湖南省名校联考联合体2023-2024学年高二年级上册第三次联考数学试题

湖南省名校联考联合体2023-2024学年高二上学期第三次

联考数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

L若复数z=(3+4i)(l-2i)，则目=()

A.5B.5石C.10D.I。石

2.己知集合/={x|4Vx<8}，5={x|-17<3-2x<-l),则吆(/口8)=()

A-(-oo,2]u[10,+oo)B-[4,8)

C-(2,4)u[8,10)D-R

3.已知函数〃x)为奇函数,且当x>0时,/(x)=4x+l-log3x-则/(-3)=()

A.mB.10C.10D.12

—1U—1Z

4.已知函数〃x)=3/(Ob+V+e*-1(/口)是/'(x)的导函数)，则/⑼+/■⑼=

()

1

A.-3B.-3-C.-D.-上1

2222

5.敲击如图1所示的音叉时，在一定时间内，音叉上一点尸离开平衡位置的位移y与

时间/的函数关系为y=/sin狈(O>0).图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数

据可确定4。的值分别为()

试卷第11页，共33页

」一,400兀

A.—1—,400B.c.—,800D.—,800n

10001000500500

6.如图，将一个圆柱2〃（〃eN*）等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的

几何体，〃越大，重新组合成的几何体就越接近一个“长方体”，若新几何体的表面

积比原圆柱的表面积增加了20,若新几何体的高为5,则圆柱的体积为（）

A-5兀B-IOTTC20兀D-30n

7.己知直线y=3x与曲线〉=in（3x_"）+2相切，则。的值为（）

A.-B.ln-+-C.2D.1

433

8.正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多

边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏

拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.如图，已知一个

-r-ABCDEF,,sr1,Psr——►1―►”士仄FPjCQg+

正八面体的梭长为为梭的中点H，DQ=-DA,设直线与的夹

角为0，则tanO=（）

试卷第21页，共33页

4

C.叵

6

二、多选题

9.已知实数〃、万、。、，，则下列不等式正确的是（）

AR

*ac>bc*a-b>b-c

C4,>be2DJ_>J_

•acbe

10.为了解各种APP的使用情况，将使用人数排名前5的数据整理得到如下的柱状图,

则（）

AffttmAttT-rS

B.微信APP的使用人数超过今日头条APP的使用人数的2倍

C.微信APP的使用人数超过今日头条APP与快手APP的使用人数之和

D.抖音APP的使用人数大于快手APP的使用人数的125%

1L对于数列｛%｝，若g=2,%+%+2=4”（〃eN*），则下列说法正确的是（）

A.必=6B.数列｛4｝是等差数列

C.数列｛%々｝是等差数列D.为“=16〃-2

试卷第31页，共33页

。・土-匕-1r—+v2-i”2

12.已知双曲线C•了一丁与椭圆1・不+V-1有公共的焦点,是双曲线

22

的一条渐近线上的一点，。是椭圆「的对称中心，点尸，。分别为CJ上的动点，

位于V轴的同侧，且。不在x轴上，则（）

A-k=2

B.

C.当P为CJ与T的交点时，cos/FFF,=—1

123

D-40Kdo]

三、单空题

13.已知向量）=（1，3+/）3=（一2,4）,且（3,-B）〃@,则|"=.

14.等比数列｛叫的"前项和为S"，若垦=’,贝=.

SIQ33I^^8

15.已知直线4：x+4y=0,直线4过点14,号）且与直线4相互垂直，圆

C:x2+y2+6x-4y-3=0'若直线（与圆C交于〃,N两点，则|MV|=------

16.如图，在棱长为3的正方体中，初在线段8c上，且

CM=：8C,N是侧面°"。©上一点，且儿加//平面则线段W的最大值为_

试卷第41页，共33页

四、问答题

17.已知｛%｝是各项均为正数的等比数列，q=4,且％+18,生成等差数列•

⑴求｛%｝的通项公式；

(2)设或=------------求数列｛"｝的前”项和.

log4a„log4a„+1

18.已知数列｛%｝的前〃项和为s“s+%+2=2%(neN*)，且的+%=6应=21・

(1)求数列｛g｝的通项公式；

⑵若6为奇数，求数列也｝的前2〃项和耳.

"12%,〃为偶数

19.在△48c中，角/,8,C的对边分别为。，瓦c,且

a(sirU+sinCcosB)=sirU(bcosC-J§c)

⑴求3；

(2)若"是'C边上一点，且80=8=4,设边“上的高为"，求L

3c

20.如图，四边形28CD是正方形，PA工平面ABCD,FB〃PA,PA=2AB=2FB,E为

R4的中点，。为的外心.

试卷第51页，共33页

(1)求证：/0j_平面尸c〃；

(2)求平面尸.与平面BCF夹角的余弦值.

21.已知函数y=x3+ax,g(x)=bx-x3(a,beR)­

⑴若曲线y=/(x)在x=l处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于曲线>=g(x)在

尤=1处的切线与坐标轴围成的三角形的面积，试判断。与6之间的关系；

(2)若6-°=6，是否存在直线/与曲线了=〃同和y=g(x)都相切？若存在，求出直线

/的方程(若直线/的方程含参数，则用。表示)；若不存在，请说明理由.

五、证明题

22.已知斜率为!的直线与抛物线°=2py(p>0)相交所得的弦中点的横坐标为1.

(1)求抛物线C的方程；

(2)点s,7是曲线c上位于直线了=1的上方的点，过点邑？作曲线c的切线交于点Q，

若尸为抛物线C的焦点，以ST为直径的圆经过点尸，证明：ZSQT=45°-

试卷第61页，共33页

参考答案:

1.B

【分析】利用复数的乘法化简复数，利用复数的模长公式可求得结果

【详解】因为z=(3+4i)(l-2i)=3-6i+4i-8i2=ll-2i,所以目=而7百=56

故选：B.

2.A

【分析】计算出集合8后，运用并集及补集的性质运算即可得•

【详解】因为2=何-17<3-2》<-1}={司2<工<10卜

又/={x|4Wx<8}，

所以ZuB={x[2<x<10}，

唱(/口8)=(-8,2]10,+8)•

故选：A.

3.C

【分析】根据题意，结合/(-3)=-/(3)，代入即可求解.

【详解】由函数/(x)为奇函数，且当x>0时，/(x)=4x+l-log3x-

则〃-3)=-/(3)=-(4x3+l-log33)=-12,

故选：C.

4.D

【分析】对于原函数和导函数，分别取x=o,代入运算求解即可•

【详解】因为/(力=3/(0)》+/+^-1，贝U/(0)=e0-l=0，

又因为/，(x)=3/'(O)+2x+e*，

答案第11页，共22页

当x=°时，/'(O)=3/'(O)+2xO+e°,解得/，(())=_；,

所以/'(o)+〃o)=-g

故选：D.

5.B

【分析】由图象的最大值得人，利用周期求

【详解】由函数片然山阳。＞0)在一个周期内的图象，可知/=，，

1000

设厂"sin阳①〉0)的最小正周期为T,则37=2_,解得T=_L,

4800200

2K1G=400兀

则NIL小府，解得

故选：B.

6.C

【分析】显然新几何体的表面积比原几何体的表面积多了原几何体的轴截面面积，借助该

部分面积计算即可得.

【详解】显然新几何体的表面积比原几何体的表面积多了原几何体的轴截面面积，

设圆柱的底面半径为r，高为/,，贝以泌=20,则历=10，

因为新几何体的高为5,所以圆柱的高为5,

即力=5，解得厂=2，

所以圆柱的体积为/=就的=.

故选：C.

7.D

答案第21页，共22页

【分析】设切点坐标为（/，3%）,求导了=」_,从而有斜率左=二_=3,再由点

3x-a3XQ-a

（x0,3x。）在曲线上求解•

【详解】解：设切点坐标为（x°,3x。），

因为y=ln（3x-q）+2,所以,

3x-a

3

所以切线的斜率左=」一=3,

3/-a

又3%=加（3/_〃）+2,即3/=lnl+2,解得2,

°3

所以由3%-。=1，得a=3%-1=lnl+2-l=1•

故选：D.

8.A

【分析】根据空间向量的线性运算，结合正八面体的几何性质，通过计算数量积以及模长,

即可求解向量夹角的余弦值，进而可求解正切.

___________1__kk2__.___

【详解】由题意，FP=FE+EP=-AC--AE,CQ=AQ-AC=-AI）-AC,

又由正八面体NBCDM的棱长都是1，且各个面都是等边三角形,

在△/（五中，由/C=*E=1,CE=0，可得NC2+N£2=CE2,所以NCL/E,

所以而.函=回=记而+%2_

1—►―,1—.―.21cl11

—AEAD+—AEAC=——xlxlx-+l2——xlxlx—+0=—,

3232322

答案第31页，共22页

——►1——-2

-AC-^AEAE+-AEr+o+^xi2

42

2

-xl--xlxlxl+l2在

9323，

23

9.CD

【分析】根据不等式性质逐项分析判断・

【详解】对于A项，因为Q>b〉O,c<O，所以ac<bc，故A错误;

对于B项，例如々=3,6=l,c=-6满足a>b>0>c，

此时所6=2<“c=7,故13错误；

对于C项，因为c<0，所以02>0，

答案第41页，共22页

且〃＞力＞0,所以℃2＞庆2,故C正确；

对于D项，由A可知℃＜秘＜0,所以‘＞』，故D正确.

acbe

故选：CD.

10.AD

【分析】根据给定的APP的使用情况，数据整理的柱状图，结合选项，逐项判定，即可求

解.

【详解】对于A中，根据数据的柱状图，可得APP使用人数最多的是微信，所以A正确；

对于B中，微信APP的使用人数占7格，今日头条APP的使用人数占近4格，

所以微信APP的使用人数小于今日头条APP的使用人数的2倍，所以B错误；

对于C中，微信APP的使用人数占7格，今日头条APP的使用人数占近4格，快手APP的

使用人数占4格，

所以微信APP的使用人数小于今日头条APP与快手APP的使用人数之和，所以C错误；

对于D中，抖音APP的使用人数占5格多，快手APP的使用人数占4格，

则快手APP的使用人数的］25%等于5格，

所以抖音APP的使用人数大于快手APP的使用人数的us%，所以D正确.

故选：AD.

11.AC

【分析】逐步代入即可求解A,根据相减可得见-4=4,进而结合等差数列的定义即

可判定BC,根据等差数列的通项求解即可判定D.

【详解】由。2“+。2"+2=4"("eN*),g=2'得。4=4-出=2,6=8-%=6，故A正确；

aa+4

又2n+2n+2=仇%+2出”+4=4(力+1)，两式相减得%+4-='

令”=24一1,4eN*，可得。4"计2-%-2=4,

所以｛%“_,｝是等差数列，C正确；

答案第51页，共22页

通过d=2,生“+〃,,+，=4“(”eN*)只能得到偶数项的值，对于奇数项，无法确定，所以无

法确定｛与｝是不是等差数列，故B错误，

同理，令〃eN*，则％屈+4-=4，

所以｛%“｝是以%=2为首项，公差为4的等差数列，

所以=2+(〃-1)X4=4〃-2，故D错误.

故选:AC.

12.ABC

【分析】对A,结合双曲线与椭圆有公共焦点即可得；对B,借助渐近线倾斜角与斜率的

关系即可得；对C,结合双曲线与椭圆定义，运用余弦定理计算即可得；对D,设出口耳卜

\QF2\,结合椭圆定义与余弦定理，将/月因的余弦值表示出来，运用配方法得出范围后

即可得.

「.片_片一片(-1,0),玛(1,0)

【详解】双曲线一丁日的焦点为

22

c・二-匕-1

双曲线51一丁一1的渐近线方程为

22

答案第61页，共22页

如图，设N（与N点位于y轴的同侧）是双曲线°的另一条渐近线上的一点,

贝因为=2

2

所以故B正确；

当尸为双曲线和椭圆在第一象限的交点时，

由椭圆和双曲线的定义知，|尸周+|尸引=2血J尸图-|尸阊=也,

解得阀|=?明=4

又寓阊=2,在△片/当中，

由余弦定理得cos/RPF2=户）:奢=；,故C正确；

设点|=私|凿|=〃，贝卜+〃=2后，则由余弦定理得:

川+〃2T甲球_m2+n2-22

cos/月。鸟=

2mn2mn

（m+n）2-2mn-4（2A/2）2-2mn-44-2mn2

2mn2mn2mnmn

m（2后一次）一（机—V2）2+2

由加£（收—1,3+1）,得加_后£（一1,1）,得（加_行）2£[0,1）,

得一⑺-收了€（-1,0卜得一。〃一0y+2e（l,2]，

答案第71页，共22页

77

得-----冷一e[l,2）,得------『——le[O,l）,

-（加一拒了+2L_（机-0）2+2L

即cos/耳QRe[O,l）,

所以/月打€（0,]，故D错误.

故选：ABC.

13-亚

【分析】根据向量坐标运算得到再根据向量平行坐标要求列方程求出，的值，再利

用模长定义求出同.

【详解】3a-fe=3（l,3+f）-（-2,4）=（5,3f+5）'

因为但一可"所以lx（3f+5）-5x（3+f）=0,解得"-5,

【分析】设等比数列｛%｝的公比为「根据等比数列的求和公式，列出方程，求得g口2,

再结合等比数列的通项公式，准确计算，即可求解.

【详解】设等比数列｛2｝的公比为「首项为生,且qxO，

若4=1,则丛=£2_1,与题设矛盾，所以"I

Sl01033

答案第81页，共22页

-力，02

S51-q11

则3=亚曰=a7=正解得，

1-夕

222c24

所以《。=%q=%q==2_=1.

a9+asasq+as/(夕+1)q+12+13

4

故答案为：--

3

6V47

【分析】根据题意求得直线4的方程为8》-2了+45=0,以及圆C的圆心坐标和半径，结合

圆的弦长公式，即可求解.

【详解】由直线4：x+4y=。，可得斜率左=一工，

因为/—12且直线4过点J,所以直线4的斜率为%=4,

所以12的方程为尸畀4(x+4),化简得舐一2尸45=0,

又由圆。：/+/+6尤一4.v—3=仇即。：(%+3)2+3—2)2=16,

可得圆C的圆心坐标为C(_3,2)，半径为尸=4,

cl2|8x(-3)+(-2)x2+451小

则圆心到直线的距离为"=-----Q，…2-----=亏，

所以弦长|皿|=2犷7？=2=V47.

答案第91页，共22页

故答案为：“7・

16.714

【分析】在线段°J取一点使得cRm在线段加上取一点J使得

g2连接ME，EF，C\易证平面回〃平面/叫得到N的轨迹为线段所

求解.

在线段8上取一点£,使得CE=；CZ),在线段上取一点尸，使得。尸连

接ME,EF,CD］，

CED.F1匚匚iMEHBD.EF//CDX

因为——二~~~~，/TT以

BCCDDD、3

又AB//CDt,所以所//AXB，

因为平面4助^^^平面/田。，所以及化//平面45D，

同理，因为斯仁平面48。，42u平面48。，所以E尸//平面A/。，

又MEcEF=E，所以平面Affi产//平面A/D，因此，N在线段E尸上.

答案第1。1页，共22页

因为=Vl2+12=6,MF=Vl2+32+22=V14'

所以线段MN的最大值为加.

故答案为：7l4

17.(1)%=4”

【分析】(1)设｛%｝的公比为q,根据题意，列出方程求得公比4=，即可求得等比数

列的通项公式;

(2)由(1)得b-,结合裂项相消法，即可求解.

n〃+1

【详解】(1)解：设｛4｝的公比为q,由｛为｝的各项均为正数，>0,

因为。1，〃2+电〃3成等差数列，所以1+%=2(%+18)，

又因为％=4,可得4+4夕2=2(4q+18)'化简得(q+2)(q-4)=0，

解得好4或9=-2(舍去)，

故｛4｝的通项公式为4=4x4〃T=4〃•

1__j_1

（2）解：由（1）矢口4=-----------------=----------——-

4

log^/og4a“+11og410§44/n（n+1）n〃+1

设｛a｝的前〃项和为，

皿I°।11111111n

贝US=11---------11------------1—-------------[-------------——

〃223n-innn+1n+1n+\

答案第111页，共22页

18.(1)%="

。2〃+1o

(2)«2+-——

【分析】（1）根据题意，得到数列｛%｝为等差数列，由的+%=6,邑=21，列出方程组,

求得为3的值，即可求解;

（2）根据题意，得到以=伍+4…+&J+他+4+••・+&），利用等差、等比数列的

求和公式，即可求解.

【详解】（1）由-2%，可得…—,，所以数列包｝为等差数列，

。2+。4=6,£=212q+4d=6%=1,d=1

因为，可得＜.6x5“°j解得

6%H———d=21

所以％=1+（W-1）X1=M,即数列｛%｝的通项公式为="'

（2）由题意知，当n为奇数时，“=%=〃；当"为偶数时，b“=2%=2"1，

所以7L=(4+&+…+%)+他+4+…+&)

(、/a71\〃(1+2〃—1)2[1-4")22"+1—2

=(1+3+…+2〃-1)+(2+23+…+22"-)=-^~-——4；2+—3—'

5元

19.(1)—

6

⑵叵.

14

答案第121页，共22页

【分析】（1）根据题意，由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得

2sinCcosB=-GsinC,求得=即可求解；

2

（2）在△BCO和△/8Z）中，分别利用余弦定理，结合cos/80C=-cos/8rM，化简得

至U/-02=2〃2，再在一吕。中，利用余弦定理求得从―02=602,得到6=瓦，结合三角

形的面积列出方程，求得人=11°,即可求解.

14

［详解］（1）解：g（sin^+sinCcos5）=sinA^/?cosC-V3c）,

由正弦7£理得5m24+511145111。（；053=51必51115（：05。一7^11245沿。'

又因为Z.O,兀），所以sin/lwO，所以sig+sinCcosB=sin8cosc-GsinC，

所以sin（5+0+sinCcosB=sin5cosc-VJsinC'

所以sin8cosc+sinCcosS+sinGcosB=sinScosC-VJsinC'

所以2sinCcosS=-VJsinCJ

因为Ce（。，兀），所以sinC*O,所以避一叵

2

又因为3«0，兀）,所以8="

6

（2）解：在△SC。中，由余弦定理得cos/8ZX?=802+C—Be?=2.9a2,

答案第131页，共22页

在△,血中，由余弦定理得cos/BDA=BD'ab-AB?=5b2-9c2,

2ADBD4/

因为2BZ)C+N5D4=180°，所以cos/AOC=—cos/，

即2/-9Q2_5Z)2—9c2整理得Z?2_02=2〃2

-2^--后’

在“8C中，由余弦定理得cos3=Q2£l$=一走，

2ac2

可得一互_=_色=_且，所以°=氐，所以/-c2=6c1即6=阮

2ac2c2

所以S“5c=—cicsinB=—bh，即工goc•工=工77M，解得〃=^LC，

2222214

则”叵

c14

20.(1)证明见解析

⑵亘

3

【分析】(1)根据线线平行可证明面面平行，进而根据线面垂直的性质结合勾股定理可得

长度相等，进而可证三棱锥』八尸是正三棱锥，即可利用正棱锥的性质求证，

A—i8jUrj

(2)建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角求解即可.

【详解】(1)因为上4=2FS,E为尸/的中点，所以PE=FB，

又FB"PE’所以四边形尸£3尸是平行四边形，所以PF//EB，

又尸尸Z平面平面5DE，所以尸尸//平面

答案第141页，共22页

连接所，如图所示，

同理，可证四边形/3FE1是平行四边形，所以EF//AB,EF=4B,

又CD"AB,CD=AB,所以EFUCD,EF=CD,所以四边形EFCD是平行四边形，所以

CFIIDE,

又C尸（Z平面3DE,Z）Eu平面B_DE，所以CF〃平面

5LPF^CF=F,尸RCru平面PCF，所以平面尸CF//平面5DE-

因为四边形A8CZ）是正方形，尸/_1平面/36»,尸/=2/8,£为尸工的中点，

所以48,40,4E两两互相垂直，且48=40=4£,

所以由勾股定理可知BD=BE=DE,则三棱锥A-BDE是正三棱锥，

那么ABDE的外心0就是ABDE1的中心，也是A在底面BDE上的垂心，

所以/。_1_平面8DE，

所以/0_L平面PC『

（2）以A为原点，通，万，万分别为x,y,z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.

答案第151页，共22页

不妨设PA=2AB=2FB=2，则=尸8=1，

则点尸(0,0,2),C(l,1,0),尸(0,1,1),8(0,1,0)，

则定=(1,1,-2)历=(0,1,-1)-

设平面PC厂的法向量为「=(x,y,z)，则

n-PC=(x,y,z)-(l,l,-2)=x+y_2z=0,,曰］%=

由n-PF=(x,y,z).(O,l,-l)=y-z=O,得1了一

令z=l,得平面PC尸的一个法向量为拓=0,1,1)；

又易知平面8cp的一个法向量为比=(o,i,o);

设平面PCF与平面8c尸夹角大小为8，则

m-n(0,1,0).(1,1,1)V3

COS0=----,

1x733

所以平面PCF与平面BCF夹角的余弦值为立.

3

2L⑴I或j=6

(2)存在，、=(3+4)工-2或＞=(3+4)%+2,

答案第161页，共22页

【分析】(1)利用导数的几何意义，求切线的斜率，进而得到两切线方程，求出直线与坐

标轴的两交点，分别表达两切线与坐标轴围成三角形的面积，由面积相等得0,6的关系；

(2)假设存在，设出直线/与曲线J=和y=g(x)相切的切点坐标，根据切点利用导

数几何意义求出切线方程，由公切线知两切线为同一直线，可建立坐标满足的方程组，求

解可得切点坐标，进而可得切线方程.

【详解】(1)/,(x)=3x2+t2,g,(x)=/>-3x2,

曲线了=/(x)在点处的切线斜率为/'⑴=3+4,

曲线y=g(x)在点。gM加处的切线斜率为斤⑴=6-3，

又/⑴=1+4,g⑴=6-1'

曲线y=y(x)在点(1，)⑴)处的切线方程为y-(l+a)=(3+a)(x-l)，即y=(3+a)x-2;

令x=0,得尸一2；令y=0,得x=2,则切线^=(3+。)“一2与坐标轴的交点分别为

3+Q

切线尸(3+小-2与坐标轴围成的三角形的面积为岳=卜-2|、£=£

曲线y=g(x)在点氧g斛筋处的切线方程为歹一4-1)=下-3)(%-1)，即y=伍一3)1+2，

令x=0,得k2；令y=0,得》=二_,则切线了=仅一3卜+2与坐标轴的交点分别为

答案第171页，共22页

切线＞=e-3）x+2与坐标轴围成的三角形的面积为1x|2|x—=

22113-b3-b

22g、iQ=-6-^6—4=6

由题意,,所以或

3+。~3^b

（2）设直线/与曲线＞=/（%）相切于点力（项,必）,与曲线y=g（x）相切于点外%,%），

/r(x)=3x2+a,g，(x)=b-3x2，

曲线产/（%）在点A处的切线为y_（玉3+QXJ=（3x；+Q）（x-xj，即y=（3x；+〃卜_2%；，

曲线/g（x）在点8处的切线为勾_e%2_只）=e_3引（%_%2），