6.1.26.1.3向量的加法与减法

6.1.2向量的加法6.1.3向量的减法TOC\o"13"\h\z\u题型1向量加法 3◆类型1求作图形 4◆类型2给定图形 10◆类型3化简 13题型2向量的减法 15◆类型1求作图形 16◆类型2给定图形 20◆类型3化简 23题型3利用已知向量表示未知向量 25题型4向量的模长 28◆类型1向量的模长 28◆类型2模长取值范围最值问题 33题型5利用向量证明几何问题 35题型6向量加减法的几何意义 39原理已知向量，在平面内任取一点A，作，再作向量，则向量叫做与的和，记作，即．本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则．求两个向量和的运算，叫做向量的加法．图示结论||a||b||≤|a+b|≤|a|+|b|【拓展】当a，b同向时|a+b|=|a|+|b|；当a，b反向时，|a+b|=|a||b|或|b||a|知识点一.向量加法的三角形法则知识点二.平行四边形法则原理已知两个不共线向量，作，则三点不共线，以为邻边作平行四边形，则对角线．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．图示运算律知识点三.多个向量相加原理已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．特别地，当与重合，即一个图形为封闭图形时，有图示运算律注意：对于零向量与任一向量a的和有a＋0=0+a=a知识点四.向量的减法定义（1）如果，则向量叫做与的差，记作，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的．（2）向量加上的相反向量，叫做与的差，即．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法．向量减法的三角形法则（1）已知向量，，作，则=,即向量等于终点向量（）减去起点向量（）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量．（2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出．作，则，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．结论||a||b||≤|ab|≤|a|+|b|知识点五.相反向量定义给定一个向量，我们把与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它的相反向量，向量a的相反向量记作a.性质（1）零向量的起点与终点相同，所以0=0；（2）任何一个向量与它的相反向量的和等于零向量，即a十（一a）=0（3）一个向量减去另一个向量，等于第一个向量加上第二个向量的相反向量题型1向量加法【方法总结】三角形法则的使用原则（1）用三角形法则求和必须使两个向量“首尾相连”，即前一个向量的终点与后一个向量的始点重合，其和是第一个向量的始点指向第二个向量的终点的向量．简述为“加向量，首尾连；和向量，始点到终点”.（2）对于零向量与任一向量a的和，有a＋0=0+a=a.【方法总结】平行四边形法则的使用原则（1）平行四边形法则的应用前提是两个向量是从同一点出发的不共线向量．（2）当两个向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则的实质是一样的，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．但当两个向量共线时，平行四边形法则便不再适用.（3）向量加法的三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意义.【方法总结】多个向量加法（1）解决该类题目要灵活应用向量加法的运算律和向量加法法则，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序，特别注意勿将0写成0.（2）运用向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点.◆类型1求作图形【例题11】（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量a、b，用向量加法的平行四边形法则作出向量a+(1)

(2)

【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）（2）利用平面向量加法的平行四边形法则可作出向量a+【详解】（1）解：作OA=a，OB=b，以OA、OB为邻边作则OC即为所求作的向量.（2）解：作OA=a，OB=b，以OA、OB为邻边作则OC即为所求作的向量.【变式11】1.（2023·高一课时练习）已知向量a，b，c，求作a+（1）（2）【答案】（1）详见解析（2）详见解析【分析】（1）根据向量的三角形法则求和（2）平移向量首尾相接，即可由三角形法则求和.【详解】（1）

由向量加法的三角形法则可得：作图：（2）作图：【点睛】本题主要考查了向量加法的三角形法则，属于中档题.【变式11】2．（2023下·高一课时练习）如图，在下列各小题中，已知向量a、b，分别用两种方法求作向量a+【答案】见解析【解析】将b的起点移到a的终点或将两个向量的起点移到点A，利用三角形法则或平行四边形法则作出a+【详解】将b的起点移到a的终点，再首尾相接，可得a+将两个向量的起点移到点A，利用平行四边形法则，以a、b为邻边，作出平行四边形，则过点A的对角线为向量a+如图所示，AB=（1）；（2）；（3）；（4）.【点睛】本题考查平面向量加法的几何意义，考查数形结合思想，属于基础题.【变式11】3．（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a+【答案】详见解析【分析】向量a，b，c不共线中隐含着向量a，b，c均为非零向量，因为零向量与任何一个向量都是共线的，利用三角形法则或平行四边形法则作图.【详解】解法一：（三角形法则），如下图所示，作AB=a，则AC=a+b，再作CD=解法二：（平行四边形法则）因为向量a，b，c不共线，如下图所示，在平面内任取一点O，作OA=a，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，则对角线OD=再作OC=c，以OC，OD为邻边作平行四边形OCED，则【变式11】4.（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量a、b，用向量加法的三角形法则作出向量a+(1)

(2)

(3)

【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析(3)答案见解析【分析】（1）（2）（3）利用平面向量加法的三角形法则可作出向量a+【详解】（1）解：作OA=a，AB=b，（2）解：作OA=a，AB=b，（3）解：作OA=a，AB=b，◆类型2给定图形【例题12】（2022·高一课时练习）如图所示，求：(1)a+(2)c+(3)e+(4)c+【答案】(1)DA(2)CB(3)DB(4)CA【分析】（1）（2）（3）（4）按照向量加法法则直接计算即可.【详解】（1）a+（2）c+（3）e+（4）c+【变式12】1.（2023·高一课时练习）如图所示，四边形ABCD是梯形，AD//BC，AC与BD交于点O，则A．CD B．OC C．DA D．CO【答案】B【分析】利用平面向量加法的三角形法则可得结果.【详解】OA+故选：B.【变式12】2．（2023下·浙江·高一阶段练习）如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则OA+A．0 B．0 C．AE D．EA【答案】A【解析】根据向量加法运算法则即可求解.【详解】连接OB.由正六边形的性质，可知△OAB与△OBC都是等边三角形，∴OA=AB=BC=OC∴四边形OABC是平行四边形，∴OA∴OA故选:A.【点睛】本题主要考查了向量加法的运算，数形结合，属于容易题.【变式12】3．（2022下·河南安阳·高一统考期末）如图为正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则OC+A．OB B．OD C．OF D．OH【答案】A【分析】根据平面向量的概念及加法的运算法则，准确运算，即可求解.【详解】由平面向量的运算法则，可得OC+故选：A.【变式12】4.（2020·全国·高一专题练习）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填一个向量)：①AB＋DF＝；②AD＋FC＝；③AD＋BC＋FC＝.【答案】ACABAC【解析】根据四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则求解.【详解】如图，因为四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则得：①AB＋DF＝AB＋BC＝AC.②AD＋FC＝AD＋DB＝AB.③AD＋BC＋FC＝AD＋DF＋FC＝AC.故答案为：（1）AC（2）AB（3）AC【点睛】本题主要考查平面向量的平行四边形法则运算，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于基础题.◆类型3化简【例题13】化简：（1）eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))；（2）eq\o(AO,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))；（3）eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(DF,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(FA,\s\up10(→)).（4）eq\o(DB,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))；（5）(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→)))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→)).【答案】（1）eq\o(AC,\s\up10(→))（2）eq\o(AC,\s\up10(→))（3）（4）（5）eq\o(AB,\s\up10(→))【解析】（1）eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→)).（2）eq\o(AO,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(AO,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→)).（3）eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(DF,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(FA,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(DF,\s\up10(→))＋eq\o(FA,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(DF,\s\up10(→))＋eq\o(FA,\s\up10(→))＝eq\o(AD,\s\up10(→))＋eq\o(DF,\s\up10(→))＋eq\o(FA,\s\up10(→))＝eq\o(AF,\s\up10(→))＋eq\o(FA,\s\up10(→))＝0.（4）eq\o(DB,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(DB,\s\up10(→))＝eq\o(BD,\s\up10(→))＋eq\o(DB,\s\up10(→))＝0.（5）方法一(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→)))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→))＝(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BO,\s\up10(→)))＋(eq\o(OM,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→)))＝eq\o(AO,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→)).方法二(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→)))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋(eq\o(MB,\s\up10(→))＋eq\o(BO,\s\up10(→)))＋eq\o(OM,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋0＝eq\o(AB,\s\up10(→)).方法三(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→)))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→))＝(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→)))＋eq\o(MB,\s\up10(→))＝eq\o(AM,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→)).【变式13】1.（2022·高一课时练习）已知a,b,c是非零向量，则a+c+b，b+A．5 B．4C．3 D．2【答案】A【分析】根据向量的加法运算律判断【详解】因为向量的加法满足交换律和结合律，所以a+c+b，b+a+c，故选：A【变式13】2．（2021·高一课时练习）设a=AB+①a//b；②a+b=a；③a+正确结论的序号是（

）A．①⑤ B．②④⑤ C．③⑤ D．①③⑤【答案】D【分析】根据向量线性运算可确定a为零向量，由此可判断得到结果.【详解】∵a又b是任一非零向量，∴a//b，a+b=故选：D.【变式13】3．(多选)（2021下·高一课时练习）（多选）设a→=ABA．a→∥C．a→+【答案】AC【分析】先将a→【详解】由题意，a→故选：AC.【变式13】4.（2021·高一课时练习）已知下列各式：①AB+BC+CA；②(AB+MB)+BO【答案】①④/④①【分析】利用向量加法的运算法则化简各项向量的线性表达式，即可确定结果是否为0.【详解】①AB+②(AB③OA+④AB+故答案为：①④.题型2向量的减法【方法总结】在求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同始点，直接连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量：若两个向量的始点不重合，先通过平移使它们的始点重合，再作出差向量◆类型1求作图形【例题21】（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a-【答案】答案见解析【分析】根据向量的减法运算法则及几何意义作图即可.【详解】如图，作OA=a,OB=再作BC=c，则向量CA即为【变式21】1.（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量a、b，求作a-(1)

(2)

(3)

(4)

【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析(3)答案见解析(4)答案见解析【分析】（1）（2）（3）（4）根据平面向量的减法法则可作出向量a-【详解】（1）解：作OA=a，OB=b，则（2）解：作OA=a，OB=b，则（3）解：作OA=a，OB=b，则（4）解：作OA=a，OB=b，则【变式21】2．（2022下·安徽芜湖·高一校考期中）作出以下图形(1)如图1，已知向量a，b，(2)如图2，已知向量a，b，【答案】(1)详见解答(2)详见解答【分析】（1）根据向量的加法运算法则及几何意义作图即可（2）根据向量的减法运算法则及几何意义作图即可【详解】（1）如图所示，在平面中取任意一点O作OA=a（2）如图所示，在平面中取任意一点O作OA=a【变式21】3.（2022·高一课前预习）如图所示，O为△ABC内一点，OA=a，OB=b，【答案】答案见解析【分析】以OB，OC为邻边作平行四边形OBDC，连接OD，AD，AD即为所求.【详解】解：以OB，OC为邻边作平行四边形OBDC，连接OD，AD，所以OD＝OB＋OC＝b+所以AD＝OD-OA＝【变式21】4.（2021·高一课时练习）如图，已知向量e1、e(1)-2e(2)2.5e【答案】(1)作图见解析(2)作图见解析【分析】（1）作OA=2e1（2）作OC=2.5e1【详解】（1）解：作OA=2e1，OB=3e（2）解：作OC=2.5e1，CD=1.5e◆类型2给定图形【例题22】（2022下·广东广州·高一华南师大附中校考期中）下列向量运算结果错误的是（

）A．a+bC．a=c【答案】A【分析】根据向量加减法的线性运算，直接判断选项即可.【详解】对于A，a+对于B，f-对于C，c-对于D，c+故选：A【变式22】1.（2021上·辽宁沈阳·高一沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）在五边形ABCDE中（如图），下列运算结果为AD的是（

）A．AB+BCC．BC→-【答案】A【分析】对各选项按向量加法、减法运算法则进行向量加减运算即可判断作答.【详解】A，AB+B，AB+C，BC-D，AE→故选：A.【变式22】2.（多选）（2021下·海南·高一校考阶段练习）在五边形ABCDE中(如图)，下列运算结果为AD的是（

）A．AB+BCC．BC-DC【答案】AB【分析】对各选项按向量加法、减法运算法则进行向量加减运算即可判断作答.【详解】对于A，AB+对于B，AE+对于C，BC-对于D，AE⃑故选：AB◆类型3化简【例题23】（2023下·山东泰安·高一统考期中）下列向量的运算结果不正确的是（

）A．ABB．ABC．OAD．AB【答案】B【分析】根据向量的加减法法则逐个分析判断即可.【详解】对于A，AB+对于B，AB-对于C，OA-对于D，AB-故选：B【变式23】1．（2022·高一课时练习）给出下列各式：①AB+CA+BC，②AB-CD+BD-A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】利用向量的加减法法则逐个分析判断即可.【详解】对于①，AB+对于②，AB-对于③，AD-对于④，NQ-所以其化简结果为0→故选：A【变式23】2.（多选）（2023下·云南普洱·高一校考阶段练习）化简以下各式：①AB+BC+CA；②AB-AC+A．① B．② C．③ D．④【答案】ABD【分析】根据向量的加减法法则逐个分析判断即可【详解】对于①，AB+BC+对于②，AB-AC+对于③，OA+OD+对于④，NQ+QP+故选：ABD【变式23】3.（多选）（2022下·河北衡水·高一河北武强中学校考期中）化简以下各式，结果为0的有（

）A．AB+BCC．OA-OD【答案】ABC【分析】根据平面向量的加减法运算逐个判断可得答案.【详解】对于A，AB+BC+对于B，AB-AC+BD-对于C，OA-OD+AD对于D，NQ+QP+NM-MP故选：ABC.【变式23】4.（多选）（2022下·新疆喀什·高一新疆维吾尔自治区喀什第二中学校考阶段练习）下列各式中结果为零向量的为（

）A．AB+BCC．AB-AC【答案】AC【分析】由向量加法和减法的运算法则即可求解.【详解】解：对A：AB+对B：AB+对C：AB-对D：OA+故选：AC.题型3利用已知向量表示未知向量【例题3】（2021下·安徽滁州·高一校考阶段练习）如图所示，解答下列各题：(1)用a，d，(2)用b，c表示(3)用a，b，(4)用c，d表示【答案】(1)DB(2)DB(3)EC(4)EC【分析】（1）（2）（3）（4）依据向量加法法则去求解即可解决；【详解】（1）DB=（2）DB=（3）EC=（4）EC=【变式31】1.（2021下·高一课时练习）若点M是△ABC中BC边上的中点，设AB=a,AC=【答案】1【分析】由向量的加法运算法则可以直接求出结果.【详解】由向量的加法运算法则得AM=故答案为：1【变式31】2.（2021下·高一课时练习）如图，在△MAB中，C是边AB上的一点，且AC＝5CB，设MA=a,MB=b,则MC【答案】1【分析】利用向量的加减法运算求解即可【详解】MC=故答案为：1【变式31】3.（2021·高一课时练习）在▱ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，求MN(用a，b表示).【答案】MN=【分析】在平行四边形ABCD中利用向量加减法的定义进行线性运算，即得结果.【详解】（法一）如图所示，在▱ABCD中，AC交BD于O点，则O平分AC和BD，∵AN＝3NC，∴NC=∴N为OC的中点，又M为BC的中点，∴MN//BO且MN=12∴MN＝12（法二）MN=【变式31】4.（2021下·高一课时练习）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，试用AB，AC表示AD.【答案】AD【分析】连接CD，OD，用平面几何知识得到四边形ACDO为平行四边形，再利用平面向量的加法运算求解.【详解】解：连接CD，OD，如图所示．∵点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，∴AC＝CD，∠CAD＝∠DAB＝13∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAO＝30°.由此可得∠CAD＝∠ADO＝30°，∴AC∥DO.由AC＝CD，得∠CDA＝∠CAD＝30°，∴∠CDA＝∠DAO，∴CD∥AO，∴四边形ACDO为平行四边形，∴AD=题型4向量的模长◆类型1向量的模长【例题41】（2023·高一课时练习）在矩形ABCD中，AB=5,BC=2，则向量AB【答案】6【分析】矩形ABCD中，根据平面向量加法的平行四边形法则可知AB+AD=AC，则向量AB+【详解】因为AB+所以AB+AD+AC的长度为所以向量AB+AD+故答案为：6.【变式41】1．（2023·全国·高一专题练习）若向量a、b方向相反，且|a|＝|b|＝1，则|a－b|＝．【答案】2【分析】由题意向量a、b方向相反，且|a|＝|b|＝1，可得a=-b，【详解】解：由已知得：向量a、b方向相反，且|a|＝|b|＝1，∴a=-∴|故答案：2【点睛】本题主要考查向量的模及相反向量的定义，得出a=-【变式41】2．（2021下·高一课时练习）已知正方形ABCD的边长为1，则AB+【答案】2【分析】利用向量的运算法则和模的计算公式即可得出．【详解】解：解：如图所示：∵AB+BC=∴AB+故答案为：22【变式41】3.（2022·全国·高一专题练习）如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，AB=a，BC=(1)a+(2)a【答案】(1)做图见解析，22；(2)做图见解析，2.【分析】根据平面向量加法和减法的几何意义对（1）（2）进行求解即可.【详解】（1）a+又AC=c，使|CE=则a+b+所以a（2）作BF=则DB+而DB=所以a-b+所以a-【变式41】4.（2020下·高一课时练习）已知非零向量a,b满足a=7+1，b【答案】|【解析】利用勾股定理可得ΔOAB是以∠AOB为直角的直角三角形，再根据矩形的对角线相等，从而可求得答案.【详解】如图，OA=a，OB=以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则OC=由于(7故|OA所以ΔOAB是以∠AOB为直角的直角三角形，从而OA⊥OB，所以▱OACB根据矩形的对角线相等有|OC|=|BA【点睛】本题考查向量加法与减法的几何意义，考查数形结合思想，求解时注意勾股定理的运用，属于基础题.【变式41】5．(多选)（2021·高一课时练习）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，则以下说法正确的是（

）A．与AB相等的向量(不含AB)只有一个B．与AB的模相等的向量(不含AB)有9个C．BD的模是DA的模的3倍D．CB与DA不共线【答案】ABC【分析】根据向量及相等向量的概念，以及向量模的概念，逐项判定，即可求解.【详解】因为AB=DC，所以与AB相等的向量只有与向量AB的模相等的向量有：DA,在直角△AOD中，因为∠ADO=30∘，所以DO=所以C正确；因为CB=DA，所以CB与故选：ABC.◆类型2模长取值范围最值问题【方法总结】|–|、||–||、||+||三者的大小关系（1）当向量与共线时，当两非零向量与同向时，|–|=||–||<||+||；当两非零向量与反向时，|–b|=||+||>||–||；当与中至少有一个为零向量时，|–b|=||–||=||+||．（2）当两非零向量与不共线时，如在△ABC中，AC=，AB=，则BC=AC–AB=–，根据三角形中任意两边之差总小于第三边，任意两边之和总大于第三边，可得|||–|||<|–|<||+||．综合可知，对任意的向量与都有|||–|||≤|–|≤||+||．只当与同向或与中至少有一个为零向量时|||–|||≤|–|中的等号成立；当与反向或与中至少有一个为零向量时|–|≤||+||中的等号成立．【例题42】（2021上·高一专题）已知|a|=6，|【答案】[2,10]【分析】根据向量的三角形不等式可得.【详解】解：∵a=6∴∴即a故答案为：2,10【点睛】本题考查向量的三角形不等式，属于基础题.【变式42】1.（2021·高一课时练习）已知a=1，b=2，则【答案】2【分析】根据题意，由基本不等式的性质可得a+【详解】因为a=1，b=2，所以当且仅当a+b=故答案为：25【变式42】2．（2020·高一课时练习）填空：（1）若a,b满足a=2,b=3（2）当非零向量a,b满足时，a+b平分a与【答案】51a【解析】利用a-【详解】（1）a+b≤a+∴又a+b≥a-∴a（2）当a=b时，a+b为以a,b为邻边的平行四边形的对角线，此时的平行四边形为菱形，对角线恰好平分答案：（1）5，1;（2）a【点睛】本题考查向量的数量积的运算及计算公式，属于基础题.【变式42】3．（2021·高一课时练习）若向量a，b满足|a|=6，|b【答案】最大值是18，最小值是6.【分析】根据向量的三角不等式即可求解.【详解】因为|a|=6，所以|a+b|≤|a|a+b|≥||a所以|a【变式42】4．如图所示，单位圆上有动点A，B，当OA-OB取得最大值时，A．0 B．-1 C．1 D．2【答案】D【分析】由题可得|OA-OB【详解】因为|OA所以OA-OB的最大值为2，此时OA与故选：D.题型5利用向量证明几何问题【方法总结】用向量证明几何问题的一般步骤：要把几何问题中的边转化成相应的向量.（2）通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系.【例题5】（2023·高一单元测试）如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP+CQ=【答案】证明见解析【分析】表示出AP，AQ，相加结合已知，即可得出证明.【详解】因为AP=AQ=所以AP+又因为BP+CQ=【变式51】1．（2022·高一课时练习）如图，已知M，N分别是四边形ABCD的边AB，CD的中点，求证：MN=【答案】证明过程见详解【分析】把MN运用不同的加法表示出来，MN=MA+【详解】∵MN=MN=MB∴①+②,得2MN∵M,N分别是AB,CD的中点,∴MA∴2MN【变式51】2.（2021·高一课时练习）如图，点O是▱ABCD的两条对角线的交点，AB=a，DA=b【答