第16章 二次根式 讲义 2023-2024学年人教版八年级数学下册

►人教版数学八年级下册专题01二次根式◆知识清单◆1．二次根式的概念2．二次根式的性质3．二次根式的运算（1）二次根式的乘除运算（2）二次根式的加减运算（3）二次根式的混合运算知识知识全归纳考点1二次根式的性质（1）．（2）．（3）．（4）．（5）．（6）．考点2二次根式的相关概念1．二次根式一般地，我们把形如（a>0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．注意：（1）必须含有二次根号“，“”的根指数为2，即“”，我们一般省略根指数2，写作“”．（2）被开方数必须是非负数，如和都不是二次根式．（3）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子．（4）式子a表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，≥0．二次根式具有双重非负性．（5）在具体问题中，如果已知二次根式，就隐含a≥0这一条件．（6）形如的式子也是二次根式，b与是相乘的关系，要注意当b是分数时不能写成带分数，例如可写成，但不能写成．2．最简二次根式被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．3．分母有理化二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化．分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式），化去分母中的根号．分母的有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜．4．可合并的二次根式将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并．【注意】判断被开方数相同的二次根式是以化为最简二次根式为前提的，是过化简来判断化简前的二次根式是不是被开方数相同的二次根式．合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数（式）相加，根指和被开方数不变，合并的依据是乘法分配律，如，其中a≥0．【拓展】几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．同类二次根式与同类项无论是在表现形式上还是运算法则上都有非常类似之处，学习时可对比来应用．考点3二次根式的运算1．二次根式的乘法：（1）．（2）逆用：（3）推广：①②2．二次根式的除法：（1）（2）逆用：（3）推广：①②，其中．3．二次根式的加减（1）法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．（2）步骤：①将各个二次根式化成最简二次根式；②找出化简后被开方数相同的二次根式；③合并被开方数相同的二次根式——将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变．（3）注意：①化成最简二次根式后被开方数不相同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们也是结果的一部分．②整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、添括号法则在二次根式运算中仍然适用．③根号外的因式就是这个根式的系数，二次根式的系数是带分数的要化为假分数的形式．4．二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）．（2）在二次根式的运算中，有理数的运算律、多项式乘法法则及乘法公式（平方差公式、完全平方公式）仍然适用．（3）二次根式混合运算的结果一定要化成最简二次根式或整式．教材教材划重点1．化简二次根式的步骤（1）把被开方数分解因式（或因数）；（2）把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积；（3）如果因式中有平方式（或平方数），应用关系式（）把这个因式（或因数）开出来，将二次根式化简．2．二次根式运算中的注意事项（1）一般将最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式．（2）二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并．（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来．学霸学霸爱拓展（（1）若，则a=0，b=0；（2）若，则a=0，b=0；（3）若，则a=0，b=0；（4）若，则a=0，b=0，c=0．题型题型易突破题型1二次根式的定义典例（2023秋•沈丘县期末）下列式子一定是二次根式的是典例A． B． C． D．【答案】【分析】直接利用二次根式的定义，一般地，形如的代数式叫做二次根式进行判断即可．【解答】解：，，一定是二次根式，而、和中的被开方数均不能保证大于等于0，故不一定是二次根式，故选：．【跟踪练1】（2023秋•射洪市校级期中）已知下列各式：，，，，，其中二次根式有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【跟踪练2】（2023秋•琼中县期末）若和，都是二次根式，则A．、 B．、 C．、 D．，【跟踪练3】（2023秋•肇东市校级期末）下列各式中，一定是二次根式的是A． B． C． D．题型2二次根式有意义的条件典例（2023秋•沈丘县期末）若有意义，则、的取值范围不可能是典例A． B． C． D．【分析】根据选项中的条件确定被开方数的符号，被开方数大于或等于0则一定有意义，若小于0则没有意义，不成立．【解答】解：、当，时，被开方数，则式子一定有意义；、当，时，被开方数，则式子一定有意义；、当，时，被开方数，则式子一定没有意义；、当时，被开方数，则式子一定有意义．故选：．【跟踪练4】（2023秋•崇明区期末）若等式成立，则实数的取值范围是A． B． C． D．【跟踪练5】（2023秋•河北区校级期末）若代数式有意义，则的取值范围是．【跟踪练6】（2023秋•新城区校级期中）已知实数，满足等式，求的立方根．题型3二次根式的性质与化简典例（2023秋•睢阳区校级期末）如果实数，满足，那么点在典例A．第一象限 B．第二象限 C．第一象限或坐标轴上 D．第二象限或坐标轴上【答案】【分析】根据题意得出、异号，且，进而得出点的位置．【解答】解：由实数，满足，可得、一定异号，并且，则或者、中有一个为0或都为0，故点在第二象限或坐标轴上．故选：．【跟踪练7】（2023秋•静安区校级期末）当时，．【跟踪练8】（2023秋•静安区校级期末）如果，那么等式成立的条件是．【跟踪练9】（2023秋•房山区期末）已知数，，在数轴上的位置如图所示，化简：．题型4最简二次根式典例（2023秋•崇明区期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是典例A． B． C． D．【分析】根据二次根式的性质开方，再根据最简二次根式的定义判断即可．【解答】解：、，不是最简二次根式，故本选项错误；、，不是最简二次根式，故本选项错误；、是最简二次根式，故本选项正确；、，不是最简二次根式，故本选项错误；故选：．【跟踪练10】（2023秋•金山区期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是A． B． C． D．【跟踪练11】（2023秋•嘉定区期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是A． B． C． D．【跟踪练12】（2023秋•道里区期末）下列选项中的式子，是最简二次根式的是A． B． C． D．题型5分母有理化典例（2023秋•普陀区期末）的有理化因式是典例A． B． C． D．【答案】【分析】根据有理化因式的定义：两个根式相乘的积不含根号，即可判断．【解答】解：，所以的有理化因式是，故选：．【跟踪练13】（2023秋•杨浦区校级期中）的一个有理化因式是A． B． C． D．【跟踪练14】（2023秋•黄浦区期中）下列式子中，是的有理化因式的是A． B． C． D．【跟踪练15】（2023秋•杨浦区期中）的有理化因式是．题型6二次根式的乘除典例计算：典例【分析】直接化简二次根式再利用二次根式乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：．【跟踪练16】计算．【跟踪练17】．【跟踪练18】计算：．题型7二次根式的加减典例（2023春•鄱阳县期末）．典例【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．【解答】解：原式．【跟踪练19】（2022春•雷州市期末）．【跟踪练20】（2023春•白山期末）计算：．【跟踪练21】（2023•清水县一模）计算：．题型8二次根式的混合运算典例（2023秋•靖边县期末）计算：．典例【答案】．【分析】先根据二次根式的乘法和除法法则运算，然后化简后合并即可．【解答】解：原式．【跟踪练22】（2023秋•鹿寨县期末）计算：．【跟踪练23】（2023秋•昌平区期末）计算：．【跟踪练24】（2023秋•白银期末）计算：．题型9二次根式的化简求值典例（2022春•淮滨县期末）已知，，求下列代数式的值：典例（1）；（2）．【分析】（1）根据已知条件先计算出，再利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算；（2）根据已知条件先计算出，，再利用平方差公式得到，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：（1），，，；（2），，，，．【跟踪练25】（2022春•合阳县期末）先化简，再求值：已知，，求代数式的值．【跟踪练26】（2023春•东莞市校级期中）已知，，求下列各式的值．（1）（2）．【跟踪练27】（2015春•饶平县期末）先化简，再求值：，其中．跟踪练参考答案跟踪练参考答案1．【答案】【分析】根据二次根式的根指数是2且被开方数是非负数，解答即可．【解答】解：中当时，被开方数小于0，不是二次根式；，，是二次根式，共有4个．故选：．2．【分析】根据二次根式有意义的条件可得：，，然后分析、的取值范围即可．【解答】解：由题意得：，，、为异号，，，，，故选：．3．【答案】【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式．【解答】解：．，被开方数是负数，二次根式无意义，故此选项不合题意；．，三次根式，故此选项不合题意；．，是二次根式，故此选项符合题意；．，被开方数有可能是负数，二次根式无意义，故此选项不合题意；故选：．4．【答案】【分析】根据二次根式有意义的条件即可求得答案．【解答】解：若成立，则，故选：．5．【答案】且．【分析】根据分式有意义时分母不等于0，二次根式有意义时被开方数大于或等于0列式求解即可．【解答】解：，，，，的取值范围是且．故答案为：且．6．【分析】先根据二次根式有意义的条件求出的值，进而求出的值，再求出的值，即可求出对应的立方根．【解答】解：要有意义，，，，，的立方根是3，的立方根是3．7．【答案】．【分析】根据，可得，然后根据二次根式的性质化简即可．【解答】解：，，原式，故答案为：．8．【答案】．【分析】根据解答即可．【解答】解：如果，那么，，解得故答案为：．9．【答案】0．【分析】根据数轴得到，，根据二次根式的性质化简，合并同类项得到答案．【解答】解：由数轴可知，，则，，原式，故答案为：0．10．【答案】【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．【解答】解：．因为的被开方数含有分母，所以它不是最简二次根式，所以选项不符合题意．因为含有可以开方的因数4，所以它不是最简二次根式，所以不符合题意；．因为含有可以开方的因数4，所以它不是最简二次根式，所以不符合题意；．因为不含有可以开方的因数，也不含有分母，所以选项符合题意；故选：．11．【答案】【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．【解答】解：、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意；、是最简二次根式，符合题意；故选：．12．【答案】【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．【解答】解：、，不是最简二次根式；、，不是最简二次根式；、，不是最简二次根式；、是最简二次根式；故选：．13．【答案】【分析】根据有理化因式的定义进行判断．【解答】解：的有理化因式可以为．故选：．14．【答案】【分析】利用平方差公式和有理化因式的意义解答即可．【解答】解：，的有理化因式为．故选：．15．【答案】．【分析】利用平方差公式和有理化因式的意义解答即可．【解答】解：的有理化因式是．故答案为：．16．【分析】直接利用二次根式乘除运算法则计算得出答案．【解答】解：．17．【分析】直接化简二次根式再利用二次根式乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：．18．【分析】直接利用二次根式乘除运算法则计算得出答案．【解答】解：原式．19．【分析】先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可．【解答】解：原式．20．【分析】首先对二次根式进行化简，然后合并同类二次根式即可求解．【解答】解：原式．21．【分析】直接化简二次根式，进而合并求出即可．【解答】解：原式．22．【分析】先算除法并利用二次根式的性质将各项化简，再合并同类二次根式．【解答】解：原式．23．【答案】3．【分析】利用乘法分配律进行计算，即可解答．【解答】解：．24．【答案】．【分析】先利用二次