2024届江西省新余市高三上学期期末质量检测数学试题及答案

高三第一次调研考试数学试题说明：1．本卷共有四个大题，22个小题，全卷满分150分，考试时间120分钟．2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，在试题卷上作答不给分．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．2lgx1．已知函数f(x)的定义域为集合A，集合Bxx2x60，则AB（）2x11D．,2A．3,2B．1,2C．222．已知复数z满足：z3i3i，则z（）A．1B．5C．25D．53．在△ABC中，“sinAB”是“△ABC为直角三角形”的（A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件4．为庆祝我国第39个教师节，某校举办教师联谊会，甲、乙两名数学老师组成“几何队”参加“成语猜猜）D．既不充分也不必要条件43猜”比赛，每轮比赛由甲、乙两人各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在54每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，则“几何队”在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为（）35192071A．B．C．D．20203π（5．如图，sin）425555255A．B．C．D．556．已知向量am，bm，且ab，若c，则a在c方向上的投影向量的坐标是（）425511B．,112242D．,A．,C．,2255Sn23a（7．已知等差数列a和b的前n项和分别为S，T，若n，则9）nnnnnn446813263726A．B．C．D．1111118．已知三棱锥A的棱长均为6，其内有n个小球，球1与三棱锥A的四个面都相切，球2与三棱锥A的三个面和球O都相切，如此类推，…，球O与三棱锥A的三个面和球O都1nn1相切（n2，且3πnN*n的表面积等于（3π）6π9n16π4n1A．B．C．D．n12n19二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某校1500名学生参加数学竞赛，随机抽取了40如图所示，则（）A．频率分布直方图中a的值为0.005B．估计这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为75C．估计这40名学生的竞赛成绩的众数为80D．估计总体中成绩落在70内的学生人数为22510．已知定义在R上的函数yfx满足fx2fx，且函数yfx为奇函数，则（）A．yfx是周期函数B．yfx为R上的偶函数C．yfx为R上的单调函数D．yfx的图像关于点2k0(kZ)对称11四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△的面积分别为S，S，S，且SSS0．以下命题ABCABc正确的有（）A．若S:S:S1:1:1，则M为△ABC的重心ABCB．若M为△ABC的内心，则BCMAACAB0C．若M为△ABC的垂心，3450，则tanBAC:tanABC:tanBCA3:4:5D．若BAC45，ABC60，M为△ABC的外心，则S:S:S3:2:1ABC12．已知长方体的表面积为10，十二条棱长度之和为16，则该长方体（）A．一定不是正方体B．外接球的表面积为6π5027C．长、宽、高的值均属于区间1,2D．体积的取值范围为,2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若直线l:x2ym0与圆C:xy2y40相切，则实数m______．2211e2x12xe3y4y，则的最小值为______．14．已知正实数x，y满足方程xy15．杭州第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日举办，杭州亚运会竞赛项目设置为40个大项，61个分项，481个小项，并增设电子竞技、霹雳舞两个竞赛项目．现有甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者到乒乓球、电子竞技、霹雳舞三个项目志愿服务，其中每个项目至少一名志愿者，甲必须在霹雳舞项目，则不同的志愿服务方案共有______种．x22y2216．已知双曲线C:ab0)的左、右焦点分别为F，F，过点F作倾斜角为30的直线l121abFPFQ2与C的左、右两支分别交于点P，Q，若22FPFQ0，则的离心率为______．C2FPFQ226小题，17题10分，18～22题各12分，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a4，且(2bc)cosAacosC．（1）求A；（2）若D为BC的中点，且AD22，求△ABC的面积．18．如图，△ABC与△ABD都是边长为2的正三角形，平面ABD平面，平面且3．（1）证明：CD平面ABE．（2）求平面CED与平面的夹角的大小．19．在平面直角坐标系中，动点P到点F4,0的距离等于点P到直线x40的距离．（1）求动点P的轨迹方程；（2）记动点P的轨迹为曲线C，过点F的直线l与曲线C交于A，B两点，M4,0，直线AM的斜率为k，直线BM的斜率为k．证明：kk为定值．121220．魔方，又叫鲁比可方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具．魔方拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一．通常意义下的魔方，是指狭义的三阶魔方．三阶魔方形状通常是正方体，由有弹性的硬塑料制成．常规竞速玩法是将魔方打乱，然后在最短的时间内复原．广义的魔方，指各类可以通过转动打乱和复原的几何体．魔方与华容道、法国的单身贵族（独立钻石棋）并称为智力游戏界的三大不可思议，在2018WCA世界魔方芜湖公开赛上，杜宇生以3.47秒的成绩打破了三阶魔方复原的世界纪录，勇夺世界魔方运动的冠军，并成为世界上第一个三阶魔方速拧进入4秒的选手．3（1）小王和小吴同学比赛三阶魔方，已知小王每局比赛获胜的概率均为，小吴每局比赛获胜的概率均为525，若采用三局两胜制，两人共进行了X局比赛，求X的分布列和数学期望；（2）小王和小吴同学比赛四阶魔方，首局比赛小吴获胜的概率为0.5，若小王本局胜利，则他赢得下一局比赛的概率为0.6，若小王本局失败，则他赢得下一局比赛的概率为0.5，为了赢得比赛，小王应选择“五局三胜制”还是“三局两胜制”？21．已知等差数列a与等比数列b满足11，35，24，且2既是11和33的等差中nn项，又是其等比中项．（1）求数列a和b的通项公式；nn1（2）记caa,n2k1，其中kNnn2*，求数列n的前2n项和S2n；nab,n2knnn1311（3）记dn，其前n项和为T，若ATB对nN*恒成立，求BA的最小值．nn2n1n22．已知函数fxa2x，a0且a1．2（1）当ae时，求曲线yfx在x1处的切线方程；（2）若a1，且fx存在三个零点x，x，x．123（i）求实数a的取值范围；2e1（ii）设xxx，求证：x3xx．123123e高三数学试题卷参考答案一、单选题（每小题5分，共40分）题号答案12345678DADBCACD二、多选题（每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）题号答案9101112ADABDABCABD三、填空题（每题5分，共20分）32213．7或314．15．5016．24四、解答题（共70分）171）因为a4，所以(2bc)A4cosCaC，由正弦定理得(2sinBsinC)AsinAC，化简得2sinBAsin(AC)sinB．1因为0Bπ，sinB0，所以A．2π因为0Aπ，所以A．31（2）因为D为BC的中点，所以中所AD(ABAC)，22221141c2bbcAcbbc8，ADABAC2ABAC222等式两边平方得44即b2c2bc32①．在△ABC中，由余弦定理得a2b2c2bcAb2cbc16②，2113联立①②解得bc8，所以△bcsinA823．222181）取AB中点F，连接CF，△，△ABD都是边长为2的正三角形，ABCF，AB，CF3，又CFF，CF面CDF，面CDF，面CDF，ABCD又平面ABC平面，面且3又面且3DF∥EC，，CF，CFDE是正方形，CDEF又EFABF，平面ABE，平面ABE，CD平面ABE（2）由（1）知AB，CF，两两垂直，如图建立空间直角坐标系由于x轴垂直面CEDF平面CED的法向量为m0)又B1,0,0，D3，E3,3BD(3)，(3,3)设平面的法向量nx,y,z，nx3z0则，nx3y3z0令x3，则z1，y0，所以n(3,mn33,nmn122π平面与平面的夹角为6191）因动点P到点F4,0的距离等于点P到直线x40的距离，故可知动点P的轨迹是抛物线，y22，由题意得p8，故动点P的轨迹方程为：C:y16x．2设其方程为（2）如图，因直线l的斜率不能为零（否则直线lF4,0，216x可设l:x4，由y消去x并整理得：y16640，yy16m2xmy4显然0，设Ax,y，Bx,y，则由韦达定理，12*）1122641y21y21y2y(y(2yyy)12211212则kk，12(18)(my21424188(18)(my222m(64)816m将（*）代入得：kk0，12(18)(my2故kk为定值0.12201）因为采用三局两胜制，所以X的可能取值为2，3，X2表示小王或小吴连胜两局；X3表示小王与小吴前两局一胜一负；3322133212，所以P(X2)555525，P(XC125525所以X的分布列为：XP2313251262则X的数学期望为23．2525（2）若小王选择“三局两胜制，则小王获胜的情况为：胜胜；胜负胜；负胜胜；则小王获胜的概率为10.50.60.50.40.50.50.50.60.55；若小王选择“五局三胜制，则小王获胜的情况为：胜胜胜；胜胜负胜；胜负胜胜；负胜胜胜；胜胜负负胜；胜负胜负胜；胜负负胜胜；负负胜胜胜；负胜负胜胜；负胜胜负胜；则小王获胜的概率为20.50.60.60.50.60.40.50.50.40.50.60.50.50.60.60.50.60.40.50.50.50.40.50.40.50.50.40.50.50.60.50.50.50.60.60.50.50.40.50.60.50.50.60.40.50.575，因为0.550.575，所以小王应选择“五局三胜制．211）设等差数列a的公差为d，等比数列n的公比为q，na1，a5，所以aa2a6，解得a3，daa2，13132221a既是ab和ba的等差中项，又是其等比中项，211332a(ab)ba)101321133得，，22(ab)ba)9b)ba11331338b解得，即q22，12b1所以aa(nd12(n2n1，bn1bqn122n12n．n111,n2k1,n2k1(2nn(2n2（2）naan2，nab,n2kn,n2knnS(cccLc)(cccLc)．2n1352n12462n1111cccLcL1352n11559913(4n3)(4n111111111nL，45599134n34n14n1cccLc3272112L(4n22n①2462462n22(246Lc)3272461128L(4n22n2②2n①减②得：246c)32242442642422n(4n22n822n42422n2)(12n7)22n282322(4n22n21223n7)4n128cccc，2462n9n7)4n128nS(cccLc)(cccLc)．2n1352n12462n4n193(n11n32dn1dn12312（3）dn3，d，，则d是首项为公比为的等比数列，1n2n122n31122nn11121n1，n1，212nn1112n1f(n)11nN令，，2n112n121f(n)10，且递减，fn当n为奇数时，n1125可得fn的最大值为f，6n11f(n)10，且fn递增，当n为偶数时，2n1127可得fn的最小值为f(2)，12751B，对nN恒成立，所以fn的最小值为，最大值为，因为ATn126n7A5717，所以BA的最小值为．12所以，所以BA612125B6221）当ae时fxexx2，则fe1e10，2f(x)e2exx，所以fe2ee，1又所以曲线yfx在x1处的切线方程为yex，即xey0．（2i）因为f(x)ax2，a1且fx存在三个零点x，x，x，x123axx20有3个根，所以当x0时，fa1e0，f0a00，()fxaxax0，所以fx在,0上是单调递增，由零点存在定理，方程必有一个负根，12lnx当x0，xa12lnx，即a12lnx有两个根，x12lnx令t(x)，可转化为ya与t(x)有两个交点，xx22lnx)12lnxt(x)，x2x2可得xe)时t(x)0，即tx在e单调递增，单调递减，可得x(e,)时t(x)0，即tx在e,120，当xe，tx0，t(x)t(e)其中tee22所以可得0a，解得1aee．ef(x)ax2，a1且fx存在三个零点x，x，x，123x（ii）因为设xxx，a12，a2x2，a32，易知其中x0，0xx，1232123因为xx，所以a1a2，所以122，122，xx，1212故可知xx0①；1212lnx由（i）可知ya与t(x)有两个交点xx，23x11当xe)，t(x)是单调递增，所以x(0,e)，t(x)a0，t0，所以2e②；22e1即e2，3e，e若x2e，则xx2e，323若e32