2022-2023学年广东省揭阳市高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省揭阳市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共10小题，共50.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知集合M={%|-3<%<7},/V={%EZ|-5<%<1},则Mn/v=()

A.{-3,—2,—1,0}B.{-2,-1,0}C.(—3,1)D.(—5,7)

2.若z=*,则在复平面内z对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.己知平面al平面0,直线lua,且ICS，则直线2与平面。的位置关系为（）

A.平行B.垂直C.相交且不垂直D.以上情况都有可能

4.4知a=5。2,力=[09026,c=2,2,则（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>c>a

5.设X>0,则函数y=a产的最小值为（）

A.6B.7C.11D.12

6.已知角a的终边经过点P（l,-5）,则tan（等兀-2a）=（）

A.yB.yC.-yD.-y

7.如图是下列四个函数中的某个函数的部分图象，则该函数的解析

式为（）

A.y=X2+

B.y=2'+六

一O1

c.y=/+荷

D.y=>/~x+:

8.我国的玉文化发源于新石器时代早期，绵延至今，贯穿了

整个中华文明史，是中国传统文化的重要组成部分.如图是

1986年在河南平顶山出土的西周（公元前1046—前771年）青

玉琮，高2.6cm,边长5c内径3.8cm,体呈外方内圆状，中

空，通体素面，则该青玉琮的体积约为（）

A.33.6cm3B.34.6cm3C.35.5cm3D.36.5cm3

9.已知△ABC的重心为点G,点E为AC上一点，且满足|而|=4|荏|，记荏=方,前=方，

则前=()

A.我+^B.扪+舒C.白+与D.|a+|b

10.已知0<a<1,且。21。93a=81/3,则,+log9a=()

A.孚B.学C.vD.苧

4332

二、多选题(本大题共2小题，共10.0分。在每小题有多项符合题目要求)

11.已知向量五=(5,2)1=(2-2,3)，则下列命题中真命题为()

A.若必不，则4=一3或5

B.若益1则2=|

C.若4=1,则|五+刈=

D.若4=2,则向量G在向量B上的投影向量的坐标为(0,2)

12.若事件4,B,C满足PQ4)=0.6,P(B)=0.2>P©=0.7,p(AB)=0.32>P(AC)=0.18，

P(BC)=0.14-P(4BC)=0.436，则()

A.4与B相互独立B.B与C不相互独立

C.A与C相互独立D.A,B,C相互独立

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知a,b€R,且一5<a<2,l<b<4,则3a-b的取值范围是.

14.在测量工作中，测得一组数据为2,6,7,5,9,17,10,则这组数据的平均数为,

第75百分位数是.

15.若函数/(为满足/(x)+/(Ax+2)=九则称函数/。)为“4类期函数”.已知函数g(x)为

“一2类期函数”，且曲线y=g(x)恒过点P,则点P的坐标为.

16.如图，在四棱锥P-ABCO中，底面4BC0为平行四边形，P

E,F,G分别为4D,AB,PC的中点，点H在棱PC上，且BH〃\

平面EFG,则瞿=______.二:*---->C

4:/\Z

AB

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知函数f(x)=sin(2x+*).

(1)求/(x)的最小正周期及单调递增区间；

(2)当xC臣.时,求f(%)的值域.

18.(本小题12.0分)

某校以课程建设为核心，建立了学生劳动实践基地，开发了农事劳作课程，开展课外种植、

养殖活动，打算引进小动物甲以及成立养殖小组.为了解学生的养殖意愿，该校在一年级的100

名学生中进行问卷调查，调查数据如表：

养殖小动物甲

性别

喜欢不喜欢

男生2030

女生4010

(1)分别估计该校男、女生中喜欢养殖小动物甲的概率；

(2)学校决定由一年级负责养殖小动物甲，现按分层随机抽样的方法从一年级喜欢小动物甲的

学生中随机抽取6名学生组成养殖小组，再从这6名学生中随机抽取2人担任养殖小组主要负

责人，求这2人恰好都是女生的概率.

19.(本小题12.0分)

如图，在正三棱柱4BC-&B1C1中，E,F,G分别在棱&Bi，力也1，CC1上，黑=第=言，

AAX=AB=2.

(1)证明：平面&BC//平面EFG；

⑵求点4到平面41BC的距离.

20.(本小题12.0分)

从以下三个条件中任选一个补充在下面问题中，并完成解答.

①a+csinB=bcosC；(2)\/~2a=y/-2bcosC—c;③c+2bcosBsinC=0.

记△ABC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,已知.

⑴求B；

(2)若6=，石,a=1，求△ABC的面积.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

21.(本小题12.0分)

已知函数/(x)=2X+2r.

(1)判断f(x)在(0,+8)上的单调性，并证明；

(2)函数g(x)=「若9(乃没有零点，求实数a的取值范围.

22.(本小题12.0分)

如图①，在平行四边形4BC。中，B=30。,4B=2,BC=/可，将△ABC沿4c折起，使点B到

达点P处，如图②，二面角P-AC-。的大小为80。，E,F分别为24,CD的中点.

(1)证明：AC1EF-,

(2)求直线E尸与平面PAC所成角的大小.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：由题意，/V={xGZ|-5<x<l)={-4,-3,-2,-1,0},M={x|-3<x<7),

则"PIN={-2,-1,0}.

故选：B.

直接根据交集的运算求解.

本题主要考查交集及其运算，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】解：z=w=能器彩=居一条，在复平面内z对应的点为端,一令，在第四象限.

故选：D.

先根据复数的除法求出复数值，然后根据复数的几何意义判断.

本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：如图,

在正方体4BC0中，设平面4415。为平面a,

平面4BCC为平面口，

当/为45时，直线(与平面0的位置关系为平行；

当，为时，直线，与平面£的位置关系为垂直；

当，为时，直线，与平面夕的位置关系为交且不垂直.

故选：D.

由题意画出图形，举例分析得答案.

本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思

维能力，是基础题.

4.【答案】B

【解析】解：因为y=炉2在(o,+8)上递增，且5>2>1,

所以5'2>21-2>I1-2=1,

所以a>c>1,

因为y=logo^x在(0,+8)上递减，且6>1,

所以10go.26<logo”=0,即b<0,

所以a>c>b.

故选：B.

根据基函数的性质和对数函数的性质比较.

本题主要考查数值大小的比较，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：X>0,:.y=X*±25=x+空+122IX--+1=11，

JXXX

当且仅当》=垄，即x=5时，等号成立,

X

所以函数y=至的最小值为11.

故选：C.

先化简为y=#+x+25=x+至+i，再利用基本不等式即可求解.

JXX

本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题.

6.【答案】D

【解析】解：••・角a的终边经过点PQ-5),

tana=f=-5

2tana_

tan2a5

1-tan2a-12

tan（竿兀一2a）

tan(—7T--7r-2a)

tan(--7T—2a)

=—tan(-7r+2a)

l+tan2a

l-tan2a

17

故选：D.

根据a终边上的点求出tana,利用正切的诱导公式、和差角公式、二倍角公式化简tan（竿兀-2a）,

代入tana的值即可得到答案.

本题考查了任意角的三角函数的定义以及三角函数恒等变换在三角函数求值中的应用，考查了计

算能力和转化思想，属于基础题.

7.【答案】A

【解析】解：对于选项A：y=/+或是偶函数，图象关于y轴对称；然+,>2JM./=2,

当且仅当好=或，即％=±1时，等号成立，即函数在％=±1时取得最小值2.以上性质均与图象相

符，故选项A正确；

对于选项B：令f（X）=2*+/g,易知/"（一x）片f（x）且/'（一x）+/（x）*0,故该函数既不是奇函

数也不是偶函数，其图象不会关于y轴对称，不符合图象，故选项B不正确；

对于选项C：当x>0时，令/（工）=/+3=/+：,

&G（0,+8）,J--?—,

当0<X]<%2<时，右一刀2<0，X_l,/（Xj>/（X2）；

当$<乂1<小时，X1-X2<0,X_l,/（X1）<f（x2）,

・・•/（x）在（0,惠）单调递减，在（小,+8）单调递增，

所以/（无）在（嗝,1）上单调递增，所以/（吗皿皿=/（*）</（1）=2，

即函数图象最低点函数值应该小于2,这与图象不符，故选项C不正确;

对于选项。：y=，*+；的定义域为(0,+8),不符合图象，故选项。不正确；

综上，仅4选项函数图象符合题意.

故选：A.

利用函数的奇偶性、单调性、定义域、特殊位置的函数值即可逐项判断求解.

本题主要考查了函数性质在函数图象判断中的应用，体现了数形结合思想的应用，属于中档题.

8.【答案】C

【解析】解：由题意得该青玉琮的体积为长方体的体积减去圆柱体的体积，

V=52x2.6-兀号产x2.6«35.5(cm3).

故选：C.

由题意得该青玉琮的体积为长方体的体积减去圆柱体的体积，根据柱体的体积公式计算，即可得

出答案.

本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查转化思想，考查运算能力，属于中档题.

9【答案】A

【解析】解：由题意△ABC的重心为点G,点E为4c上一点，且满足|前|=4|荏|，

则荏=yAC,

4

设D为BC的中点，则同=\(AB+AC),AG=1AD=4港+硝，

故EG=AG-AE=^AB+AC)-yAC==：AB+^-AC=*+

3'74312312

故选：A.

由题意推出版=；而以及而=x荏+灰)，根据向量的线性运算，即可求得答案.

本题主要考查平面向量的基本定理，属于基础题.

10.【答案】A

【解析】解:由题意，log3a2'°93a=的3(81c),根据对数的性质可得21。阴。"og3a=，。。334,

199

32=log332=->

即(log3a产=3，

注意到0<a<1,于是log3a<0,

3

故Q=-

2

3

zo得

解-

93a=3-2

故4+log9a=白+I。993T=27+*=27+需=27-=苧・

QN33Jln92Zn344

故选：A.

两边同时取以3为底的对数，求出a后，结合对数的运算性质进行求解.

本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题.

I1.【答案】ACD

【解析】解：对4，因为到/隹所以5x3-/IQ—2)=0,

解得4=-3或4=5,故A正确；

对B,因为3_L»,所以5(4-2)+34=0,解得4=[,故B错；

对C,4=1时,a=(5,1)5=(-1,3).则方+另=(4,4)，

所以11+6|=V42+42=4A/-2>故C正确；

对D,X=2时,五=(5,2),b=(0,3)，

则向量a在向量石上的投影为|五|cos<a,b>—25=2,

所以向量。在向量不上的投影向量的坐标为(0,2),故。正确.

故选:ACD.

利用平面向量的坐标表示对每个选项一一分析.

本题考查了平行向量的坐标关系，向量垂直的充要条件，根据向量的坐标求向量的长度的方法,

投影向量的计算公式，考查了计算能力，属于基础题.

12.【答案】AC

【解析】解：由题可知P(A)=0.6,pQ)=0,4>P(B)=0.8,p(B)=0.2-P(C)=0.7,p(c)=0.3>

因为P(4B)=0.32=P(A)P(B)，所以4和B相互独立，所以4和B相互独立，故选项A正确；

因为P(4C)=0.18=P(4)尸(C)，所以4和C相互独立，所以4和C相互独立，故选项C正确；

因为P(BC)=0,14=P(B)P(C)，所以B和C相互独立，所以8和C相互独立，故选项8错误；

因为P(A)P(B)P(C)=0.6x0.8x0.7=0.3364P(ABC)=0.436,故A,B,C不相互独立，故选

项。错误.

故选：AC.

根据相互独立事件的概率计算方法即可判断.

本题考查相互独立事件的概率相关知识，属于基础题.

13.【答案】(一19,5)

【解析】解：因为a,beR,且—5<a<2,1<6<4,

所以—15<3a<6,—4<一b<—1,

所以—19<3a—b<5,

所以3a-b的取值范围是(-19,5).

故答案为：(-19,5).

利用不等式的基本性质求解.

本题主要考查不等式的性质，属于基础题.

14.【答案】810

【解析】解：把2,6,7,5,9,17,10,从小到大排列为：2,5,6,7,9,10,17,

平均数为2+S+6+7+9+10+”=8,

这组数据共7个，7x75%=5.25,则这组数据的第75百分位数是第6个数10.

故答案为：8,10.

把该组数据按从小到大的顺序排列，利用平均数公式，百分位数定义即可求解.

本题主要考查了平均数和百分位数的计算，属于基础题.

15.【答案】(—§,—1)

【解析】解:由题可知,g(x)+g(-2x-2)=-2,

令x=-2x—2得，x=-

oO9

故g(-§)+g(-§)=-2，

所以曲线丫=g(x)恒过点P(-

故答案为：(―I,—1).

根据题意得g(无)+g(-2x-2)=-2,令x=-2x-2即可求出定点.

本题主要考查抽象函数及其应用，考查运算求解能力，属于基础题.

16.【答案】2

【解析】解：连接AC、BD,设4CDB0=。、EFC\AC=M,连接MG,

过点。作OH〃MG交PC于点、H,连接NH、DH,

因为E、F分别为4。、AB的中点，所以EF〃BD,EFu平面EFG,BD<t平面EFG,

所以8D〃平面EFG.

同理可得。"//平面EFG,OHCBD=0,OH,BDu平面BOH,

所以平面BOH//平面EFG,BHu平面BOH,所以BH〃平面EFG,

因为E、尸分别为4。、AB的中点，则M为A。的中点，

11

--

又。为AC的中点，所以M0="4。42

所以部=，又OH〃MG,所以舞=需=百，

所以GH=『C,又G为PC的中点，

所以PH=PG+GH=^PC+-GC=^PC+^x^PC=|PC,

则HC=PC-PH=；PC,

所以卷=2.

p

连接AC、BD,设ACCIBD=0、EF(}AC=M,连接MG,过点。作0H〃MG交PC于点H,连接NH、

DH,即可证明平面BOH〃平面EFG,从而得到平面EFG,再根据线段平行得到线段的关系,

即可解答.

本题考查直线与平面平行，属于中档题.

17.【答案】解：(1)/。)的最小正周期为7=3=兀，

因为y=sinx的单调递增区间为[-]+2卜兀(+2kn],keZ,

令2x+卷6[-/+2kn,\+2kn],k&Z,

得2x6[—+2kn,雪+2kji],k&Zt

所以Xw[—黄+/OT愣+/ot],keZ；

故/'(x)的单调递增区间为[—碧+fc7r,§+kn],kGZ,

(2)因为xC碌,得],所以2xC串曾,

所以2x+雪eg片]，

所以sin(2x+")6[―-^-,1]'

故当xe呢工]时，/(为的值域为[一好,1〉

【解析】(1)利用周期公式求得7=兀，令2X+5e[冶+2而5+2时,kez,求解得增区间;

⑵由xe后,居]求得2x+"eg片],再利用正弦函数的性质即可求解.

本题考查了三角函数的图象性质以及周期性，单调性，考查了学生的运算能力，属于中档题.

18.【答案】解：(1)由题意知男生中喜欢养殖小动物甲的频率为人=名

aUIDUO

女生中喜欢养殖小动物甲的频率为描t

40+105

所以估计该校男、女生中喜欢养殖小动物甲的概率分别为融.

(2)抽取的这6人中男生人数为6x/%=2,分别记为A,B,

女生人数为6x^5=4,分别记为a,b,c,d.

设抽取的2人分别为n,用数组(m,n)表示这个实验的一个样本点，

因此该试验的样本空间0={(4B),(4,a)，(4b),(Ac),(Ad),(B,a),(B,b),(B,c),

(B,d),(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)}共15个样本点.

设事件E="抽取的2人恰好都是女生”，

则后={94),(a,c),(a,d),(瓦c),(b,d),(c,d)),共6个样本点.

因为样本空间。中每一个样本点出现的可能性相等，

所以该试验是古典概型，因此P(E)=盘=|.

【解析】(1)根据题意由频率计算概率即可得解：

(2)写出基本事件空间，根据古典概型求解即可.

本题考查古典概型相关知识，属于基础题.

19.【答案】(1)证明：因为镖=第，所以EF〃&Ci.

又BiG〃BC,所以EF〃BC.

又EFU平面&BC,BCu平面&BC,所以EF〃平面4凤.

因为第=券＞所以FG〃/1/.

又FGC平面&BC,ArCu平面&BC,

所以FG〃平面&BC.

因为EFCIFG=F,EF,FGu平面EFG,

所以平面&BC〃平面EFG.

(2)解：法一：如图,

取BC的中点。，连接40,公0,因为4B=4C,所以4。1BC.

又4Ali平面ABC,BCu平面4BC,所以1BC.

因为40n441=440,44iu平面。44「所以BC1平面。44「

又BCu平面&BC,所以平面4BC1平面。

过点4作4H1&。，垂足为H,贝平面&BC,

所以4H的长度为点4到平面4BC的距离.

在Rt△0441中，AO=C,A、0=VAAj+AO2=V-7，

所以端2=隽=卒，

即点4到平面4BC的距离为学.

法二：因为44iJ■平面4BC,AB,4Cu平面ZBC,

所以44]±ABAAi1AC.所以&B=A^C=V22+22=2-^~2-

取BC的中点。，连接4。，因为4B=&C,所以401BC,

22

所以&。=VArC-0C=

所以△&BC的面积SA^BC=•&。=；x2X=<7-

设点a到平面&BC的距离为九，

11

由“三枝锥4-&BC=":棱锥A「4BC，得§Sf]BC,h=LABC,，

i\，Fo

所以h=S"BC—=/-^2X2=2G,

S0]8CC7

即点4到平面&BC的距离为早.

【解析】(1)根据第=第，得到EF〃B】Ci，利用线面平行的判定定理得到EF〃平面&BC,同理

得到FG〃平面&BC,再利用面面平行的判定定理证明；

(2)法一：取的中点0,连接40,4。，过点4作ZH1A。，垂足为“，则47/1平面&BC,从

而AH的长度为点4到平面4BC的距离，然后利用等面积法，由4"=端2求解；法二：取BC的

中点。，连接A1。，利用等体积法，由V三棱锥4-A8C=U三棱锥人-ABC，Sp|sA/liBC•h=^S^ABC-AAr

求解.

本题主要考查平面与平面平行，考查转化能力，属于难题.

20.【答案】解：(1)若选①，由己知及正弦定理得si?L4+s讥Csi九8=sinBcosC,

所以sin(8+C)+sinCsinB=sinBcosC,

所以si?18cosc+cosBsinC+sinCsinB=sinBcosC,

即cosBs讥C+sinCsinB=0.

又C6(0,TT),所以sinC>0,所以cosB+sinB=0,即tcmB=—1.

因为BG(0,兀),所以B=学.

若选②，由已知及正弦定理得/"入历人=y!~~2sinBcosC—sinC，

所以，~^sin(B+C)=y/~2sinBcosC—sinC-

所以V^siziBcosC+y/~2cosBsinC=y/~2sinBcosC-sinC,

所以一^cosBsinC=-sinC-

又ce(o,兀)，所以sinC>0,所以/7COSB=-1,即COSB=-?.

因为8€(0,兀),所以

若选③，由已知及正弦定理得sinC+2sinBcosBsinC=0,

因为CE(O,TT),所以sinC>0,所以1+2s讥8cos8=0,

所以sin2B=-l,所以28=:+2/OT,/CeZ,

因为Be(O,zr),所以B=.+k7T,kCZ.

又所以8=学

22222

(2)由余弦定理得/?2=a+c—2accosB=1+c-2ccos与-1+c+y/~2c=(A/-5),

即c2+V~&-4=0，解得c=，2(c=—舍去)，

所以△ABC的面积s=^-acsin^-=x1x\T_2x

24222

【解析】(1)利用正弦定理进行边角互换，然后利用和差公式、二倍角公式求B即可；

(2)利用余弦定理得到c=<2.然后利用三角形面积公式求面积即可.

本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题.

21.【答案】解：(1)可知"乃在(0,+8)上单调递增,证明如下:

任取X1，x26(0,4-00),且<X2,

则/(右)-f(不)=-2冷+2-右一2r2=2右一+击一击=(2%-2^)(1-

因为0<尤1<%2，所以2巧<