2024年昌吉州一中高三数学3月份考试卷附答案解析

2024年昌吉州一中高三数学3月份考试卷（试卷总分150分考试时间120分钟）2024.03一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．若，则（

）A． B． C． D．13．已知平面向量，，若，则的值为（）A．2B．C． D．4．函数在上严格增，设，若，则的取值范围为（

）A．B．C． D．5．历时天嫦娥五号成功携带月球样品返回地球，标志着中国航天向前迈出一大步．其中年月日晚，嫦娥五号成功进行首次近月制动，进入一个大椭圆轨道．该椭圆形轨道以月球球心为一个焦点，若其近月点(离月球表面最近的点)与月球表面距离为公里，远月点(离月球表面最远的点)与月球表面距离为公里，并且，，在同一直线上．已知月球的半径为公里，则该椭圆形轨道的离心率为（

）A． B． C． D．6．已知，则（

）A． B． C． D．7．如图，抛物线的焦点为，斜率为的直线与轴、抛物线相交于（自下而上），且.记的面积分别为，则是成立的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的值等于A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知，，则（

）A．

B．

C．

D．10．已知函数，且，则（

）A．B．为非奇非偶函数C．函数的值域为D．不等式的解集为11．新能源汽车相比较传统汽车具有节能环保､乘坐舒适､操控性好､使用成本低等优势，近几年在我国得到越来越多消费者的青睐.某品牌新能源汽车2023年上半年的销量如下表：月份x123456销量y（万辆）11.712.413.813.214.615.3针对上表数据，下列说法正确的有（

）A．销量的极差为3.6B．销量的分位数是13.2C．销量的平均数与中位数相等D．若销量关于月份的回归方程为，则三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分．12．已知体育器材室有4个篮球、2个足球和1个排球，某班上体育课要从中选4个球，规定每种球至少选1个，则不同的选法共有．（请用数字作答）13．若圆台的上、下底面圆半径分别为1、2，、分别为圆台上下底面圆心.若该圆台存在内切球，则该圆台的体积为.14．已知函数，若函数有且仅有两个零点，则实数b的取值范围是．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效．15．在中，内角的对边分别为，且．(1)求角的大小；(2)是线段上的点，且，求的面积．16．如图，在多面体中，平面平面，四边形为正方形，四边形为梯形，且，.(1)求直线与平面所成角的余弦值．(2)线段上是否存在点，使得直线平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．17．设是等比数列，公比大于，其前项和为，是等差数列.已知，，，.(1)求和的通项公式；(2)设，求的前项和.18．某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比上一年增加的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比上一年增加5千元.两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息.若银行两种形式的贷款都按年息的复利计算，试比较两种方案中，哪种使该企业获利更多?用数据说明理由.（注:计算过程中可取）19．如图，在正三棱柱中，是的中点，是线段上的动点，且.（1）若，求证：；（2）求二面角的余弦值；（3）若直线与平面所成角的大小为，求的最大值1．B【分析】先化简集合，再由交集运算可得.【详解】，又，则.故选：B.2．A【解析】化简复数为，结合复数的除法运算法则，即可求解.【详解】由题意，复数，可得.故选：A.【点睛】本题考查了复数的运算法则的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．B【分析】根据向量线性运算的坐标表示与向量垂直的坐标表示求解即可【详解】因为，，所以，又因为，所以，即，解得，故选：B4．A【分析】利用函数的单调性首先缩小范围，即得出的范围，然后由的不同取值范围确定的范围，检验不等式是否成立即可得．【详解】在上严格增，所以，，，则，，，即，解得或．时，，，，不等式不成立，时，，，，成立．所以．故选：A．5．B【解析】由已知可得卫星的近地点、远地点离地心的距离分别为，则，进而可求解.【详解】由已知可得卫星的近地点、远地点离地心的距离分别为设轨道的标准方程为所以解得，所以椭圆形轨道的离心率为故选：B6．C【分析】由，易得，，从而可求出，即可得出答案.【详解】解：因为，所以，即，所以，即，所以，所以或，所以或，，当时，，不合题意，舍去，当时，，所以.故选：C.7．C【分析】根据向量垂直的坐标关系得，进而联立直线与抛物线方程，根据韦达定理可得，进而根据面积关系即可求解，进而可判断.【详解】由题可得，点在抛物线上.设，则.因为，所以，所以.设直线的方程为，与抛物线方程联立得①，所以，故②，联立①②可得，则.又由，.又因为，则，解得，所以（舍），所以是成立的充要条件.故选：C8．C【分析】由正弦定理及条件得到，于是可得，再根据平方关系可得．【详解】由及正弦定理，得，整理得．又，所以，由于，所以，所以．故选C．【点睛】正余弦定理常与三角变换结合在一起考查，考查综合运用知识解决问题的能力，解题时要注意公式的灵活选择和应用．另外，在三角形中特别要注意三个内角间的关系，再结合诱导公式灵活应用．9．AD【分析】因为，，所以，由均值不等式可判断A；由可判断B；由，由均值不等式可判断C；，令，则，令，对函数求导，得到函数的单调性，可判断D.【详解】因为，，所以，选项A：因为，所以，当且仅当时等号成立，故正确；选项B：因为，当且仅当时等号成立，故不正确；选项C：因为，所以，当且仅当时等号成立，故不正确；选项D：，令，则，令，所以，所以在上单调递增，所以，所以，故D正确.故选：AD.10．ACD【分析】由求得可判断A；利用奇偶性定义可判断B；由的范围可得的范围，可判断C；利用的单调性可判断D.【详解】，求得，A正确；时，，∵，∴为奇函数，B不正确；∵，∴，∴，，∴，C正确；，因为是上单调递增函数，是上单调递减函数，所以是上单调递增函数，∴，∴，∴，∴解集为，D正确.故选：ACD.11．ACD【分析】将销量按升序排列，对于ABC：根据统计相关知识逐项分析判断；对于D：根据回归直线必过样本中心点运算求解.【详解】将销量按升序排列可得11.7，12.4，13.2，13.8，14.6，15.3，对于选项A：销量的极差为，故A正确；对于选项B：因为，所以销量的分位数是第4位数13.8，故B错误；对于选项C：因为销量的平均数，销量的中位数，所以销量的平均数与中位数相等，故C正确；对于选项D：因为月份的平均数，可知回归方程为过样本中心点，即，解得，故D正确；故选：ACD.12．16【分析】分取2个篮球与2个足球两种情况讨论，分别利用组合知识与分步计数乘法原理求出两种情况的不同的选法，然后求和即可.【详解】选1个排球、1个足球、2个篮球有种选法；选1个排球、2个足球、1个篮球有种选法，一共有16种选法,故答案为16.【点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于中档题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.13．【分析】作出圆台的轴截面，然后根据题意可求出圆台的母线长，从而可求出圆的高，进而可求出圆台的体积.【详解】圆台的轴截面如图所示，设内切球的球心为，内切球与母线切于点，则，所以，过点作于，则，所以，所以圆台的体积为，故答案为：14．【分析】首先画出函数的图象，然后令，有两个不同交点，经分析，只能与的图象有两个不同的交点，利用导数的几何意义可求得答案.【详解】函数有且仅有两个零点，函数与函数的图象有且仅有两个交点，作函数与函数的图象如下，当时，有一个交点，是一个临界值，当直线与相切时，令，解得，故切点为，故此时，结合图象要使函数有且仅有两个零点，则实数b的取值范围是，故答案为：．15．(1)(2)【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示以及正弦定理得出结果；（2）设，，由正弦定理以及三角形面积公式、两角差的正弦公式，切化弦公式得出结果.【详解】（1）因为，所以，由正弦定理可得，即，又，，，则，所以，，又，因此．（2）设，因为，则，因为，所以，在中，由正弦定理可知，即，即，化简可得，即，所以，所以．16．(1)(2)存在；【分析】（1）由题意结合面面垂直的性质可得两两垂直，即可建立空间直角坐标系，得到平面的法向量与直线的方向向量，即可得直线与平面所成角的余弦值；（2）设，用表示出平面的法向量，由在线段上存在，使得直线平面，等价于存在，使，计算即可得.【详解】（1）因为为正方形，所以，又因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面，所以，因为，所以两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，设直线与平面所成的角为，则，故，即直线与平面所成角的余弦值为，（2）设，则，，，设平面的一个法向量为，，则，即，令，则，，在线段上存在，使得直线平面，等价于存在，使，，，解得，线段上存在点，使得平面，且.17．(1)，(2)【分析】（1）利用等差数列和等比数列通项公式可构造关于的方程，解方程求得后，利用等差和等比数列通项公式可得结果；（2）由（1）可得，利用错位相减法可求得结果.【详解】（1）设等比数列的公比为，由得：，解得：，；设等差数列的公差为，由得：，即；由得：，即；由得：，；（2）由（1）得：；，，两式作差得：，.18．甲方案更好.【分析】利用等差数列和等比数列求和公式求得企业10年所获利润综合，在求得银行的本息综合，得出两种方案的纯利润，进而得到答案.【详解】由题意，甲方案是等比数列，乙方案是等差数列，甲方案获利为：（万元），银行贷款本息和为：（万元），所以甲方案纯利润为：（万元），乙方案获利为：（万元）银行本息和为：（万元），所以乙方案的纯利润为：（万元），综上可得，甲方案更好.19．（1）证明见解析；（2）；（3）【分析】（1）取中点，通过线线垂直证明平面，从而得到（2）取中点，中点，连接，