广东省2021年春季高考数学模拟试卷三（含解析）

2021年广东春季高考数学模拟试卷(3)

注：本卷共22小题，满分150分。

一、单选题(本大题共15小题，每小题6分，满分90分)

1.已知集合力={*|(戸2)(A+3)扌0},5={x|x<0},则IC8=()

A.[-3>-2]B.(-00,-3]U[-2,+°°)

C.(--3]D.(-oo,-3]U[-2,0)

【答案】D

【解析】

【分析】

首先求出集合4,再根据交集的定义计算可得；

【详解】

解：因为“={x[(x+2)(x+3)N0}={x|x2-2或xW-3},5={x|x<0}

所以4「6=(-00,—3]U[—2,0)

故选：D

【点睛】

本题考查交集的求法，一元二次不等式的解法，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用，属

于基础题.

2.下列函数中，定义域为R且在R单调递增的函数是()

A.y-e~xB.y=x3C.,=/D.y-|x|

【答案】B

【解析】

【分析】

利用指数函数的基本性质可判断A选项；利用募函数的基本性质可判断B、C选项；利用绝对值函数

的基本性质可判断D选项.

【详解】

对于A选项，函数y=e-x=(丄］的定义域为R,且该函数在7?上单调递减；

对于B选项，函数卜=丁的定义域为R,且该函数在R上单调递增；

对于C选项，函数y=£=五的定义域为［0，+°0)；

对于D选项，函数》=国的定义域为R,且歹=国=«x,x-：。，该函数在R上不单调.

故选：B.

【点睛】

本题考查利用函数解析式求解函数的定义域以及判断函数的单调性，属于基础题.

3.设函数/(x)为奇函数，当x>0时，/(x)=/-2,则()

A.1B.2C.1D.2

【答案】C

【解析】

【分析】

根据奇函数的性质以及函数/(x)的解析式，依次求得/(1),的值.

【详解】

函数”X)为奇函数，/(I)=I2-2=-1,/(/(I))=/(-I)=-/(I)=-(-1)=1.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查奇函数的性质，属于基础题.

4.函数y=bg2|》丨的图像大致是（）

【答案】A

【解析】

【分析】

根据函数的对称性与单调性即可得到结果.

【详解】

函数V=log2k|是偶函数，且在（0,+8）上为增函数，结合各选项可知A正确.

故选A

【点睛】

本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性的关系以及特殊值进行排除是解决

本题的关键.

5.已知4=0.32,/,=iOg203,c=2%则4,仇c的大小关系是（）

A.a<c<bB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a

【答案】C

【解析】

【分析】

根据指数函数，塞函数，和对数的单调性，即可得出结论.

【详解】

2

0<a=0.3<\,b=log20.3<log21=0,

c=2°，>2°=1,;.b<a<c.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查指数、对数、基的运算及性质等基础知识，注意与特殊数的对比，如“0”“1”等等,

属于基础题.

6.sin72。cos18°+cos72。sin18。的值等于()

A.1B.0C.-1D.-

3

【答案】A

【解析】

【分析】

逆用两角和的正弦公式化为90'的正弦值可得答案.

【详解】

sin72°cos18°+cos72°sin18°=sin(72°+18°)=sin90°=1.

故选：A

【点睛】

本题考查了两角和的正弦公式，属于基础题.

7.已知厶/台。中，a=4,b=4也,4=30°，则8等于().

A.60'或120°B.30°C.60'D.30"或150°

【答案】A

【解析】

【分析】

AsinA

应用正弦定理，得到sin8=---------,再由边角关系，即可判断8的值.

a

【详解】

解：,­•a=4,b=4G，Z=30°，

,/a<b,A<B,

:.B=60°或120°.

故选:A.

【点睛】

本题考查正弦定理及应用，考查三角形的边角关系，属于基础题，也是易错题.

8.已知角a的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点则cos2a=()

11

A.連B.-C.——D.一連

3333

【答案】B

【解析】

【分析】

先由角a的终边过点1),求出cosa,再由二倍角公式，即可得出结果.

【详解】

因为角a的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点戶(-加,1),

a-|>IR

所以cosa=]=-------,

y/2+l3

因此cos2a=2cos2a—1=丄.

故选B

【点睛】

本题主要考查三角函数的定义，以及二倍角公式，熟记三角函数的定义与二倍角公式即可，属于常

考题型.

9.要得到函数V=sin（2x-qJ的图象，需将函数卜=5m2苫的图象（）

777T

A.向左平移一上单位B.向右平移二个单位

1010

TTTT

C.向左平移一个单位D.向右平移一个单位

55

【答案】B

【解析】

【分析】

化简歹=5W28一?卜诂2（%一7念1，即得解.

10

【详解】

由题得y=sin[2x-g=sin2(%--),

10

要得到函数N=sin的图象，需将函数歹=5皿2》的图象向右平移£7个1单位.

10

故选：B

【点睛】

本题主要考查三角函数的图象变换，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.

10.在厶/台。中，角4，B,C所对各边分别为a,b,c,且巒=/+。2一15历，则工=（）

A.135°B.120°C.60°D.45°

【答案】D

【解析】

【分析】

根据余弦定理，由题中条件，即可得出结果.

【详解】

因为=/+。2-gbC，

由余弦定理可得，cosN=>+ci-=叵£=立

2bc2bc2

所以4=45。.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查余弦定理解三角形，属于基础题型.

11.已知向量值=(1,一2),5=(-2,3),则£力=()

A.8B.4C.7D.1

【答案】A

【解析】

【分析】

由向量数量积的坐标运算即可求解.

【详解】

故选：A

【点睛】

本题考查向量的坐标运算，属于基础题.

12.已知向量仮满足,卜3同，a-b=6'向量Z，仮夹角为g，则,卜()

A.2B.3C.4D.6

【答案】D

【解析】

0【分析】

由向量数量积的定义建立方程即可.

【详解】

因为==x；=6,所以忖=6.

故选:D

【点睛】

此题为基础题，考查向量数量积的定义.

13.已知等差数列｛4,｝的前八项和为邑，且％=3,公差d=2,则$5=()

A.30B.35C.40D.45

【答案】B

【解析】

【分析】

利用等差数列前〃项和公式计算即可得到答案.

【详解】

5x4

因为％=3,d=2,所以$5=56+-^-1=35.

故选：B

【点睛】

本题主要考查等差数列前〃项和计算，属于简单题.

14.若则。+」一的最小值是()

ci一1

A.2B.aC.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】

利用基本不等式化简求解即可.

【详解】

因为。>1,所以a—1>0,则。+丄=。-1+丄+122,(。一1)•丄+1=3，

a-1a-\V丿a-1

当且仅当a—1=丄，即a=2时取等号.

a-1

故选：C.

【点睛】

本题考查基本不等式的应用，函数的最值的求法，属于基础题.

15.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()

12

A.-B.-C.1D.2

33

【答案】C

【解析】

试题分析：由三视图可知：原几何体为三棱柱.所以体积为：语=工煤〕次碟-丹=•

考点：三视图；空间几何体的体积公式.

点评：由三视图正确还原几何体是做本题的的关键.

二、填空题

16.已知公差不为零的等差数列{a,J的前〃项和为S“，且4=6,若％,4，%成等比数列，则的

值为.

【答案】88

【解析】

2

由题意得a；=a}a7(6+d)?=(6-d)(6+5d):.6d=12dd羊。：.d=2

所以q=6—2=4,Sg=8x4+；x8x7x2=88

17.过原点且与直线x-歹+1=0垂直的直线的方程为

【答案】x+y=O

【解析】

分析：根据两条直线垂直，可求出斜率；又因为过原点，因此可求出直线方程.

详解：因为两条直线互相垂直，则两条直线斜率之积为1

所以该直线斜率为1,因为过原点(0,0)

所以直线方程为y=-x

即x+y=0

点睛：本题考查了两条直线垂直时斜率间的关系，利用点斜式求直线方程方法，属于简单题.

18.若暴函数了=/*)的图像经过点(丄,2),则/(-丄)的值为________.

88

【答案】-2

【解析】

【分析】

11

根据已知求出募函数的解析式/6)=一，再求出-爾的值得解.

【详解】

设基函数的解析式为/（、）=/,

I1

由题得2=(-)0=2-3。,—3a=1,a=--,:.f{x}=x3.

故答案为：-2.

【点睛】

本题主要考查基函数的解析式的求法和函数值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

y<x

19.若实数x、V满足约束条件+则z=2x+y的最大值为.

丿N-1

【答案】3

【解析】

【分析】

作出不等式组所表示的可行域，平移直线z=2x+y,找出使得该直线在歹轴上截距最大时对应的

最优解，代入目标函数计算即可得解.

【详解】

y<x

作出不等式组（x+y<l所表示的可行域如下图所示：

>-1

x+y-\（x=2,、

联立〈，，解得《，，可得点2（2,-1）,

y=-i[y=-l

平移直线z=2x+y,当直线z=2x+y经过可行域的顶点/时，该直线在V轴上的截距最大，此

时z取最大值，即Zmax=2X2-1=3.

故答案为：3.

【点睛】

本题考查线性目标函数的最值，一般利用平移直线找出最优解，考查数形结合思想的应用，属于基

础题.

三、解答题

20.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A、B、C三

地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A、B两地相距100米，N8/CW0。，

2

在A地听到弹射声音的时间比在B地晩一秒.A地测得该仪器弹至最高点H时的仰角为30°.

17

(1)求A、C两地的距离；

(2)求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒)

【答案】(1)420；(2)140.73

【解析】

【分析】

(1)利用在A地听到弹射声音的时间比B地晚k秒，求出BC,利用余弦定理，即可求得结论；

(2)在A4CH中，AC=420,/CAH=30°,利用正弦函数，可得结论.

【详解】

(1)由题意，设4C=x,

2

则BC=x~—x340=x-40.

17

在A48c中，由余弦定理，得

BP(X-40)2=10000+X2-100X,

解得x=420.

:.A、C两地间的距离为420m.

(2)在即A/C“中，AC=420,NCAH=30°,

答：该仪器的垂直弹射高度CH为140米.

【点睛】

本题考查余弦定理的运用，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，考查学生分析解决问题的

能力，属于中档题.

21.

如图，在四棱锥尸—N8CD中，四边形Z8CZ）是菱形，PA=PC,E为P8的中点.

（1）求证：PDH面AEC；

（2）求证:平面AEC丄平面PDB.

【答案】（1）要证明线面平行，则可以根据线面平行的判定定理来证明.

（2）对于面面垂直的证明，要根据已知中的菱形的对角线垂直，以及NC丄面来加以证明.

【解析】

【分析】

【详解】

试题分析：（1）由题意得只需在平面AEC内找一条直线与直线PD平行即可.设/Cn8D=。，连

接E0,由三角形中位线可得EO即得；（2）连接P0,由题意得P01AC,又底面为菱形，则AC丄BD,

由面面垂直的判定定理即得.

试题解析：（1）证明：设/。口8。=。，连接E0,因为0,E分别是BD,PB的中点，所以

而产。。面4EC,EOu面ZEC,所以「。〃面4EC

（2）连接P0,因为P4=PC，所以NC丄尸。，又四边形48CD是菱形，所以ZC丄8。

而POu面尸8。，BDu面PBD,POC\BD=O,所以/C丄面尸8。

又ZCu面/EC,所以面/EC丄面尸8。

考点：1.线面平行的判定定理；2.面面垂直的判定定理；

22.已知