广东执信中学2023年高一年级上册10月月考数学试题含答案

广东执信中学2023年高一上学期10月月考数学试题

2023-2024学年高一上学期10月月考

数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.命题，HaeR,G?+1=°有实数解，，的否定是()

A.X/aeR,加+1/0有实数解B.3«eR,正+「。无实数解

C.VaeR,0?+1=。无实数解D.eR,有实数解

2.已知全集。=11,集合A={x|x24或xWO},5={x|x>4或xW—2},则图中阴影部分表示的集合

B.[-2,0]

C.卜2,0]口{4}D.（-2,0]u{4}

3.已知。则()

A.2a<h+cB.Q（〃-C）>〃（Q-C）

11

C.----->------D.（Q-C）3>（Z?-C）3

a-cb-c

x2+x,x<0

4.已知函数〃x)=<若/[/（〃）]=2,则实数〃的值为（）

-x2,x>0

A.-2B.1c.V2D.2

5.已知命题p：ac。，命题qH/ER,-cvc()-a<-39若P是4成立的必要不充分条件，则区间

。可以为()

A.(-co,-6]U[2,+oo)B.(-℃,-4)U(0,+oo)

C.(-6,2)D.[-4,0]

6.若关于x的不等式4*+(a+2)x—lN0的解集不为空集，则实数。的取值范围为()

6)

C.(—00,—2)U[—,+oo)D.(-QO,-2]U—,+GO

-57

7.若对任意实数x〉O,y〉O,不等式》+而《q(x+y)恒成立，则实数a的最小值为()

A.@B.V2-1C.V2+1D.四

22

8.设监表示函数/(%)=卜2一我+2|在闭区间/上的最大值.若氐"藜“满足叫°,产2Mm2勾，则正实

数。的取值范围是()

A.2—^3,—B.[2-73,1]C.[2,2+6]D.[2+73,4]

2

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列说法中正确的是()

工2+5

A.函数〃x)=/)的最小值为2

Vx+4

hh4-m

B.若a>b>0,m〉0,则上

aa+m

o_Q

c.函数"x)=Nr匚二的值域为(-8,2)U(2,+8)

x—\

D.函数/(x)=GLGR与函数g(x)=J7二i为同一个函数

|_r2

10.若函数—2X)=T-(XHO),则()

人毛卜5B.〃2)=_(

4

c.-,-1(x^0)-l(xw0且xw1)

(x—1)

11.如果某函数的定义域与其值域的交集是[a,>],则称该函数为可交汇函数”.下列函数是"[0』]交

汇函数”的是()

12

A.y=y/\-xB.y-2y[x-xc.y=—；--------D.y-Vl-X-|x|

x~—2x+2

12.对VxeR,[4表示不超过x的最大整数，如[3.14]=3,[0.618]=0,[-2.71828]=-3,我们把

y=[x],xeR叫做取整函数，也称之为高斯(Gaussian)函数，也有数学爱好者形象的称其为“地板函

数”.在现实生活中，这种“截尾取整”的高斯函数有着广泛的应用，如停车收费、EXCEL电子表格，在

数学分析中它出现在求导、极限、定积分、级数等等各种问题之中，以下关于“高斯函数的命题，其中是真

命题有()

A.VxeR,[|x|]=|[x]|B.GR,[x-y]<[x]-[v]

C.Vx,yeR,若㈤=3,则D.不等式一口]一32()的解集为

(—8,0)U[2,+8)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知集合4=卜|》2-3尤+2=0},B={x|0<x<6,xeN},则满足A冥=8的集合C的个数为

14

14.已知正实数x,y满足x+y=l,则--+—^的最小值______.

x+1y+2

15.设函数/(x)=/+ar+匕(a,beR),若关于x的不等式0W/(x)W6—x的解集为[2,3]。{6},则

a+b=

A

16.已知函数〃x)=<若存在为，%2GR,且使得/(%)=/(%2)成立，则实

lax-5,x〉1

数。的取值范围是.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.设集合A={H-24尤45},B=-1<x<2m+11

⑴若机=3时，求AcB,3A)UB

(2)若Au8=A,求加的取值范围.

18.分别用符号语言、文字语言叙述并证明基本不等式.

19.设y=nix?+(1—加)x+/〃-2.

(1)若不等式y2-2对一切实数X恒成立，求实数〃?的取值范围；

(2)已知m<()解关于x的不等式，nx?+(1-〃2)x+,〃-2<m-\

20.某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.

(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该

商品每件定价最多为多少元？

(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调

整，并提高定价到x元，公司拟投入，(r-600)万元，作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，

投入(尤万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量。至少达到多少万件时，才可能使改革

后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价.

21.已知函数/(x)=『+cu+2,aeR.

(1)若不等式/(x)W0的解集为[L2],求不等式/(幻21-尤2的解集；

(2)若对于任意不等式/(》)42。(％-1)+4恒成立，求实数。的取值范围:

(3)已知g(x)=-x+根，当。=一3时，若对任意王w[l,4],总存在尤2e(1,8),使/(%)=g(%)成

立，求实数机的取值范围.

—x,Q<x<a

22.设函数=J]a，其中。为常数且。e(0,1).新定义：若厮满足

、1一。

/(/(%))=%.但则称与为/(力的回旋点.

(1)当a=g时，分别求和/的值；

(2)当xe(a,l]时，求函数>=/(/(幻)的解析式，并求出/(x)回旋点;

(3)证明函数"X)在xe[0』有且仅有两个回旋点，并求出回旋点占,补

2023.2024学年高一上学期10月月考

数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.命题，HaeR,G?+1=°有实数解，，的否定是（）

A.X/aeR,加+1/0有实数解B.3«eR,依2+二。无实数解

C.VaeR,0?+1=。无实数解D.eR,有实数解

【答案】C

【解析】

【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可求解.

【详解】因为特称命题的否定是全称命题，.•AacR,℃2+1=0有实数解的否定是VaeR,

at?+1=0无实数解,

故选:C.

2.已知全集〃=1<,集合A={x|xN4或xWO},3={x|x>4或xW-2},则图中阴影部分表示的集合

A.(-2,0]B.[-2,0]

C.[-2,0]{4}D.(-2,0]^{4}

【答案】D

【解析】

【分析】利用集合的交并补的定义，结合Me〃〃图即可求解.

【详解】因为A={x|xN4或xWO},8={x|x>4或xW-2},

所以4^8={乂尤24或》<0}口{乂》〉4或》(一2}={尤卜24或％40},

ACJB={X|XN4或xW0}c{x|x>4或-2}={x|x>4或x4-2}.

由题意可知阴影部分对于的集合为(J(ACB))C(ADB),

所以。(AcB)={x[-2<x44},

&(AC5))C(AUB)={H-2<XW(^X=4}.

故选：D.

3.已知。>/?>。>0,贝1」()

A.2a<b+cB.4(〃-c)>〃(Q-c)

C.--->---D.(a-c>f>(h-c^

a-cb-c\)\)

【答案】D

【解析】

【分析】由不等式的性质判断ACD；取特殊值判断B.

【详解】解：对于A,因为Q>/?>C>0,所以即2a>b+c,故错误;

对于B,取4=3>/?=2>C=1>0,则〃(人—c)=3<b(a—c)=4,故错误；

对于C,由a>/?>c〉O,^a-c>h-oQ,所以---<—--,故错误；

a-cb-c

对于D,由a>〃>c>0,得a-c>b-(?>()，所以(a-c7>他一域，故正确.

故选：D.

A"2+XX<0

4.已知函数/(力=2'，若/[/(a)]=2,则实数a的值为()

—X，尢20

A.-2B.1C.72D.2

【答案】C

【解析】

【分析】利用换元法先求得/(。)，由此求得。的值.

【详解】令f(a)=t,则/⑺=2.

因为当£20时，/(r)=-Z2<0,所以产+t=2(/<0),

即/+/—2=0(/<0),解得，=—2,所以/'(。)=-2.

因为当a<0时，/(a)=a2+a=(a+g)不符合.

则一“2=一2(。20),所以a=JL

故选：C

5.已知命题命题qH/eR，x^-axa-a<-3,若。是4成立的必要不充分条件，则区间

。可以为()

A.(-00,-6]U[2,+oo)B.(-oo,-4)U(0,+oo)

C.(-6,2)D,[—4,0]

【答案】B

【解析】

【分析】先由命题4中的”的范围，再由。是9成立的必要不充分条件，得选项.

【详解】命题q：3JQ)eR,XQ—ctxn—<—3，则莅—ux0—a+340,

所以△=4?-4(一a+3)N0,解得aW-6或a22,

又P是q成立的必要不充分条件，所以(—8,—6]u[2,+oo)CD)

所以区间力可以为(-<»,-4)U(0,+00),

故选：B.

【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：

(1)若。是q的必要不充分条件，则[对应集合是。对应集合的真子集；

(2)P是9的充分不必要条件，则P对应集合是夕对应集合的真子集；

(3)。是g的充分必要条件，则，对应集合与g对应集合相等；

(4)。是1的既不充分又不必要条件，《对的集合与P对应集合互不包含.

6.若关于x的不等式(。2-4)/+(。+2)》一120的解集不为空集，则实数〃的取值范围为()

「c6]「c6一

A.-2,-B.-2,—

I5」L5]

6「6、

C.(—co,—2)kj[—,+oo)D.(-8,—2]u—,+00

5L5)

【答案】C

【解析】

【分析】据题意，分两种情况讨论：①当4=0时，即.=±2,将。的值代入分析不等式的解集是否

为空集，②当/一4x0时，即a。±2,结合二次函数的性质分析不等式解集非空时a的取值范围，综合

2种情况即可得答案.

【详解】解：根据题意，分两种情况讨论:

①当/一4=0时，即。=±2,

若”=2时，原不等式为4x—120,解可得：x>^,则不等式的解集为2；｝,不是空集：

若。=-2时，原不等式为一120,无解，不符合题意；

②当合一4w0时，即。W±2,

,ca?—4<06

若(。2一4)炉+3+2»-120的解集是空集，贝！I有<22，解得—2vav=,

=(々+2)2+4(/_4)<05

则当不等式(a2-4)x2+(tz+2)x-l>0的解集不为空集时，有。<一2或且。。2,

综合可得：实数a的取值范围为(-^,-2)u[1,+8)；

故选：C.

7.若对任意实数x>0,y>0,不等式x+而Wa(x+y)恒成立，则实数〃的最小值为()

A.B.V2-1C.V2+1D.^1

22

【答案】D

【解析】

【分析】分离变量将问题转化为必反对于任意实数%〉0,〉〉0恒成立，进而求出叵的最大

x+yx+y

值，设F=w>o)及1+1=加(，">1),然后通过基本不等式求得答案.

【详解】由题意可得，。2史必对于任意实数%>0,>>0恒成立，则只需求历的最大值即可,

x+yx+y

小£=名,设屋”i+、E,

0),则一巨=上二，再设1+，=加(加>i),贝I

]+21+尸

x+yi+2N%

XX

1+R,

m_]<]_]_6+\

Nxl+fm

---1--=----=--------=>71/—2〃z+2一…2JJ―2「2夜-2一2

\+t2l+(m-l)2m+22.m----2

1H----mVm

X

当加=2=>/2=行一i时取得

mvx

所以〃?巫士！，即实数。的最小值为也上1.

22

故选：D.

8.设弧表示函数〃％)=卜2-4兀+2|在闭区间/上的最大值.若氐买算〃满足/。,,产2%“2“]，则正实

数a的取值范围是()

A.2-6；B.[2-73,1]C.[2,2+V3]D.[2+73,4]

【答案】A

【解析】

【分析】作图分析函数/(x)的特点，再分类讨论.

【详解】函数/(x)的图像如下：

2：4X

02s2*73

的对称轴为六2"2)=2,〃0)="4)=2；

分类讨论如下：①当a>4时，Af[0,a]=f[a),M[a,2a]=/(2a),

依题意，/(。)》/(2")，而函数在无？2+/时是增函数，a<2a,

/(«)</(2a),故不可能：

②当aW4时，M\0,a]=2,依题意,2>M[a,2a\,g|JM[a,2«]<1,

令/(x)=l,解得：玉=2—JL々=1，£=2+JL/=3,如图;

则有：a22—并且2aW1,解得：2--*/3<a<—；

或者。23并且2442+百，无解；

故选：A.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列说法中正确的是()

V2-L5

A.函数〃尤)=7==的最小值为2

...,八八bb+m

B.右。>b>0,>0,贝ij一<-----

aa+m

2Y—3

c.函数〃x)=——的值域为(—8,2)U(2,+8)

D.函数'•而T与函数8卜了47二I为同一个函数

【答案】BC

【解析】

【分析】根据基本不等式、比较法，结合分式函数的性质、同一函数的定义逐一判断即可.

%2+5x2+4+1L—_1

【详解】A：/(x)=l——「—=小+4+z

1厂+4虫+46+4

若五2+4=/1n(Jjg2+4)=inf=_

-3,显然该方程无实数解,

V%'+4''

故正+4工r--,

Jf+4

所以/(%)-&+4+f———>2k/x+4-----=2,

“+4VW+4

%2+5

因此/(工)=/『最小值不是2,所以本选项不正确:

"+4

B：因为。>b〉0,/%〉0,

b+mba(人+机)一〃(。+机)m(^a-b^

所以-/、-/、>0,

a+maQ(Q+机)aya+m)

b+mb

即----->-,因此本选项正确；

a+ma

C：因为/(X)=^^=2(XT)-1=2―,

\)x-1x-1x-\

2x—3

所以〃X)H2,因此函数〃X)=—=的值域为(一应2)U(2,+oo),所以本选项正确;

X—1

D：由可知：所以函数/（尤的定义域为

由函数g（x）=1*2-1可知r-iNOnfNinxNi，或X4-1,

所以函数g（x）=J7=T的定义域为｛x|xNl或x<T｝，

因为两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，因此本选项不正确，

故选：BC

1丫2

10.若函数"1—2X）=LF（XWO）,则（）

B.〃2)=-?

A•吗卜5

4D./臼二,4.\,.一心40且21)

c.~~彳■_go）

（x-l）

【答案】AD

【解析】

【分析】由换元法求出/（》），可判断C；分别令x=2或x=；可判断A,B；求出可判断D.

【详解】令l-2x=f（f/l）,则*=Y，所以

则

4

f(x)=-——-7-l(x^l),故C错误;

(x-1)-

故A正确；/（2）=3,故B错误;

音?T（"0且"1）,故D正确.

故选：AD.

11.如果某函数的定义域与其值域的交集是可，则称该函数为可交汇函数”.下列函数是“[0,1]交

汇函数”的是()

A.y-4\-XB.y-2y/x-XC.y=~~~D.y=yJ\-x2-|x|

x—LX+2

【答案】AB

【解析】

【分析】分别求出各函数的定义域和值域即可判断.

【详解】由目交汇函数定义可知[0,1]交汇函数表示函数定义域与值域交集为[0,1].

对于选项A：丁=，二的定义域4=(-00,1],值域8=[0,+e),则AnB=[0,l],A正确；

对于选项B：旷=2五一%的定义域4=[。,+00),令七620，则y=2f—»=一。一1)2+141,值域

B=则AA8=[0,l],B正确；

117,1

对于选项cy=^1777'：(1)一2二(1)+以一,°<17717T7认定

义域A=R,值域6=(0』],则AnB=(O』],C错误；

对于选项D：y=Jl-f-国的定义域A=[-1/],y2=1-X2+X2-2|x|y]1-x2=1-2^x2(1-x2).

-1<X<1,.\0<A:2(1-X2)<1,则0Wy2〈i,...-iwy4i,值域3=11,1],则人口8=[-1,1],D

错误.

故选：AB.

12.对VxeR,[4表示不超过x的最大整数，如[3.14]=3,[0.618]=0,[-2.71828]=-3,我们把

y=[x],xeR叫做取整函数，也称之为高斯(Gaussian)函数，也有数学爱好者形象的称其为“地板函

数”.在现实生活中，这种“截尾取整”的高斯函数有着广泛的应用，如停车收费、EXCEL电子表格，在

数学分析中它出现在求导、极限、定积分、级数等等各种问题之中，以下关于“高斯函数的命题，其中是真

命题有()

A.VxeR,[|x|]=|[x]|B.eR,[x-y]<[x]-[y]

C.Vx,yeR,若㈤=3,则x—”lD.不等式2[xf-[幻一320的解集为

(-oo,0)u[2,+oo)

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据y=[x]的值，分析每个选项，A项可以举出反例，B项可以在R中找出存在令命题成立的一

对实数X,y,C项根据[x]=[y],可以得到X,y属于相同区间，D项先解出卜]的范围，再解出X的取值

范围.

【详解】对于A,[|-2.5|]=[2.5]=2,|[-2.5]|=|3|=3,所以A为假命题；

对于B,[2-1.1]=[0.9]=0,[2]-==0<1,所以B为真命题；

对于C因为[x]=[y],所以〃+1),所以x—y<l,C为真命题；

对于D,解不等式2[行一[可一320,得国4-1或所以不等式的解集为(一8,0)u[2,+00)，

D为真命题.

故选：BCD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知集合4=卜|/-3彳+2=0},B={x|0<x<6,xwN},则满足A$C=8的集合C的个数为

【答案】7

【解析】

【分析】求出集合A、B,再根据A写出所有的满足条件的集合C,进而可得正确答案.

【详解】/4={x|x2-3x+2=01={x|(x-l)(x-2)=0}={1,2},

5={x[0<x<6,xeN}={1,2,3,4,5},

因为A与C=8,所以1,2都是集合。中的元素，

集合C中的元素还可以有3、4、5,且至少有一个，

所以集合C为：{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}共7

个，

故答案为：7.

14

14.已知正实数x,y满足x+y=l,则一-+一^的最小值________.

x+1y+2

9

【答案】-##2.25

4

【解析】

【分析】根据题意，由条件可得:[(x+l)+(y+2)]=l,结合基本不等式，代入计算，即可得到结果.

【详解】因为x+y=l,x>0,y〉0,所以(x+l)+(y+2)=4,

z

141/14

+=-m+

12412

X+1y+\X+1y+

z\

1y+24(%+l19

\7525

=-++->-+=-

4+y+24X+y+24

(y+2)4(x+l)12

当且仅当日~^时，即x==二时，等号成立,

x+1y+233

149

所以---------1----------的最小值为“

X+1y+2

9

故答案为：一

4

15.设函数/(%)=%2+狈+6(。力€/?),若关于X的不等式0W/(x)W6-x的解集为[2,3]U{6}，则

a+b=

【答案】9

【解析】

【分析】根据不等式的解集可得2,3,6应为不等式对应方程的根，故分析两个不等式对应方程的根，即可

求解.

【详解】由x=6满足不等式知04/(6)40,即36+6。+6=0,

所以匕=一36—6a,

所以/(x)-x2+ax+b-x2+ax-6a-36-(x-6)(x+6+a)>0,

所以/。)=0的两根为6,—6—〃,

而/(x)K6—x可化为f+(a+i)x—6(a+7)W0,

即(x-6)(x+a+7)<0,

所以方程(》-6)(》+〃+7)=0的两根为6,—7—a

且一7-a<—6-a,

不等式0</(x)<6-x的解集为[2,3]u{6},

-7-a=2

可知，

-6-a=3

解得a=-9,

所以b=—36—6。=18,

所以a+b=18-9=9,

故答案为：9

【点睛】关键点点睛：本题主要考查不等式与方程的关系，不等式解集的端点为对应方程的根，本题在理

解2,3,6分别是（x-6）（x+6+。）=0与（%一6）（x+。+7）=0的根，而方程含有公共根6,所以必然2,3两

根分别是-7-。,-6-。,即可求解，本题属于难题.

-2

“、-X+X<1

16.已知函数/(x)=〈若存在玉，X2GR,且玉工工2，使得/（%）=/（々）成立，则实

2ax-5,x>1

数«的取值范围是

【答案】（一8,4）

【解析】

【分析】通过分析/（X）的函数特征，结合已知条件，对参数。进行分类讨论并结合图像即可求解.

【详解】因为y=—Y+ax是开口方向向下，对称轴为直线x=£的一元二次函数,

-X24-OX,X<1

由〃x)=<可知,

2ax-5,x>1

①当|<1,即”<2时，由二次函数对称性知：必存在％中尤2,使得/（尤1）=/（々）；

②当即时，若存在玉/々，使得/（%）=/（尤2），

则函数图象需满足下图所示：

即—l+a>2a—5,解得：a<4,所以2Wa<4；

综上所述：«<4,从而实数。的取值范围为（-8,4）.

故答案为：（一8,4）.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.设集合A={无卜2W5},B-|x|m-l<x<2/n+lj

（1）若加=3时，求AcB,（CRA）U3

（2）若Au8=A,求加的取值范围.

【答案】（1）Ac3={x|2<xK5},（。4）1_]3=民|》<—2或xN2}

（2）〃？<一2或一1<相（2

【解析】

【分析】（1）根据交集、补集和并集的概念可求出结果；

（2）由=4得B=再分类讨论8是否为空集，根据子集关系列式可求出结果.

【小问1详解】

,/A={x\-2<x<5|,B~<x<2根+1},

二当机=3时，则8={x[2Wx<7},所以AcB={H24xW5},

=一2或x>5},又8={x|24x47},

所以（（；A）UB={x|x<—2或xN2}.

【小问2详解】

VA<JB=A，：.BA,

.,.当8=0时，则有〃?一1>2加+1,即"?<一2,满足题意;

当BK0时，则有加一1W2m+1,即m>-2,

m-\>-2

可得《解得：—lWmW2.

2m+1<5

综上所述，团的范围为根<一2或一1W加W2.

18.分别用符号语言、文字语言叙述并证明基本不等式.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】利用作差法，结合完全平方公式证明即可.

【详解】符号语言：

+

"22右(&Z,eR).(当且仅当时取到等号).

文字语言:

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当两正数相等时两者相等.

当且仅当爪=折，即a=匕时取到等号,

所以"；J石(a匕eR,).

19.设丁=+(1-根)工+加一2.

(1)若不等式)>2-2对一切实数x恒成立，求实数)的取值范围；

(2)已知机<0解关于X的不等式〃比24-(1-7/2)X+m-2<-1

【答案】⑴；'+8)

(2)答案见解析

【解析】

【分析】(1)根据题意，转化为蛆2+。-机)*+加20对一切实数x恒成立，分机=0和加力0,两种情

况讨论，列出不等式组，即可求解；

(2)根据题意，求得(如+l)(x-1)=0的两个根为％=-±々=1,分类讨论，即可求解.

m

【小问1详解】

解：由y=加一+0一根)工+加一2之一2对一切实数x恒成立，

即mx1+(1-m)工+机20对一切实数工恒成立，

当机=()时，x>0,不满足题意；

(m>01

当加。0时，则满足〈/\2,，解得加之一，

A=(l-/n)-W<03

综上所述，实数〃，的取值范围为

【小问2详解】

解：由不等式如2+(l-m)x+m-2cm-1,gp(znr+l)(x-l)<0,

方程("a+1)(*-1)=0的两个根为玉=一工,8，=1,

m

①当帆=T时，不等式的解集为(-oo,l)U(l,+8);

②当机<一1时，不等式的解集为,g‘-Al"1>+00)；

③当—1<加<()时，不等式的解集为(—°0,I)u[,+°°).

综上所述，

当机4一1时，不等式加尤2+(\-m')x+m-2<m-\的解集为(-8,-^U(l,+a>)；

当一1<加<()时，解集为,+8).

20.某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.

(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该

商品每件定价最多为多少元？

(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调

整，并提高定价到x元，公司拟投入，(丁-600)万元，作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，

投入/x万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量。至少达到多少万件时，才可能使改革

后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价.

【答案】(1)40元(2)10.2万件，30元

【解析】

【分析】(1)设每件定价为1元，根据题意列不等式，然后解不等式即可；

(2)根据题意得到x〉25时，不等式如Z25x8+50+，(/-600)+；x有解，然后转化为

(1501

a2—++7，再根据基本不等式求最值即可.

Ix65人正

【小问1详解】

设每件定价为r元，依题意得(8-2言x0.2^>25x8,

整理得产一65t+1000V0,解得25W40.

所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元.

【小问2详解】

依题意知当X〉25时，不等式以225'8+50+，(/-600)+；》有解,

等价于x〉25时，ci>---1—xd—有解,

x65

当且仅当空=，X,即x=30时等号成立，所以。210.2,

x6

当该商品改革后销售量。至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和,

此时该商品的每件定价为30元.

21.已知函数/(x)=J?+依+2,aeR.

(1)若不等式/(x)<0的解集为[1,2],求不等式/(x)Nl—V的解集；

(2)若对于任意尤不等式/(无)《2。(工一1)+4恒成立，求实数。的取值范围；

(3)己知gQ)=-x+机，当。=一3时，若对任意％总存在々e(l,8),使/(xj=g(x2)成

立，求实数机的取值范围.

【答案】(1),双；U[l,+8)；

(2)

【解析】

【分析】(1)由1,2为方程%2+以+2=0的两个不等实数根，根据韦达定理求解4，然后解一元二次不

等式即可;

(2)将不等式化简，令-奴+2a-2,可得〃(无)<0对1,1]恒成立，只需满足

/?(1)<0

,求解。的范围;

(3)根据二次函数与一次函数的性质求解函数/(x)与g(x)的值域，将问题转化为函数/(x)值域是函

数g(X)值域的子集列不等式组求解.

【小问1详解】

由题意，1,2为方程/+以+2=0的两个不等实数根，

:.l+2=-a=>a=-3,所以不等式/(x)21—/为

x~—3x+2>1—x"=>2x*—3x+120，

解得或X21,所以不等式解集为U[l,+8).

【小问2详解】

,/f(x)<2a(x-i]+4=>x2-0¥+2。-2(0对彳€1-1,1]恒成立，

^-h(x)=x2-ax+2a-2,即〃(x)WO对xe[-1,1]恒成立，

，/、/?(1)<0[l-<z+2tf-2<0

因为函数Mx)开口向上，故只需满足〈，J；、0°八，

p?(-l)<0[}+a+2a-2<0

解得所以a的取值范围为1—8,；

【小问3详解】

3

当。=一3时，f(x)=x2-3x+2,开口向上，对称轴为x=]

当xe[l,4]时，/(》)1nhi=-；，/(x)max=61/.-i</(x)<6,

X€(l,8)时，g(X)6(-8+〃2,-1+〃2),由题意，

对任意％e[1,4],总存在无2e(1,8),使/(石)=8(%)成立，

即函数“X)的值域是函数g(x)的值域的子集，

lr{1

1z、—8+机<—

即—,6q(―8+加,—1+〃?)，.，.<4,

L」-l+m>6

解得7<根<+，所以加的取值范围为(7,弓).

【点睛】方法点睛：求解函数的存在性与恒成立问题一般可用以下的方法：①函数性质法；②分离参数

法；③主参换位法：④数形结合法.

—x.Q<x<a

22.设函数/(x)=<，其中。为常数且ae(O,l).新定义：若修满足

/(/(%))=%.但/(见卜龙0.则称/为“X)的回旋点.

(1)当a=g时，分别求和的值；

(2)当xe(a,l］时，求函数y=/(/(%))的解析式，并求出/(x)回旋点;

(3)证明函数/(X)在xw［0,1］有且仅有两个回旋点,并求出回旋点为,马.

【答案】⑴/吗)=|，

------7(x-a),a<x<a2-a+1

(jA

⑵/(/(x))=<》二牙岛是小)的回旋点⑶见解析,

1

----------(l-x),a9-a+\<x<l

a(l-a)

a1

，%=7—

—a~+a+1—+a+1

【解析】

【分析】