中考数学二次函数专项练习

二次函数

课前检测

$1

1.抛物线y=-5（x+万）2-3的顶点坐标是（）

1111

A.(2,-3)B.(-万，-3)C.(2,3)D.(-T3)

2.将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是

（）

A.y=(x+2)2+1B.y=(x+2)2-1C.y=(x-2)2+1D.y=(x-2)2-1

3.已知二次函数y=ax2+bx+c（a/0）的图象如图所示，以下四个结论：①a>0；②c>0；③b2

b

-4ac>0；④-2a<0,正确的是（）

4.如图，抛物线y=ax2+bx+c（ar0）的对称轴为直线x=-2,与x轴的一个交点在（-3,0）

和（-4,0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①4a-b=0；②c<0；③-3a+c>0；

嘛.工

@4a-2b>at2+bt（t为实数）；⑤点（-M,yl）,（-2,y2）,（-2,y3）是该抛物线

上的点，则ylVy2Vy3,正确的个数有（）

1

A.4个B.3个C.2个D.1个

5.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a/0)的对称轴为直线x=-l,给出下列结论:

①b2=4ac；②abc>0；③a>c；④4a-2b+c>0,其中正确的个数有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

_知识梳理

一、二次函数的概念

一般地，形如产0%2+法+心，b,C是常数，存0)的函数，叫做二次函数.

二、二次函数解析式的三种形式

(1)一般式：y=ax2+hx+c(a,h,c为常数，存0).

(2)顶点式：y=a(x-/z)2+%(a,h,k为常数，。却)，顶点坐标是(/2,k).

(3)交点式：y=a(x-xi)(x-X2),其中xi,X2是二次函数与x轴的交点的横坐标，分0.

三、二次函数的图象及性质

1.二次函数的图象与性质

解析式二次函数严加+力b,c是常数，屏0)

h

对称轴x=--

2a

b4ac-b2

顶点9)

2a4。

a的符号4>0Q<0

%y

图象A

2

开口方向开口向上开口向下

bb

当户_/_时，当x=-——时，

2a2a

最值

4ac-b24ac-b2

y最小值二,y最大值二,

4a4。

最点抛物线有最低点抛物线有最高点

b

当时，y随x的增大而减小；当X＜_』_时，y随工的增大而增大；

2a2a

增减性

当时，y随x的增大而增大当x＞■时，y随x的增大而减小

2a2a

2.二次函数图象的特征与a,b,c的关系

字母的符号图象的特征

a>0开口向上

a

a<0开口向下

b=0对称轴为y轴

bab＞0（a与b同号）对称轴在y轴左侧

ab＜0（a与b异号）对称轴在y轴右侧

c=0经过原点

cc>0与），轴正半轴相交

c<0与y轴负半轴相交

h2-4ac=0与X轴有唯一交点（顶点）

tr-4acb2-4ac>0与X轴有两个交点

b2-4ac<0与X轴没有交点

四、抛物线的平移

1.将抛物线解析式化成顶点式）=心-»2+上顶点坐标为（/?,k）.

2.保持产aF的形状不变，将其顶点平移到（〃，A）处，具体平移方法如下:

向上（后＞0）【或下（衣0）】平移我个单位

y=ax2*y=a^+k

向右口＞0）向右仇＞0）

［或左仇＜0）］［或左仇＜0）］

平移I川个单位平移I川个单位

V

y=a(x-hyay=a(x-h)2+k

向上出＞0）［或下（左＜0）］平移14个单位

3.注意

3

二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化

后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式.

五、二次函数与一元二次方程的关系

I.二次函数）'=加+法+。（4和），当）=0时，就变成了一元二次方程4*+版+片05#））.

2.加+灰+。=0（存0）的解是抛物线尸I?+灰+以中0）的图象与x轴交点的横坐标.

3.（1）〃-4砒＞00方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点：学#科网

（2）〃-4收=0=方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；

（3）/-4於＜0Q方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点.

考点突破

考向一二次函数的有关概念

1.二次函数的一般形式的结构特征：①函数的关系式是整式；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不

等于零

2.一般式，顶点式，交点式是二次函数常见的表达式，它们之间可以互相转化.

典例引领

典例1下列函数中，二次函数是

A.y=-4x+5B.y=x(2x-3)

1

C.产(x+4)2-x2D.>'=—

X

典例2函数产（m+1）是二次函数，则m的值是

A.±1B.1

C.-1D.以上都不对

变式拓展

1.下列函数中，y关于x的二次函数是

A.B.y=x(x-1)

4

C.）=3D.产（x-1）2r2

X

2.如果广（所1）12_火+6是关于x的二次函数，那么。的取值范围是

A.a#0B.a=f^\

C.存1且存0D.无法确定

考向二二次函数的图象

二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，叫做抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛

物线的交点叫做抛物线的顶点.

典例引领

典例3函数y=ox2+6x+a+/?（存0）的图象可能是

C.改：/D.

o\XLZxo\।/X

।«

典例4如果二次函数y=or2+bx+c（的幻）的图象如图所示,那么下列不等式成立的是

A.<7>0B.b<0

C.ac<0D.bc<0

变式拓展

5

3.如果〃、人同号，那么二次函数严加+法+1的大致图象是

4.已知函数y=or+b的大致图象如图所示，那么二次函数严加+灰+1的图象可能是

5.二次函数产以2+"+c（〃用）的图象如图所示，则下列结论正确的是

6

A.a<0

C.a+b+c>0D.b2-4ac<0

考向三二次函数的性质

二次函数的解析式中，a决定抛物线的形状和开口方向，h,k仅决定抛物线的位置.若两个二次函数的图

象形状完全相同且开口方向相同，则它们的二次项系数。必相等.

典例引领

典例5二次函数产/+2%+3的图象的开口方向为

A.向上B.向下

C.向左D.向右

典例6对于抛物线尸-(x+2)2+3,下列结论中正确结论的个数为

①抛物线的开口向下；②对称轴是直线4-2；

③图象不经过第一象限：④当x>2时，y随x的增大而减小.

A.4B.3

C.2D.1

变式拓展

6.如果二次函数)，=以2+法+C的图象全部在X轴的下方，那么下列判断正确的是

A.a<0,b<0B.«>0,b<0

C.a<0,c>0D.a<0,c?<0

7.对于下列结论:

7

①二次函数)=6x2,当x>0时，了随X的增大而增大.

②关于x的方程a(x+m)2+8=0的解是xi=-2,xi-\(a、m、b均为常数，a/)),则方程a(x+ni+2)

2+b-0的解是xi=Y,X2—1.

③设二次函数y=x2+6x+c,当它1时，总有)20,当1M3时，总有)W0,那么c的取值范围是e3.

其中，正确结论的个数是

A.0个B.1个

C.2个D.3个

考向四二次函数的平移

1.抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关.

2.涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式产a(x-/7)2+Z的形式.

3.抛物线的移动主要看顶点的移动，)=以2的顶点是(0,0),尸a(x-h)2的顶点是(h,0),产“(x-

h)2+k的顶点是(h,k).

4.抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移.

典例引领

典例7如果将抛物线>=-炉_2向右平移3个单位长度，那么所得到的新抛物线的表达式是

A.y-jfiSB.尸7；2+I

C.y=-(x-3)2-2D.y=-(x+3)2-2

典例8如图，如果把抛物线y=N沿直线尸x向上方平移2&个单位后，其顶点在直线产x上的A处，那

么平移后的抛物线解析式是

A.产（x+2&）2+2及

8

C.)>=(X-2V2)2+2立D.>>=(x-2)2+2

变式拓展

8.已知抛物线C：产N+2A3,将抛物线C平移得到抛物线C',如果两条抛物线，关于直线x=l对称，那

么下列说法正确的是

A.将抛物线C沿x轴向右平移-个单位得到抛物线C'

2

B.将抛物线C沿x轴向右平移4个单位得到抛物线C

7

C.将抛物线C沿x轴向右平移一个单位得到抛物线C'

2

D.将抛物线C沿x轴向右平移6个单位得到抛物线C，

9.把抛物线y=12x2-l先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为

A.y=12(x+1)2-3B.y=12(x-1)2-3

C.y=\2(x+1)2+lD.y=12(x-1)2+l

考向五二次函数与一元二次方程、不等式的综合

抛物线)，=以2+公+以W0)与x轴的交点个数及相应的一元二次方程根的情况都由A=b^ac决定.

1.当/>0,即抛物线与X轴有两个交点时，方程以2+〃x+c=0有两个不相等的实数根，这两个交点的横坐标

即为一元二次方程的两个根.

2.当/=0,即抛物线与x轴有一个交点(即顶点)时，方程ox2+bx+c=0有两个相等的实数根，此时一元二

次方程的根即为抛物线顶点的横坐标.

3.当/<0,即抛物线与x轴无交点时，方程ax2+bx+c=0无实数根，此时抛物线在x轴的上方(«>0时)或

在x轴的下方Q<0时).

典例引领

典例9二次函数产以2+力x+c中，函数y与自变量X的部分对应值如下表，则方程62+力x+c=o的一个解的

范围是

X6.176.186.19

y-0.03-0.010.02

9

A.-0.03<x<-0.01B.-0.01<x<0.02

典例10如图是二次函数尸〃(x+1)2+2图象的一部分，则关于x的不等式。G+1)2+2>0的解集是

X

A.x<2B.x>-3

C.—3*cx<lD.x<-3或Ql

变式拓展

10.如图是二次函数)^ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c>0的解集是

A.-\<x<5

C.x<—1D.x<-\或x>5

11.抛物线y=2^-4x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程2x2-4x+m=0的解是.

10

考向六二次函数的实际应用

在生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，解决这类问题的一般思路：首先要读懂题意,

弄清题目中牵连的几个量的关系，并且建立适当的直角坐标系，再根据题目中的已知条件建立数学模型,

即列出函数关系式，然后运用数形结合的思想，根据函数性质去解决实际问题.

典例引领

典例11如图，正方形ABCD的边长为5,点E是AB上一点，点尸是延长线上一点，且四

边形AEGF是矩形，则矩形AEGF的面积y与BE的长x之间的函数关系式为

A.y=5-x

典例12烟花厂为雁荡山旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间/(s)

的关系式是人=-2广+20什］,若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间

2

为

11

A.3sB.4sC.5sD.6s

变式拓展

12.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1

元，每星期可多卖出20件.设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的

关系式为

A.y=60(300+20.0B.>­=(60-x)(300+20x)

C.产300(60-20%)D.产(60-x)(300-20x)

13.图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在/时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m,水

面宽4m.如图(2)建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是

A.y=-2x2y=2^

C.y=-O.5x2)=0.5/

7达标测评

1.若>=(3—加)短几7是二次函数，则机的值是

A.±3B.3

C.-3D.9

2.将抛物线平移得到抛物线1^5,下列叙述正确的是

A.向上平移5个单位长度B.向下平移5个单位长度

C.向左平移5个单位长度D.向右平移5个单位长度

3.二次函数y=f-2x+l的图象与x轴的交点情况是

12

A.有一个交点B.有两个交点

C.没有交点D.无法确定

4.二次函数)'=以2+加什。与一次函数y=or+c在同一直角坐标系内的大致图象是

5.二次函数广(x-2)2+加的图象如图所示，一次函数产依+8的图象经过该二次函数图象上的点A(1,0)

及点B(4,3),则满足丘+桁(x-2)2+〃?的x的取值范围是

A.\<x<4

C.x>4D.烂1或x>4

6.如图，已知正方形ABCD的边长为4,P是BC边上一动点(与8,C不重合)，连接AP,作

交/BCD的外角平分线于E,设BP=x,的面积为y,则y与x的函数关系式是

A.产一f+4xB.y=-x-2x2

C.y—x?+2xD.y=/-4x

-2

7.如图是抛物线形拱桥,当拱顶高离水面2m时，水面宽4m,水面下降2.5m,水面宽度增加

13

A.1m

C.3mD.6m

8.已知二次函数)=加+法+。(a#0)的图象如图，有下列5个结论：①Mc<0；②3q+c>0；③4“+26+c>0；

®2a+b=Q;⑤户>4ac.其中正确的结论的有

A.2个

C.4个

9.抛物线产(x-2)(x+3)与y轴的交点坐标是.

10.若A(-3.5,yi)、B(-1,x)、C(1,乃)为二次函数y=-『-4x+5的图象上三点，则yi，》2,”的大

小关系是.(用〉连接)

11.二次函数y=x(x-6)的图象的对称轴是.

12.已知一个二次函数的图象经过A(1,6)、B(-3,6)、C(0,3)三点，求这个二次函数的解析式，

并指出它的开口方向.学#科网

13.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形绿化带A8CQ,

14

绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住(如图).设绿化带的BC边长为xm,绿化带的

面积为yn?.

(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.

(2)当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？

/

/

/

/

/

/

/

/

/25m

/

/

/

/

/

17

14.已知二次函数产-万/力+不.

(1)用配方法把这个二次函数的解析式化为尸a(x+m)2+左的形式；

(2)写出这个二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴；

117

(3)将二次函数产-士/的图象如何平移能得到二次函数产-的图象，请写出平移方法.

15

一实战演练

1.抛物线)，=2(x-3)2+4顶点坐标是

A.(3,4)B.(-3,4)

C.(3,-4)D.(2,4)

2.若抛物线产-f+fex+c经过点(-2,3),则2c-4乒9的值是

A.5B.-1C.4D.18

3.对于二次函数)=-(x-1)2+2的图象与性质，下列说法正确的是

A.对称轴是直线41,最小值是2

B.对称轴是直线41,最大值是2

C.对称轴是直线A1,最小值是2

D.对称轴是直线户-1,最大值是2

4.已知抛物线产a?(«>0)过A(-2,》)、B(1,/)两点，则下列关系式一定正确的是

A.yi>0>y2B.y2>0>yi

C.yi>y2>0D.”>%>0

5.若一次函数产(“+1)x+a的图象过第一、三、四象限，则二次函数产以Lor

A.有最大值3B.有最大值

44

c.有最小值3D.有最小值

44

6.已知抛物线y=f-2nu-4(“A。)的顶点M关于坐标原点。的对称点为AT,若点”在这条抛物线上，则

点M的坐标为

A.(1,-5)B.(3,-13)

C.(2,-8)D.(4,-20)

7.将函数尸？的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A(1,4)的方法是

A.向左平移1个单位B.向右平移3个单位

C.向上平移3个单位D.向下平移1个单位

8.在平面直角坐标系xOy中，二次函数产"的图象如图所示，下列说法正确的是

16

丁

X

A.abc<Or炉一4。。>0B.ahc>0,b2-4ac>0

2

C.abc<Ofkr-^ac<QD.abc>Ofb-4ac<0

9.下表是一组二次函数产/+3A5的自变量冗与函数值y的对应值：

X11.11.21.31.4

y-1-0.490.040.591.16

那么方程/+3A5=0的一个近似根是

A.1B.1.1C.1.2D.1.3

10.已知抛物线产加+fex+c（〃和）的对称轴为直线x=2,与无轴的一个交点坐标为（4,0）,其部分图象

如图所示，下列结论：

①抛物线过原点；

②44+6+<?=0：

③a-/>+c<0；

④抛物线的顶点坐标为（2,匕）；

⑤当x<2时，），随x增大而增大.

其中结论正确的是

y,x=21

A.①②③B.③④⑤

C.①②④D.①④⑤

11.若抛物线y=a>r+bx+c的开口向下，则a的值可能是__________.（写一个即可）

17

12.如图，二次函数严加+&v+c•的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（'，1），下列结论：①。机>0;

②③a=4c-4；④方程a^+hx+c=\有两个相等的实数根，其中正确的结论是.（只填

序号即可）

y个

1X

-

2

13.已知函数y=-（x-l/图象上两点A（2,yi）,Bia,竺）,其中a>2,则）」与卜2的大小关系是％________,V2

（填或"=”）.

14.经过A（4,0）,B（-2,0）,C（0,3）三点的抛物线解析式是.

15.某商品的进价为每件40元，售价为每件60元时，每个月可卖出100件；若每件商品的售价每上涨

1元，则每个月少卖2件.设每件商品的售价为x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元.

（1）当每件商品的售价是多少元时，每个月的利润刚好是2250元？

（2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？

16.如图，在平面直角坐标系中，抛物线尸-f+ax+b交x轴于A（1,0）,B（3,0）两点，点P是抛物线

上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C.

（1）求抛物线y=-^-+ax+b的解析式；

（2）当点P是线段BC的中点时，求点尸的坐标；

（3）在（2）的条件下，求sinNOCB的值.

18

附：二次函数专题训练

一、关于等腰三角形问题

1、如图，在平面直角坐标系中，二次函数'=公2+笈+。交x轴于点4—4,0)、B(2,0),交y轴于点

C(0,6),在y轴上有一点£((),一2),连接AE.

(1)求二次函数的表达式；

(2)若点。为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求A4DE面积的最大值；

(3)抛物线对称轴上是否存在点P,使A4EP为等腰三角形，若存在，请直接写出所有尸点的坐标，若

不存在请说明理由.

19

2、如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点

C(3,0).

(1)求抛物线的解析式;

⑵在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使4ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q

点坐标；若不存在，请说明理由.

二、二次函数关于垂直问题

20

1、如图，4ABC是直角三角形，NACB=90,AC=BC,OA=1,0C=4,抛物线丫=/+区+。经过A,B

两点，

抛物线的顶点为D.

（1）求&c的值；

（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线

于点F,当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；

（3）在（2）的条件下：①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否

存在一点P,使4EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存

在，说明理由.

21

2、如图，是将抛物线产平移后得到的抛物线，其对称轴为41,与x轴的一个交点为A（-1,0）,另

一交点为B,与y轴的交点为C.

（1）求抛物线的函数表达式;

（2）若点N为抛物线上一点，且BC_LNC,求点N的坐标;

33

（3）点尸是抛物线上一点，点。是一次函数尸的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形,

22

这样的点P,。是否存在？若存在，分别求出点P,Q的坐标；若不存在，说明理由.

三、二次函数关于平行四边形问题

1、如图，是将抛物线y=-x2平移后得到的抛物线，其对称轴为x=l,与x轴的一个交点为A

22

(-1,0),另一个交点为B,与y轴的交点为C.

(1)求抛物线的函数表达式；

(