数学说题案例(上传)

说题题目：2012年广东高考理科19题2013年9月23日题目：设数列的前项和为，满足，，且成等差数列。〔1〕求的值；〔2〕求数列的通项公式；〔3〕证明：对一切正整数，有。一、目标：数列是高中数学的重要内容之一，也是高考考查的重点。而且往往还以解答题的形式出现，所以我们在复习时应给予重视。近几年的高考数列试题不仅考查数列的概念、等差数列和等比数列的根底知识、根本技能和根本思想方法，而且有效地考查了学生的各种能力。解答题大多以考查数列内容为主，并涉及到函数，不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，放缩，等数学思想方法.。二、题目难度：此题是2012年广东高考理科第19题，题目的难度是属于中高难度。第一小问属于比拟根底的题目，一般在中等学生都可以进行解答，而第二小问需要构建一个新的数列，利用等比数列进行求解，难度中上。第三小问的难度就比拟大，对中等或中上以上的学生进行考察，能让学生有明显的区分度。三、此题立意：该题是2012年广东高考数学理科第19题。第〔1〕问是比拟根底的知识，，成等差数列。只要掌握等差数列的根本公式和数列的递推，只要是考察学生对数列根底知识的掌握程度。而第〔2〕问是数列通项公式的求法，得到后需要构造一个新的数列，那么，从而得到数列的形式，主要考察学生对递推数列的理解程度。和等比数列的通项公式。第〔3〕问那么要用到二项式定理，或课本的掌握，所以，该题的目的是考察学生对递推数列，等差等比数列的通项公式，二项式定理、列项相消法、等比数列求和，放缩法等方法的掌握程度，考察是否有比拟扎实的数学功底，还要对所学的知识进行融会贯穿，各个知识点联系和运用。知识的跨度和灵活度都比拟大，题目难度较大。能区分不同层次的学生。四、解题思路：第〔1〕问：从题目给出的条件：，成等差数列，比拟容易让学生联想到等差数列的有关公式，和与的关系，比拟容易得到的值，当然，对一些根底不是很好的学生，可以直接用递推的方法直接得到答案。例如：当时,,即,当时,,即,又〔出自课本必修五P31例3〕联立上述三个式子可得.第〔2〕问：当时,由得,两式相减整理得〔公式源自课本必修五P66第三题〕，最关键的一步是如何处理成：〔或〕的形式，然后构造一个新的等比数列求解。关键是引导学生在得到后两边是同时除以，而不是除以。要有递推数列的意识。第〔3〕问：在第〔2〕问得到后，要得到，肯定需要用到放缩法。关键的处理时的分解。常规的平方差公式不行。高次方的分解可以使用二项式定理或对底数进行适当放缩。难点就是用二项式定理后如何进行适当放缩。所以，第〔3〕问解答的难点是将从而得到之后如何进行放缩的问题。同时，针对学生的根底，需要引导学生如何拿到分步的根底分。不要因为没有明显的思路或难以分析就直接整题都放弃。五、讲解策略：第〔1〕问属于根底题，可以让学生自己摸索解决，只要给一定的时间，让他独立进行递推数列的推导，不难得到。只要学生懂得数列的递推就可以了。〔个别根底较差的可以适当引导〕。推导过程：当时,,即,当时,,即,又联立上述三个式子可得.第〔2〕问需要用到，在得到后，第一个难点:由于不是常数，〔k为常数〕形式不能解决问题，要引导学生学会递推数列的真正含义。会处理成递推数列的形式：。第二个难点：构造一个新的数列，那么，从而得到〔方法源自课本必修五P69第6题〕再利用等比数列公式，最后得到。第三个难点：得到后，要得到，肯定需要用到放缩法。关键的处理时的分解。如果使用二项式定理，懂将从而得到〔要得到，常用的是拆项相消法。只需要利用〕。第四个难点：拆项相消：又因为,所以,所以所以〔出自课本必修五P47第4题〕在题目的讲解和引导中，要充分考虑上述几个难点，给学生分析和探索的时间。对关键点的解答要进行适当的引导。解题思路二：〔分解因式，直接放缩〕〔解法二：∵〔出自课本必修五P62第一题〕∴∴，解法二相对解法更直接，但是要会进行n次方差的因式分解，和数列的放缩。可以让学生自己进行分析和尝试。六、题目的价值和效果：此题是2012年广东高考理科19题，以知识和方法立意，考察了：递推数列，等差数列通项公式，等比数列通项公式；知求对应公式，，二项式定理，〔解法一〕列项相消求和〔解法一〕，等比数列的求和〔解法二〕不等式的放缩。的分解〔解法二〕。等知识点。题目入手容易〔第一问〕，融合了众多的知识点，所用方法和考察点都出自课本，很好地考察了学生对根底知识的掌握程度，和各局部知识点的联系，和知识的综合运用程度，在题目解答过程中个适当地插入课本对数列不同知识点的要求和方法，既有根底，又适当拔高难度。要求学生对课本的根本公式和定理比拟熟悉，还能灵活运用。在高考中将不同层次的学生很好地进行区分。这样的命题思路和形式在2013年的高考中得到充分的表达。2013年广东高考的数列题的解题思路和知识点的考察与2012年的高度相似。值得我们探讨和研究。七、题目很好地表达了广东高考：源于课本，高于课本的原那么。解题过程中需要用到的公式或方法根本都是出自课本，很好地表达了广东高考数学题目源自课本，高于课本的原那么。〔1〕例如：与课本必修五第62页第〔1〕题：求证：是一样的。如果学生会使用，高考中利用解法二会简单很多。〔2〕新数列的构建是教学中学生比拟难理解和掌握的方法，例如题目中：由，在得到后，由于不是常数，利用〔k为常数〕形式不能解决问题，要得到递推数列的形式：，需要构造一个新的数列，那么，从而得到这样的方法源自课本必修五P69第6题：数列中，，该题解答中也需要将：化为：形式。然后构建一个新的数列然后得到。比照可以发现，两题的解法几乎一致。还有列项相消，数列递推，二项式定理，数列求和等方法，在课本都能找到出处〔局部在前面已经列举〕。所以通过题目的讲解和练习，应该引导学生回归课本，扎扎实实打好根底，不要做一些偏题怪题。举一反三，充分理解课此题目的涵义。八、题目的推广、延伸：类似的高考题：1、〔2008广东文数〕设数列满足，，。数列满足是非零整数，且对任意的正整数和自然数，都有。〔1〕求数列和的通项公式；〔2〕记，求数列的前项和2、〔2011广东理20题〕设b>0,数列满足a1=b，.〔1〕求数列的通项公式；〔需要用到构造法〕3、〔2013广东理19题〕设数列的前n项和为Sn。。〔1〕求a2的值；〔2〕求数列的通项公式；〔3〕证明：对一切正整数n，有。也要用到构造新数列的方法，递推法，放缩法，裂项相消法等，解题方法与2012年的19题非常相似。课外让学生通过上述例子的比