第17章 勾股定理 考点精练 2023-2024学年人教版八年级数学下册VIP

►人教版数学八年级下册专题02勾股定理能力能力一、选择题（共13小题）1．（2023秋•西安期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点，，均在格点上．若于点，则线段的长为A． B． C．1 D．22．（2023秋•船营区校级期末）如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，的长为半径画弧交数轴正半轴于点，则点表示的数为A． B． C． D．3．（2023秋•佛山期末）如图，在的小正方形网格中，点，为格点，另取一格点，使为直角三角形，则点的个数为A．5个 B．6个 C．7个 D．8个4．（2023秋•丰顺县期末）在中，，，的对边分别是，，，．则该三角形的三边满足的关系是A． B． C． D．5．（2023秋•昆明期末）为了测量学校的景观池的长，在的延长线上取一点，使得米，在点正上方找一点（即，测得，，则景观池的长为A．5米 B．6米 C．8米 D．10米6．（2023秋•白银期末）已知的三边分别为、、，下列条件中，不能判定为直角三角形的是A． B． C． D．7．（2023秋•锦州期末）如图，在边长为1的正方形网格中，，，均在正方形格点上，连接，，点到的距离为A． B． C． D．8．（2023秋•广南县期末）小明从家出发向正北方向走了，接着向正东方向走到离家远的地方，小明向正东方向走了A．60 B．80 C．100 D．1609．（2023秋•肃州区校级期末）如图，所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，已知，，，，则的值是A．18 B．10 C．36 D．4010．（2023秋•五华区校级期末）如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面到点处吃食物，那么它爬行最短路程是A． B． C． D．11．（2023秋•惠来县期末）已知的三条边分别为，，下列条件不能判断是直角三角形的是A． B．，， C． D．12．（2023秋•北碚区期末）如图，在直角三角形中，，的垂直平分线交于，交的角平分线于，连接、，若，的周长为17，则的长度是A． B．10 C．12 D．1313．（2023秋•辽宁期末）如图，为的一条弦，分别交和于、，连接，．若，，那么的半径为A． B． C． D．二、填空题（共10小题）14．（2023秋•公主岭市期末）如图，分别以的三边为一边向外作正方形，它们的面积分别是，，，若，则度．15．（2023秋•汝阳县期末）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，几分钟后船到达点的位置，此时绳子的长为10米，问船向岸边移动了米．16．（2024•崇明区）如图，一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔25海里的处，它沿正北方向航行到达位于灯塔正东方向上的处，那么此时轮船与灯塔的距离为海里．17．（2023秋•玄武区期末）如图，在中，，于点，，，则．18．（2023秋•成都期末）如图，中，，．以点为圆心，长为半径作弧，交于点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点．若，则．19．（2023秋•广南县期末）如图，以的三边为直径分别向外作半圆，若，，则．20．（2023秋•宽城区期末）某医院入口的正上方处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高1.2米的患者走到离门1.6米的感应器地方时（即米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离的长为米．21．（2023秋•法库县期末）如图是一种饮料的包装盒，其长、宽、高分别为，，，现有一长为的吸管插入到盒的底部，吸管露在盒外部分的长度为，则的取值范围为．22．（2023秋•秦安县期末）如图，在一棵树的10米高处，有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘处，另一只爬到树顶后直接跃到处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树的高度为米．23．（2023秋•彰武县期末）如图，在中，，，，是的垂直平分线，交于点，交于点，连结，则的周长为．三、解答题（共9小题）24．（2023秋•公主岭市期末）一块田地的形状如图所示，已知，，，，，求该田地的面积．25．（2023秋•长宁区校级期末）如图，在四边形中，，，．（1）求证：（2）如果平分，且，求的面积．26．（2023秋•肃州区校级期末）如图，在中，，，，，求的长．27．（2023秋•白银期末）为白银市公园建设多一些绿色、多一片蓝天，市政府准备对金鱼公园进行小范围绿化．如图，现计划在公园一块四边形空地上种植草皮，测得，，，，，求该四边形的面积．28．（2023秋•兰州期末）如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，离地的高度为2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时米），感应门自动打开，为多少米？29．（2023秋•榆阳区期末）如图，一棵竖直的大杉树在一次台风中被刮断，树顶落在离树根处，工作人员要查看断痕处的情况，在离树根有的处架起一个长的梯子，点，，在同一条直线上．求这棵树原来的总高度．30．（2023秋•城关区期末）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题：（1）如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理．（2）如图2，在中，，是边上的高，，，求的长度；（3）如图1，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求的值．31．（2023秋•杨浦区期末）如图，走廊上有一梯子以的倾斜角斜靠在墙上，墙与地面垂直，梯子影响了行人的行走，工人将梯子挪动位置，使其倾斜角变为，如果梯子的长为4米，那么行走的通道拓宽了多少米？（结果保留根号）．32．（2022秋•上蔡县期末）阅读下列材料，完成任务我们知道，平方差公式可以用如图所示的平面几何图形的面积来表示，实际上，还有一些代数式恒等式也可以用这种形式表示．任务：（1）图1是由2个边长分别为，的正方形和2个全等的长方形所拼成的大正方形，根据图中的信息，可以写出所表示的代数恒等式为；（2）图2所示的图形是由四个直角边长分别为，，斜边长为的全等的直角三角形和一个正方形的拼成的大正方形，请你用面积法推导恒等式的方法，证明勾股定理．（3）在中，，为直角边长，为斜边长，且，，求直角三角形的斜边长．拔高拔高一、选择题（共2小题）1．（2023春•丰台区期末）勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一．如图，在中，，以各边为边向外作正方形、正方形、正方形．连接、、，若，，则这个六边形的面积为A．28 B．26 C．32 D．302．（2023秋•秦都区校级期中）如图，在中，，，，是上一动点，过点作于，于，，则的长是A． B． C．4 D．二、填空题（共2小题）3．（2022秋•泰山区校级月考）若的三边，，满足，，为奇数，且能被3整除，则，是三角形．4．（2023春•莒南县期中）如图，在中，，以，和为边向上作正方形和正方形和正方形，点落在上，若，空白部分面积为16，则图中阴影部分的面积是．三、解答题（共7小题）5．（2023秋•凌海市期中）我国数学家赵爽（又名婴，字君卿．三国时吴国人，一说魏晋人或汉人．籍贯、生卒年不详，约生活于公元3世纪初，数学家，天文学家．为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图，，，和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形．如果大正方形的面积为25，，，，且．试求小正方形的边长．6．（2023秋•中牟县期中）勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，其巧妙各有不同．在进行《勾股定理》一章《回顾与思考》时，李芳老师带领同学们进行如下的探究活动：如图①，是用硬纸板剪成的四个全等的直角三角形（两直角边长分别为，，斜边长为和一个边长为的正方形，请你将它们拼成一个能验证勾股定理的图形．（1）如图②，是李明拼成的示意图，请你利用图②验证勾股定理；（2）一个零件的形状如图③，按规定这个零件中和都应是直角．工人师傅测得这个零件各边尺寸（单位：如图④所示，这个零件符合要求吗？7．（2023春•前郭县期末）【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为、，斜边长为．图中大正方形的面积可表示为，也可表示为，即，所以．【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形，其中，，根据拼图证明勾股定理．【定理应用】在中，，、、所对的边长分别为、、．求证：．8．（2023春•汝南县期末）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．（1）①请叙述勾股定理；②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（如图中图形均满足证明勾股定理所需的条件）（2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有个；②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明．9．（2023春•交城县期中）问题情境：勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法．下面利用拼图的方法探究证明勾股定理；定理表述：（1）请你结合图1中的直角三角形，叙述勾股定理（可以选择文字语言或符号语言叙述）；尝试证明：（2）利用图1中的直角三角形可以构造出如图2的直角梯形，请你利用图2证明勾股定理；定理应用：（3）某工程队要从点向点铺设管道，由于受条件限制无法直接沿着线段铺设，需要绕道沿着矩形的边和铺设管道，经过测量米，米，已知铺设每米管道需资金1000元，请你帮助工程队计算绕道后费用增加了多少元？10．（2023秋•东莞市期末）如图，在直角三角形中，，若厘米，厘米，厘米．点从点开始，以2厘米秒的速度沿的方向移动，终点为；点从点开始，以1厘米秒的速度沿的方向移动，终点为．如果，同时出发，用秒表示移动时间．（1）分别求出，到达终点时所需时间；（2）若点在线段上运动，点在线段上运动，试求出当为何值时，？（3）当为何值时，？11．（2023秋•船营区校级期末）如图，在中，，，，点从点出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒．（1）当点在的延长线上运动时，的长为；（用含的代数式表示）（2）若点在的角平分线上，求的值；（3）在整个运动中，直接写出是等腰三角形时的值．

能力练一、选择题（共13小题）1．【答案】【解答】解：由勾股定理得：，，，，，，，是直角三角形，，的面积，，．故选：．2．【答案】【解答】解：由题意可得，，，，，，点表示数为：，故选：．3．【答案】【解答】解：如图所示，共有6个格点使为直角三角形．故选：．4．【答案】【解答】解：，，的对边分别是，，，，是的斜边，．故选：．5．【答案】【解答】解：，，米，（米，，（米，（米，故选：．6．【解答】解：、，，，为直角三角形，故此选项不合题意；、，能构成直角三角形，故此选项不合题意；、设，，，，解得：，则，不是直角三角形，故此选项符合题意；、，能构成直角三角形，故此选项不符合题意．故选：．7．【答案】【解答】解：连接．的面积，设点到的距离为，的面积，，．故选：．8．【答案】【解答】解：由题意可得，小明向正东方向走了，故选：．9．【答案】【解答】解：如图，由题意得：，，，，故选：．10．【答案】【解答】解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，则这个长方形的长和宽分别是6和3，则所走的最短线段是；第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是5和4，所以走的最短线段是；第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是7和2，所以走的最短线段是；三种情况比较而言，第二种情况最短．所以它需要爬行的最短路线的长是，故选：．11．【答案】【解答】解：、设，则，，，，解得，此三角形不是直角三角形，符合题意；、，此三角形是直角三角形，不符合题意；、，，此三角形是直角三角形，不符合题意；、此三角形是直角三角形，不符合题意．故选：．12．【答案】【解答】解：垂直平分，，，，，，，平分，，，的周长为17，，，，，，，，，，，，故选：．13．【答案】【解答】解：连接，，，，，设的半径为，则，，由勾股定理得：，，解得：，即的半径是，故选：．二、填空题（共10小题）14．【答案】90．【解答】解：，，，，，是直角三角形，，故答案为：90．15．【答案】9．【解答】解：在中：，米，米，（米，（米，（米，（米，答：船向岸边移动了9米，故答案为：9．16．【答案】．【解答】解：由题意可知，，海里，，（海里），（海里），即此时轮船与灯塔的距离为海里，故答案为：．17．【答案】．【解答】解：，，，，，，，故答案为：．18．【答案】．【解答】解：，，，，由作图得，，，，故答案为：．19．【答案】2．【解答】解：，，，，，，故答案为：2．20．【答案】2.0．【解答】解：如图，过点作于点，米，米，米，（米，在中，由勾股定理得到：（米，故答案为：2.0．21．【答案】．【解答】解：当吸管放进盒里垂直于底面时露在盒外的长度最长，当吸管放进盒里露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，底面对角线长，高为，由勾股定理得：盒里面吸管长度，吸管露在盒外的长度最短，吸管露在盒外的部分的取值范围是，故答案为：．22．【答案】．【解答】解：如图，设树的高度为米，因两只猴子所经过的距离相等都为30米．由勾股定理得：，解得．故这棵树高．23．【答案】14．【解答】解：在中，，，，，垂直平分，，的周长，故答案为：14．三、解答题（共9小题）24．【答案】该田地的面积是．【解答】解：连接，在中，根据勾股定理，可得，，，，是直角三角形，，该田地的面积的面积的面积，答：该田地的面积是．25．【答案】（1）证明过程见解答；（2）的面积为．【解答】（1）证明：，，．，，，是直角三角形，，；（2）解：过点作，垂足为，平分，，，，在中，，，在中，，，，的面积，的面积为．26．【答案】．【解答】解：，，，设，则，，，，，．27．【答案】该四边形的面积为．【解答】解：如图，连接．，，，．又，，，即，是直角三角形．，答：该四边形的面积为．28．【答案】1.5米．【解答】解：如图，过点作于点，米，米，米，（米．在中，由勾股定理得到：（米，答：为1.5米．29．【答案】．【解答】解：在中，由勾股定理得，，在中，由勾股定理得，，这棵树原来的总高度，答：这棵树原来的总高度为．30．【答案】（1）见解析；（2）；（3）25．【解答】解：（1）如图1，大正方形的面积，整理得，；（2）在中，，，，，，；（3）大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，，，，，，即的值为25．31．【答案】米．【解答】解：在中，，则，米，，（米，在中，，，（米，米，答：行走的通道拓宽了米．32．【答案】（1）；（2）见解析；（3）．【解答】解：（1）根据正方形的面积等于边长的平方，得到正方形的面积为；结合图形，得到正方形的面积还等于，故，故答案为：．（2），，．（3），，，，，，，，，（舍去）．拔高练一、选择题（共2小题）1．【答案】【解答】解：设，，，过作作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为，，，，在与中，，，，，同理可证，，，在中，，即，在中，，即，，，．．故选：．2．【答案】【解答】解：连接．，可以假设，，，，，，，，，或（舍弃），，，，故选：．二、填空题（共2小题）3．【解答】解：根据三角形的三边关系知，第三边应满足：，又为奇数，满足从7到17的奇数有9，11，13，15，与的和又是3的倍的只有13了，，此时有，根据勾股定理的逆定理，是直角三角形．故填13，直角．4．【答案】．【解答】解：如图，四边形是正方形，，，，，，，在中，，，，，，，，，，，阴影部分的面积和．故答案为：．三、解答题（共7小题）5．【答案】3．【解答】解：，，，和是四个全等的直角三角形，，，小正方形的面积，，小正方形的边长为3．6．【答案】（1）见解答；（2）这个零件不符合要求．【解答】解：（1）正方形面积可表示为：，根据图②，正方形面积还可以表示为：，，即，；（2）在中，，所以是直角三角形，是直角．在中，，，．所以不是直角三角形，不是直角．因此，这个零件不符合要求．7．【答案】【尝试探究】见解析；【定理应用】见解析．【解答】证明：【尝试探究】梯形的面积为，利用分割法，梯形的面积为，，；【定理应用】，，．8．【答案】（1）①在直角三角形中，两条