2023年高考数学复习 《函数的单调性与最值》作业

2023年高考数学复习…《函数的单调性与最值》作业

[4组基础巩固练]

一、选择题

1.下列函数中，在区间(0,+8)内单调递减的是()

1,

A.y=~~xB.y=x£—x

C.y=lnx—xD.y=e%—x

A[对于A,》二《在(0,+8)内是减函数，以二工在(0,+8)内是增函数，则

Ji

y=在(0,+8)内是减函数；B,C选项中的函数在(0,+8)上均不单调；选

Ji

项D中，y'=eA-1,而当了Q(0,+8)时，y'>0,所以函数)=e*-x在(0,+

8)上是增函数.]

2.函数式x)=ln(/—2x—8)的单调递增区间是()

A.(—8,—2)B.(—8,1)

C.(1,+8)D.(4,+8)

D[fix2-2%-8>0,得彳>4或x<-2.因此,函数人幻=ln(f-2x-8)的定义

域是(-8,-2)u(4,+8),注意到函数产炉-2x-8在(4,+8)上单调递增，由

复合函数的单调性知，Ax)=Infr2-2x-8)的单调递增区间是(4,+-).]

3.若函数兀0=/+4因+2,xWR在区间[3,+8)和(一2,—1]上均为增函数，

则实数a的取值范围是()

-11一

A.一了，-3B.[-6,-4]

C.[—3,-2^2]D.[-4,-3]

B[由于/W为R上的偶函数，因此只需考虑函数/W在(0,+8)上的单调性即

可.由题意知函数/W在[3,+8)上为增函数，在[1,2]上为减函数，故-?G[2,3],

1

即何-6,-4].]

4.已知函数40是定义在区间［0,+8)上的函数，且在该区间上单调递增，则

满足五2%—1)<的x的取值范围是()

3.

12'12

A.I

,3,3,B.3-

’12'-12'

C.ID.》

213,

D［因为函数1x)是定义在区间［0,+8)上的增函数，满足五2%-1)<《以

112

所以0W2x-1<]，解得<§.]

5.已知函数人处=%2—2ox+a在区间(一8,1)上有最小值，则函数g(%)=«¥在

Ji

区间(1,+8)上一定()

A.有最小值B.有最大值

C.是减函数D.是增函数

D［由题意知a<1,若aWO,则g(x)=x+，-2a在(1,+8)上单调递增；若

0<«<1,g(x)=x+^-2a在(也，+8)上单调递增,则g(x)在(1,+8)上单调递增.综

上可得，g(x)=X+j2a在区间(1,+8)上是增函数.故选D.］

二、填空题

6.函数凡¥)=肉4_%~\/%+2的值域为.

4-x，0,

［一乖,#1［因为,所以-24W4,

x+220,

所以函数危)的定义域为［-2,4］,

又y=［7在区间［-2,4］上均为减函数,

2

所以凡外=1丁]-qu在[-2,4]上为减函数，

所以犬4)W/a)<A-2),

即-加Wfix)W#.]

(3a—l)x+4a,x<1,

7.若人x)=、是定义在R上的减函数，则a的取值范围

~ax,

是.

3〃-1<0,

W，W)[由题意知，<(3Q-1)X1+-a,

a>0,

ri

a

解得〈a*,

o

“>0,

匚匚〜「in

所以aG[g，3J.]

I,x>0,

8.(2019・唐山模拟)设函数/)=<0,x=0,g(x)=x2fix—l),则函数g(x)

「1,x<0,

的递减区间是.

[0,1)[

3

f,x>I,

由题意知g(x)=<o，1，函数图象如图所示，其递减区间是［0,1).］

-x1,x<I.

三、解答题

9.已知«x)=_(%WQ).

xa

(1)若a=—2,试证/(x)在(一8,—2)上单调递增；

(2)若。〉0且兀0在(1,+8)上单调递减，求实数。的取值范围.

［解］(1)证明:设X1<X2<-2,

Y]X22(X1-X2)

贝….j

九2+2(制+2)(x2+2)

因为(a+2)(x2+2)>0,xi-X2<0,

所以加)-/2)<0,即危1)<fiX2),

所以40在(-8,-2)上单调递增.

⑵设1<X1<X2,

YiX2a(X2-为)

贝!1式用)-九%2)=——

xi-aX2-a(xi-a)(x2-a)

因为a>0,%2-xi>0，所以要使人用)-/(X2)>0，

只需(xi-a)(%2-a)>0恒成立，

所以aW1.综上所述，实数a的取值范围是(0,1］.

10.已知函数/U)=f+a|x—2|-4.

(1)当a=2时，求/U)在［0,3］上的最大值和最小值；

(2)若/U)在区间［-1,+8)上单调递增，求实数。的取值范围.

4

x2+2x-8,X22

［解］(1)当4=2时，»=^+2|%-2|-4==

x2-2x,x<2

(x+I)2-9,

V

(x-I)2-1,x<2.

当xd［0,2］时,-lW«x)WO,当xG［2,3］时，0W«r)W7,

所以｛x)在。3］上的最大值为7,最小值为-1.

x1+ax-2a-4,x>2,

⑵因为於)=

x1-ax+2a-4,xW2,

又加0在区间［-1,+8)上单调递增，

所以当X>2时，/)单调递增，贝卜弃2,即心-4.

当-1<xW2时，外)单调递增，贝吟W-1.

即QW-2,且4+2〃-2。-4三4-2a+2。-4恒立，

故实数。的取值范围为［-4,-2］.

［B组综合运用练］

1.函数段)满足加+2)=〃》,且x£R,若当x£［0,2］时，於)=——2x+2,

则当工£［—4,—2］时，八%)的最小值为()

11

A.gB专

11

C.一D.—g

A［因为凡¥+2)=3凡¥),所以7(X)=1/(X+2)=5(X+4).

因为当X『0,2］时，兀C)=G-2X+2,所以当xd［-4,-2］,即x+4引0,2］时,

5

X%)=+4)=|(x+3)2+1，故当x=-3时，/(x)取得最小值上，故选A.］

2.定义新运算：当a'b时，ab=a；当时，ab=b2,则函数/(x)

=(1x)x—(2x),xG［—2,2］的最大值等于()

A.-1B.1

C.6D.12

C［由题意知当-2WxWl时，/U)=x-2,当1<xW2时，/(x)=/-2,又一x)

=x-2,捌=X3-2在相应的定义域内都为增函数，且加)=-1,五2)=6,的

最大值为6.］

f―以+3,XWO,

3.已知危)="?-।c不等式危+a)〉/(2a-x)在［a,a+1］上恒

—%——2x+3,x〉O,

成立，则实数a的取值范围是.

(—8,-2)［二次函数以=好-4了+3的对称轴是％=2,

..•该函数在(-8,0］上单调递减，

...%2-4x+323,同样可知函数>2=-炉-2x+3在(0,+8)上单调递减，

f-2%+3<3,.，.段)在R上单调递减，

由fix+a)>f(2a-x)彳导至Llx+a<2a-x,

即2x<a,.,.2x<a^±［a,a+1］上恒成立，

.*.2(4Z+1)<a,<-2,

工实数a的取值范围是(-8,-2).］

7(x),x〉0,

4.设函数/(%)=&+云+1(4,匕GR),F(x)=<

-fix),x<0.

(1)若1-1)=0,且对任意实数x均有7U)20成立，求用x)的解析式；

(2)在(1)的条件下，当xG［—2,2］时，g(x)=/(x)—依是单调函数，求实数上的取

6

值范围.

［解］(1)1)=0,：.b=a+l.

由恒成立，矢口a>0且方程or2+6x+1=0中的/=/-4a=(a+I/-4a

=(a-l/WO,a=1,即6=2.

从而八%)=必+2x+1.

(x+1)2,x>0,

/.F(x)=

-(x+1)2,X<0.

⑵由⑴可知中)=G+2为+1,

g(x)=fix)-kx=x^+(2-k)x+1,

2-k2-k

由8。)在［-2,2］上是单调函数，知---2或-亍22,得成-2或后6.

即实数上的取值范围为(-8,-2］U［6,+8).

［C组思维拓展练］

1.函数兀0的定义域为。，若对于任意X1,X2G。，当用＜12时，都有/Ul)q(X2),

则称函数40在。上为非减函数.设函数40在［0,1］上为非减函数，且满足以下三

个条件：

①A0)=0；②/(1)=%x)；

则枷桃---------