选修4-5-不等式选讲

选修4-5-不等式选讲目录CONTENCT不等式基本概念与性质一元二次不等式及其解法均值不等式与柯西不等式线性规划初步多元函数极值问题不等式证明方法01不等式基本概念与性质用不等号（<、>、≤、≥）连接两个解析式而成的不等式不等式定义可以用数轴、区间、集合等多种方式表示不等式不等式表示方法不等式定义及表示方法传递性可加性可乘性对称性不等式基本性质01020304若a>b且b>c，则a>c若a>b，则a+c>b+c若a>b且c>0，则ac>bc；若a>b且c<0，则ac<bc若a>b，则b<a；若a≥b，则b≤a绝对值不等式定义：含有绝对值的不等式绝对值不等式性质：对于任意实数a，都有|a|≥0；若|a|=0，则a=0绝对值不等式解法：根据绝对值的定义和性质，将绝对值不等式转化为普通不等式求解绝对值不等式02一元二次不等式及其解法只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。一元二次函数的图像是一个抛物线，根据a的正负确定开口方向，根据判别式的正负确定与x轴的交点个数。一元二次不等式概念及图像一元二次不等式图像一元二次不等式配方法公式法因式分解法将一元二次不等式通过配方转化为完全平方的形式，然后利用完全平方的性质进行求解。对于一般形式的一元二次不等式，可以直接套用求根公式进行求解。将一元二次不等式进行因式分解，然后利用每个因式的正负性进行求解。一元二次不等式解法80%80%100%判别式与根的关系一元二次方程有两个不相等的实根，一元二次不等式有两个解集区间。一元二次方程有两个相等的实根，一元二次不等式有一个解集区间。一元二次方程无实根，一元二次不等式无解集区间。判别式大于0判别式等于0判别式小于003均值不等式与柯西不等式均值不等式原理证明方法应用场景均值不等式原理及证明可以通过数学归纳法或者构造函数法等方法进行证明。在求解最值问题中，尤其是涉及到多个变量的最值问题时，均值不等式是一个重要的工具。对于所有非负实数，算术平均数总是大于等于几何平均数。对于两组实数，它们的算术平均数与几何平均数之间满足一定的不等式关系。柯西不等式原理证明方法应用场景可以通过向量内积的性质或者构造二次函数等方法进行证明。柯西不等式在求解最值问题、证明不等式等方面都有广泛的应用。030201柯西不等式原理及证明

两者在求解最值问题中的应用通过均值不等式求最值当涉及到多个变量的最值问题时，可以利用均值不等式将问题转化为单变量的最值问题，从而简化求解过程。通过柯西不等式求最值柯西不等式可以用于求解一些特殊形式的最值问题，如带有约束条件的最值问题等。综合应用在实际问题中，可以将均值不等式和柯西不等式结合起来使用，以便更好地求解最值问题。04线性规划初步线性规划问题的定义01线性规划问题是一类在一定条件下，求线性目标函数的最大值或最小值的问题。线性规划问题的标准形式02标准形式包括目标函数、约束条件和决策变量三部分。其中，目标函数是决策变量的线性函数，约束条件也是决策变量的线性函数，且要求满足一定的限制条件。线性规划问题的建模步骤03确定决策变量、列出约束条件、写出目标函数。线性规划问题建模通过绘制约束条件所确定的可行域，并在可行域内移动目标函数的等值线，来寻找使目标函数达到最优的解。图形法的基本思想绘制约束条件所确定的可行域、在可行域内移动目标函数的等值线、确定最优解的位置并求解。图形法的求解步骤优点是可以直观地展示问题的求解过程，易于理解；缺点是对于高维问题和复杂问题，绘制图形较为困难。图形法的优缺点图形法求解线性规划问题单纯形法是一种迭代算法，通过不断地在可行域的一个顶点上进行转动，来寻找使目标函数达到最优的解。单纯形法的基本思想构造初始单纯形、进行迭代计算、判断最优解并终止迭代。单纯形法的求解步骤优点是对于大规模问题和复杂问题具有较高的求解效率；缺点是需要对问题进行一定的预处理，且对于某些问题可能存在无解或无穷多解的情况。单纯形法的优缺点单纯形法简介05多元函数极值问题一阶偏导数等于零二阶偏导数判别法多元函数极值条件多元函数在某点取得极值的必要条件是一阶偏导数在该点等于零。通过计算多元函数的二阶偏导数，可以判断该点是否为极值点。当二阶偏导数大于零时，该点为极小值点；当二阶偏导数小于零时，该点为极大值点；当二阶偏导数等于零时，无法直接判断，需进一步分析。求解拉格朗日函数的驻点通过求解拉格朗日函数的一阶偏导数等于零的方程组，得到可能的极值点。判断驻点的性质利用二阶偏导数判别法或其他方法，判断驻点是否为极值点，并确定极值的性质。构造拉格朗日函数通过引入拉格朗日乘数，将多元函数的条件极值问题转化为无条件极值问题。拉格朗日乘数法求条件极值在经济学中，多元函数最值问题常用于求解最优化问题，如成本最小化、收益最大化等。经济学中的应用在工程学中，多元函数最值问题可用于求解最优设计、最优控制等问题，如结构优化、路径规划等。工程学中的应用在物理学中，多元函数最值问题可用于描述物体的运动规律、能量最小化等问题。物理学中的应用多元函数最值在实际问题中的应用06不等式证明方法作差比较法通过作差构造新的不等式，利用不等式的性质判断符号，从而证明原不等式。作商比较法通过作商构造新的不等式，利用不等式的性质判断大小，从而证明原不等式。比较法证明不等式从已知条件出发，利用不等式的性质、基本不等式等，逐步推导出所要证明的不等式。综合法的关键在于熟练掌握不等式的性质和基本不等式，以