心理统计概率基础正态分布

心理统计概率基础正态分布第一节概率的基本概念概率概率的基本性质概率的分布类型2010-10-112心理统计第6章概率分布概率后验概率先验概率2010-10-113心理统计第6章概率分布一、几个基本概念1.试验、事件：在相同条件下，对某事物或现象所进行的观察或实验叫试验，观察或实验的结果叫做事件。2、随机事件（Randomevent）在相同条件下，每一次试验可能出现也可能不出现的事件，也叫偶然事件。如掷硬币正、反面都可能出现也可能不出现。用英文大写字母表示，如A，B，C等。概率论主要研究对象为随机事件，简称“事件”。2010-10-114心理统计第6章概率分布3、必然事件（Certainevent）在相同条件下，每次实验一定出现的事件。如：事件（点数小于7）在掷骰子中每次必然出现4、不可能事件（Impossibleevent）在相同条件下，每次试验一定不出现的事件。如：事件（点数大于7）在掷骰子试验中为不可能事件。2010-10-115心理统计第6章概率分布5、基本事件（Elementaryevent）也称简单事件，在一次试验中只能观察到一个且仅有一个结果。如掷硬币时，只能观察到一个简单事件“正面”或“反面”。2010-10-116心理统计第6章概率分布后验概率（posteriorprobability）对随机事件进行n次观测，其中某一事件A出现的次数m与观测次数n的比值，当n∞时，m/n将稳定在一个常数P上，这一常数称为概率，记为：这种概率是由事件A出现的次数决定，因此称为后验概率或统计概率。2010-10-117心理统计第6章概率分布例3：投掷硬币反正面试验实验者投掷次数

出现“正面”次数

频率Song111.0000Song200.0000Song320.6667Song430.7500Song530.6000Song620.4000Song740.5714Buffon404020480.5069K.Pearson1200060190.5016K.Pearson24000120120.5005观测次数n不固定事件发生次数m不固定，发生后才能计算概率2010-10-118心理统计第6章概率分布先验概率对某些随机事件，满足以下情况：①每次观测的每一种可能结果（也称为基本事件）是有限的；②每一个基本事件出现的可能性相等。如果基本事件的总数为n,事件A包括m个基本事件，则事件A的概率为：事件总数n固定，事先能计算基本事件的概率2010-10-119心理统计第6章概率分布举例：一副扑克牌张数n=54，花色：4，每张牌被抽到的概率1/54,那么抽到红桃这一事件A的概率如何计算？我们班同学，随机抽取到男生、女生的概率各是多少？2010-10-1110心理统计第6章概率分布二、概率的基本性质1.概率的公理系统①任何随机事件的概率：0≤p≤1；②p=1为必然发生的事件，称必然事件；③p=0为必然不发生的事件，称不可能事件。2010-10-1111心理统计第6章概率分布二、概率的基本性质2.概率的加法定理:互不相容事件A或B其中之一发生的概率等于两个事件的概率之和。

各互不相容事件总和的概率≤1。“你死我活”的性质2010-10-1112心理统计第6章概率分布二、概率的基本性质3.概率的乘法定理：各独立事件同时出现的概率等于各事件概率之积。例：3只白鼠接受毒物试验，已知用药后其死亡概率为π，生存概率为1-π，3只白鼠的结局如何？2010-10-1113心理统计第6章概率分布0死3生1死2生2死1生3死0生结局互不相容事件？独立事件事件？2010-10-1114心理统计第6章概率分布结果3只白鼠的结局排列概率甲乙丙0死3生生生生（1-π）（1-π）（1-π）1死2生死生生

π（1-π）（1-π）生死生（1-π）π（1-π）生生死π（1-π）（1-π）2死1生死死生π

π

（1-π）死生死π（1-π）π生死死（1-π）ππ3死0生死死死πππ

2010-10-1115心理统计第6章概率分布举例：p159一枚硬币投掷3次，或3枚硬币各投一次，或同时掷下3枚硬币。出现2次正面的概率？出现2次以上正面的概率？2010-10-1116心理统计第6章概率分布三、概率的分布类型概率分布：是指对随机变量取值的概率分布情况用数学函数进行描述。离散分布连续分布按变量类型分：按函数的来源分经验分布：样本数据理论分布：数学模型2010-10-1117心理统计第6章概率分布按分布描述的数据特征分：基本随机变量分布抽样分布：样本统计量的理论分布2010-10-1118心理统计第6章概率分布第二节正态分布一、正态分布的特征2010-10-1119心理统计第6章概率分布某市110名7岁男孩身高121.4119.2124.7125.0115.0112.8120.2110.2120.9120.1125.5120.3122.3118.2116.7121.7116.8121.6120.2122.0121.7118.8121.8124.5121.7122.7116.3124.0119.0124.5121.8124.9130.0123.5128.1119.7126.1131.3123.8116.7122.2122.8128.6122.0132.5122.0123.5116.3126.1119.2126.4118.4121.0119.1116.9131.1120.4115.2118.0122.4120.3116.9126.4114.2127.2118.3127.8123.0117.4123.2119.9122.1120.4124.8122.1114.4120.5120.0122.8116.8125.8120.1124.8122.7119.4128.2124.1127.2120.0122.7118.3127.1122.5116.3125.1124.4112.3121.3127.0113.5118.8127.6125.2121.5122.5129.1122.6134.5118.3132.82010-10-1120心理统计第6章概率分布对数据作频率密度图（直方图）2010-10-1121心理统计第6章概率分布2010-10-1122心理统计第6章概率分布

1、若连续型定量变量的频数分布在靠近均数处频数多，两边频数少，且左右对称，反映在频数曲线（频率直方图）上呈钟型，两头低中间高，左右对称，对应于数学上的正态分布曲线，则称该变量服从正态分布。

（一）正态分布的概念（normaldistribution）2010-10-1123心理统计第6章概率分布或：

如果变量x的概率密度曲线呈钟型，两头低中间高，左右对称，近似于数学上的正态曲线。则称该指标x近似服从正态分布。2010-10-1124心理统计第6章概率分布（二）正态分布密度函数：

正态曲线（normalcurve）是一条高峰位于中央，两端逐渐下降并完全对称，曲线两端永远不与横轴相交的钟型曲线。其密度函数为：2010-10-1125心理统计第6章概率分布函数式中涉及到四个常数：π和e分别为圆周率和自然对数的底，是确定常数；μ和σ分别是正态总体的均数和标准差，是不确定常数。μ反映正态分布的集中趋势位置，σ反映正态总体的离散程度，σ↓，数据越集中，曲线形状“瘦高”，σ↑，数据分布越离散，曲线越“矮胖”。2010-10-1126心理统计第6章概率分布（三）正态分布的特征：（1）关于x=μ对称。正态分布μ=Md=Mo（2）在x=μ处取得该概率密度函数的最大值，y=0.3989，在x=μ

±σ

处有拐点，表现为钟型曲线。（3）曲线下面积=1。正态曲线下每一横坐标所对应的面积与总面积（总面积=1）之比，其值等于该部分的面积值。因此，正态曲线下的面积可视为概率，概率值为每一横坐标值的随机变量出现的概率。2010-10-1127心理统计第6章概率分布（5）σ决定曲线的形状，当μ恒定时，σ↓，数据越集中，曲线形状“瘦高”，σ↑，数据分布越离散，曲线越“矮胖”。习惯上用N(μ，σ2)表示均数为μ、标准差为σ的正态分布。（4）μ决定曲线在横轴上的位置，μ↑曲线沿横轴右移；μ↓曲线沿横轴向左移。2010-10-1128心理统计第6章概率分布正态曲线位置变换2010-10-1129心理统计第6章概率分布正态曲线形态变换2010-10-1130心理统计第6章概率分布（6）正态曲线下面积的分布规律正态曲线下面积的分布规律由μ及σ所决定。一般正态分布曲线下面积分布状况：µ±σ范围内曲线下面积等于0.6827，µ±1.64σ

=0.9090µ±1.96σ

=0.9500µ±2.58σ

=0.99002010-10-1131心理统计第6章概率分布

-1.96

95%

+1.96

2.5%2.5%正态曲线下的面积分布示意图2010-10-1132心理统计第6章概率分布正态曲线下面积分布规律2010-10-1133心理统计第6章概率分布（7）标准正态分布

对任意一个服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量，可做如下的标准化变换，也称Z变换，经标准化变换后，原正态分布密度函数变为：2010-10-1134心理统计第6章概率分布2010-10-1135心理统计第6章概率分布经标准化变换后，原变量xz，z服从总体均数为0，总体标准差为1的正态分布，即标准正态分布（standardnormaldistribution）,用N（0，1）表示。2010-10-1136心理统计第6章概率分布标准正态分布的作用：

标准正态分布曲线下面积分布有一定的规律，统计学家编制了标准正态分布曲线下面积分布表，所有的正态分布均可经标准化变换①计算z值②查曲线下面积分布表③求一定区间(X1,X2)内的概率（所包含的频数）。2010-10-1137心理统计第6章概率分布二、正态分布表的编制与使用正态分布表的编制与结构正态分布表的使用次数分布是否为正态分布的检验方法正态分布理论在测验中的应用2010-10-1138心理统计第6章概率分布（一）正态分布表的编制与结构

根据标准正态分布密度函数积分，当Z=数轴上任意值，可计算出曲线下的面积（概率）及密度函数值（y值）；正态分布表的2种形式：①Z值自-∞～0～∞，表中列出不同Z值下的累计概率；②Z值自0～（3.99）～∞，表中列出Z=0至某一定值之间的累计概率；2010-10-1139心理统计第6章概率分布（二）正态分布表的使用根据Z值求概率（p），即已知标准分数求面积：①求某Z值～Z=0之间的概率；②求≥Z值或≤Z值的概率③求两个Z值之间的概率如何查表？2010-10-1140心理统计第6章概率分布（二）正态分布表的使用根据概率（p）求Z值：①自Z=0开始的概率求Z值；②已知位于正态分布两端的概率（尾部）求概率值分界点的Z值；③已知曲线下中央部分的概率（面积），求Z值直接查表0.5-p,再查表p/2，再查表2010-10-1141心理统计第6章概率分布（三）次数分布是否为正态的检验方法Pearson偏态量数法峰度、偏度检验法累加次数曲线法2010-10-1142心理统计第6章概率分布四、正态分布理论在测验中的应用将等级评定数据确定测验题目的难易度能力分组或等级评定时确定人数测验分数正态化转化2010-10-1143心理统计第6章概率分布例6-2表6-23名教师对100名学生的评定结果等级评定结果教师甲教师乙教师丙A51020B252025C404035D252015E5105合计1001001002010-10-1144心理统计第6章概率分布（一）将等级评定转化为数据①将各等级人数求比率（频率）；②求各等级比率的中间值作为各等级的组中值；③求各等级组中值以上（以下）的累计频率；④求Z值，以累计频率查正态分布表即得；⑤计算被评者的Z值的算术均数。2010-10-1145心理统计第6章概率分布例6-2表6-23名教师对100名学生的评定结果等级评定结果教师甲教师乙教师丙A5