １128291.2研究现状 １153791.2.1国外研究现状 １83041.2.2国内研究现状 ２90402相关概念 ３99172.1数学建模 ３257262.2投资收益与风险的关系 ３201132.3马科维茨投资组合理论 ４296982.4无差异曲线(不同投资者的风险偏好) ４121952.5资产有效前沿 ５133302.6二次规划问题 ５70773模型的建立及求解 ６252953.1符号说明 ６63233.2模型假设 ６291353.3投资组合的预期收益率 ７244013.4投资组合的风险 ７244013.4.1方差 ７124723.4.2协方差 ８85563.5无差异曲线的确定 ９185664实证分析 １０122344.1实例应用1 １０193814.2实例应用2 １３31995模型评价 １６121416结论 １７30456参考文献 １８28142致谢 １８－－PAGE１２－－－PAGE１８－1引言1.1研究背景在科技发展迅速的21世纪，互联网大数据已经成为当今时代的潮流。在这一时代背景下，数学建模在经济、医学、生产等领域得到广泛的应用；在生物、科学和管理中也发挥着至关重要的作用，因此数学建模越来越受人们的重视。与此同时，近几年来我国经济发展迅速，人均收入水平不断上升，人们积累的财富也越来越多。因此很多闲置资金拥有者开始跻身金融投资市场，以实现资产增值的目的。可是目前我国投资市场还未成熟，金融投资行情也不容乐观。再加上投资者的暴富心理，盲目从众心理导致很多投资者无法实现资金增值，所以为帮助投资者减少投资风险，选择合适科学理性的投资组合方案这一问题变得至关重要。再者，大学数学成为当代大学生的一门必修课。它要求学生在学好知识与技能的同时，要注重理论与实际的结合。而数学建模能很好的将数学知识运用于现实中的实际问题。就拿近几年来的全国大学生数学建模竞赛题来说，每一个建模题目都与现实中的生活息息相关。如公交车调度问题、CT成像及旋转中心的确定、高压油管的压力控制等等都要求参赛者把抽象的实际问题通过一定的简化建立相应的数学模型。这些都体现出数学的重要性，数学模型的重要性。而本文讨论的投资收益与风险模型的建立正是将数学理论知识应用于经济，是理论与实际结合的一种体现。1.2研究现状1.2.1国外研究现状经济影响着数学模型与投资理财的起源和发展，因此将数学模型应用于投资风险与收益这一领域的研究在国外进行的早。数学模型运用于经济市场最早是在17世纪，由配第和葛兰特倡导，他们利用算数方法和一些简单的概念对经济问题加以分析。随着时间的推移，经济数学越来越受到人们的推崇，分析经济问题的数学工具也变得更加的复杂，有高等的数学方法，数学建模、规划问题、集合论等。1952年，马科维兹（HarryM.Markowitz）率先提出现代资产组合理论也就是均值——方差模型。该理论主要是为了减少投资者的风险，将投资者的资产在各种投资商品间进行合理配置。在均值——方差模型中马科维茨首次将数学中的二次规划问题引入经济学中，在考虑方差和期望收益这两个因素下，求得对投资者而言最有利的投资组合[[]朱圣春.资产组合的理论发展及其比较研究[J].[]朱圣春.资产组合的理论发展及其比较研究[J].财经理论与实现,1994(03):60-62.1968年，拥有浓重主观色彩的西方经济学理论已经无法满足当时复杂的经济问题、经济现象。加上诺贝尔经济学奖的设立，引得经济学者们开始大量的应用数学思维，数学建模分析方法。随着时间的推移，1996年Kim和Omberg在马科维茨投资理论的基础上，研究了一个连续时间市场中，终端财富效用最大化的投资组合选择问题，他们使用一种随机控制方法来解决这个选择问题，结果发现最优的组合权重是线性的[[]徐丽梅.现代投资组合理论及其分支的发展综述[J].[]徐丽梅.现代投资组合理论及其分支的发展综述[J].首都经济贸易大学学报,2006（04）:75-79.如今的经济学中数学模型得到广泛应用，比如《西方经济学》中利用求导和极限的思想解释有效前沿；供求曲线也是简单的数学模型；博弈论、蛛网模型等都与数学建模息息相关。1.2.2国内研究现状由于之前我国经济发展落后，因此我国的个人理财业务发展较晚。但近几年来，我国经济发展迅速，研究经济领域的国内学者也逐渐增多。但在投资风险与收益的研究中大多数国内学者都是在西方学者的基础下进行的。1995年，凌晓东、刘萍在《数量经济技术经济研究》中发表“资产组合优化的数学模型及数值实现”一文，他们以盈利性金融机构为主体，认为金融资产具有双层属性，把实际收益率看成是一个随机变量，用均值和方差衡量收益水平与风险水平[[]刘萍.金融资产组合优化的模型和数值实现[J][]刘萍.金融资产组合优化的模型和数值实现[J].数量经济技术经济研究,1995（03）：68-71.2003年，赖民、赵世舜、宋立新在吉林大学学报中发表“关于投资风险-收益模型等价性的证明”一文，他们假设市场上有种投资商品，然后分别建立了允许卖空和不允许卖空的投资组合模型，经过模型求解最终发现这两种策略对应的最优投资组合的收益与风险是相同的[[]赖民赵世舜宋立新.关于投资收益风险模型等价性的证明[J].[]赖民赵世舜宋立新.关于投资收益风险模型等价性的证明[J].吉林大学学报(理学版),2003(04):49-52.而本文讨论投资者如何在种投资商品中选择出最佳的投资组合。首先根据哈里•马科维茨提出投资组合理论，让投资者的资产在不同产品间进行分配，用投资组合的期望来衡量该投资组合的收益大小，用方差来衡量该投资组合的风险大小。并从锐思数据库中随机找出了5种投资商品的历史收益率、收盘价等数据进行实证分析，根据Matlab程序计算出这五种商品的协方差、方差、预期收益率等，得出有效前沿，再运用矩阵求出每种证券商品在投资中所占的权重，从而得到最小方差组合。2相关概念2.1数学建模数学建模是一种数学方法。为了解决现实中的某些具体问题，达到特定的目标效果，对现实问题进行深入的研究、仔细的调查、发现问题的内在本质。对问题做出一些必要的简化和相应的假设，并且灵活的应用各种数学语言、数学公式和符号从而建立相应的数学模型，再经过Matlab等数学软件及算法对数学模型进行求解，最后将求出的结论应用到现实问题中，使问题得到解决。因此说数学建模是一种解决问题的方法，是将生活问题转化为数学问题的一种重要途径。2.2投资收益与风险的关系在投资市场中，投资者在投资前必然要先了解投资商品的风险与收益，从理论上来说，投资收益与投资风险的关系呈负相关。收益常常伴随着风险，收益越高相应的风险也越大，收益越低所要承受的风险越小。因此个人投资者只能在风险和收益中选取一个比较均衡的方法，来增加自己的财富。第一、在相同收益下选择风险比较小的投资产品进行投资。第二、在投资风险相同时选择收益较高的投资产品进行投资。但是这并不是唯一的均衡方法，因为风险并不是影响收益的唯一因素，仅仅是粗略的反映。收益受很多因素的影响，比如社会环境、社会经济、政策等…2.3马科维茨投资组合理论哈里•马科维茨（Markowitz)是金融经济学领域的先驱。他率先提出均值——方差模型也就是现代资产组合理论。马科维兹投资组合理论是为了分散投资者的风险，保证投资者的资产增值。因此选取多种证券商品进行合理的投资，从而构成一个投资组合。这种组合不是随意的搭配，而是在一定的约束条件下，根据投资者自身的意愿和合理科学的计算，按照一定的权重对各种证券商品进行科学有规划的投资，以达到减少投资者风险的目的。它主要是通过衡量投资产品的方差和期望收益这两个重要指标，在方差一定的情况下使投资者的利益得到最大化。这个投资组合并不是单一不可变动的，它可以随时调整。在资本市场中，每个个案都需要量身定制，没有通用的投资组合方案，它需要考虑每一个投资者的心理承受能力和资金承受能力。按照投资者的合理心理预期目标，在投资收益和风险中做出对于投资者来说最佳的决策。在保证投资者的本金相对安全的条件下，使资产得到增值。总的来说马科维茨投资组合理论最核心的思想是分散投资者的投资风险。2.4无差异曲线(不同投资者的风险偏好)在金融市场中，每个投资者都是独立的个体，他们有不一样的心理承受能力和资金承受能力，所以不同的投资者对风险的偏好不同。本文用无差异曲线来表示投资者的风险偏好程度。在股市中，无差异曲线也叫做等效用曲线，一条无差异曲线上的每一个点都满足投资者的需求，因此在同一条曲线上的每一点（即每一个投资组合）都是等效的。每条无差异曲线都是凸向原点的曲线，因此曲线上每一个切点的斜率是负的。从理论上来说，投资收益与投资风险的关系呈负相关。所以无差异曲线越平缓即斜率的绝对值越小，代表投资者对风险的偏好程度越大；无差异曲线斜率的绝对值越大，说明投资者对风险的喜好程度越小。在本文中，无差异曲线代表的是投资者对组合投资的收益的偏好程度和对组合投资风险也就是方差的厌恶程度的一种表述。根据不同风险偏好可以将投资者分为：风险偏好者、风险中立者、风险厌恶者。2.5资产有效前沿马科维茨资产有效前沿也称马科维茨边界、资产有效边界。资产有效前沿是马科维茨组合理论的前提，所有通过马科维兹组合理论寻求的最小方差组合都在资产有效前沿上。换句话来说，有效前沿上的组合点才是正确的投资组合。在风险一定时，寻求收益率最大化；或者在收益率一定时，寻求风险最小化。满足这两个条件中的任意一个条件的集合就叫作资产有效前沿。资产有效前沿是一条向外凸的线，是投资组合所有可能结果的集合。而最优组合就是资产有效前沿上的某一点，它只有一个。对于每一个投资者来说，有效前沿上的组合点是他们利益最大化的集合，不同风险偏好的投资者，都可以在有效前沿上找到最优的组合。2.6二次规划问题二次规划是一种经典的数学优化问题，同时也是最简单的约束非线性问题，属于特殊的非线性规划。其中二次规划可分为凸二次规划和非凸二次规划。如果一个模型同时满足以下两个条件的称为二次规划问题。（1）目标函数的变量的最高次是二次，也就是说目标函数是变量的二次函数。（2）约束条件都是变量的线性不等式。其一般形式表示如下：受到一个或多个约束条件形式如下：其中表示的转置，如果对于任意的非零矩阵都有，则称矩阵Q为半正定矩阵，那么这一问题就称之为凸二次规划问题。3模型的建立及求解3.1符号说明在投资市场中，收益和风险是每位投资者的主要决策指标。然而根据马科维茨投资组合理论可以将投资组合的风险与收益进行量化。因此用期望来衡量收益的多少，用方差来度量风险的大小。为方便模型的建立及求解，假设每位投资者有种投资商品可选择，以下是本文所应用到的预期收益率、收益方差、投资权重等数学符号的假设：:某一投资组合的预期收益率。:某一投资组合的收益的方差（风险具有不确定性）:某一投资组合的收益的标准差。、：第种证券商品的收益、第种证券商品的收益。：无风险投资收益（存银行，收益固定，可预期）。：无风险投资在组合投资中所占的权重。、：资产和资产在组合中所占权重。。：两种资产之间的协方差。:两个随机变量之间的协方差。:将协方差开根号就得到相关系数：第条无差异曲线的效用3.2模型假设由于马科维茨投资组合理论本身拥有一些局限性，因此根据马科维茨投资组合理论建立的数学模型需要在特定的条件下进行，所以本文作如下模型假设：每一种投资组合的收益率都服从联合正态分布，并且投资者在投资前已经知道投资收益的概率分布。每个投资者都是喜好收益，厌恶风险的理性投资者。在收益相同的情况下，能选择风险较小的投资组合；反之，在风险相同时，也能选择收益较高的投资组合[[]郑丕谔.马科维兹投资组合的改进及其应用[]郑丕谔.马科维兹投资组合的改进及其应用[J].辽宁工程技术大学,2006(1):30-32.投资组合收益率（期望值）和风险（方差）是投资者决策的主要衡量指标。各种投资产品的收益不相关，相互独立。投资者闲置资金足够大，有n种可选择的证券投资种类。不允许卖空，在当今中国证券市场上，是禁止卖空的。也就是说每个证券商品的投资都是大于等于0的，即。3.3投资组合的预期收益率每一位投资者进行投资的目的都是为了资产增值，都希望自己的投资产品收益越高越好，所要承担的投资风险越小越好。一般来说，收益与风险是每位投资者决策的主要衡量指标。为了让投资者更清楚的了解所投资产品的风险与收益，本文根据马科维茨投资组合理论(Markowitz)，用投资组合的期望来衡量该投资组合的收益大小。期望值越大，表明投资者可以获得的收益越多；相反的，期望值越小，代表投资者获得的收益越少。又因为一种投资组合的收益是各项投资商品收益之和，所以投资组合的预期收益（期望）的数学表达式为：由于是固定值，所以即投资组合的预期收益率可整理为：3.4投资组合的风险3.4.1方差根据马科维茨投资组合理论(Markowitz)，我们用投资组合的方差来衡量该投资组合的风险大小。其中方差是反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度。若方差小，则随机变量的取值比较集中，投资者所承担的风险小；若方差大，则随机变量的取值比较分散，即投资者所承担的风险大。投资组合的方差是各项投资商品收益之和的方差，则方差的数学表达式如下：然而在马科维茨投资组合理论模型中假设每一种投资组合的收益率都服从联合正态分布，所以属于连续型随机变量，因此根据连续型随机变量的方差定义。又因为在这里不用考虑无风险投资的方差,即方差可进一步变形为：若有N种证券商品，则一种投资组合方案用矩阵可以表示为，其对应的预期收益率为，即这样就形成了均值——方差投资组合的选择。在这里我们重点要考虑的是如何确定各种证券商品在投资中所占的权重，即分别为何值时，方差达到最小。3.4.2协方差投资组合的方差大小不仅仅受到各个投资产品风险的影响，也受到投资商品间相关性的影响，所以我们用协方差来度量各投资产品间的相关性。协方差与期望之间的关系式如下：其中X、Y表示两个随机变量，根据公式可以知道两个随机变量的协方差会等于这两个随机变量与各自期望差的乘积的期望。又根据n项平方和的扩展式和协方差与期望之间的关系式所以我们可以进一步将方差化为：若令，则根据协方差的定义和公式，所以得[[]陈静.证券收益与风险的投资可行集有效边界的数学刻画与Matlab计算[]陈静.证券收益与风险的投资可行集有效边界的数学刻画与Matlab计算[J].科学技术与工程,2009(12):3578-3583.由于只考虑风险与收益两个因素，所以建立模型的目标是使投资的风险（方差）达到最小值。再结合前面期望和协方差公式可以将方差公式变为，这样一来目标函数就变为各种商品在投资组合中所占权重（目标变量）的二次函数，约束条件是关于目标变量的线性不等式。由2.6二次规划问题的概念可知，这一模型属于二次规划问题。综上分析得出模型如下[[]傅浩哲.浅谈金融投资收益与风险的数学模型[J].现代商业,2019(1):99-100.[]傅浩哲.浅谈金融投资收益与风险的数学模型[J].现代商业,2019(1):99-100.即目标函数为：约束条件为：针对上面的模型，通过附录C中的模型求解代码，利用matlab软件，根据给出的种投资商品的历史收益率和收盘价，借助协方差矩阵可以算出预期收益率、方差、资产有效前沿、求出各投资商品在投资中所占权重大小。从而使模型得到求解，为投资者找到最佳的投资方案。3.5无差异曲线的确定根据3.1的符号假设，投资组合的预期收益率的数学符号是,表示某一投资组合的收益的标准差,用来表示某一条无差异曲线的效用，因此投资者的无差异曲线表示达式为[[8]刘玲.测定投资者无差异曲线的方法[J].投资理论与实践,1994(5):24-25.]：[8]刘玲.测定投资者无差异曲线的方法[J].投资理论与实践,1994(5):24-25.其中系数是方差对期望求导的倒数：这里的是根据投资者的意愿决定的，是投资者投资无风险产品所占的权重。然后求出相应的系数，把代入无差异曲线的通式：，就可以得出满足投资者偏好的曲线了。最后将求出的无差异曲线和利用数学模型、matlab求出的有效前沿相结合，得到两条曲线的切点，这个切点便是所要求作投资组合。4实证分析4.1实例应用1就近原则，现本文分别选取福建省的2种股票：泰禾集团（00732）、宁德时代（300750）;3种基金：南方瑞合（501062）、易方达300ETF（510310）、汇添富500A（501036）作为可投资的商品，投资者必须对每种资产进行投资，在这个条件下为投资者寻求最佳的投资组合方案。以下是这几种投资商品在2019年11月1日至2019年12月31日的周收益率（具体数据见表4-1周收益率，详细数据见附录A）表4-1周收益率日期泰禾集团宁德时代南方瑞合易方达300ETF汇添富500A2019-11-01-0.0102-0.02380.004360.01425-0.005572019-11-08-0.00520.09070.011590.005260.005732019-11-220.01820.10880.00116-0.006990.00952019-12-060.01060.0640.034980.019280.02175续表4-12019-12-130.005200.019310.01660.01122019-12-200.0783-0.00240.012350.012230.021662019-12-27-0.02420.1231-0.000090.00124-0.000122019-12-310.01650.02110.046980.03060.0368（数据来源：RESSET()数据库）根据经济中的公式单只股票、基金的预期收益率计算公式[[]关可天.证券投资组合模型应用实例[J][]关可天.证券投资组合模型应用实例[J].投资与创业,2018(4):6-6.致谢大学生活一晃而过，回首走过的岁月，心中倍感充实，当我写完这篇毕业论文的时候，有一种如释重负的感觉。首先诚挚的感谢我的论文指导老师许丽莉老师。她在忙碌的教学工作中一次次挤出时间来审查、修改我的论文。也感谢教过我的所有老师们，你们严谨细致、一丝不苟的作风一直是我工作、学习的榜样;是你们循循循善诱的教导和不拘一格的思路给予了我无尽的启迪。感谢四年中陪伴在我身边的同学、朋友、感谢你们为我提出的建议，有了你们的支持、鼓励和帮助，我才能充实的度过这四年的学习生活。附录附录A股票周收益率股票名称日期周收益率泰禾集团2019-11-01-0.0102泰禾集团2019-11-08-0.0052泰禾集团2019-11-15-0.0501泰禾集团2019-11-220.0182泰禾集团2019-11-290.0107泰禾集团2019-12-060.0106泰禾集团2019-12-130.0052泰禾集团2019-12-200.0783泰禾集团2019-12-27-0.0242泰禾集团2019-12-310.0165宁德时代2019-11-080.0907宁德时代2019-11-15-0.0399宁德时代2019-11-220.1088宁德时代2019-11-290.0858宁德时代2019-12-060.064宁德时代2019-12-130.0000宁德时代2019-12-20-0.0024宁德时代2019-12-270.1231宁德时代2019-12-310.0211数据来源：RESSET()附录B基金周收益率截止日期基金名称周收益基金名称周收益基金名称周收益2019-11-01南方瑞合0.00436易方达300ETF0.01425汇添富500A-0.005572019-11-08南方瑞合0.01159易方达300ETF0.00526汇添富500A0.005732019-11-15南方瑞合-0.01098易方达300ETF-0.02398汇添富500A-0.023032019-11-22南方瑞合0.00116易方达300ETF-0.00699汇添富500A0.00952019-11-29南方瑞合-0.01629易方达300ETF-0.00563汇添富500A-0.001512019-12-06南方瑞合0.03498易方达300ETF0.01928汇添富500A0.021752019-12-13南方瑞合0.01931易方达300ETF0.0166汇添富500A0.01122019-12-20南方瑞合0.01235易方达300ETF0.01223汇添富500A0.021662019-12-27南方瑞合-0.00009易方达300ETF0.00124汇添富500A-0.000122020-01-03南方瑞合0.04698易方达300ETF0.0306汇添富500A0.03682020-01-10南方瑞合0.03663易方达300ETF0.00458汇添富500A0.0172020-01-17南方瑞合0.00321易方达300ETF-0.00179汇添富500A0.004742020-01-23南方瑞合-0.00455易方达300ETF-0.03596汇添富500A-0.021142020-02-07南方瑞合0.02616易方达300ETF-0.02586汇添富500A-0.00852020-02-14南方瑞合-0.01633易方达300ETF0.02262汇添富500A0.016912020-02-21南方瑞合0.05242易方达300ETF0.04073汇添富500A0.065042020-02-28南方瑞合-0.05369易方达300ETF-0.05022汇添富500A-0.052732020-03-03南方瑞合0.04027易方达300ETF0.03829汇添富500A0.04347数据来源：RESSET()附录C模型求解代码closeall;clc;clearall;warningoff;%关闭所有的图形窗口、清除窗口命令窗口的内容、清除所有变量、关闭警告rand('seed',201);%产生随机数randn('seed',201);formatlongg;%将数据显示为长整型科学计数%定义全局变量globalretEr0;r0=0.02;1.读取数据和计算收益率,协方差等%filename201='收益率数据.xlsx';%[adata201,bdata201,cdata201]=xlsread(filename201);%读取adata201=load('data.txt');%计算收益率returns_mat=adata201;%收益率矩阵n=size(returns_mat,2);%资产数%计算协方差mycov_p=cov(returns_mat);retE=mean(returns_mat);rmat_p=linspace(min(retE),max(retE),40)';K_p=length(rmat_p);riskmat_p=zeros(K_p,1);wait_hand=waitbar(0,'running...','tag','TMWWaitbar');fork=1:K_p%每种收益率循环r=rmat_p(k);%设定目标回报2.fmincon函数优化投资组合A_retlimit=[];b_retlimit=[];Aeq_retlimit=[retE;ones(1,n)];beq_retlimit=[r;1];lb_retlimit=zeros(n,1);ub_retlimit=ones(n,1);w0_retlimit=ones(n,1)/n;opts_retlimit=optimset('Display','off');%不显示过程[w,fval]=fmincon(@(x)myobjfun(mycov_p,x),w0_retlimit,A_retlimit,b_retlimit,Aeq_retlimit,beq_retlimit,lb_retlimit,ub_retlimit,[],opts_retlimit);%调用fmincon计算最小方差riskmat_p(k,1)=sqrt(fval);waitbar(k/K_p,wait_hand);enddelete(wait_hand);%求最小方差组合%不允许卖空A_minrisk=[];b_minrisk=[];Aeq_minrisk=ones(1,n);beq_minrisk=1;lb_minrisk=zeros(n,1);ub_minrisk=ones(n,1);w0_minrisk=ones(n,1)/n;opts_minrisk=optimset('Display','off');%不显示过程[w_minrisk,fval_minrisk]=fmincon(@(x)myobjfun(mycov_p,x),w0_minrisk,A_minrisk,b_minrisk,Aeq_minrisk,beq_minrisk,lb_minrisk,ub_minrisk,[],opts_minrisk);%调用fmincon计算最小方差disp('最小风险组合的风险');risk_minrisk=sqrt(fval_minrisk)disp('最小风险组合的收益率');ret_minrisk=sum(w_minrisk'.*retE)disp('最小风险组合对应的权重');w_minrisk%stocknamecell=cdata201(1,2:end);%outcell={'资产','权重'};%outcell=[outcell;%stocknamecell',num2cell(w_minrisk)]figure;holdon;plot(riskmat_p,rmat_p,'b','linewidth',1);plot(risk_minrisk,ret_minrisk,'r.','markersize',30);legend({'有效前沿','最小方差组合'},'fontname','宋体');xlabel('风险','fontname','宋体');ylabel('收益率','fontname','宋体');title('有效前沿','fontname','宋体');宁德时代预期收益率：泰禾集团预期收益率：易方达300ETF预期收益率：汇添富500A预期收益率：南方瑞合预期收益率：根据前面的期望、方差和协方差的计算公式，得到表4-2协方差与预期收益率：表4-2协方差与预期收益率宁德时代泰禾集团易方达300ETF汇添富500A南方瑞合预期收益率0.0501330.0066700.0035800.0396000.062600宁德时代0.0034460.000044-0.0000930.000146-0.000124泰禾集团0.0000440.0011070.0002500.0003950.000221续表4-2易方达300ETF-0.0000930.0002500.0002470.0002180.000267汇添富500A0.0001460.0003950.0002180.0002810.000279南方瑞合-0.0001240.0002210.0002670.0002790.000381将表4-1周收益率数据代入程序（具体程序代码详见附录C有效边沿代码），再利用Matlab软件运行，画出这五种资产的有效前沿如下图4-1所示：图4-1资产有效前沿如图4-1所示蓝色的曲线是这五种证券商品的资产有效前沿，这条曲线上的红点代表的是该投资者应选择的最小方差组合，红点对应的横纵坐标分别是方差和收益。以下是根据Matlab程序（具体运算程序见附录C）得出的具体结果：最小风险组合的风险：risk_minrisk=0.014757587901019最小风险组合的收益率：ret_minrisk=0.00942028768680359最小风险组合对应的权重如下表4-3所示：表4-3最小风险组合对应权重SEQ表5-5最小风险组合对应权重\*ARABIC1资产权重泰禾集团0.005350327宁德时代0.081565572南方瑞合0.008819925易方达300ETF0.806733306汇添富500A0.0975308689利用马科维茨投资组合理论得出的数学模型，给出投资商品的历史收益率，算出协方差矩阵，再根据matlab程序计算出投资组合的预期收益率、方差、资产有效前沿以及各种投资商品所占的权重。根据上述结果表明这五种投资商品在不允许卖空的情况下，投资者应该把资金的80.67%投给易方达300ETF（510310）基金、9.75%用于投资汇添富500A基金（501036）、8.16%投资给宁德时代股票（300750）、0.054%投给泰禾集团股票（00732）、剩余的0.88%投给南方瑞合基金（501062）。此时投资组合的风险为0.0147576，相应的收益率为0.009420288，这一组合是该理性投资者的最小方差组合。4.2实例应用2现随机选取我们常见的六只股票分别是神州高铁（000008）、云南白药（000931）、中关村（002024）、苏宁易购（002918）、蒙娜丽莎（000538）、万达信息（300168）。作为投资商品，为投资者寻求最佳的投资组合方案求出方差最小，收益最大的最优组合。其中下表5-4是这六只股票从2019年10月11日到2019年12月31日的每周收益率。表4-4股票周收益率日期神州高铁云南白药中关村苏宁易购蒙娜丽莎万达信息2019-10-110.02330.0003-0.0078-0.00190.12960.05662019-10-180.00850.0497-0.03590.0039-0.02660.00632019-10-250.00560.01160.04880.0096-0.00780.0092019-11-01-0.02250.0734-0.01880.02290.021-0.06372019-11-08-0.01440.03330.02260.00470.09960.31462019-11-15-0.0321-0.0095-0.074-0.0678-0.0292-0.07622019-11-220.03010.01590.009500.06560.03552019-11-290.0263-0.0251-0.0307-0.01890.0113-0.05062019-12-060.0883-0.00740.0280.0112-0.0503-0.00252019-12-13-0.055-0.0162-0.00830-0.00290.03622019-12-200.01110.00650.04550.01310.1032-0.04032019-12-27-0.00550.01460.1133-0.00590.0241-0.02532019-12-3100.02020.00820.0080.0454-0.0222相同的，将表4-4股票周收益率的数据代入程序（具体程序代码详见附录C有效边沿代码），利用Matlab软件运行程序代码得到有效前沿如下图4-2所示：图4-2股票有效前沿图4-2中蓝色的曲线代表的是这六种证券商品的有效前沿，而曲线上的红点就是该投资者应选择的最小方差组合，红点对应的横纵坐标分别是方差和收益。以下是根据Matlab程序得出的具体结果：最小风险组合的风险:risk_minrisk=0.0180554385759123最小风险组合的收益率:ret_minrisk=0.00815569500191663最小风险组合对应的权如下表所示:表4-5最小风险组合对应权重资产权重神州高铁0.28277705云南白药0.39606295续表4-5中关村0.02931269蒙娜丽莎0.06045992万达信息0.00268481根据结果，在不允许卖空的情况下，该投资者应该把资金的28.28%投给神州高铁（000008）、39.61%用于投资云南白药（000931）、2.93%投资给中关村（002024）、22.87%投于苏宁易购（002918）、6.05%投给蒙娜丽莎（000538）、剩下的0.268%用于投资万达信息（300168）。此时组合的风险为0.0180554，相应的组合收益率为0.0081557，这一投资组合是对于理性投资者来说最优的投资组合。上面两个实例的投资决策都是单纯的根据马科维茨均值——方差模型假设每一个投资者都是属于厌恶风险型的投资者而得到的结论。可是对于其他类型的投资者应该结合无差异曲线和有效前沿，赋予不同的值（可取任意值）就可以在无差异曲线上得到一族曲线，再与求得的有效前沿结合，总有一这条无差异曲线与有效前沿相切，那么这两条曲线的切点，就是结合了消费者偏好的最优投资组合。5模型评价该模型考虑到投资者的偏好，将马科维茨投资组合理论与无差异曲线相结合，具有一定的可行性。所做的实证分析虽然只有5种投资商品、6种股票，但只要我们获得投资产品的协方差矩阵，依旧可以将这个模型推广到可供投资者选择的种投资商品中。另外该模型简单易懂，能让人快速了解，从简单的风险和收益的辩证关系出发，将为人知的风险和收益进行量化，从而得出降低风险，优化收益的投资组合。根据马科维茨投资组合理论，本文所做的模型也存在一定的局限性。首先假设每一个投资者都是理性的投资者，并且投资者在投资前都知道投资商品收益的概率分布，可是现实中大部分投资者都没办法事先知道这一信息，因此这是模型的局限性之一。其次，马科维茨投资理论是在严格的假设条件下进行的，比如投资者只对投资收益与投资风险两个指标进行决策，这又是该模型的局限之一。6结论本文根据马科维兹均值——方差模型，用投资组合的期望来表示该投资组合的收益大小，用方差来衡量该投资组合的风险大小。将不确定的风险与收益量化，再进行符号假设、模型假设，利用期望和协方差等公式将方差进行变形，由此建立方差最小模型。在不允许卖空的情况下，运用程序和matlab软件对模型进行求解。最后通过实证分析对所建立的模型进行验证，将投资者闲置资金用于证券投资，选取其中几种投资商品，给出这几种投资商品的一些历史数据数据，根据Matlab程序计算协方差、方差、预期收益率等公式得出有效前沿，运用矩阵求出每种证券商品对应的权重。再结合每个投资者的偏好，使投资者得到最有利的投资方案，即每种证券商品所对应权重的大小，从而得到适合投资者的最优投资策略。

参考文献

HYPERLINK电脑文件整理懒招从来都是不会经常整理文件的，不过时间一长，众多的文档分布在硬盘的各个角落，用目录进行整理保存，工作量大、查看起来也不方便且还会浪费不少的磁盘空闻；用压缩工具打包，尽管可以节约空间但是却无法直接编辑修改或查看压缩包中的文件。这些招，懒人怎么会用，他们自有妙招!再多再乱的文件也能整理得井井有条，关键是不费力哦!

懒招1，自动提取乱中取胜

小张起初将照片、Office文档、电影、音乐等文件一股脑地存放在某一个磁盘分区，刚开始文件少使用起来倒也方便，但随着时间的推移，文件数量剧增，每次找所需的文件都要瞪大眼睛，不过有了MY文档管理器(下载地址：)就不用担心了。

第一步，下载MY文档管理器，解压到任意目录，直接双击其中的可执行性文件即可使用。依次单击“节点操作→添加节点”，分别添加多个节点，如“办公文档”、“电影”等分类，这样做的目的是方便归类。

第二步，在小张的F盘中的TEST目录下有众多的RM、MP3、JPG、DOC、TXT格式的文件，现在他要把JPG格式的文件提取到“照片”类别中。依次单击“系统配置→文件过滤”选项，打开Dialog对话框，输入“*.doc”，单击“添加”按钮，意思是过滤掉所有类型为“.DOC”的文件。然后按照同样的方法，将“*.txt”、“*.rm”、“*.MP3”一一添加进来。

第三步，双击左侧窗格中的“照片”节点，然后依次单击“记录操作→导入记录树”命令，在打开的对话框中单击浏览按钮，打开“F:\test”目录，单击“确定”按钮之后就可以将格式为JPG的文件提取出来并添加到“照片”节点中了。

懒招2，不同的电脑统一的管理

小张是电爱的Fans，工作之余常常为杂志写稿，他写完的和正在处理的稿件一般都存在一个稿件文件夹里。不过时间一长，家里的电脑(PC1)和单位的电脑(PC2)上都有这个文件夹。时常需要通过移动硬盘(U盘)在两台电脑之间传递，使用和管理都很不方便。不过他现在用优盘就可以统一管理了。

第一步，将上文提到的那个MY文档管理器解压后直接拷贝到优盘上。把优盘插到PC1上，并运行软件，依次单击“记录操作→导入记录树”命令，在随后弹出的对话框中设置好“稿件”文件夹的根目录，将“导入深度”设置为“5”，单击“确定”后，稍等片刻，软件就把PC1上的“稿件”导入到MY文档管理器中。

小提示：通过这种方式导入到程序中的仅仅是文件的路径、文件名等属性信息，并不是文件本身。

第二步，把优盘插到PC2上，按照同样的方法导入PC2上的“稿件”文件。以后要编辑“稿件”里的文件，你自己根本不用记住哪台电脑的哪个路径，只要把优盘插入到电脑，运行MY文档管理器，就可以直接编辑了。

第三步，为方便在异地使用，小张决定为当前正在处理的稿件增加一个副本。在需要异地处理的稿件上右键单击，选择“复制文件到(自动添加副本)”命令，在弹出的对话框中将保存目录设置为优盘上的某个目录即可。这样，就可以在优盘上编辑PC1或PC2的稿件了。

小提示：对于PC1、PC2上的同名文件，MY文档管理器以不同的磁盘号+文件路径来标识文件记录，因此，对于不同电脑上的同名文件，甚至是路径和文件名完全相同的文件，程序也可以准确识别哪个是哪个。

懒招3多种文件批量移动

要将文件管理得井然有序，就免不了要进行复制、删除、移动等等操作，如果一个个进行操作，工作量是非常巨大的。这时我们就需要借助于BelvedereAutomated(下载地址：.com/assets/resources/2008/03/Belvedere%200.3.exe)进行批量操作了。例如我们想把“F:\test”目录中的所有照片移动到F盘中的“北京游照片”目录中，可以按以下方法进行。

第一步，建立“F:\test”目录后在“rule”一栏中，单击“+”按钮，建立一个规则。在“Descriptior”文本框中为当前规则起一个名字如“批量整理移动”。单击第一个下拉列表，在这里可以选择Name(文件名)、Extension(扩展名)、Size(大小)等进行操作，这里选择扩展名“Extension”。单击第二个下拉列表，在这里设置的是操作条件，有is(是)、isnot(不是)、contains(包含)等操作可供选择，这里选择的是“is”。接下来，在最后的文本框中输入图片文件的扩展名，示例中是“JPG”。定义的规则合起来的意思就是“扩展名是JPG”。

第二步，在“Dothefollowing”区域设置操作动作，单击第一个下拉列表进行操作动作的选择，有“Movefile(移动)、Renamefile(重命名)、Deletefile(删除)”等动作可供选择，我们要批量移动，那就选择重命名“Movefile(移动文件)”。接下来，单击后面的按钮选择“F:\北京游照片”目录。

第三步，规则设置完毕，单击“Test”按钮应用规则，程序即可一次性地将所有扩展名为“JPG”的图片文件移动到“F:\北京游照片”目录中了。

懒招4提纲挈领一点即得

在前面几大懒招的帮助下，你电脑里的文件应该已经有点类别了吧。如果从此想告别懒人的生活，那就要养成管理文件的好习惯了。

第一步，在你保存资料的电脑分区中，要接类别建立多个文件夹，可以按用途分为：学习、娱乐、暂存、工作、下载，在娱乐下又可以建立二级目录：电影、歌曲、动画等。也可以按照常见的文件性质进行分类，例如分为：图片、电影、电子书、安装文件等，当然也可以按照你的需要再建立二级目录，以后每有文件需要保存就按这个类别保存到相应的目录。

第二步，虽然现在已经把文件分门别类存放了，但时间长了，目录太深，一层一层查找也很麻烦的，在EXCEL里建一个目录就可以统一管理了。运行EXCEL后，新建一个表格，然后按照我们的分类方式隔行输入：图片、电影、电子书，在图片分类下再建立二级目录名，例如明星、汽车、壁纸等。

第三步，右键单击“图片文字”，选择“超链接”，在弹出的对话框中选择电脑里图片目录文件夹，单击“确定”后EXCEL里的“图片”文字就变成彩色。用同样的方法为一级目录的“电影、电子书”和二级目录的“明星、汽车、壁纸”等添加超链接。然后将这个EXCEL文件命名为文件目录，保存到桌面上，以后打开这个文档，直接单击相应的文字，比如单击“壁纸”，就可以切换到壁纸文件夹了。

小提示：如果要更改某个超链接，直接右键单击该文字，选择“编辑超链接”就可以了。本人的电脑分类原则简述如下。

硬盘的第一层(请在自己的件夹中右键“按组排列”查看)

第一位字母表示A生活娱乐B教学C工作D安装程序

第二位字母表示只是流水号

AA影视

AB音乐

AC阅读

AD图片

AE相册

生活娱乐

BA计算机

BB英语

BC运动

BD游戏攻略

BE衣食住行

BF文艺

教学

CA管理制度

CB流程图

CC程序文件

工作

DA娱乐

DB其它

安装程序

硬盘的第二层(进入“AA影视”的文件夹举例)

第一位字母表示只是流水号

第二位字母表示只是流水号

AA电影

BA电视剧

CAMTV

硬盘的第三级(进入“AA电影”的文件夹举例)

第一位字母表示A动作片B剧情片C动画片

第二位字母表示A未看过B已看过

AA导火线

AB尖峰时刻

动作片

BA独自等待

剧情片

CB机器猫

CB狮子王

动画片

利用“字母排序”和“按组排列查看”可以使文件查看和存放简洁明了，结合自己资料的特点和实际需求，给自己定一个分类原则并严格执行。个人电脑资料的资源会得到高效而充分的利用。

在电脑的内部，在电脑的桌面上，在“资源管理器”中，充斥着无序与混乱,这种虚拟的混乱极大地影响了电脑的性能和我们办公的效率，当大家面临这个问题时，通常认为硬盘空间又不够了，电脑性能又不跟不上了，需要再换一台新的电脑了。事实上，我们真正需要的是坐下来，好好花时间将电脑里的文件真正管理起来，会为自己日后省下更多的时间。

文件管理的真谛在于方便保存和迅速提取，所有的文件将通过文件夹分类被很好地组织起来，放在你最能方便找到的地方。解决这个问题目前最理想的方法就是分类管理，从硬盘分区开始到每一个文件夹的建立，我们都要按照自己的工作和生活需要，分为大大小小、多个层级的文件夹，建立合理的文件保存架构。此外所有的文件、文件夹，都要规范化地命名，并放入最合适的文件夹中。这样，当我们需要什么文件时，就知道到哪里去寻找。

这种方法，对于相当数量的人来说，并不是一件轻松的事，因为他们习惯了随手存放文件和辛苦、茫无头绪地查找文件。

下面，我们将帮你制订一套分类管理的原则，并敦促您养成好的文件管理习惯。以下是我们总结出的一些基本技巧，这些技巧并不是教条，可能并不适合你，但无论如何你必须要有自己的规则，并坚持下来，形成习惯。

一、发挥我的文档的作用

有很多理由让我们好好地利用“我的文档”，它能方便地在桌面上、开始菜单、资源管理器、保存/打开窗口中找到，有利于我们方便而快捷地打开、保存文件。我们可以利用“我的文档”中已有的目录，也可以创建自己的目录，将经常需要访问的文件存储在这里。至于“我的文档”存储在C盘，在重装系统时可能会误删除的问题，可以在非系统盘建立一个目录，然后右击桌面上的“我的文档”，选择“属