2023年全国统一高考数学试卷（北京卷）（含答案与解析）

2023年北京市高考数学试卷

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.(4分)己知集合”={x|尤+2..0},N={尤|x-l<0}.则N=()

A.(x|-2,,x<1}B.{x|-2<x,,1}C.{x|x..-2}D.(x\x<l}

2.(4分)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(-1,6),则z的共朝复数2=()

A.1+石iB.1-A/3ZC.-1+A/3ZD.-1-拒i

3.(4分)己知向量d,6满足。+6=(2,3),3-*=(-2,1),则|肝-|秆=()

A.-2B.-1C.0D.1

4.(4分)下列函数中在区间(0,+oo)上单调递增的是()

A./(x)=-InxB./(x)=—C./(%)=--D./(%)=3日

2*x

5.(4分)(2彳-工)5的展开式中，x的系数是()

X

A.-40B.40C.-80D.80

6.(4分)已知抛物线。:丁=8元的焦点为b，点M在C上，若加到直线％=—3的距离为5,贝lJ|MF|=()

A.7B.6C.5D.4

7.(4分)在AABC中，(a+c)(sinA-sinC)=/?(sinA-sin3),贝!]NC=()

A.-B.-C.—D.—

6336

8.(4分)若孙/0,则“x+y=0”是“二+1=-2”的()

yx

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

9.(4分)刍曹是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造

型之美.如图，某屋顶可视为五面体ABCDEF,四边形M在:和CDEF是全等的等腰梯形，AADE和ABCF

是全等的等腰三角形.若AB=25根，BC=AD=10m,且等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面

夹角的正切值均为理.为这个模型的轮廓安装灯带(不计损耗)，则所需灯带的长度为()

A.102m

10.(4分)数列｛a/满足4+|=：(%-6)3+6,下列说法正确的是()

A.若q=3,则｛a“｝是递减数列，3M&R,使得"〉机时，an>M

B.若4=5,则｛%｝是递增数歹(J,BM„6,使得〃>加时，an<M

C.若q=7,则｛%｝是递减数列，3M>6,使得〃>机时,an>M

D.若q=9,则｛4｝是递增数列，3M&R,使得”>机时,an<M

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11.(5分)已知函数/(x)=4"+log2X,则/(1)=.

12.(5分)已知双曲线C的焦点为(-2,0)和(2,0),离心率为后，则C的方程为.

13.(5分)已知命题?：若a,△为第一象限角，且C>尸，则tana>tan/.能说明命题p为假命题的一

组齐的值可以是a=>(i—.

14.(5分)我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于祛码的用来测量物体质量的“环

权”.已知9枚环权的质量(单位：铢)从小到大构成项数为9的数列｛%｝,该数列的前3项成等差数列,

后7项成等比数列，且q=l,%=12,a9=192,则%=，数列｛〃”｝的所有项的和为.

x+2,x<-a,

15.(5分)设a>0,函数/⑴二。—硬山凡给出下列四个结论，正确的序号为.

-y/x-l,x>a•

①/(%)在区间3-1,+00)上单调递减；

②当a.l时，/(%)存在最大值；

③设〃(西，/(%))(%,,〃)，N(X2,/(x2))(x2>d),贝!

④设P(%3，/(%3)X%3V—a)，。(X4，/(X4))(%4…一〃)，若IPQI存在最小值，则。的取值范围是(0,—].

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16.(13分)如图，四面体尸—ABC中，PA=AB=BC=\,PC=疗，平面ABC.

(I)求证：BC_L平面E4B；

(II)求二面角A—PC—3的大小.

P

17.(14分)已知函数/(x)=sin0xcose+cos(oxsin°,a)>0,|^91<—.

(I)若/(0)=-等，求夕的值；

(II)若/(x)在［-(，会］上单调递增，且〃g)=l,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一

个作为已知，求。、°的值.

条件①：/(^-)=1;

条件②：/(-1)=-1；

条件③：/(尤)在［-9，-刍上单调递减.

33

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18.(13分)为了研究某种农产品价格变化的规律，收集到了该农产品连续40天的价格变化数据，如表所

示，在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当

天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同.

时段价格变化

第1天到

-++0---++0+0--+—十00+

第20天

第21天

0++0---++0+0+--—+0—+

到第40天

用频率估计概率.

(I)试估计该农产品“上涨”的概率；

(II)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的，在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4

天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；

(III)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格的影响，判断第41天该农产品价格“上涨”、“下跌”

和“不变”的概率估计值哪个最大.(结论不要求证明)

19.(15分)已知椭圆0二+^=1(。>8>0)的离心率为好，A、C分别为E的上、下顶点，B、。分

ab3

别为E的左、右顶点，|AC|=4.

(1)求E的方程；

(2)点尸为第一象限内E上的一个动点，直线PD与直线3c交于点M,直线上4与直线y=-2交于点N.求

证：MN//CD.

20.(15分)设函数/(幻=彳-％3浮%曲线y=/(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=-x+1.

(I)求a,b的值；

(II)设g(x)=f'(x),求g(x)的单调区间；

(III)求的极值点的个数.

21.(15分)数列{.0},{4}的项数均为m2),且a,,bne{1,2,{2}的前〃项和分

别为A”，B”,并规定4=耳=0.对于此{0,1,2,,m],定义〃=〃y{i|4，，4，ie{0,1,2),

m}},其中，表示数集〃中最大的数.

(1)若°1=2,%=1，/=3,4=1,b2=3,&=3,求“，4，r2,g的值；

(II)若0v.瓦,且2%,Ji+%，j=1,2,,m-1,求今；

(III)证明：存在喷史<4m,怎!!"<s〃?，使得A?+及=4^+瓦.

【参考答案与解析】

1.【答案】A

【解析】解：由题意，M={尤|x...-2},N={x\x<l},

]N={%]—2,,x<1}.

故选：A.

2.【答案】D

【解析】解：.•在复平面内，复数Z对应的点的坐标是(-1,括)，

Z=-1+y/3i,

贝|JZ的共轨复数Z=-1-73/1

故选：D.

3.【答案】B

【解析】解：a+b=(2,3),a=(-2,1),

a=(0,2),b=(2,l),

22

.-.|a|-|M=4-5=-l.

故选：B.

4.【答案】C

【解析】解：对A选项，>=/»%在(0,+co)上单调递增，所以/'(x)=-/nr在(0,+oo)上单调递减，A选项错误;

对B选项，y=2”在(0,y)上单调递增，所以/⑶二,在①,依)上单调递减，3选项错误；

2元

对C选项，〉=工在(0,a)上单调递减，所以/。)=-工在(O,—)上单调递增，C选项正确；

XX

对D选项，/(尤)=3一在(0,内)上不是单调的，。选项错误.

故选：C.

5.【答案】D

【解析】解：由二项式定理可知(2%-工)5展开式的第厂+1项

X

XT5r52r

Tr+l=G(2)5(-与=(-1>2-C；x-,(厂=0,1,5)

令5-2r=l,可得r=2.即含x的项为第3项,

,­,T3=80%,故X的系数为80.

故选：D.

6.【答案】D

【解析】解：如图所示，因为点/到直线无=-3的距离|MR|=5,

.•.点M到直线x=-2的距离|MV|=4.

由方程y2=8x可知，彳=一2是抛物线的准线,

又抛物线上点M到准线彳=-2的距离和到焦点F的距离相等,

故|MF|=|AW|=4.

故选：D.

7.【答案】B

【解析】解：由正弦定理，=上=二=27?(我为三角形外接圆半径)可得:

sinAsinBsinC

sinA=，sin5=，sinC=，

2R2R2R

所以(a+c)(sinA-sinC)=&(sinA-sin3)可化为(a+c)(a-c)=b(a-b)，

即a2+b2-c2=ab,

/+Z?2-C2ab1

，cosC=

lab2ab~2

TT

又Cc。l),:,C=~.

3

故选：B.

8.【答案】C

【解析】解：由孙w。，x+y=0,

二.y=rw0,

-—2,

反之，若孙W0,—+—=-2,

y%

令土=t,则

y尤

于是f+1=-2,

化为〃+2r+1=0,解得t=~l,

y

.•.个=0，则"x+y=O”是"±+)=一2”的充要条件.

y尤

故选：C.

9.【答案】C

【解析】解：根据题意及对称性可知底面四边形MCD为矩形,

设E,尸在底面矩形的射影点分别为"，N,

设AD与3c的中点分别为P,Q,则M,N在线段尸。上，如图,

过V,

则根据题意及三垂线定理易得tan/EPM=tanNEGM=tanNFHN=tanZFQN=^,

又MG=NH=5,EM=FN=y/l4,:.PM=QN=5,EP=FQ=714+25=739,

：.MN=PQ-PM-QN=AB-PM-QN=25-5-5=15,:.EF=MN=15,

又易知3C_LQN,FN_L底面矩形ABCD,

,根据三垂线定理可知又8。=5,FQ=y/39,

FB=A/39+25=8,:.ED=EA=FC=FB=8,

,该多面体的所有棱长和为8x4+(25+10)x2+15=117.

故所需灯带的长度为117m.

故选：c.

10.【答案】B

【解析】解：法⑴对原式进行变形，得%(%一6)2-1](%-6),

当4=3,则％-4v0,%<3,

设殁<3(此Z次..2),则%+「％v-3,所以｛%｝是递减数列,

当〃->+8,%——8,A错误，同理可证明£)错误，

当囚=5,则4—q>0，即%>5,又因为:(％—6)3<0,所以5<出<6，

假设5<%<6(左cZ,左..2),贝!]火+1—%>0,即』+i>5,又因为：(%—6了<0,所以5<殁+1<6,

所以当>十°°,6,B正确，

对于C,当％=7,可得〃2=工+6,〃=±~+6,可得｛〃〃｝是递减数列，lim4=6,

4甲n->oo

故不存在Af>6,使得〃〉机时，恒成立，。错误.

法—6)3+6,可得。用_6=；(。〃—6?,neN+,

333332

所以出一6=；(4-6),a3_6=；(出-6)=；[：(4-6)]=；x*x(q-6),

a4~6=~X^'X^'X(ai-6)33,

归纳猜想：%―6=41+3+：..3"-2X_6)31T•(〃1一6)3,

333

当4=3时，an-6=-(-3)=-2x(―),即%=3r.(-3)3=-2x(―)+6,所以｛〃〃｝是递减数列，

2222

无边界；

33

%=5时，an-6=^-(-1)'=-2x(1)",即%=_2x(»i+6=2[3—(g)3],由复合函数的单调性，可

得｛?｝是递增，有边界，所以3正确；

%=7时，an-6=^-r'=2x(1F',所以｛%｝是递减数列，有边界；所以C不正确；

%=9时，an-6=-^-3^=2x(|r',所｛以凡｝是递增数列，无边界；所以。不正确；

故选：B.

n.【答案】1

【解析】解：,函数f(x)=4"+log2尤,

2

•■•/(1)=4+/og21=2-l=l,

故答案为：1.

2

12.【答案】土尤2-乙V=1

22

22

【解析】解：根据题意可设所求方程为二-与=1,(a>0*>0),

ab

c=2

又<上=叵，解得〃=C=2,b2=2,

a

b2=c2-a2

22

所求方程为x士-v乙=1.

22

13.【答案】—(答案不唯一)；工(答案不唯一).

44

【解析】解：取。=%+2万，/7=—,

44

则a>/,但tana=tan/?,不满足tana>tan/7,

.•・命题"为假命题，

.••能说明命题p为假命题的一组a,£的值可以是a=也，(3=-

44

14.【答案】48；384；

【解析】解:数列｛4｝的后7项成等比数列，巴>0,

%=[a5a9=J12x192=48,

..Clo———J9

3%48

/.公比4=

「.%=3x2=6,

又该数列的前3项成等差数列，

数列｛a｝的所有项的和为她普+6x：J)=3x(；+3)+

n378384.

15.【答案】②③；

【解析】解：a>0,当工<一〃时，/(x)=x+2,图像为一次函数；

当-那先a时，/(x)=G-x2,图像为以(0,0)为圆心，。为半径的圆的上半弧;

当时，f{x}=-4x-1,图像为单调递减的曲线；

其函数图象大致如下：

选项①，取。=2,/(X)在区间(-1,+oo)上先单调递增，后单调递减，选项①错误；

选项②，当a.l时，

x<-a,f(x)=x+2<2-a<2-l=l；

一流作a,/(x)=y/a2-x2,最大值为a..1；

x〉a,f(x)——y[x—1<-y[u.-1<-2;

所以/(%)存在最大值。，选项②正确；

选项③，由图可知，当点M位于点5,点N无限接近于点。时，MN的长度最短，

当N无限接近于点。时，xD无限接近于x=a,

所以|阿|〉'〃-+选项③正确；

选项④，如上图，若|PQ|存在最小值，则P、。应该是直线y=—x分别于f(x)=x+2,/(x)=的

交点，

直线y=r与/(x)=Ja2-3一定存在交点,而直线y=-x与/(x)=x+2不一定存在交点，

当直线y=-x与/(x)=x+2没有交点时，-@-1,即a..l,此时由于P点取不到，|PQ|不存在最小值，

所以选项④错误.

16•【答案】

证明：（I）fi4_L平面ABC,4Cu平面ABC,BCu平面ABC,

:.PALAC,PA±BC,

PA=1,PC=6,

AC=y/PC2-PA1=A/3^1=收，

又AB=BC=\,AC2=AB2+BC2,

:.BCYAB,又PA^\AB=A,

.•.3C_L平面R4B；

解：（II）以点B为坐标原点，分别以区4,8c所在直线为x轴，y轴的正方向，建立空间直角坐标系，如

图所示：

则A(0,1,0),2(0,0,0),C(l,0,0),尸(0,1,1),

AP=(0,0,1),AC=(1,-1,0),BP=(0,1,1),BC=(1,0,0),

设平面APC的一个法向量为〃=(x,y,z),

r.AP•H=Z=0口

则｛,取尤=1,得〃=(1,1,0),

AC-n=x-y=0

设平面5PC的一个法向量为加=（a,b,c）,

r」BP•m=b+c=0口,日

则<,取〃=1,得加=（0,1,-1）,

BC•m=a=0

m-n11

..cosvin9">=­,

\m\\n\V2xA/22

由图可知二面角A—PC—/为锐角，设二面角A—PC—3的大小为6,

E1

贝Ucos。=|cos<m,n>\=—，

2

e=-,

3

即二面角A-PC—3的大小为2.

3

【解析】（I）由R4_L平面ABC可得R4_L4C,PA±BC,由勾股定理可得3C_LAB,再利用线面垂直的

判定定理即可证得BC，平面；

（II）以点3为坐标原点，分别以54,8C所在直线为x轴，y轴的正方向，建立空间直角坐标系，求出

相应向量的坐标，进而求出平面APC和平面3PC的法向量，再利用二面角的向量公式计算即可.

17.【答案】

解：（I）因为函数/（兀）=51口38$0+（：003包110=5111（。%+0）,

所以/（0）=sin0=一日，

又因为|勿<］，所以夕=—g.

（II）若选①：吗）=1；

因为/咛）=1,

所以/（x）在X=和X咛时取得最大值1,这与/⑴在［-亭争上单调递增矛盾，所以。、°的值不

存在.

若选②：=

因为/（x）在g］上单调递增，且"g）=l,

所以/（元）在％=--时取得最小值-1,》=二时取得最大值1,

33

所以/（X）的最小正周期为T=2x（g+g）=2;r,计算。=半=1,

又因为/（-^）=sin（-^+9）=l，所以,+9=2左万+微，keZ,

■jr

解得0=24万一一，k&Z；

6

又因为|如＜二，所以夕=一工；

26

若选③：/⑺在［-1，上单调递减，因为/（无）在g］上单调递增，且/（g）=l,

所以/（x）在尤=--时取得最小值-1,》=女时取得最大值1,

33

所以/⑴的最小正周期为T=2x（g+g）=2»,所以①=半=1,

又因为/（称）=5111（与+夕）=1,所以夸+9=2左左+］,keZ,

jr

解得（p=2k兀，左£Z；

6

又因为|勿＜工，所以0=-二.

26

【解析】（I）化简函数/。…皿⑵+如由〃。）=-手求出。的值.

（II）若选①：由"X）在x=（和x=g时取得最大值1,这与己知矛盾，判断。、0不存在.

若选②：由题意求出“X）的最小正周期，即可求出。的值，再根据/（g）=1求出0的值；

若选③：由题意知/（X）在尤=-?时取得最小值，x=g时取得最大值，由此求出了（X）的最小正周期，再求

G和0的值.

18.【答案】

解：（I）由表可知，40天中“上涨”的有16天，则该农产品“上涨”的概率为更=0.4.

40

14

（II）由表可知，40天中“下跌”的有14天，则该农产品“下跌”的概率为匕=0.35,

40

40天中“不变”的有10天，则该农产品“不变”的概率为竺=0.25,

40

则该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率C；XO-42XC^X0.35xC：x0.25=0.168.

（Ill）由于第40天处于“上涨”状态，从前39天中15次“上涨”进行分析，

“上涨”后下一次仍“上涨”的有4次，概率为士，

15

“上涨”后下一次“不变”的有9次，概率为3,

5

“上涨”后下一次“下降”的有2次，概率为工，

15

故第41天该农产品价格“不变”的概率估值最大.

【解析】(I)根据古典概型概率公式计算即可；

(II)根据相互独立事件的乘法公式求解即可；

(III)分别求得“上涨”、“下跌”和“不变”的概率，比较大小即可得出结论.

19.【答案】解：(1)由题意可得：2b=4,e=^-=~,a2=b2+c2,

3a

解得Z?=2,4=9,

22

.•.椭圆E的方程为上+上=1.

94

(2)证明：A(0,2),B(-3,0),C(0,-2),£)(3,0),

直线3c的方程为二+上=1,化为2x+3y+6=0.

-3-2

设直线AP的方程为：y=kx+2,a<0),-2).

k

y=kx+2

联立2,化为：(4+9左2)Y+36依=0,

—+—=1

36k

解得x=0或―

4+9公

36k8-18左2

P(—).

4+然24+%2

18/-8

4+9公18r-8

直线PD方程为：y=(x-3),即y=(x-3),

3+i27/+36%+12

4+9左2

-6^-48-18左2

与2x+3y+6=O联立，解得尤=y—9•

31c+2k-9k2+6k

-6左一4.8-1…842

3k2+2k'9k2+6k'

8—18右

+22

9k2+6k

46左+43

无一3F+2k

2

3

;.MN//CD.

【解析】(1)由题意可得：26=4,e=@=£,a2=b2+c2,解得6,a"即可得出椭圆E的方程.

3a

(2)利用截距式可得直线的方程，设直线"的方程为：y=丘+2,(k<0),可得N坐标，联立

y=kx+2

2，解得P坐标，利用直线PD方程与3c方程可得M坐标“，利用斜率计算公式可得G，%,，

—+—=1

[94

进而证明结论.

20.【答案】

解：（I）因为函数/（无）=无一无3*+〃，

所以广(龙)=1-(3尤2*+"+ax3eax+b)=1-(3+ax)x2eax+b,

因为/（元）在点（1,f（1））处的切线方程为、=-彳+1,

MM即1-ea+b=0

所以

]_(3+a)e»=T，

解得a=—1,b=l.

（II）由（I）知，f（x）^x-x3e-x+1,所以广（无）=1一（3元2-）/用,

所以g(元)=/(尤)=1-(3X2-X3尸,

所以g'(x)=—(6x—3x2)e-l+1+(3x2—x3)e~x+1=-x(x2—6x+6)e~x+1,

令g，(x)=O,解得x=0或x=3±g,

所以g，（x）与g（x）的关系列表如下:

X(-00,0)0(0,3-73)3—A/3(3-73,3+A/3)3+73(3+y/3,+oo)

g'(x)+0—0+0-

g（尤）单调递增单调递减单调递增单调递减

所以g（x）在区间（-oo,0）和（3-G，3+6）上单调递增，在区间（0,3-百）和（3+/，+oo）上单调递减;

（IID由（II）知，当尤e（-ao,0）时，/'（X）单调递增,

当了<—1时，/,(x)</,(-l)=l-4e2<0,r(0)=1>0,

所以存在国e（-8,0）,使得广（士）=0,

又因为/（无）在（-00,占）上单调递减，在区，0）上单调递增,

所以尤I是/（%）的一个极小值点;

当xe（0,3-若）时，/（x）单调递减，且广（3-石）</'（1）=1-2<0,

所以存在马©（。，3-右），使得了'（飞）=0,所以/（无）在（0,%）上单调递增，在（3，3-逝）上单调递减，

所以3是/（%）的一个极大值点；

当尤e（3-退，3）时，/⑴单调递增，

又因为广（3）=1>0,所以存在退©（3-百，3）,使得广（三）=0，

所以/（元）在（3-百，三）上单调递减，（W，3）上单调递增，

所以当是/（%）的一个极小值点，

又因为当x>3时，r（x）>0,所以/（x）在（3,+oo）上单调递增，无极值点；

综上，/（%）在定义域R上有3个极值点.

【解析】（I）求函数“X）的导数，根据导数的几何意义列方程组求出a、b的值.

（II）求/（x）的导数，利用g（x）=/（x）,求g（x）的导数,令g，（x）=0,根据70）与g（尤）的关系求出g（x）

的单调区间；

（III）根据题意，判断了'（X）的单调递增，利用根的存在性定理，判断广（X）的零点个数，即可得出了（X）极

值点的个数.

21.【答案】

解：（I）列表如下，对比可知“=0，4=1，马=1,4=2.

i0123

%213

A-0236

bi133

B.0147

rk0112

（II）由题意知且5eN,

因为bn.A,an,bne{1,2,,m),

所以4..1,Bn.A,当且仅当九=1时，等号成立，

所以4=0,{=1,

又因为2。,,%+G+1，