2023年高三数学高考模拟试卷附参考答案四

2023年高三数学高考模拟试卷(四)

一、单选题

1.已知集合A={%GR\x2-2x-3<0},B={xeR\\x-2\>1],则An(CRB)=()

A.(1,3]B.[1,3]C.[1,3)D.(1,3)

2.若复数2=骞(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于第四象限，则实数a的取值范围为

()

A.(—oo,1)B.(—1,1)C.[—111]D.(—1,+oo)

3.在递增等比数列{5}中，。3=4,且3a§是和。7的等差中项，则由0=()

A.256B.512C.1024D.2048

4.已知定义在R上的函数/(%)满足/(2+x)+>(2-％)=0,/(%+1)为偶函数且/(1)=1,则

/(2023)=()

A.-1B.0C.1D.2

5.多年来，网络春晚一直致力于为本土市民“圆春晚梦”，得到了广大市民的认可.某市2023年网

络春晚海选如期举行，该活动总共分为海选、复赛、决赛三个阶段，参赛选手通过决赛后将参加该

市2023年网络春晚.已知甲、乙、丙三人组成一个小组，假设在每一轮比赛中，甲、乙、丙通过的

概率依次为率|，|，假设他们之间通过与否互不影响，则该小组三人同时进入决赛的概率为

1411

C

----

A.9B.93D.8

6.已知双曲线C：a一技=1(。>°，。>0)的左、右焦点分别为Fi,F2,A是双曲线C的左顶

点，以尸1尸2为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于P,Q两点，且而•而=—4a2,则双曲线C

的离心率为()

A.V2B.V3C.V5D.2

(x<3,

7.已知实数x,y满足约束条件[x+y>0,则|x—2y|的最大值是()

4-2>0,

A.5B.6C.7D.9

8.已知某离散型随机变量X的分布列如下：

X-1012

Pabc—

III|3

若E(X)=W，P(X21)=£，则。(X)=()

A15r>9「19n5

A，16B，8C，16D，4

9.为弘扬中国优秀传统文化，某地教育局决定举办“经典诵读”知识竞赛.竞赛规则：参赛学生从

《红楼梦》《论语》《史记》这3本书中选取1本参加有关该书籍的知识竞赛，且同一参赛学校的选

手必须全部参加3本书籍的知识竞赛.某校决定从本校选拔出的甲、乙等5名优秀学生中选出4人

参加此次竞赛.因甲同学对《论语》不精通，学校决定不让他参加该书的知识竞赛，其他同学没有

限制，则不同的安排方法有()种.

A.128B.132C.156D.180

10.高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的

“高斯函数''为：设久WR,用[刈表示不超过x的最大整数，则y=[%]称为“高斯函数”，例如：

[—2.5]=-3,[2.7]=2.已知数列｛an｝满足a】=1,a2=3,an+2+2an-3an+1,若“=

,,,i

[log2an+1],Sn为数列｛万飞--｝的前n项和，则$2023=()

A2022R2024r2023n2025

,202320232024,2024

11.党的二十大报告将“完成脱贫攻坚、全面建成小康社会的历史任务，实现第一个百年奋斗目标”

作为十年来对党和人民事业具有重大现实意义和深远历史意义的三件大事之一.某企业积极响应国

家号召，对某经济欠发达地区实施帮扶，投资生产A产品.经过市场调研，生产A产品的固定成本

为200万元，每生产x万件，需可变成本p(x)万元，当产量不足50万件时，pQ)=$/+60%；

当产量不小于50万件时，p(x)=i(Hx+噌—1360.每件A产品的售价为100元，通过市场分

析，生产的A产品可以全部销售完.欲使得生产该产品能获得最大利润，则产量应为()

A.40万件B.50万件C.60万件D.80万件

12.下列结论正确的是()

2023

A.Iog2()2i2022<Iog202z2023<

B・log20222023<log202i2022<箫

C2022<"g20222023V\og2Q212022

D.2022<1°g202i2022<log?。?？？。？？

二、填空题

13.已知向量五=(1,t),b=(2,t),c=若石J.工，t>0,贝瞑在B方向上的投影

是.

14.在(小江+壶」的展开式中，各项系数的和与各二项式系数的和之比为64,则。=.

15.已知三棱锥P-ABC中，PB_L平面4BC,AB=BC=PB=26,AC=6,则三棱锥P-/BC

外接球的体积为.

16.设过点(2,—1)的直线1与椭圆C：。+必=1交于乂，N两点，已知点4(0,1),若直线AM

与直线AN的斜率分别为七，的，则的+&=.

三、解答题

17.已知函数/'(%)=2A/5COS(X-*)cosx+ZsiMx,在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,

b,c,且f(A)=3.

(1)求角A；

(2)若b=3,c=2,点D为BC边上靠近点C的三等分点，求AD的长度.

18.为庆祝党的二十大的胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高校在全校开展“不负韶华，

做好社会主义接班人”的宣传活动.为进一步了解学生对党的“二十大”精神的学习情况，学校开展了

“二十大”相关知识的竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取100人，将他们的竞赛成绩(满

分为100分)分为5组：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如图所示的

频率分布直方图：

2

参考公式及数据：个=回瑞稳磊e，其中"a+b+c+d.

P(K2>fc0)0.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.7063.8415.0246.6357.87910.828

(1)估计这100名学生的竞赛成绩的中位数(结果保留整数)；

(2)在抽取的100名学生中，规定：竞赛成绩不低于70分为“优秀”，竞赛成绩低于70分为“非

优秀”.请将下面的2x2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别

有关”？(精确到0.001)

优秀非优秀合计

男30

女50

合计100

19.已知四棱锥中，。41平面48。。，AD||BC,BCLAB,4B=4D=*BC,BD=

V2,PD=A/5.

P

(1)求直线PC与平面PBD所成角的正弦值；

(2)线段PB上是否存在一点M,使得CM1平面PB。？若存在，请指出点M的位置；若不存

在，请说明理由.

20.已知抛物线C：y2=2PMp>0)上的一个动点P到抛物线的焦点F的最小距离为1.

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)过焦点F的直线1交抛物线C于4B两点，M为抛物线上的点，且MFLAB,

求△ABM的面积.

21.已知函数/(%)=xlnx+x+1.

(1)求函数/(%)的图象在点(1,/(I))处的切线方程；

(2)求证：/(%)<ex.

22.在平面直角坐标系％Oy中，圆C的圆心坐标为(-2,-2),且过原点O.以坐标原点。为极

点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线1的极坐标方程为p(cos。+sin。)=-1.

(1)求圆C的参数方程及直线1的直角坐标方程；

(2)若直线1与圆C交于4,B两点，点P在圆C上运动，求APAB面积的最大值.

23.若函数f(x)=|x-t|-2|x+3|(t>0)的最大值为5.

(1)求t的值；

(2)已知a>0,b>0,且a+2b=t,求号+$的最小值.

参考答案

1.【答案】D

2.【答案】B

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】C

9.【答案】B

10.【答案】C

11.【答案】D

12.【答案】B

13.【答案】当要

14.【答案】3或-5

15.【答案】20VT57T

16.【答案】-1

17.【答案】(1)解：=2A/3COS(X—^)cosx+2sin2x=2V3sinxcosx+2sin2x

=V3sin2x+(1—cos2%)=V3sin2x-cos2x+1=2sin(2x—着)+1,

所以/(4)=2sin(2A+1=3,所以sin(2A—看)=1.

所以24—1=%+2kit,kGZ,即A=l+kit>kGZ.

又0<4<兀，所以4=亍

(2)解：如图所示,

方法一：在△ABC中，由余弦定理可得SC?==庐+c2—2bccosZ_B4C=9+4—12X④=7,

则BC=b.又点D为BC边上靠近点C的三等分点，所以B0=孚.

又在△ABC中，cosB=a2+f-b2=

2ac477=14

在△ABD中，由余弦定理可得402=BA2+BD2_2BAxBOxcosB=4+等一2x2x竽x券

52

q，

所以4。=等1

方法二：因为点D为BC边上靠近点C的三等分点，所以同=|尼+/而.

414441

前而

府22

=--+-=4+-+-X3X2X-=529

等式两边同时平方可得|而『999992

所以|而|=空，即早.

18.【答案】⑴解:因为(0.010+0,030)X10=0.4<0.5,0.4+0.045X10=0.85>0.5,

所以竞赛成绩的中位数在［70,80)内.

设竞赛成绩的中位数为m,则(小一70)X0.045+0.4=0.5,解得m*72,

所以估计这100名学生的竞赛成绩的中位数为72.

(2)解：由(1)知，在抽取的100名学生中，

竞赛成绩为“优秀”的有：100X(0.45+0.10+0,05)=100X0.6=60人,

由此可得完整的2x2列联表：

优秀非优秀合计

男203050

女401050

合计6040100

零假设Ho：竞赛成绩是否优秀与性别无关.

2

因为2_100x(20x10-40x30)/_100

尿--60x40x50x50一一丁"16.667>6.635，

所以有99%的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”.

19.【答案】(1)解：因为ADIIBC,BC1AB,所以ADLAB.

1

又因为AB=4。=BD=V2-所以AB=4/)=1,BC=2.

因为PZ_1平面48。0,48(=平面48。。，A。u平面ABC。，

所以/Ml.AB,P4J.4D.又PD=代，所以P4=7PD2—AD2=2.

以A为坐标原点，以AB,AD,4P所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标

系，

则8(1,0,0)，C(l,2,0),D(0,1,0).P(0,0,2).

所以方=(1,2,-2),BD=(-1,1,0),BP=(-1,0,2).

设平面PB。的法向量为泾=(%,y,z),

则陛m=o,即｛-¥厂〉得/J,

(BP•元=0(-x+2z=0[z=

令x=2,可得平面PBD的一个法向量为运=(2,2,1).

设直线PC与平面PB。所成的角为。，0G[0,刍，

4

PC-n-

则sin。=|cos(PC,元>1=I9

同H同

所以直线PC与平面PBD所成角的正弦值为小

另解:

如图，连接AC.因为AD||BC,BC±AB,所以ADLAB.

1

因为AB=AD=5BC,BD=近，所以4B=/D=1,BC=2.

因为BCJ_AB,所以AC='AB?+BC2=通.

因为PAL平面ABC。，ABc^ABCD,ACu平面ABC。，4。u平面ABCD,

所以PAIAB,PA1AC,PA1AD.

因为P/l=y/PD2-AD2=2，所以PC=y/AC2+PA2=3，PB=y/PA2+AB2=V5.

L211

所以S”BD=；xV^xJ（同2_（务=|，S^BCD=2><BCxAB=2><2xl=1.

设点C到平面PB。的距离为h,

由Vp-BDC=C-PBD>得可XPAXSbBCD=gX/lXS^PBD，即@x2Xl=wX/lX2，角牛得/l=手

A4

--

设直线PC与平面PBD所成的角为0,9e[0,引，贝bin®9

pc

所以直线PC与平面PBD所成角的正弦值为今

(2)解：不存在点M,理由如下：

假设存在满足条件的点M(如图).

可设丽=4价=（一九0,2/1）,AG[0,1],所以0,24）,

所以说=(一九-2,24).

又由(1)知元=(2,2,1)为平面PBD的一个法向量，所以而||元,

即秘=卷=罕，无解.

所以线段PB上不存在满足条件的点M.

另解：

不存在点M,理由如下：

假设存在满足条件的点M,

由CM1平面PBD,PBBOu平面PBO,得CM1PB,且CM1BD,

因为24平面/BCD,BCu平面/BCD,所以PA_LBC.

因为BCJ.AB,S.PADAB=A,PAu平面P4B,u平面P4B,

所以BC_L平面P4B.又PBu平面PAB,所以BC1PB.

若存在满足条件的点M,则点M必与点B重合.

又BC与BD不垂直，所以线段PB上不存在满足条件的点M.

20•【答案】⑴解：设点P的坐标为(如加)，由抛物线定义可知，\PF\=x0+l>1,

即当配=0时取得等号，

故专=1,解得p=2,所以抛物线C的标准方程为y2=4x.

(2)解:由(1)知F(l,0),设AQi，乃),B(X2,y2),M(x3,y3),

若/Blx轴，由MBJ.AB,得M(0,0)，4(1,2),B(l,一2)或4(1,-2),B(l,2),

此时不满足4MlBM,所以不满足题意；

设直线的方程为久=my+l(m丰0).直线MF的方程为x=一1y+l(m*0),

如图所示，

将x=my+1代入抛物线方程得y2—4my—4=0,4=16(m2+1)〉0,

所以为+、2=46，无为=一4・

将％=——y+1代入抛物线方程得产+—y—4=0,所以及+——4=0①.

771TTlJ772J

，3一丫1.为一乃一44

直线AM的斜率为石二弓一圭及一序无，同理BM的斜率为耳顼.

44

因为AM_LBM,所以不y3+y2=-1'

所以田+%+丫2）、3+32=-16,即出+4?7%+12=0②.

由①②解得当=32,将其代入①可得，462+4（1-血2）一（1—血2）2=0,

所以｛/嚼或IM调

当:为时，直线4B的方程为％=gy+1,M（3,-2V3）,\MF\=4.

因为力，为满足丫？-4V5y-4=0,所以丫1+丁2=4百，=一左

所以|AB|=71+77121yl-y2|=2J（yi+、2）2-4yly2=2,48+16=16，

11

所

以--XX4-32

2216

同理可得，当时，直线4B的方程为x=-百丁+1，M(3,2V3),\MF\=4,

因为当，%满足y?+4V5y—4=0,所以%+兀=_46，yry2=-4.

2

所以|力B|=Vl+m|y1-y2|=2J(yi+丫2产—4yly2=2V48+16=16>

所以SAABM=}x\AB\x|MF|=Jx16x4=32,

所以△ABM的面积为32.

21.【答案】(1)解：因为/'(%)=xlnx+x+1(%>0),所以f'(x)=Inx+2，

所以/'(1)=2，又因为/(1)=2.

所以函数/(%)的图象在点(1,/(I))处的切线方程为y-2=2(x-1),

即2x—y=0.

(2)证明：要证/(%)</，即证xlnx+x+1<靖，即证Ex+1+4〈竺，

XX

即证^——Inx-------1>0.

xx

令9(%)=Y-lnx-1-l(x>0)，则g'(x)=^4^一］+a=("丫广〃

由g'(x)=0,可得％=1,(%=0舍去)

因为当久>0时，ex-l>0,

所以当0<%VI时，g'(%)v0,g(%)在(0,1)上单调递减；

当x>l时，^(%)>0,g(x)在(1,+8)上单调递增.

所以g(%)m讥=g(l)=e-l-l=e-2>0,

所以g(x)>0,结论得证.

另解：

证明：因为/(%)=xlnx+%4-1,

所以要证/(%)<ex,即证xlnx+%+1<ex,

即证；dn%—e*+%+1<0.

设0(x)=xlnx—e"+%+l(x>0),

则0(%)=In%+1—e*+1=Inx-e*+2.

令九(%)=In%—ex+2(%>0),则九(%)="—exy

而函数九(%)在(0,+8)上单调递减，又八(1)=2—Ve>0,h.(1)=1—e<0，

故存在唯一的比€8,1),使得九'(M)=0,即宗呼=0,即/=呼,

等式两边同时取对数得-In%。=x0,即Inx。=-x0.

当xe(0,而)时，h(x)>01h(x)在(0,比)上单调递增；

当xe(xo，+8)时，/l(x)<o>/l(x)在(%o，+8)上单调递减.

2

x

所以九(%)max=h(%0)=lnx0-eo+2=-x0-+2=-叫］)<0>即/(%)<0，

x0x0

所以9(%)在(0,+8)上单调递减.

因为当x>