新高考数学一轮复习精讲必备 第16讲 平面向量及其应用（讲义含解析）

第16讲平面向量及其应用

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一、知识梳理

(1)平面向量的基底

平面内丕驾的两个向量a与6组成的集合｛a,6｝,常称为该平面上向量的一组基底，如

果c—xa+yb,则称xa+yb为c在基底｛a,b]下的分解式.

(2)平面向量基本定理

如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c,存在唯一的实数对

(x,y),使得c=xa+yb.

一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量A,a，对于平面内的向量a,如果a=xe^

+ye>,则称(x,y)为向量a的坐标,记作a=(*,y).

(1)平面向量线性运算的坐标表示

假设平面上两个向量a,6满足a=(M,yi),6=(如亥)，贝2±6=(汨±也，％土次)，

4a—(A,Ayi)(AeR),ua+vb=(ux、土呂生，〃乃土”)(u,v&R).

(2)向量模的坐标计算公式

如果向量a=(x,y),则a+/.

(3)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

②设4(凶，％),B(X2,女)，

则/庆=(吊-%一%)，

!AB\=\](及-xi).+(丁—x)r.

设a=(xi,%),6=(及，R),则a〃Zxnx2yl=为％

5.平面向量数量积的有关概念

(1)向量的夹角：给定两个非零向量a,b,在平面内任选一点。，作^=a,OB=b,则称

[0,内的上丝殳为向量a与向量b的夹角，记作(a,A).

(2)向量的垂直：当(a,b)=方时，称向量a与向量b垂直，记作a丄6.规定零向量与任

意向量垂直.

(3)数量积的定义：一般地，当a与6都是非零向量时，称【all引cos〈&b>为向量a与

6的数量积（也称为内积），记作a・6,即a・6=|a]㈤cos〈a,6〉.

（4）数量积的几何意义：①投影向量：设非零向量葩=a,过48分别作直线/的垂线，

垂足分别为,B',则称向量/'与'为向量a在直线1上的投影向量或投影.

②投影的数量：一般地，如果a,6都是非零向量，则称a!cos〈a,6〉为向量a在向量6

上的投影的数量.投影的数量与投影的长度有关，投影的数量既可能是非负数，也可能是

负数.

③两个非零向量a,6的数量积a等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积.

6.平面向量数量积的性质及其坐标表示

设向量4=（X1,71）,6=（矛2,㈤，。为向量&6的夹角.

（1）数量积：a・b=a61cos夕=生垄土里空

⑵模：|a|=yja・a=y/x；+式.

（3）夹十台角：cos“0一|a十•引b__—__«___；汨工二十・）宝%+场

（4）两非零向量a丄6的充要条件：a•6=00为*2+%%=0.

（5）a・b|W|a||b（当且仅当a〃b时等号成立）。|川入2+”%IW。気+/,1是+jl

7.平面向量数量积的运算律

（l）a•b=b•a（交换律）.

⑵4a•6=儿（a•6）=a•（/6）（结合律）.

⑶（a+b）,c=a,c+Z>・c（分配律）.

8.平面几何中的向量方法

三步曲：（1）用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；

（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系；

（3）把运算结果“翻译”成几何关系.

二、考点和典型例题

1、平面向量基本定理

【典例1T】（2022•江苏苏州•模拟预测）在，ABC中，A=],点。在线段A3上，点E

在线段AC上，且满足2AO=O8=2,AE=EC=2,CD交BE于F,设A8=a，AC=b，

则AF-8C=（）

s6n17「29n32

A.-D.—C.—1）.-

5555

【答案】B

【详解】

设。尸=/IOC，EF=/JEB，因为

AF=AD+DF=^AB+ADC=^AB+A(DA+AC)=^AB+A(-^AB+AC)=^LAB+AAC,

AF=AE+EF=^AC+JUEB=^AC+^(EA+AB)=^AC+^-^AC+AB)=^-AC+JUAB,

1-2,2

--=AA=-

35

所以有n

1^=21

JLl=-

2[5

UUI1UUU11212221

1*1litAF-BC=(--45+-AC)(-AB+AC)=--AB+-AC--AC-AB,

jr

因为A=§,AB=3,AC=4,

llllBlULW121117

所以AFBC=AF•BC=——x9+—xl6——x3x4x—=——,

55525

故选：B

【典例1-2](2022•江苏•南京外国语学校模拟预测)已知。人。氏。。均为单位向量，

1UUUUUIU

且满足5OA+O8+OC=0,则ABAC的值为()

A.。B.*C.1D.凡

8888

【答案】B

【详解】

AO=2(O3+℃),A8=3OB+2OC,同理,C=2O8+3OC

AO2=4(08+OC)2,：.OBOC=-^ABAC=(?>OB+2OC)(2OB+3OC)

,2„-2/915

=6OB+6OC+13O8OC=6+6——=-.

88

故选：B.

【典例13】(2022•江西•模拟预测(理))已知圆，的半径为2,点4满足,。=4,

E,戶分别是。上两个动点，且回=2/，则AE.AF的取值范围是()

A.[6,24]B.[4,22]C.[6,22]D.[4,24]

【答案】C

【详解】

取"的中点M,连接。/，则CM=j22-(可=1,

AE-AF=^AM+ME^AM+MF^=^AM+ME^AM-ME^=AM'-ME2=AM2-3

=|AC+CM|2-3,

又||AC|-|CM||創|AC+CMI\AC\+\CM\,所以3w|AC+CM卜5,

所以64AE-AF422，

当且仅当向量AC与CA/共线同向时，戸取得最大值22；向量AC与CM'共线反向

时，AEAF取得最小值6,

故选：C.

【典例1-4】（2022•河南•模拟预测（理））如图，在厶8。＞中，”为比的中点,

AC=mAM+nBD，则/»+〃=()

D.2

【答案】C

【详解】

AM=AB+^BC=AB+^AD,而5Z)=A£)-AB，

^AC=m[AB+^AD\+n(AD-AB)=(<m-n)AB+[^+n]AD,

m-n=\m——

muuuiu35

而厶。=厶8+40且45,14。不共线，故｛,〃.^>m+n=-

—+n=l13

故选：C.

【典例1-5[（2022•黑龙江•哈九中模拟预测（文））设臼，/是平面内两个不共线的向

..21

量，A3=（a—l）ei+62,AC=2he\-ei«>0,b>0若4B,。三点共线，则一+7的最

fab

小值是（）

A.8B.6C.4D.2

【答案】A

【详解】

因为4B,「三点共线，所以向量AB、AC共线，

所以存在使得A3=>IAC，即（々-1）円+/=丸（23]一次），

即（。-1）円+/=2肪ei-&2»

[a—\=2bA

因为6、。2不共线，所以।.，消去九，得。+给=1，

[1=­X

因为〃>0,/?>0»所以2+1=（—卜7]（4+28）=4+，+,24+2、/巴竺=4+2x2=8,

ab\ah）ba\ba

当且仅当“=1,时，等号成立.

24

故选：A

2、坐标运算及其数量积

【典例2-1】（2022•湖北•华中师大一附中模拟预测）已知向量a=（〃?,3）,h=（1,m）,若

“与6反向共线，则1-60的值为（）

A.0B.48C.473D.3娓

【答案】C

【详解】

由题意nt2=3,得m=±>

又a与6反向共线，故力=-6，此时。-百人=（-2価,6）,

故卜-60=4后

故选：C.

【典例2-2】（2022•全国•二模（理））已知向量a=（x,y）,〃=（1,2）,2=（-1,1）,若满足

allb，6丄（a-c）,则向量a的坐标为（）

【答案】D

【详解】

解：因为向量。=(%y)，8=(1,2),c=(-l,l),

所以=+

又a〃b、。丄（。一c）,

1

x=—

lxy=xx25

所以解得

(x+l)xl+(y-1)x2=。，2

片二

所以向量a的坐标为丄2

5,5

故选：D.

【典例2-3］（2022•河南•高三阶段练习（理））在长方形A8CQ中，AB=2,

AC=275,点M在边AB上运动，点N在边AD上运动，且保持M7V=2,则INC+MCI的

最大值为（）

A.2>/17B.2>/13C.V17D.713

【答案】A

【详解】

解：如闇，以A为原点，A8所在的直线为X轴，4。所在的直线为丁轴，建立平面直角坐

标系，

BC=VAC2-AB2=V20-4=4，

则A(0,0),C(2,4),0(0,4),

jr

设=则滕阳—,

2

则AM=2cose，AN=2sin9,

也(2cos®,0),N(0,2sin。),

NC=(2,4—2sin。)，MC=(2-2cos(9,4),

，NC+MC=(4-2cos&8-2sin。)，

「J/VC+MC1=(4-2cosOf+(8—2sin6>)2=84—16(2sin6+cos6)=84—16后sin(<9+勿)，其中

1G兀

tan(p=—<—=tan——,

236

.4八24

..—<夕+0V---,

63

当6=0时，|wc+wc|2=68,当e=•时，|NC+MC/=52,

.•.当e=0时，|NC+MC|取得最大值，最大值为2丿万.

故选：A.

【典例2-4】(2022•河南•方城第一高级中学模拟预测(理))已知向量〃，匕为单位向

量，,+叫=向-4(*0),则a与匕的夹角为()

A-B.-C.-D.—

6323

【答案】C

【详解】

由|a+；lb卜卜“-4(/1*0),两边平方可得：

222-2

a+2Aa'h-^-A2b=A~na-2Aab+h»

因为向量〃，b为单位向量，

所以1+2而心+把=8-2痴丿+1，即4（。包）=。.

因为，r0,所以°力=0,即°与&的夹角为

故选：C

【典例2-5[（2022•内蒙古•满洲里市教研培训中心三模（文））若£=（2,-6卜

7TTT

fe=（2sin-,2cos-）,下列正确的是（）

66

A.b〃（a-b）B.b±（a-b）

c.a在6方向上的投影是D.（〃+匕）丄（a—Z?）

【答案】C

【详解】

由己知5=（2,-百），b=（lM，

所以4一力=9,_6）一（1,百）=（1,-26）,a+匕=（2，—后）+（1,6）=（3,0）,

因为1X（-26）-GX1H0,所以〃，”_匕不平行，A错，

因为Ixl+Qx卜26）X0,所以b,a-b不垂直，B错，

ab2xl->/Jx61

因为a在方方向上的投影为忖8,H=忖=行厂—

因为1、3+卜2石）x0x0,所以“+4不垂直，D错，

故选：C.

3、综合应用

【典例37］（2022•北京•潞河中学三模）已知菱形ABC。的边长为a,NA8C=60,则

DBCD=（）

3232„3232

AA.—ciB.—a'C.-aD.—ci

2442

【答案】A

【详解】

解：DB=DA+AB=-BC-BA,CD=BA,

则DBCD=(-BC-BA)-BA=-BC-BA-BA^-^a2-a2=~a2.

【典例3-2】（2022•北京工业大学附属中学三模）已知向量°,。满足恸=2,.与很的夹角

为60，则当实数2变化时，2-2a|的最小值为（）

A.73B.2C.VioD.20

【答案】A

【详解】

如图,设OA=a,OB=b,,

当（。-Xa）丄。时，出-/la|取得最小值，

过B作BE丄。4,即|b-痛|取得最小值为忸目，

因为“与囚的夹角为60,

所以/BOA=60。,/BEO=90。,|0百=2,

所以|明=6.

故选：A.

【典例3-3】（2022•内蒙古赤峰•三模（文））若向量a，匕满足何=1,忖=2,

a（2a+3分）=5,则a与人的夹角为（）

A-B.工C.若D.m

6336

【答案】B

【详解】

解：因为忖=1,1|=2,a(2a+3b)=5,所以2J+3ab=5»

即2,1+3。力=5,所以“力=1，设°与4)的夹角为凡

八a-b1rrjr

则COSO=EPW=5,因为。式0,句，所以e=2：

故选：B

【典例3-4】(2022•重庆八中模拟预测)如图，在平行四边形ABC。中，£是8c的中

点，CF=2FD,DE与8尸相交于0.若4)=2,AO・(3A£»-2AB)=-7,则A8的长为

()

【答案】C

【详解】

在平行四边形ABC。中，£是死的中点，CF=2ED，OE与BF相交于0.

设。。=/lOE(0</l<l),BO=JUBF(0<JU<1)

\)[\\AD+DO=AD+ADE=AD+A^AB-^ADi—A\AD+XAB

2丿

A8+BO=AB+〃BF=A8+〃"-gAB)=(l-2|〃)A5+〃A£>

3

由厶0=40+力0=48+80，可得(1_2|〃)AB+〃AD+

3

1--/=//2=—

231

则2，解之得，,则AO=AO+DO=-AO+—4B

342

1—u=A,

3产

则AO(3AD-2AB)=(^AD+^AB\(3AD-2AB)=小E屮恥一7

UIHI

又加=2,则9-|ABj=-7AB|=4,即AB的长为4

故选：c

【典例3-5】(2022•宁夏•平罗中学三模(文))已知函数/(力=疗〃，向量

〃=、inx+cosx,#cosx),w=(cosx-sinx,2sinx),在锐角.ABC中内角A£C的对边分

别为a/,c,

⑴若"4)=