2023-2024学年陕西省高二年级下册期中数学（理）模拟试题（含答案）

2023-2024学年陕西省高二下册期中数学(理)模拟试题

一、单选题

1.根据偶函数定义可推得“函数/(X)=X2在R上是偶函数”的推理过程是

A.归纳推理B.类比推理C.演绎推理D.非以上答案

【正确答案】C

【详解】分析：解决本题的关键是了解演绎推理的含义，演绎推理又称三段论推理，是由两

个前提和一个结论组成，大前提是一般原理(规律)，即抽象得出一般性、统一性的成果；

小前提是指个别对象，这是从一般到个别的推理，从这个推理，然后得出结论.

解答：解：根据偶函数定义可推得“函数f(X)=χ2是偶函数''的推理过程是：

大前提：对于函数y=f(x),若对定义域内的任意X,都有f(-x)=f(X),则函数f(x)是

偶函数；

小前提：函数f(X)=χ2满足对定义域R内的任意X,都有f(-x)=f(x)；

结论：函数f(X)=χ2是偶函数.

它是由两个前提和一个结论组成，是三段论式的推理,

故根据偶函数定义可推得“函数f(X)=χ2是偶函数''的推理过程是演绎推理.

故选C.

2.若/(X)与，则尸(X)=()

XX

\21112

A.—ʒ----7B.-7~∣----TC⅛'⅛D.

X2X3√2√

【正确答案】D

【分析】根据基本初等函数的导数运算法则，准确计算，即可求解.

2

【详解】由函数/(X)='-■∖-=χ~'-χ'f

Xx~

1ɔ

根据导数的运算法则，可得∕,(x)=_(_2)./=-W+/.

故选：D.

A.2B.-2C.2/D.-2i

【正确答案】A

【详解】解：因为z=l-i,所以工=空2=2,故选A

z-1-i

4.设函数F(X)=d+(α-l)∙+⑪.若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切

线方程为()

A.y=-2xB.y=τC.y=2xD.y=χ

【正确答案】D

【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得α=l,进而得到F(X)的解析式，再对/(x)求

导得出切线的斜率3进而求得切线方程.

详解：因为函数/(x)是奇函数，所以a-1=0,解得α=l,

所以/(x)=χ3+x,/'(X)=3X2+1,

所以r(O)=IJ(。)=0,

所以曲线y=/(X)在点(0,0)处的切线方程为ʃ-/(O)=∕'(0)x,

化简可得y=χ,故选D.

点睛：该题考查的是有关曲线y=f(χ)在某个点c⅞,∕(χ°))处的切线方程的问题，在求解的

过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，

偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得f'(χ),借助于导数

的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.

5.下列等式成立的是()

A.∫'jx∣dx=2∫θ∣Λ∣(irB,ʃxdx=ɪ

rbfbfb

C.[Odx=b-aD.[(x+l)dr=[xdx

【正确答案】A

【分析】根据微积分基本定理一-计算可得.

［详解］对于A：,Jx∣dr=jjx∣dx+,jx∣dr=J；AdX+f［(τ)dx

JXleU=2∫θxdx=2=2×-=l,

2

所以，MIdΛ=2∫jx∣dx,故A正确;

对于B：∫∖τk=^x2J∣>∣⅛2-∣a2,故B错误；

对于C：∫"θdΛ=O,故C错误；

对于D：f(x+l>ir=fΛdx+[∖dx,其中/∖dx=x^=b-a,

JaJaJaJal

所以j”(x+l)drNJ'XdX,故D错误；

故选：A

6.给出下面四个类比结论

①实数”，b,若ab=0,则α=0或6=0；类比向量”，b.若α∙8=0,则α=0或6=0

②实数a，b,有(α+6)2=/+206+82；类比向量〃，b，有(a+万尸=/+2α∙i>+62

③向量α,有，=人类比复数z,有∣zf=z2

2222

④实数”，b^a+b=0,则α=6=0;类比复数z∣,Z2<Z1+Z2=O,Z1=Z2=O,其中

类比结论正确的命题个数为

A.0B.ɪC.2D.3

【正确答案】B

【详解】①错误，因为若向量α为互相垂直，则/。=0;

③错误，因为IZl是复数的模是一个实数，而Z是个复数，

比如若z=l+i,则，=(√12+12)~=2,z2=(l+i)2=l2+i2+2i=2i;

④错误，若假设复数4=1,z2=i,则/+z；=。，但是z∣≠0,z2≠0.

②正确(d+b)2=同2+2IaWCoS〈小。〉+忖2

=a2+2a∙b+b2•

故选B.

7.用数学归纳法证明a+*++-L>11时，由k到k+l,不等式左边的变化是(

)

In34

ʌ-增加公D项

1和"两项

B.增加

2k+12k+2

I

C.增加和两项同时减少项

2k+12k+2

D.以上结论都不对

【正确答案】C

【详解】〃=%时，左边=■；—^+^;——+...+■；—~,〃=&+1时，左边

k+1k+2k+k

1I1

=Mk而k%ι)+gι),由变成"』+「’时，两式相减可得

点睛：本题主要考查了数学归纳法的应用，属于基础题；用数学归纳法证明恒等式的步骤及

注意事项：①明确初始值no并验证真假.(必不可少)②"假设n=k时命题正确”并写出命题

形式.③分析''n=k+l时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别.弄清左端应增加

的项.④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆

项、配方等，并用上假设.

8.定义运算：x®y=\X'X≥y,例如3®4=4,则下列等式不能成立的是().

[y,χ<y

A.x®y=y®xB.(x®y)®z=x®(y®z)

C.(xΘ>,)2=x20y2D.c∙(x0γ)=(c∙x)0(c∙y)(其中c>0)

【正确答案】C

【分析】根据定义逐项分析即得.

【详解】因为XQ=卜、"，它表示的是XQ的结果为X和y中的较大数，

对A,X③y和yg尤都是X和y中的较大数，故χ<S>y=y③X,正确；

对B,(χ<2>y)位z=x<2)(y<g>z)是X,y,Z中的较大数，正确；

对C,(x®y)2表示X和>中的较大数的平方，而表示/和y?中的较大数，例如

x=-4,y=l时，(x®y)2=1,χ2g>y2=]6等式就不成立，故错误；

对D,c(x®y)和(c∙x)<≡>(c∙y)都表示C与X和y中的较大数的乘积，故正确.

故选：C.

9.曲线y=e^+l在点(0,2)处的切线与直线y=0和V=x围成的三角形的面积为

2

C.D.1

3

【正确答案】A

【详解】y'=-2ez=y∣I)=_2,所以在点(0,2)处的切线方程为y=-2x+2,它与V=X的

交点为(|，|),与y=o的交点为(1,0),所以三角形面积为:XlXI=g

故选：A

10.设A=I+春+丸++J∑Γ则下列结论正确的是()

A.A>lB.A<lC.A≥lD.A≤l

【正确答案】B

【分析】利用放缩法可得出结论.

1II11111_101_

【详解】A^^+2^+1+2^+2++τr≡l<萍+//+Br2X尹二

故选：B.

11.设函数函X)=Xe*,则

A.x=l为/O)的极大值点B.x=l为/(x)的极小值点

C.尸-1为/(X)的极大值点D.4-1为/(x)的极小值点

【正确答案】D

【详解】试题分析：因为/(x)=W,所以r(x)=e"正'=e'(x+l),令f(x)=0得,x=-l.

又⅛f(x)>0得:x>Y⅛f(x)vO得：x<-l,所以∕∙(x)在(-8,-1),,在(-l,+∞)所以尸-1为

∕ω的极小值点.

利用导数研究函数的极值；导数的运算法则.

点评：极值点的导数为0,但导数为0的点不一定是极值点.

12.已知定义在R上的可导函数y="X)的导函数为∕,(χ),满足/(χ)<∕,(χ),且/(O)=2,

则不等式上区>2的解集为()

e

A.(-o9,0)B.(0,+<x?)C.(-∞,2)D.(2,+∞)

【正确答案】B

【分析】令g(x)=勺ɪ,利用导数说明函数的单调性，则不等式与>2,即g(x)>g⑼,

根据单调性解得即可∙

【详解】令g(X)=乌，则g<x)=r(x)e；〃x)e'=∖(x)j"x)>O,

∙∙∙g(x)在R上单调递增，

∙.∙∕(0)=2..∙g(0)=2≡=2

e

则不等式迫>2,即为g(x)>2,即为g(x)>g(0),.∙.x>O,

ex

所以不等式工⑷>2的解集为(。,+8).

ex

故选：B

二、填空题

13」：(2W=-----------------

【正确答案】5

【分析】找出被积函数的原函数，利用微积分基本定理可求出所求定积分的值.

【详解】解：j(2x+g)公=(X2+gx)j=5,

故5

14.已知函数/。)=。1门+%在区间［2,3］上单调递增，则实数。的取值范围是.

【正确答案】［-2,+oo)

【分析】直接求导，分离参数得“≥(-x)maχ=-2.

【详解】f(x)=a∖nx+x,f'(x)=-+i

X

又∙.∙〃x)在［2,3］上单调递增，.∙.£+12O在Xe［2,3］上恒成立，

.*.a≥Omax=-2,.∙.a∈［-2,+∞).

故答案为.［-2,+8)

15.在中学数学中，从特殊到一般，从具体到抽象是常见的一种思维形式.如从指数函数中

可抽象出/(飞+工2)=/(%>/(々)的性质；从对数函数中可抽象出/(与〃2)=/(4)+/(9)

的性质.那么从函数(写出一个具体函数即可)可抽象出∕α+W)=/(苔)+7(N)的

性质.

【正确答案】/(x)=2x(答案不唯一)

【分析】本题属于开放性问题，只需找到符合题意的解析式即可，不妨令/(x)=2x,即可

判断.

【详解】令/(x)=2x,则/(x∣+9)=2(与+々)，F(XI)=2x∣,/(X2)=2X2,

所以/(玉+工2)=/(%)+/(々)，符合题意.

故"x)=2X(答案不唯一)

16.若点P是曲线y=-/上任意一点，则点P到直线y=x+2的最小距离是.

【正确答案】逑

8

【分析】作直线V=x+2的平行线，使得与曲线y=-*相切，设切点为P(Xo,%),根据导数

的几何意义求得切点为尸(-；，-：)，结合点到直线的距离公式，即可求解.

【详解】作直线y=x+2的平行线，使得与曲线y=-Y相切，设切点为P(X0,%),

因为函数y=-V,可得y'=-2x,

所以曲线在点P(Xo,%)处的导数为∕U=-2⅞，即切线的斜率为k=-2χ0

令-2%=1,解得/=一；，则为=-；，即切点为尸(-《-＞，

11C

-----1—H2/-

又由点到直线的距离公式，可得切线尸到直线的距离为24_7√2,

小布下一丁

即尸到直线y=χ+2的最小距离为逑.

8

故答案为.逑

8

三、解答题

17.已知复数Z=O2-8,"+15)+("F-9,"+18)i在复平面内表示的点为A,实数，”取什么值

时，

(1)Z为实数？Z为纯虚数？

(2)A位于第三象限？

【正确答案】(1)当，〃=3或"?=6时，Z为实数；当机=5时，Z为纯虚数；(2)3<m<5

【分析】(1)当复数的虚部等于O时，复数Z为实数；当复数的实部等于0,且虚部不等于

0时，复数Z为纯虚数；

(2)当复数的实部和虚部都小于0时，复数对应点在第三象限，解不等式组求出实数朋的

取值范围即可.

(详解】复数Z=(m2-8zn+15)+(m2-9m+lS)i

(1)当，“2-9机+18=0,解得机=3或机=6,故当加=3或帆=6时，Z为实数.

当θ,解得〃?=5,故当机=5时，Z为纯虚数；

m^-9∕∏+I8≠O

∕M2-8W+15<0,3<ιn<5

(2)当■,即RN即3〈机<5时，对应点在第三象限.

∕√-9w+18<03<m<6

本题主要考查复数的基本概念，复数代数表示法及其几何意义，属于基础题.

18.已知两曲线f(χ)=d+αχ和g(x)=Y+bx+c都经过点P(l,2),且在点P处有公切线，试

求〃、匕、c∙的值.

【正确答案】α=l,b=2,C=-I

【分析】根据点P(l,2)在曲线/(x)=x3+依上，求出“，再求出两函数的导函数，根据函

数在点P处有公切线求出6,再根据点P(l,2)在曲线g(x)上求出c.

【详解】：点尸(1,2)在曲线/。)=1+如上，

/.2=1+α,.∙.α=1,

函数〃X)=F+依和g(x)=x?+灰+C的导数分别为/'(x)=3χ2+α和/(x)=2x+b,且在

点尸处有公切线，

∙,∙3×l2+a=2×l+⅛>解得6=2,

又由点尸(1,2)在曲线g(x)=χ2+fer+c上可得2=∕+2χi+c,解得c=-l.

综上，α=l,b=2,C=-I.

19.已知/(X)=号后,分别求“°)+∕(l)J(T)+α2),∕(-2)+"3)的值，然后归纳猜

想一般性结论，并证明你的结论.

【正确答案】详见解析.

【详解】试题分析：将X=(U-1,2,-2,3代入/(x)=E万，即可求得

〃0)+/⑴J(T)+H2)J(-2)+"3)的值;观察“0)+F(I)J(T)+F(2)J(-2)+f(3),根据上

一步的结果可以归纳出一般的结论：自变量的和为1,则函数值的和为乎，根

据结论的形式将“X)=3为代入并化简求值即可完成证明.

试题解析：由"X)=33,得

/⑼+/⑴=?⅛+7⅛=冬/㈠H"2)=7⅛++邛’

/(-2)÷∕(3)=F⅛÷^--

归纳猜想一般性结论为/(→)+∕(l+x)=^

证明如下：

八"S)=F⅛+F⅛=

Λ

3'1IB通3`________√~+=XT

]+扬3+护+仃一代+护+护+百一频+技X)F

【方法点睛】本题通过观察几组等式，归纳出一般规律来考查函数的解析式及归

纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤：一、通过观察个别情况发现某些相同

的性质.二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).常见

的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数的归纳和式子的

归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同

时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2)形的归纳主要包括图形

数目的归纳和图形变化规律的归纳.

20.已知a>0,用分析法证明：Jci2H——∙J2>a+-■-2

【正确答案】证明见解析

【分析】根据分析法证明的步骤，逐步分析，即可求解.

【详解】要证明、/建+1一近≥α+!-2,只需证∖b+g+2≥a+l+e,

只需证(.

只需证/+-ζ-+42CI+ɪ∣+2,

+4a>6Z+2+—+

a-a

只需证4(a?+/)≥+靛+2),BP«2+ʌ-≥2,显然成立,

故原不等式成立.

21.设函数/(x)=ln(2x+3)+d

(1)讨论/(%)的单调性;

⑵求“X)在区间-的最大值和最小值.

【正确答案】⑴函数/(χ)在(-|,-1),\(,+8)上单调递增；在b1,-Jj上单调递减;

(2)∕(x)在区间--ɪ,ɪ上的最大值为A+ln(,最小值为：+ln2.

44」Io24

【分析】(1)先求函数的定义域，解不等式∕χχ)>o求出函数的单调递增区间，解不等式

r(χ)<o求出函数的单调递减区间；(2)根据函数的单调性求出函数的最值.

【详解】⑴函数/(x)=ln(2x+3)+χ2的定义域为，|,+8

('+I)

又ɔ

f,(x}=-------+2x=

JL2x+32x+3

13i

令第x)>0,解得x>-'或一∕<x<T;令r(x)<O,解得-

所以函数/(X)在卜mg,+∞∣上单调递增；在m上单调递减;

3iii

(2)由(1)可得：函数“X)在区间-1,-万内单调递减，在一］q内单调递增.

所以当x=-g时，函数/(x)取得最小值/(-j=:+ln2,

2+hΛ÷1∏2,

又/

1622

+ln"LInZ=-J=。,

而了

2162272贬

117

所以当X=；时，函数/(X)取得最大值为..+In'

即f(x)在区间-(，；上的最大值为5+lng,最小值为;+ln2.

22.设函数/(x)=χ2(e*-l)+α√i.

⑴当O=-1时，求/(X)的单调区间；

⑵若当x20时，/(x)2O恒成立，求。的取值范围.

【正确答案】(1)增区间为(-2,物)，减区间为(Y2)

⑵[-1,4W)

【分析】(1)当a=-g时，求得r(x)=x(x+2Xe*-l),利用导数与函数单调性的关系可求

得函数/(x)的增区间和减区间；

(2)分x=0、x>0两种情况讨论，在