2020年全国高中数学联赛天津赛区预赛选修1

2020年全国高中数学联赛天津赛区预赛选修1一、选择题〔每题6分，共36分〕1．方程的实数解的个数为〔〕。大于答选。设，那么，因此，从而可得，因此是方程的两个实根，判不式，无解，因此选。2．正边形被它的一些不在内部相交的对角线分割成假设干个区域，每个区域差不多上三角形，那么锐角三角形的个数为〔〕。大于与分割的方法有关答选。只有包含正边形中心的三角形是锐角三角形，因此只有一个，选。3．关于参数的二次函数的最小值是关于的函数，那么的最小值为〔〕。以上结果都不对答选。当时，的最小值为，其中。因为对称轴为，因此当时的最小值为，选。4．为正整数，，实数满足，假设的最大值为，那么满足条件的数对的数目为〔〕。。答选。因为，因此，因此有，因此。由于，得，其中的最大值当，时取到。又因为，因此满足条件的数对的数目为，选。5．定义区间的长度均为，其中。实数，那么满足的构成的区间的长度之和为〔〕。答选。原不等式等价于。当或时，原不等式等价于。设，那么。设的两个根分不为，那么满足的构成的区间为，区间的长度为。当时，同理可得满足的构成的区间为，区间的长度为。由韦达定理，，因此满足条件的构成的区间的长度之和为，因此选。6．过四面体的顶点作半径为的球，该球与四面体的外接球相切于点，且与平面相切。假设，那么四面体的外接球的半径为〔〕。答选。过作平面的垂线，垂足为，作，垂足为，，垂足为，那么，且有。由于，那么，，，因此为半径为的球的直径，从而四面体的外接球的球心在的延长线上，因此有，解得。二、填空题〔每题9分，共54分〕7．假设关于的方程组有解，且所有的解差不多上整数，那么有序数对的数目为。答。因为的整数解为，因此这八个点两两所连的只是原点的直线有条，过这八个点的切线有条，每条直线确定了唯独的有序数对，因此有序数对的数目为。8．方程的所有正整数解为。答。因为，因此。设，类似的可得。设，那么原方程化为，，即。因为，因此。又因为，因此为偶数，因此，体会证，，因此。或由，得，又因为为奇数，因此体会证。9．假设是边长为的正三角形的边上的点，与的内切圆半径分不为，假设，那么满足条件的点有两个，分不设为，那么之间的距离为。答。设，由余弦定理得。一方面，，另一方面，，解得。同理可得。从而有。当时，有最大值，且最大值为，因此。由于，因此。设两个根分不为，那么。10．方程的不同非零整数解的个数为。答。利用，原方程等价于。方程两端同除，整理后得。再同除，得。即，从而有。体会证均是原方程的根，因此原方程共有个整数根。11．设集合，其中是五个不同的正整数，，假设中所有元素的和为，那么满足条件的集合的个数为。答。因为，因此。由于中有，因此中有。假设，那么，因此，无正整数解。假设，由于，因此，因此。又因为，当时，；当时，，因此满足条件的共有个，分不为。12．在平面直角坐标系中定义两点之间的交通距离为。假设到点的交通距离相等，其中实数满足，那么所有满足条件的点的轨迹的长之和为。答。由条件得。当时，无解；当时，无解；当时，无解；当时，，线段长为。当时，，线段长为。当时，线段长为。当时，无解。当时，无解。当时，无解。综上所述，点的轨迹构成的线段的长之和为。三、论述题〔每题20分，共60分〕13．的外心为，，为的外接圆上且在内部的任意一点，以为直径的圆分不与交于点，分不与或其延长线交于点，求证三点共线。证明连，与交于点，由于，因此是等腰三角形，因此,，因此可得，从而有在的中垂线上。由于，在的中垂线上，因此有，即三点共线。14．数列满足，关于所有正整数，有，求使得成立的最小正整数。解法一设，的特点方程为，特点根为，结合，得。由二项式定理得。当为奇数时，；当为偶数时，。因此，即，因此满足条件的最小正整数为。解法二下面差不多上在模意义下的,那么,即,因此数列在模意义下具有等差数列的特点。又因为，因此。因此有，因此满足条件的最小正整数为。15．排成一排的名学生生日的月份均不相同，有名教师，依次选择这些学生参加个爱好小组，每个学生恰被一名教师选择，且保持学生的排序不变，每名教师挑出的学生必须满足生日的月份是逐步增加或逐步减少的〔选择一名或两名学生也认为是逐步增加或逐步减少的〕，每名教师尽可能多项选择学生，关于学生所有可能的排序，求的最小值。解的最小值为。假设，不妨假设这名学生生日的月份分不为，当学生按生日排序为时，存在一名教师至少要选择前四名学生中的两名，由于这两名学生生日的月份是逐步减少的，且后六名学生生日的月份均大于前四名学生生日的月份，因此这名教师不可能再选择后六名学生；在余下的不超过两名教师中，一定存在一名教师至少要选择第五名至第七名学生中的两名，同理，这名教师不可能再选择后三名学生；余下的不超过一名教师也不可能选择后三名学生，矛盾。下面先证明：关于互不相同的有序实数列，当时，一定存在三个数满足或。设最大数和最小数分不为，不妨假设。假设，那么满足；，因为，因此要么在的前面，要么在的后面