2021中考数学专题复习第七讲一元二次方程

2024/3/272021中考数学专题复习第七讲一元二次方程一、一元二次方程的概念1.定义:只含有__个未知数,并且未知数的最高次数是__的整式方程.2.一般形式:________________.12ax2+bx+c=0(a≠0)二、一元二次方程的解法解法形式方程的根直接开平方法x2=p(p≥0)x=___(mx+n)2=p(p≥0,m≠0)x=_______配方法(x-m)2=n(n≥0)x=_______公式法ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0)x=_________因式分解法(x-x1)(x-x2)=0x=_______x1或x2三、根的判别式与一元二次方程的根的情况1.Δ=b2-4ac>0⇔方程_____________的实数根.2.Δ=b2-4ac=0⇔方程___________的实数根.3.Δ=b2-4ac<0⇔方程_____实数根.有两个不相等有两个相等没有四、根与系数的关系如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2=___,x1·x2=__.【自我诊断】(打“√”或“×”)1.方程ax2+bx=0(a≠0)是一元二次方程.()2.一元二次方程x2-8x-1=0配方后可变形为(x+4)2=17.()3.一元二次方程2x2-3x+k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是k<.()√×√4.已知关于x的方程x2-kx-6=0的一个根为x=3,则实数k的值为1.()5.x=0是一元二次方程x2-2x=0的根.()√√6.某果园2014年水果产量为100吨,2016年水果产量为144吨,求该果园水果产量的年平均增长率.设该果园水果产量的年平均增长率为x,则根据题意可列方程为100(1+x)2=144.()√考点一一元二次方程的解【示范题1】(2017·威海中考)若1-是方程x2-2x+c=0的一个根,则c的值为()A.-2 B.4-2C.3- D.1+【思路点拨】把x=1-代入已知方程,可以列出关于c的新方程,通过解新方程即可求得c的值.【自主解答】选A.∵关于x的方程x2-2x+c=0的一个根是1-,∴(1-)2-2(1-)+c=0,解得,c=-2.【答题关键指导】已知方程的根求未知系数已知一根直接代入原方程,得到一个关于未知系数(参数)的方程,解方程求出未知系数的值已知两根把两个根直接代入原方程,列出关于未知系数的方程组,解方程组,求出未知系数利用根与系数的关系求解注意隐含条件:二次项系数不为0.【变式训练】1.(2017·广东中考)如果2是方程x2-3x+k=0的一个根,则常数k的值为()A.1B.2 C.-1 D.-2【解析】选B.把x=2代入方程x2-3x+k=0得22-3×2+k=0,解得k=2.2.(2017·菏泽中考)关于x的一元二次方程(k-1)x2+6x+k2-k=0的一个根是0,则k的值是________.【解析】把x=0代入方程(k-1)x2+6x+k2-k=0,得k2-k=0,解得k=1(舍去),或k=0.答案:0考点二一元二次方程的解法【示范题2】(2017·德州中考)方程3x(x-1)=2(x-1)的根是________.【思路点拨】可用因式分解法来求解.【自主解答】原方程可化为3x(x-1)-2(x-1)=0,即(x-1)(3x-2)=0,所以x-1=0,3x-2=0,解得x1=1,x2=答案:x1=1,x2=

【答题关键指导】一元二次方程的解法选择(1)直接开平方法适用情况①当方程缺少一次项时,即方程ax2+c=0(a≠0,ac<0).②形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.(2)因式分解法适用情况①缺少常数项,即方程ax2+bx=0(a≠0).②一元二次方程的一边为0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积.(3)配方法适用情况①二次项系数化为1后,一次项系数是偶数的一元二次方程.②各项的系数比较小且便于配方的情况.(4)公式法适用情况:形如ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0)的方程.【变式训练】(2017·丽水中考)解方程(x-3)(x-1)=3.【解析】原方程可化为x2-4x+3=3,即x2-4x=0,x(x-4)=0,解得x1=0,x2=4.考点三根的判别式及其应用【示范题3】(2017·枣庄中考)已知关于x的一元二次方程ax2-2x-1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是________.【思路点拨】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠0且Δ=(-2)2-4a(-1)>0,然后求出两个不等式的公共部分即可.【自主解答】根据题意得a≠0且Δ=(-2)2-4a(-1)>0,解得a>-1且a≠0.答案:a>-1且a≠0【答题关键指导】根的判别式的三个作用(1)不解方程,直接判断一元二次方程根的情况.(2)根据方程根的情况,确定某个未知系数的值(或范围).(3)证明一个一元二次方程根的情况.【变式训练】1.(2017·滨州中考)一元二次方程x2-2x=0根的判别式的值为()A.4 B.2 C.0 D.-4【解析】选A.根的判别式可表示为b2-4ac,在这个方程中,a=1,b=-2,c=0,所以b2-4ac=(-2)2-4×1×0=4.2.(2017·潍坊中考)已知关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有实数根,则k的取值范围是________.【解析】∵一元二次方程kx2-2x+1=0有实数根,∴Δ=(-2)2-4k≥0且k≠0,解得,k≤1且k≠0.答案:k≤1且k≠0考点四一元二次方程的应用【示范题4】(2017·菏泽中考)某玩具厂生产一种玩具,按照控制固定成本降价促销的原则,使生产的玩具能够及时售出,据市场调查:每个玩具按480元销售时,每天可销售160个;若销售单价每降低1元,每天可多售出2个,已知每个玩具的固定成本为360元,问这种玩具的销售单价为多少元时,厂家每天可获利润20000元?【思路点拨】设这种玩具的销售单价为x元时,厂家每天可获利润20000元.∵销售单价每降低1元,每天可多售出2个,∴现在销售[160+2(480-x)]个,再利用获利润20000元,列一元二次方程求解.【自主解答】设这种玩具的销售单价为x元时,厂家每天可获利润20000元,由题意得(x-360)[160+2(480-x)]=20000,(x-360)(1120-2x)=20000,(x-360)(560-x)=10000,x2-920x+211600=0,(x-460)2=0,x1=x2=460,∴这种玩具的销售单价为460元时,厂家每天可获利润20000元.【答题关键指导】1.增长率问题的有关公式增长数=基数×增长率;实际数=基数+增长数.(1)两次增长,且增长率相等的问题的基本等量关系式为:原来的×(1+增长率)2=后来的.(2)如果是下降率,则上述关系式为:原来的×(1-下降率)2=后来的.2.与几何图形有关的计算问题解题关键是依据几何图形的性质寻求问题中的等量关系.3.商品利润问题利润=售价-进价=进价×利润率.【变式训练】1.(2017·安徽中考)一种药品原价为每盒25元,经过两次降价后每盒16元.设两次降价的百分率都为x,则x满足()A.16(1+2x)=25 B.25(1-2x)=16C.16(1+x)2=25 D.25(1-x)2=16【解析】选D.第一次降价后的价格为25(1-x),第二次降价后的价格为25(1-x)2,则25(1-x)2=16.2.(2017·烟台中考)今年,我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召,开设了“足球大课间”活动.现需要购进100个某品牌的足球供学生使用.经调查,该品牌足球2015年单价为200元,2017年单价为162元.(1)求2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率.(2)选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商店有不同的促销方案:试问去哪个商场购买足球更优惠?【解析】(1)设该品牌足球单价平均年降低的百分率为x.根据题意,得200(1-x)2=162.解得x1=0.1=10%,x2=1.9(舍去).答:2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%.(2)到A商场购买91个足球,赠送9个足球,共100个足球,总价=91×162=14742(元).到B商场购买总价=100×162×0.9=14580(元).∵14580<14742,∴去B商场购买更优惠.3.(2017·常德中考)收发微信红包已成为各类人群进行交流联系、增强感情的一部分.下面是甜甜和她的双胞胎妹妹在六一儿童节期间的对话.请问:(1)2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年平均增长率是多少?(2)2017年六一甜甜和她妹妹各收到了多少钱的微信红包?【解析】(1)设2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年平均增长率是x,根据题意列方程得:400(1+x)2=484,解得x1=0.1,x2=-2.1(舍),故年平均增长率为10%.(2)设2017年六一甜甜收到的微信红包为y元,则妹妹收到的红包为(2y+34)元,根据题意列方程得:y+(2y+34)=484,解得y=150.故甜甜收到的微信红包为:150元,妹妹收到的微信红包为2y+34=334元.考点五根与系数的关系及其应用

【考情分析】一元二次方程根与系数的关系的层级为了解,但根与系数的关系在各地中考考查中均有体现,是一元二次方程的一个重要考向,常与代数式求值、一元二次方程根的判别式、不等式(组)、解方程、几何图形等知识综合考查,各种题型均有体现.命题角度1:根据根与系数的关系求未知系数【示范题5】(2017·烟台中考)若x1,x2是方程x2-2mx+m2-m-1=0的两个根,且x1+x2=1-x1x2,则m的值为()A.-1或2 B.1或-2C.-2 D.1【思路点拨】先由一元二次方程根与系数的关系,得出x1+x2与x1x2的值,代入x1+x2=1-x1x2中,得出关于m的一元二次方程,解方程得出m的值,再保证Δ≥0,综合得出答案.【自主解答】选D.由一元二次方程根与系数的关系,得x1+x2=2m,x1x2=m2-m-1.因为x1+x2=1-x1x2,所以2m=1-(m2-m-1).解得m1=1,m2=-2.又因为Δ=4[m2-(m2-m-1)]≥0.解得m≥-1.综上,m的值为1.命题角度2:确定与两根有关的代数式的值【示范题6】(2017·淄博中考)已知α,β是方程x2-3x-4=0的两个实数根,则α2+αβ-3α的值为________.【思路点拨】根据根与系数的关系得到α+β=3,αβ=-4,再把原式变形得到α(α+β)-3α,然后利用整体代入的方法计算即可.【自主解答】根据题意得α+β=3,αβ=-4,所以原式=α(α+β)-3α=3α-3α=0.答案:0【答题关键指导】1.利用根与系数的关系求某些代数式的值的步骤(1)算:计算出两根的和与积.(2)变:将所求的代数式表示成两根的和与积的形式.(3)代:代入求值.2.利用根与系数的关系的两个前提条件(1)二次项的系数a≠0.(2)方程有实数根.【变式训练】1.(2017·泰州中考)方程2x2+3x-1=0的两个根为x1,x2,则的值等于________.【解析】根据根与系数的关系可知,答案:32.(2017·北京中考)关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+2k+2=0.(1)求证:方程总有两个实数根.(2)若方程有一根小于1,求k的取值范围.【解析】(1)∵Δ=[-(k+3)]2-4(2k+2)=k2-2k+1=(k-1)2≥0,∴方程总有两个实数根.(2)∵x2-(k+3)x+2k+2=(x-2)(x-k-1)=0,∴x1=2,x2=k+1,∵方程有一根小于1,∴k+1<1,∴k<0.即k的取值范围为:k<0.3.(2017·黄冈中考)已知关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2=0①有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围.(2)设方程①的两个实数根分别为x1,x2,当k=1时,求的值.【解析】(1)∵方程有两个不相等的实数根,∴Δ=(2k+