中考数学复习之考点题型全归纳与分层精练（全国通用）：勾股定理(解析版)

专题20勾股定理

【专题目录】

技巧1:判定直角的四种方法

技巧2：巧用勾股定理解折叠问题

技巧3：巧用勾股定理求最短路径的长

【题型】一、勾股定理理解三角形

【题型】二、勾股定理与网格问题

【题型】三、解直角三角形在实际中的应用

【题型】四、利用勾股定理证明线段的平方关系

【题型】五、求梯子滑落高度

【题型】六、求旗杆高度

【题型】七、求蚂蚊爬行距离

【题型】八、求大树折断前的高度

【题型】九、求台阶上的地毯长度

【题型】十、利用勾股定理选址使到两地距离相等

【考纲要求】

1、了解直角三角形的有关概念，掌握其性质与判定.

2、掌握勾股定理与逆定理，并能用来解决有关问题.

【考点总结】一、直角三角形与勾股定理

①直角三角形的两锐角互余；

直角三角形性质②直角三角形30。角所对的直角边等于斜边的一半；

③直角三角形中，斜边上的中线长等于斜边长的一半.

直直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,那么/+从=/

角勾股定理概念

变式：

1)a2=c2-b2

22

角2)b2=c-a

适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于

形

直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。

与方法一：4"+S正方形.a/=S正方形ABCD，4xgab+S-a)2=c-2,化简可证一

勾

:

股

理

AcB

方法二：

ba

K

ab

勾股定理的证明

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S=4XL由+02=2"+。2

2

大正方形面积为S=(a+b)2=a2+2ab+b2

所以/+/=c?

方法三：S梯形=g(a+办(。+。)，s梯形=2sM+5MB£=2・g〃b+gc2,化简得证

a2+h2=c2

Aa

BhC

勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即

中，a,b,c为正整数时，称a,b,c为一组勾股数

常见的勾股数：如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等

扩展：用含字母的代数式表示〃组勾股数：

勾股数

1）zi2-l,2n,n2+1（〃22,”为正整数）；

2）2n+l,2n2+2n,2n2+2n+1（〃为正整数）

3）m2-iv,2mn,nr+n2（.m>n,m,"为正整数）

注意：每组勾股数的相同整数倍，也是勾股数。

【技巧归纳】

技巧1:判定直角的四种方法

【类型】一、利用三边的数量关系说明直角.

1.如图，在△ABC中，。为BC边上一点，且AB=10,BD=6,AD=S,AC=17,求C£）的长.

【类型】二'利用转化为三角形法构造直角三角形

2.如图，在四.边形ABC。中，ZB=90°,AB=2,BC=小，CD=5,AO=4,求S四边形A6CD・

【类型】三、利用倍长中线法构造直角三角形

3.如图，在△ABC中，。为边BC的中点，AB=5,,AD=6,AC=13,求证：AB_LAD.

【类型】四、利用“三线合,一“法构造直角三角形

4.如图①，在△ABC中，CA=CB,NACB=90。，。为AB的中点，M,N分别为4C,BC上的点，且。M_L£W.

(1)求证：CM+CN=y[2BDi

(2)如图②，若M,N分别在AC,CB的延长线上，探究CM,CN,8。之间的数量关系.

参考答案

1.解：,：AD1+BD2=\OO=AB2,

...△A8Q为直角三角形，

且NAOB=90°.，ZADC=90°.

在RIA4CZ）中，

CD=^/AC2-AD2=A/172-82.=15.

2.解：连接AC在RsACB中，AB2+BC2^AC2,

；.4C=3,.-.AC2+AD2=CD2.

...△AC。为直角三角形，且NCAO=90。，

S网边柩ABCO=卧2x-\y5+/x3x4=6+\[5.

3.证明：如图，延长A£＞至点E,使。E=A。，连接CE,BE.

•.,。为BC的中点，

：.CD=BD.

又,：AD=DE,NADC=NBDE,

：.4ADC9丛EDB,

：.BE=AC^]3.

在△ABE中，AE=2AD=\2,

：.AE2+AB2=122+52=\69.

又：8^2=132=169,

：.AE1+AB2=BE2,

...△ABE是直角三角形，一且NBAE=90。，

即AB1AD.

A

点拨：本题运用倍长中线法构造全等三角形证明线段相等，再利用勾股定理的逆定理证明三角形.为直

角三角形，从而说明两条线段垂直.

4.(1)证明:如图①，,连接CD,二/MOC+NC£W=9()。.

NACB=9()o,AC=CB,。为AB的中点，,CO_LAB,ZACD=ZBCD=45°„ZA=ZB=45°,：.ZCDN

+ZNDB=90°.：./MDC=NNDB.

VZBCD=ZB=45°,

:.CD=BD.在XCMD和4BND中,

■:NMDC=NNDB,NMCD=NNBD=45。,CD=BD,:.△CMD安4BND,

：.CM=BN.：.CM+CN=BN+CN=BC.

在Rt^CBO中，ZCDB=90°,CD=BD,:.BC=@BD.：.CM+CN=pBD.

(2)解：CN-CM=y[2BD,如图②，连接CD,证法同(1).

技巧2：巧用勾股定理解折叠问题

【类型】一'巧用全等法求折叠中线段的长

1.如图①是一直角三角形纸片，NA=30。，BC=4cm,将其折叠，使点C落在斜边上的点C处，折痕为

BD,如图②，再将图②沿DE折叠，使点A落在。。的延长线上的点A，处，如图③，则折痕DE的长为()

A.§cmB.2小cmC.2巾cmD.3cm

【类型】二、巧用对称法求折叠中图形的面积

2.如图，将长方形ABC。沿直线8。折叠，使点C落在点C处，8G交A。于E,AD=8„43=4,求△BED

的面积.

C

【类型】三、巧用方程思想求折叠中线段的长

3.如图，在边长为6的正方形A8C。中，E是边的中点，将△AOE沿AE对折至△AFE,延长EF交

8c.于点G,连接AG

(1)求证：AABG安△AFG；

⑵求BG的长.

【类型】四、巧用折叠探究线段之间的数量关系

4.如图，将长方形ABC。沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AO于点E,交BC于点F,连接

CE.

⑴求证：AE=AF=CE=CF；

(2)设AE=a,ED=b,OC=c,请写出一个a,b,c三者之间的数量关系式.

参考答案

1.A

2.解：由题意易知AD〃BC,；.N2=N3.

,/ABCD与△BCD关于直线BD对称,/1=Z2.

.*./1=/3".E8=ED

设EB=x,则ED=x,AE=AD-ED=S~x.

在RtaABE中，AB2+AE2=BE2,

.,.42+(8—

:.DE=5.:&BED=3DE.AB=；X5*4=10.

解题策略：解决此题的关键是证得EO=E8,然后在RsABE中，由8尸=44+4£2,利用勾股定理

列出方程即可求解.

3.(1)证明：在正方形ABCD中，AD=AB,ZD=ZB=90°.

•.•将△ADE沿AE对折至△AFE,

：.AD=AF,ND=NAFE=90°.

：.AB=AF,ZB=ZAFG=90°.

又」.FGRG,

ARtAA8GWRSAFG(HL).

(2)解：•.•△A8G丝△AFG,：.BG=FG.

设BG=FG=x,则GC=6—x,

为CO的中点，

:.CE=DE=EF=3,，EG.=3+x.

...在RtZkCEG中，32+(6—X)2=(3+X)2,解得X=2..•.BG=2.

4.(1)证明：由题.意知，AF^CF,AE=CE,NAFE=/CFE,又四边形ABC。是长方形，故AO〃AC,

NAEF=NCFE.；.NAFE=NAEF.

：.AE=AF=EC=CF.

(2)解：由题意知，4E=EC=a,E,D=b,£)C=c,由N/>=90。知，ED2+DC2^CE2,即〃+,2=〃.

技巧3:巧用勾股定理求最短路径的长

【类型】一'构造直角三角形法求平面中最短问题

1.如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人从A走到B,为了避免拐角C走“捷径”，在花圃内走出了一

条“路”，他们仅仅少走了步路(假设2步为1根)，却踩伤了花草.

2.小明听说“武黄城际列车“已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站8,

现在可以在黄石A坐“武黄.城际列车”到武汉青山站C,再从青山站C坐市内公共汽车到武昌.客运站B.设

=80切!，BC=20km,/ABC=120。.请你帮助小明解决以下问题：

（1）求4,C之间的距离.（参考数据：旧之4.6）

（2）若客车的平均速度是60km/h,市内的公共汽车的平均速度为40km/h,“武黄城际列车”的平均速度

为180km/h,为了在最短时间内到达武昌客运站，小明应选择哪种乘车方案？请说明理由.（不计候车时间）

C

【类型】二、用平移法求平面中最短问题

3.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是50cg30cm,\0cm,A和8是这个台阶的两

个相对的端点，A点上有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿

着台阶面爬到B点，至少需爬（）

A.13cmB.40cmC.130cmD.169cm

4.如图，已知N8=NC=NO=NE=90。，且4?=CQ=3,BC=4,DE=EF=2,则AF的长是

【类型】三、用对称法求平面中最短问题

5.如图，正方形ABCZ）的边长为8,点M在OC上且OM=2,N是AC上的一动点，求。N+MN的最小

值.

6.高速公路的同一侧有A,8两城镇，如图，它.们到高速公路所在直线MN的距离分别为A4=2h",BB'

=4h〃，4夕=8的?.要在高速公路上A，，笈之间建一个出口尸，使4,3两城镇到户的距离之和最小.求这

个最短距离.

B

MAfB'N

【类型】四、用展开法求立体图形中最短问题

题型1:圆柱中的最短问题

7.如图，已知圆柱体底面圆的半径好高为2,相，8分别是两底面的直径.若一只小虫从A点出发,

沿圆柱侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是(结果保留根号).

题型2:圆锥中的最短问题

8.己知：如图，观察图形回答下面的问题:

(1)此图形的名称为

(2)请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿AS剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个

(3)如果点C是SA的中点，在A处有一只蜗牛，在C处恰好有蜗牛想吃的食品，但它又不能直接沿AC

爬到C处，只能沿此立体图形的表面爬行，你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？

(4)SA的长为10,侧面展开图的圆心角为90。，请你求出蜗牛爬行的最短路程.

s,

A,

题型3:正方体中的最短问题

9.如图，一个正方体木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬

到柜角Ci处.

(1)请你在正方体木柜的表面展开图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；

(2)当正方体木柜的棱长为4时，求蚂蚁爬过的最短路径的长.

题型4：长方体中的最短问题

10.如图，长方体盒子的长、宽、高分别是12c/n,8cm,30cm,在AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫

从E处沿盒子表面爬到C处去吃，求小虫爬行的最短路程.

A

C

B

参考答案

1.4

2.解：(1)如图，过点C作的垂线，交A8的延长线于点E.

120°,二ZBCE=30°.

在RtaCBE中，BC=20km,

/.BE=10km.

由勾股定理可得CE=105km.

在RsACE中，AC2=AE2+CE2=(AB+BE)2+C£2=8100+300=8400,

：.AC=20/21=20x4.6=92(km).

(2)选择乘“武黄城际列车”.理由如下：乘客车所需时间为需=ge),乘“武黄城际列车'’所需时间约为需

+景舄㈤.图击,

.•.选择乘“武黄城际列车

3.C点拨：将台阶面展开，连接A8,如图，线段48即为壁虎所爬的最短路线.因为BC=30x3+10x3

=120(cm),AC=50cm,在Rtz\A8C中，根据勾股定理，得AB2=AC2+BC2=16900,所以AB=130cm.

所以壁虎至少爬行130cm.

B

A1--------'C

4.10

5.解：如图所示，

♦.•正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点,

连接8N,BD,则直线4c即为80的垂直平分线，.*.8N=ND

:.DN+MN=BN+MN.

连接8M交AC于点P,

:点N为AC上的动点，

/.由三角形两边之和大于第三边，

知当点N运动到点P时，

DN+MN=BP+PM=BM,DN+MN的最小值为BM的长度.

•.•四边形A8CZ)为正方形，

ABC=CD=S,CM=8-2=6,

NBCM=90。，

BM=^/BC2+CM2=.8?+62=10.

即ON+MN的最小值为10.

AD

6.解：如图，作点3关于直线MN的对称点C,连接AC交仞V于点P,则点尸即为所建的出口.此时A,

8两城镇到出口P的距离之和最小，最短距离为AC的长.作9于点。，在RSAOC中，AD=AfBf

=8km,DC=6km.

AAC=^/AD2+DC2=10km.

・・•这个最短品目离为10km.

B

A

D

仁…….工

MA'尸'、、B'N

'C

1.2y[2点拨:将圆柱体的侧面沿AD剪开并铺平得长方形A4TW,连接AC,如图.线段AC就是小虫爬

21

行的最短路线.根据题意得A8.X2吨=2.在RS48C中，由勾股定理，得叱=482+叱=22+22=8,

:.AC=m=2小.

D__0__i'

ARA'

8.解：(1)圆锥(2)扇形

(3)把此立体图形的侧面展开，如图所示，AC为蜗牛爬行的最短路线.

(4)在RSASC中，由勾股定理，得472=1()2+52=]25,

，AC=Vi^=5小.

故.蜗牛爬行的最短.路程为5小.

9.解：(1)蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC1和4G.

⑵如图，ACI=4CI=M(4+4)2+42=4小.所以蚂蚁爬过的最短路径的长是4小.

10.解.：分为三种情况:

(1)如图①，连接EC,

在R/EBC中，EB=12+8=20(cm),8c=1x30=15(cm).

由勾股定理，得行=25(cm).

(2)如图②，连接EC.

根据勾股定理同理可求C£=A/673cm>25cm.

(3)如图③，连接EC.

根据勾股定理同理可求CE=\l22+(30+8+15)2=山953(cm)>25cm.

综上可知，小虫爬行的最短路程是25cm.

【题型讲解】

【题型】一、勾股定理理解三角形

例1、在中，NC=9O°,如果AC=8,BC=6,那么NA的正弦值为()

34八3八4

A.-B.—C.—D.一

5543

【答案】A

【分析】

利用勾股定理可求出AB的长，根据正弦函数的定义即可得答案.

【详解】

VZC=90°,AC=8，BC=6.

.,.AB-7AC2+BC2=1°-

AB5

故选：A.

【点睛】

本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握各三角函数的定义，属于中考常考题型.

【题型】二、勾股定理与网格问题

例1、如图，在3x3的网格中，每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上，若8。是AABC的高,

则BD的长为（）

C.—V13D.—V13

1313

【提示】根据勾股定理计算AC的长，利用面积和差关系可求」.A6C的面积，由三角形的面积法求高即可.

【详解】解：由勾股定理得：AC=LW=屈，

1,c1,C1cc=7

♦SAABC=3X3--x1x2--x1x3---x2x3—>

2222

17

：.-ACBD^~,

22

二回BD=7，

13

故选：D.

【题型】三、解直角三角形在实际中的应用

例3、如图，数学兴趣小组成员想测量斜坡CO旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶A的仰角

为60°,然后在坡顶D测得树顶A的仰角为30。，己知斜坡CO的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比）

i=l:也,斜坡CZ）=10Gm，求树A3的高度.（结果精确到1m，参考数据：V2«1.41,73*1.73）

CB

【答案】26m

【分析】

根据坡度求出N£)CE=30°，继而求得，NACD=90。，根据平行线的性质可得NFDC=30。，继而得NADC

=60°,在RtACO中，解直角二角形可得AC,在RtZ\ABC中，解直角三角形可得AB的值.

【详解】

解：•.•斜坡CO的坡度i=l:百，

』立,

tanNOCE=i=l:

3

AZ£>CE=30°.

---ZACB=60°.

，ZACD=180°-30°-60°=90°.

■:DF//BE,

：.NFDC=NDCE=30°,

：.ZADC=30°+30°=60°.

AC

在RtACD中，CD=10V3m，tan60°=—，

CD

AC=10gx6=30(m),

在RtzMBC中,

AB

Vsin60°

~AC

AB=30x®15x1.73=25.95«26(m).

答：大树的高度约为26m.

【点睛】

本题考查解直角三角形的运用-仰角和俯角问题，解题的关键是熟练掌握坡度的定义，特殊的锐角三角函数

值.

【题型】四、利用勾股定理证明线段的平方关系

例4、对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美"四边形ABC。，对角线AC、BD

交于点0.若AD=2,3c=4,则AB2+C/52=

B

【答案】20

【提示】由垂美四边形的定义可得AC_LBD,再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB4CD2,从而求解.

【详解】：四边形ABCD是垂美四边形，

AACIBD,

，NAOD=NAOB=/BOC=NCOD=9()°,

由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2,

AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,

.*.AD2+BC2=AB2+CD2,

VAD=2,BC=4,

AB2+CD2=AD2+BC2=22+42=20,

故答案为：20.

【题型】五、求梯子滑落高度

例5、如图所示，一架梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，此时梯子下端B与墙角C的距离为1.5米,

当梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.9米.则梯子顶端A沿墙下移了米.

【提示】分别在两个直角三角形中，运用勾股定理求得AC和CE的长即得.

【详解】解：由题意得：A8=2.5米，BC=1.5米

，在Rt/SACB中，AC2=AB2-BC2=2.52-I.52=4,

，AC=2米，

•；BD=0.9米，

.♦.CD=2.4米.

,/ED=AB

：.在Rt^ECD中，EC2=ED2-CD2=2.52-2.42=0.49,

二EC=0.7米，

AE=AC-EC=2-0.7=1.3米.

故答案为：1.3.

【题型】六、求旗杆高度

例6、如图，小华将升旗的绳子拉到竖直旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗

杆8团处，此时绳子末端距离地面2小，则绳子的长度为一m.

【答案】17

【提示】根据题意画出示意图，设绳子的长度为xm,可得AC=AD=xm,AB=(x-2)m,BC=8m,在

RtAABC中利用勾股定理可求出x.

【详解】设绳子长度为x加，则==AB=(x-2)m,BC=Sm,

在R/ABC中，AB2+BC2=AC2^即(X-2)2+82=/，

解得：x=17,

绳子的长度为17加.

【题型】七、求蚂蚊爬行距离

例7、如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，它飞行的最短路程是（)

A.13米B.12米C.5米D.米

【答案】A

【提示】根据题意，画出图形，构造直角三角形，用勾股定理求解即可.

【详解】如图所示，过D点作DE_LAB,垂足为E,

VAB=13,CD=8,

又：BE=CD,DE=BC,

二AE=AB-BE=AB-CD=13-8=5,

二在RSADE中,DE=BC=12,

.*AD2=AE2+DE2=52+122=169,

•••AD=13（负值舍去），

故小鸟飞行的最短路程为13m,

故选A.

【题型】八、求大树折断前的高度

例8、“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意

思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折

断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）（）

A.3B.5C.4.2D.4

【答案】C

【提示】根据题意结合勾股定理得包折断处离地面的长度即可.

【详解】解：设折断处离地面的高度0A是x尺，根据题意可得:

解得:x=4.2,

答：折断处离地面的高度0A是4.2尺.

故选C.

【题型】九、求台阶上的地毯长度

例9、一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为2()、3、2,A和3是这个台阶两个相对的端点，A点

有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到8点最短路程为()

A.7481B.25C.30D.35

【答案】B

【提示】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答.

【详解】如图所示，

•••三级台阶平面展开图为长方形，长为20,宽为(2+3)x3,

...蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长A3.

由勾股定理得：AB2=202+[(2+3)x3]2=252.

解得：AB=25.

故选:B.

【题型】十、利用勾股定理选址使到两地距离相等

例10、如图，高速公路上有A、3两点相距25km,C、。为两村庄，已知D4=10km,C8=15km,

于A，于8,现要在AB上建一个服务站E，使得。、。两村庄到E站的距离相等,

则AE的长是()km.

AER

/飞

10kmJ、、15km

A.5B.10C.15D.25

【答案】C

【提示】根据题意设出AE的长为无，再由勾股定理列出方程求解即可.

【详解】

解：设AE=x，则BE=25-x,

由勾股定理得：

在RtAADE中，

DE2=AD2+AE2=102+x2，

在RtABCE中，

CE2=BC2+BE2=152+(25-%)2,

由题意可知：DE=CE,

所以：102+X2=152+(25-X)\

解得：X=15/377.

所以，E应建在距4点15版处.

故选：C.

勾股定理（达标训练）

一、单选题

1.如图，矩形ABC。的对角线AC的垂直平分线分别交A£＞、47、8c于点E、0、F,若A8=12,BC=\6,

则EF的长为（）

A.8B.15C.16D.24

【答案】B

【分析】根据矩形的性质得到AO=CO,根据平行线的性质得出/E48/FC0,根据AS4推

出AAEO四△CFO,由全等得至iJOE=OR推出四边形是平行四边形，再根据EFLAC即可推出四边形是菱

形，根据垂直平分线的性质得出AF=CF,根据勾股定理即可得出结论.

【详解】连接4F,CE,

尸是4c的垂直平分线,

：.AO=CO,NAOE=NW=90°,

•.•四边形A8C。是矩形,

：.AD//BC,

：.ZEAO=ZFCO,

在△4£：0和4CFO中,

ZEAO=ZFCO

■AO=CO

ZAOE=COF

：,/\AEO^/\CFO(ASA),

/.OE=OF,

又：。4=。<7,

二四边形AECF是平行四边形，

'JEFLAC,

,平行四边形AECF是菱形，

：.AE^CE,

设AE=CE=x,

•.•E尸是AC的垂直平分线，

：.AE=CE=x,DE=l6-x,

在R/ACDE中，CD2+DE2=AE2,

122+(16-X)2=X2,

解得x=，25，

,**AC={AB。+BC?=>/122+162=20，

AO=：AC=10,

，OE=y/AE2-AO2=—,

2

：.EF=2OE=\5,

故选：B.

【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，证得四边形

AECF是菱形是解题的关键.

2.已知ABC的三条边分别是。、b、c,则下列条件中不能判断.ABC是直角三角形的是()

A.a:b:c=3:4:5B.ZC=ZA+ZB

C.ZA:Z5:NC=1:5:6D.ZA:ZB:ZC=3:4:5

【答案】D

【分析】根据勾股定理的逆定理判定A正确，利用三角形内角和定理判定B和C正确、D错误.

【详解】解：A、设。=3左,b=4k,c=5k,

♦.•(3Z)2+(4Z)2=(5Q2,

即储+〃=02,

...三角形是直角三角形，

正确；

B、VZA+ZB+ZC=180°,

.,.2ZC=180°,

即NC=90°,

正确；

C、设NA=x。，ZB=5x°,ZC=6x°,

乂三角形内角和定理得x+5x+6x=\80,

解得6x=90,

故正确；

D、设NA=3x°,ZB=4x°,ZC=5x°,

又三角形内角和定理得3x+4x+5x=180,

5户75,

故不是直角三角形，

错误；

故本题选择D.

【点睛】本题考查直角三角形的判定方法：勾股定理的逆定理、证明最大角是直角.

3.如图，在等边AABC中，AD1BC,垂足为。且40=6，则A8的长为（）

A.1B.6C.2D.2石

【答案】C

【分析】先根据等边三角形性质得到NAOC=90。，ZCAD=30°,再设CD=x,在AC。中利用勾股定理

计算即可.

【详解】•.,等边AABC中,AD1BC,

：.ZADC=90°

ZCAD=ZBAD=600-?2=30°,

AB=AC,

设C£>=x,则AC=2xr,

在/?/△ACD中，

（石）+x2=（2x）2

解得：k±1（舍负），

：.AB=AC=2.

故选C.

【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及勾股定理，解题关键是熟练应用等边三角形的性质.

4.如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形

4、8、C、。的面积分别是3、5、2、3,则最大正方形E的面积是（）

【答案】B

【分析】分别设中间两个正方形和最大正方形的边长为x,y,z,由勾股定理得出f=&/=5,z2=/+丁，

即最大正方形的面枳为z2.

【详解】解：设中间两个正方形的边长分别为x、y,最大正方形E的边长为z,则由勾股定理得：

x2=3+5=8,V=2+3=5,z2=x1+y1=13,

2

即最大正方形E的面积为：Z=13.

故选：B.

【点睛】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长

的平方是解答此题的关键.

5.如图，在放AABC中，ZC=90°,D,E分别为C4,C8的中点，平分NABC,交DE于点、F,若4c=2

#）,BCU,则OF的长为（）

c

D/r\E

AB

A.0.5B.1C.1.5D.2

【答案】B

【分析】根据勾股定理求出AB,根据三角形中位线定理得到即"8,但力=3,BE=；BC=2,根据平

行线的性质、等腰三角形的判定定理求出EF=BE=2,计算即可.

【详解】解：在中，AC=2逐,BC=4,

由勾股定理得：AB=7AC2+BC2~6"

•:8尸平分NA8C,

ZABF=ZEBF,

,：D,E分别为C4,CB的中点，

：.DE//AB,DE=-AB=3,BE=-BC=2,

22

NABF=NEFB,

：.NEFB=/EBF,

:.EF=BE=2,

：.DF=DE-EF=],

故选：B.

【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边,

且等于第三边的一半是解题的关键.

二、填空题

6.在343c中，AC=3,CD_L45于点。，且49=38。，在CZ）上取点E,使CE=2DE,连接BE,贝lj8E=

c

22

【分析】设8O=X,DE=y,则4D=3x,CE=2y,CD=3y,由勾股定理求得/+/=i,BE'=x+y,即可

求得答案.

【详解】设DE=y,

"：AD=3BD,CE=2DE.

/.AD=3x,CE=2y,

:.CD=CE+DE=3y,

CDLAB.

：.ZADC=^BDC=90°f

在ACO中，AD2+CD2=AC2,

...（3x）2+（3y）2=32,

x2+y2=\,

在RtABDE中，HE2=BD2+DE2，

，BE2=x2+y2=\,

；.BE=1,

故答案为：1.

【点睛】本题考查了勾股定理，根据勾股定理求得%>2+。炉=1是解题的关键.

7.如图，。是矩形A8C£>的对角线的交点，M是4。的中点.若BC=8,08=5,则0M的长为.

【分析】首先由0是矩形48CC对角线AC的中点，可求得AC的长，然后由勾股定理求得A8的长，即CZ）

的长，又由M是AD的中点，可得0M是AAC。的中位线，进而求得答案.

【详解】解：是矩形A8C。对角线AC的中点，08=5,

：.AC=2OB=\0,

CAAB=[AC?-BC27*8=6，

是AO的中点，

：.0M=^-CD=3.

2

故答案为：3.

【点睛】此题考查了矩形的性质、直角三角形的性质以及三角形中位线的性质.注意利用直角三角形斜边

上的中线等于斜边的一半，求得AC的长是关键.

三、解答题

8.已知：△ABC的边长a=—1,b=2n,c=n2+1>且

(1)判断三角形的形状，并说明理由;

(2)若4=60°,求..ABC的三边长.

【答案】(l)aABC是直角三角形

(2)a=2,b=2A/3,c=4

【分析】(1)利用勾股定理逆定理，即可求解；

(2)根据4=60°,可得/A=30。，从而得到〃?+1=2(/7),继而得到〃=外，即可求解.

(1)

解：.A8C是直角一角形，理由如下：

〃=/_1,b=2n、c=/+1,

cr+b2=(1-1)~+(2〃尸

=/-2"+1+病

=n4+2n2+1

=+1)2=/,

，ZC=90°

即「ABC是直角三角形；

(2)

解：ZC=90°,

・・・ZA=30°,

；・c=2a,即〃~+1=2(〃2—1),

**-n2=3f解得：〃=百或〃=-6(不合题意，舍去)

当〃=6时，。—1=(石尸一1=3—1=2,

h=2n=2A/3,c=2a=4.

【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理，直角三角

形的性质是解题的关键.

勾股定理(提升测评)

一、单选题

1.如图，在平面直角坐标系中，一回。的顶点A,8的坐标分别为(0,4),(0,-2),BC=AC=5,则顶点C

的坐标是()

【答案】A

【分析】作于。，根据题意求*AB,根据等腰三角形的性质求出AD,根据勾股定理求出CD,得

到答案.

【详解】解：作CO_L4B于£>,

二•点A,8的坐标分别是（0,4）,（0.-2）,

：.AB=6,

'：BC=AC=5,CD±AB,

.•.AO=OB=；A8=3,

：.OD=\,

由勾股定理得，CD=yjAC2-AD2=4-

二顶点C的坐标为（4,1）,

故选：A.

【点睛】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，作坐标轴的垂线构造直角三角形，运用勾股定理是

解题关键.

2.如图，矩形A8CO中，AB=3,A£>=8,E是BC中点，8以LAE于点M,交AO于点F,则AM长为（）

【答案】C

12

【分析】在MAABE中，利用勾股定理求得AE=5,再利用面积法求得,在放△ABM中，利用勾股

定理即可求解.

【详解】解：•••矩形A8CZ）中，AQ=8,“是8c中点，

；.BE=4,NABE=90。,

•.•8F_L4E于点M,

：.ZBME=ZBMA=90°,

在汝ZsMgE中，AB=3,BE=4,

,出招+42=5,

V5AABE=gBExAB=jAExBM,

BM=—>

5

在ABM中，AB=3,BM=—,

1---------------Q

：.AM=y/AB2-BM2=|,

故选：C.

【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

3.如图，平行四边形A8C。中，AC,B。为对角线，N84C=90。，且AC:BO=3:5,若平行四边形ABC。

的面积为48,则AB的长为（）

A.3百B.46C.3正D.4也

【答案】D

【分析】先根据平行四边形的性质，得AC=20A,BD=20B,再因为AC：BD=3：5,则。A：08=3：5,设

0A=3k,则02=5%,AC=6k,由勾股定理，得A8=4Z,再根据平行四边形面积公式求出k值，即可求解.

【详解】解：如图，

四边形ABCD是平行四边形，

."C=2O4,8£>=2OB,

VAC：80=3：5,

：.0A-0B=3：5,

设0A=3k,则0B=5k,AC=6k,

■:ABAC=90°,

•••由勾股定理，得AB=yJoB2-0A2=](5kj_13k?=4k,

,**S平行四边形ABCD=AB,AC=48,

.・.4k-6：48,

解得：k=6.,

：.AB=4k=4yj2,

故选：D.

【点睛】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题词的关键.

4.如图，△AO8中，NAO3=90。，AO=4,30=8,ZVIOB绕点0逆时针旋转到△A'C因处，此时线段

4所与B0的交点E为80的中点，则线段BE的长度为（）

'市B•萼书

【答案】B

【分析】由勾股定理求出A5,由旋转的性质可得4。=4。，4河=/$,再求出OE,从而得到OE=A'O,

过点。作。尸，A'8'于尸，由三角形的面积求出。凡由勾股定理列式求出ER再由等腰三角形三线合一的

性质可得A，E=2所，然后由代入数据计算，即可得解.

【详解】解：VZAOfi=90°,AO=4,30=8,

.，•AB=y/ACf+BO2=742+82=46，

,/丛OB绕顶点0逆时针旋转到△A'OB'处，

二AO=A'O=4,A8'=AB=45

:点E为30的中点,

OE=-BO=-x8=4,

22

OE=A'O=4,

过点。作OF_LA'?于F,如图,

SAAW=gx46.°F=3x4x8,

解得：。尸=座，

5

在RtZ\EO尸中，EF=JOE、一012=4,一（随］=生叵

\I5J5

VOE=A'O,OF1A'B',

•egC4石8>/5

••AE=2EF=2x------=------,

55

B'E=A'B'-A'E=4>/5--=.

55

故选：B.

【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理的应用，等腰三角形三线合一的性质，以及三角形面积等知识,

解题的关键是熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小.

二、填空题

5.如图，在△ABC中，ZACB=2ZB,CD平分NAC8,过A作AH_LCZ),垂足为“，若NAE3=45。,

5

AE=4五,AB=U,则厂/=______

3.BCD

【答案】蔡13

【分析】过点A作A尸〃BC交CD的延长线于点F,可得DA=DF,DB=DC,AF=AC,设小)=a,贝lj

DC=DH+HC=a+6,在Rt中，AD=6-a,DH=a,AH=4,根据定理可得A”?+£>"2=仞?，建

立方程，解得”=。，进而求得AO,OB,根据!迎=桨，即可求解.

3、BCDBD

【详解】解：如图，过点A作4尸〃8C交CO的延长线于点产，

・・.N尸=/BCD,ZB=ZFAB,

VZACB=2ZB,CO平分NAC8,

:./BCD=ZACD=-NAC8=ZB

2

:.ZF=ZFAB=ZACF

:,DA=DF、DB=DC,AF=AC

:.FC=AB9

又•・•AHLCD,

FH=HC=-FC=-AB=6

22

*/ZAED=45°,AE=4夜，

:、AH=HE=4,

设则OC=DH+〃C=a+6

/.DB=DC=a+6

JAD=AB-BD=12-(a-^6)=6-a

在RlA£W中，AD=6-a,DH=a,AH=4

・・・AH2+DH2=AD2

/.42+a2=(6-tz)2

解得：«=l

513523

AAD=6——=—,BD=6+—=—

3533

._AD_i3

••SBCD~~BD~?3

故答案为：栏13.

23

【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键.

6.如图，RSA8C中，ZC=90°,ZA=60°,AC=1,点。为边A8上一个动点，将△COB沿8翻折，得

到_。。8'(其中C