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文档简介
2023年湖北省新高考学校高一年级10月联考数学试卷
第I卷(选择题)
一、单选题(本大题共8小题,共40.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1.已知集合/={x6N\x2<81},集合B={y\y=%2—4x4-12},则AnB=()
A.0B.{8,9}C.{x|8<%<9}D.{x|-9<%<9}
2.使得不等式“久2<1成立的一个充分不必要条件是()
A.-1<%<1B.x<1C.x<1D.0<%<1
3.设A,B为非空集合,定义4*B={x\xEAUB,且x£4n8},已知M={%|0<x<3},N={x\x>2},
则M*N=()
A.{x|0<%<2]B.[x|0<x<2或%>3}
C.{x|0<x<2或%>3}D.{%|0<%<2]
4.已知集合力=[1,2,3,4,5,6,7),集合B={含6N\xeA],集合B中所有元素之和记为a,集合8的子集个数
记为b,则a+b=()
A.28B.20C.16D.32
5.已知命题p:若%>1,则2%+1>5,p的否定为()
A.若%>1,则2%4-1<5B.若三%>1,则2%+lW5
C.若%41,则2%+145D.若mx<1,贝Ij2x+1<5
6.下列函数中,最小值为2的是()
2厂
A.y=+-+1B.y=V%+4+i-
z4%VX2+4
4
Cy=x+二「2,(X>1)D.y=V2—X+I2+%
7.己知集合4={(x,y)|m=2},B=y=kx+3},若AnB=0,则/c=()
A.2B.-1C.1或2D,-1或2
8.在实数集R中定义一种运算“⑤”,具有以下三条性质:①对任意QWR,00a=a;
②对任意a,bER,a®b=b®a',
③对任意a,b,cWR,(a®h)®c=c®(ah)4-(a0c)4-(b0c)-2c,
以下正确的选项是()
A.20(002)=0
B.(200)®(200)=6
C.对任意的a,b,cER,有a®(b®c)=h®(c®a)
D.对任意a,b,cER,有(a+b)③cW(Q③c)+(b③c)
二、多选题(本大题共4小题,共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)
9.下列关于符号“巳使用正确的有()
A.若集合4UB=B,则4工BB.若4CB=BCC,则8=C
C.{0}c{{0},1}D.(4nB)G(AU8)
10.若a,b,cER,c>0>a>b,下列不等式一定成立的有()
A.Q4-->b4--BC..D噌得
,bb-1a-cb—c
11.已知正实数a,b满足ab+a+6=8,下列说法正确的是()
A.ab的最大值为2B一+士的最小值为(
ab+19
C.a+9b的最小值为8D,就五+[的最小值为:
12.若平面点集,满足:任意点(x,y)6M,存在正实数t,都有(tx,ty)€M,则称该点集为“t阶集”,则
下列说法正确的是()
A.若M={(x,y)|y=§是“t阶集”,则t=1
B.若M={(x,y)|y=2吗是阶集",则t为任意正实数
C.若M={(x,y)|x2<4y}是“t阶集",则0<t41
D.若M={(x,y)|y>1^}是'%阶集",则t<1
第n卷(非选择题)
三、填空题(本大题共4小题,共20.0分)
13.己知集合P={%|2/+5%-3=0},Q={x\mx=l],若QUP,则实数m的取值集合为.
14.命题“miWxW8时,方程2/一数+8=0有两个不等实数根”是真命题,则实数a的取值范围是
15.已知a,b>0,4a+3b=1,则亍;:H—幻的最小值为.
16.已知集合4={x|%2+2x-8N0},B={x\x2-2ax+4<0},若a>0,且力nB中恰有3个整数元素,
则实数a的取值范围为.
四、解答题(本大题共6小题,共70.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题10.0分)
已知集合4={灯与^42},集合B={x||3x-l|>2}.
(1)求4CB,AUB;
(2)设(/={x]xW4},求QA.
18.(本小题12.0分)
(1)已知a>0,b>0,且a+2b=2,求甯的最小值;
(2)已知a>0,b>0,a2+b2-ab=36,求a+b的最大值.
19.(本小题12.0分)
已知命题p:"a4xWa?一2”是“一2WxW5”的充分不必要条件。
(1)若命题p为真命题,求实数a的取值范围;
(2)已知命题q:mxeR,x2-2x+a<0,若命题p和命题q恰有一个为真命题,求实数a的取值范围.
20.(本小题12.0分)
2023年,8月29日,华为Mate60Pro在华为商城正式上线,成为全球首款支持卫星通话的大众智能手机。
其实在2019年5月19日,华为被美国列入实体名单,以所谓科技网络安全为借口,对华为施加多轮制裁。为
了进一步增加市场竞争力,华为公司计划在2020年利用新技术生产某款新手机,通过市场分析,生产此款
手机全年需投入固定成本300万,每生产x(干部)手机,需另投入成本R(x)万元,且R(x)=
,10000”由市场调研知此款手机售价0.7万元,且每年内生产的手机当年能全部销售完。
(1)求出2020年的利润w(x)(万元)关于年产量干部)的表达式;
(2)2020年年产量为多少(干部)时,企业所获利润最大?最大利润是多少?
21.(本小题12.0分)
已知a,b为实数,命题「:。4一/74一262=1
(1)求证:命题p成立且a+b=4的充要条件是a=[,b=学;
oo
(2)若p成立,求。2+昔的最小值,并求此时a,b的值.
b
22.(本小题12.0分)
已知UcR为一个数集,集合4={s2+3t2|s,tGU).
(1)设U={135,9},求集合A的元素个数;
(2)设(/=2,证明:若XC4,则28x64;
(3)设(7=R,x,y£A,且x=m2+3n2,y=p2+3q2,若mp-3nq=«^,求x+y+znq+np的最小
值.
答案和解析
1.答案:B
解析:
解:A={x€N\x2<81}={0,1,2,3,456,7,8,9},B={y\y=x2-4x+12}={y\y=(x-2)2+8}={y\y>
8},
则4CB={8,9}.
2.答案:。
解析:
解:由题意可得/《10一14x<1,
所以/<1的一个充分不必要条件可以是。选项,
故选£>
3.答案:C
解析:
解:因为M={x|0<x43},N={x\x>2},
所以MUN={x\x>0],MC\N={x\2<x<3},
又因为定义M*N={x\xe(MUN)且xg(MnN)},
所以M*N={x|0<x<2或x>3},
故选C
4.答案:A
解析:
解:由题意,得8={搭6/7仅€4}={6,3,2,1},
则a=6+3+24-1=12.b=24=16.
则a+6=12+16=28
5.答案:B
解析:
解:命题:”若%>1,则2x+l>5”的否定是:"若三》>1,贝IJ2X+1W5”.
故选8.
6.答案:D
解析:
解:对于4y=7+-+
当%=-4时,y=-^<0,不符合要求,故A错误;
对于B:y=Vx2+4+\>2,
V/+4
当且仅当>/7+4=7=另时取等号,
V%,+4
------1
由V刀+4=7=4亍得/+4=1显然不成立,
V%,+4
所以等号取不到,即丁=口^+7昊的最小值不是2,故8错误;
对于C:因为%>1,所以
y=x+A--2=x-l+A--l>2(x-1)--1=3)
/x-1x-1yx-1
当且仅当x=3时取等号,最小值不是2,故C错误:
对于D:y=yj2—x+V2+x>易知-2<x<2,y>0,
y2=2—x+2+x+2yj(2—x)(2+x)=4+2V4—%2,
当4一/=o即%=2或一2时,y2有最小值%即y有最小值2,故。对.
7.答案:D
解析:
解:集合集={(x,y)|芸=2}={(x,y)|y=2x(x于1)},B={(x,y)|y=kx+3],
根据题意可得当y=2x(%H1)与直线y=kx+3平行时,解得k=2;
当直线y=kx+3过点(1,2)时,解得卜=一1,
综上所述,卜=2或一1.
8.答案:C
解析:
解:;对任意a,b,c6R,(a<8)b)⑤c=c(8)(ab)+(a0c)+(60c)—2c,
.,.令c=0,(a®b)®0=0®(ab)+(a00)+(600)—2x0,
:.(ab)00=a0b=ab+a+b,
对于4,20(002)=202=2x2+2+2=8,故A错误;
对于B,(200)®(200)=202=2x2+2+2=8,故8错误;
对于C,;a(8)(b(8)c)=a(8)(be)+(a0/))+(a0c)—2a
=abc+a+bc+Qb+a+Z?+Qc+Q+c—2a=abc+ab+QC+be+a+b+c,
6®(c®a)=h®(ac)4-(h®c)+(60a)-26
=abc+b+ac+bc+b+c+Qb+a+b—2b=abc+ab+QC+be+a+b+c,
二对任意的a,b,ceR,有a③(力③c)=b③(c③a),故C正确;
对于。,v(a4-h)®c=(a+b)c+a+b+c=ac+bc+Q+b+c,
(a③c)+(b③c)=QC+Q+c+be+b+c=QC+be+a+b+2c,
二当c=0时,有(a+b)③c=(a③c)+(bgc),故。错误.
9.答案:AD
解析:
解:选项4:AUB=B,则A正确.
对于氏如/={1,2,3},B={1,2,4},C={1,2,5},/nB=BnC={1,2},B丰C,故B错误;
对于C,在本题环境下{0}是{{0},1}的一个元素,所以{0}£{{0},1},
若以集合关系,{{0},1}子集为。,{{0}},{1},{{0},1},{0}不是{{0},1}的一个子集,故C错误;
对于D,G4nB)中的元素都在G4uB)中,所以(4口8)。04118),故。正确.
10.答案:ABC
解析:
解:对于4因为。>a>b,所以£>;,
所以a+^>b+;,故4正确;
对于从钎a—1b—a
口一力(力-1)'
因为0>a>b,
所以b-aVO,b(b—1)>0,
所以b-a
=匕V0,
物"、bb-13—1)
所以故8正确;
对于C,因为c>O>a>b,所以一b>—a>0①,
可得c-b>c-a>0@,
则直>a>0,
可得言>分
所以£>六,故C正确;
a丁cbb+1b-a
对于°,£一石i=布荷p
因为0>Q>b,
所以b—QV0,但分母符号不确定,故。错误;
故选ABC.
11.答案:BD
解析:
解:选项A,因为Qb+a+b=8,且a,匕为正实数,
所以a+b=8—ab>2,ab,即ab—2)(,ab4-4)<0,
所以即就的最大值为4,当且仅当a=b=2时取等号,故A错误;
选项8,因为ab+a+b=8,且a,b为正实数,贝Ijab+a+b+1=9,
言
即b+1=
9,
11111117
所
以Qa
++++>+
一
a+一1--
所
-一--------
Qa9a99a999
当且仅当工即a=3时等号成立,故8正确;
a9
选项C,因为ab+a+b=8,所以(a+l)(b+1)=9,
所以a+9b=(a+1)+9(£>+1)—10N2.-J_9(a+l)(b+1)—10—8,
当且仅当a+1=9(b+l),即a=8,b=0时取等号,
因为a,b为正数,故等号不能成立,即C错误:
选项。,由ab+a+b=8,知a(b+l)=8-b,
++-2-
所以a(b+l)b~宣b~b(8-b)(/,+8-z>)2-
4
当且仅当b=8-b,即b=4时,等号成立,即。正确.
故选:BD.
12.答案:ABC
解析:
解:对于4若加={(Z丫)仅=:}是“t阶集",则ty=A,所以£2=1,因为t>0,所以t=l,故A正确;
对于B,若时={(%丫)|丫=2口是“£阶集",则ty=2tx,则t为任意正实数,故B正确;
对于C,若M={(x,y)|x2<4y}是“t阶集”,则(tx/<4ty,由t>0得出*<4y,当0<t41时,t/<
x2<4y,Atx2<4y,当t>1时,取%=1,y=0.25,满足%244y,
但是=t>1=4y,
・•・为使好w4y成立时,t/W4y,正实数£的取值范围是0<t41,故C是正确;
若M={(x,y)|y>,三}是"t阶集",则ty>V-tx,当t=y=4,x=3时,、7氏==?="住>,
故ty>不成立,故。错误.
故选ABC.
13.答案:{—:,0,2}
解析:
解:因为集合P=[x\2x2+5x—3=0}={;,-3},Q-{x\mx—1),
所以:当m=0时,Q=0,满足QUP,因此m=0为所求;
当mKO时,Q={'},由QaP得\=g或'=一3,解得m=2或m=-;.
综上所述,实数6的取值集合为{-最0,2}.
14.答案:8<a<10
解析:
解:因为命题4%48时,方程2/一"+8=0有两个不等实数根”是真命题,
所以函数y=2x2-ax4-8的图象在1<x<8上与%轴有两个不同的交点,
[1<汴8
因此,a2-64>0,解得8<a<10,所以实数a的取值范围是8<a<10.
10-a>0
1136-8Q>0
15.答案:3+2小
解析:
1
且
所以bO<Q<
4-
11-3(。+2)_-3(。+2)_-3
22
因此五行十a+b2a-a-12(a+2)—9(a+2)+92(a+2)+--^2-9
-3
3+2y/~2
>2jI2(a+2)•磊9-96々一9
当且仅当2(a+2)=总,即。=浮一2时,等号成立,
所以高+念的最小值为3+
16.答案:|<a<Y5
解析:
解:设/(%)=%2—2。%+4,则函数/(%)的图象开口向上,而由Q>0知:对称轴%=Q>0.
因为若乙、不是方程f(X)=0的两根,贝所以勺、久2均大于0,
十%2一hU
而集合4=(x\x2+2%—8>0]={x|x<-4或x>2},
〃(2)<0
因此要4nB中恰有3个整数元素,则{/(4)40,
(/(5)>0
即20-8a40,解得
.29—IOQ>0
所以实数a的取值范围为|《a<祭
17.答案:解:(1)由竺=<2,可得与
故"2;C+D40,解得一1<x<2,
故A={x|—1<x<2].
由|3%-1|>2,可得3%-1>2或3%-1<-2,解得%>1或XV-最
故8=卜,V-争殷>斗
故4nB=*卜1V%V-,或1V%(2卜Ak)B=R.
(2)因为4={x|—1<x<2},U={x\x<4},
所以的4=[x\x4-1或2V%44).
18.答案:解:(D鬻
=!+l=K!+l)=+28)=4(10+等+令》*10+2]等•3=9,
等号当且仅当a=4b=々时取得,
所以里的最小值为9;
ab
(2)因为M+^2—ab=36,
所以(a+bp—3ab=36,
所以(a+匕产一36=3ab43(空)1(当且仅当a=b时等号成立).
又a>0,b>0,
所以Q+b412j
故a+b的最大值为12.
19.答案:解:(1)设集合4=[氏层一2],集合8=[—2,5],
•・・命题p为真命题,.,・集合A是集合B的真子集,
当4时,Q>Q2—2,解得—1Va<2,此时符合题意,
a2—2>a
Q>—2,解得—24a4—1或24Q<A/~~7,
(a2—2<5
综上可得—2(Q(「,即实数a的取值范围是[—2,「].
(2)・.•若命题q为真命题,则4=(一2)2-4。>0,解得QV1,
•.,命题p,q中恰有一个为真命题,・•.命题p,q一真一假,
①当p真q假时,故
②当p假q真时,卜〈一2幽>。,故。<一2.
(QV1
・•・当命题p,q中恰有一个为真命题时,实数Q的取值范围是(-8,-2)U
20.答案:解:(1)当0VXV50时,
w(%)=700%—(10x24-100%)—300
——10/+600%—300,
当%>50时,w(x)=700%-(701%+-9450)-300=-(x++9150,
C-lOx2+600x-300,0<%<50
•••必乃=[_(%+喑)+9150心50;
(2)若0V%<50,w(x)=-10(%—30)24-8700,
当%=30时,vv(%)max=8700万元;
若X250,w(x)=-(x++9150
<9150-2J=8950,
当且仅当x="詈时,即X=100时,w(x)max=8950万元,
因为8950>8700,
2020年年产量为100(千部)时,企业所获利润最大,最大利润是8950万元.
21.答案:解:(1)证明:充分性:若a=?b=?则首先a+b=4且。2-从=i
oo
又因为-b4-2b2=(a2+h2)(a2-b2)-2b2=a2-b2=1,
所以a=卷b=学是a。-b”-2b2=1的充分条件;
必要性:若a”—b4—2b2=1,且a+b=4,
首先a’-(b4+2炉+1)=0,BP(a2+b2+l)(a2-b2-1)=0,
因为a,b为实数,a2+b2+1^0,所以a?—/)2=1,
解方程组产一/:1即得°=/6=康
综上可得命题p成立且a+b=4的充要条件是a=1,b=噂;
(2)由(1)知,命题p成立a?-非=
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