《创新学习与理科建模》讲座课件

创新学习与理科建模

一个残缺的国际象棋棋盘,它有两个角被切掉了,现只剩下62个正方形。假若你有31张牌,每一张恰好可以遮盖棋盘上两个正方形。你是否能够用牌把这个棋盘上的所有部分盖住呢?有A、B两人，他们每人拿了一张卡片，这两张卡片都写着一个正整数，已知两数之差为1。但每人只能看见对方手里的数字而不知道自己的。下面是他们两人的一段对话：

A:我不知道我拿的是什么数。

B:我也不知道我拿的是什么数。

A:我还是不知道我拿的是什么数。

B:我还是不知道我拿的是什么数。

A:我也还是不知道我拿的是什么数。

B:我现在知道我拿的是什么数了。

A:我也知道我拿的是什么数了。两人拿的分别是什么数？“创新就是和别人看同样的东西却能想出不同的事情”诺贝尔物理奖获得者艾伯特·詹奥吉

屠呦呦诺贝尔生理或医学奖得主

《肘后备急方》

（青蒿一握，以水渍之，绞取汁，尽服之）8910“分形”一词译于英文Fractal。Mandelbrot发现整个宇宙以一种出人意料的方式构成自相似的结构。。13创新性学习的典型代表理科学科建模问题：树上有十只鸟，开枪打死一只，还剩几只？9只？还是0只？这是一道脑筋急转弯。但他一样是数学建模问题，不过答案就不重要了，重要的是思维过程。数学建模高手应该这样回答这道题！

关于枪的假设：是有声手枪还是无声手枪？是有声手枪。枪声有多大？80—100分贝。那就是说会震得耳朵疼？是。关于鸟的假设您确定鸟里真的没有聋子？没有。有没有关在笼子里的？没有。边上还有没有其他的树，树上还有没有其他的鸟？没有有没有残疾的鸟或饿得飞不动的鸟？没有。打鸟的人眼有没有花？保证是十只？没有花，就十只。有没有傻得不怕死的鸟？都怕死。会不会一枪打死两只？不会。所有的鸟都可以自由活动吗？完全可以。如果您的回答没有骗人，打死的鸟要是挂在树上没掉下来。那么就剩一只，若果掉下来，就一只不剩。不是开玩笑，这就是数学建模。尽可能多角度，多维度的思考问题，这是数学建模的思维特性。

数学模型（MathematicalModel）

对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学表述.数学建模（MathematicalModeling）应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的全过程。（包括表述、求解、解释、检验等）建模旨在培养“用知识”的能力建模与其说是一门技术(大致有章可循)，不如说是一门艺术(无法归纳成普遍适用的准则）操作性思想方法：换元法、配方法、待定系数法、割补法、构造法、等。逻辑性思想方法：抽象、概括、分析、综合、演绎等。策略性思想方法方程与函数、化归、猜想、数形结合、整体与系统等。操作性思想方法、策略性思想方法，逻辑性思想方法从思维的角度上看，层次是逐渐上升的。思想方法层次预测模型评价模型经济、人口的增长，资源、能源的消耗等优化模型

初等模型常见的模型产品的生产，资源的分配等几何图形模型、方程或不等式模型、函数模型某一决策方案的好坏，三好学生的评判等1、学校食堂排队（优化模型）2、房价趋势（预测模型）3、评价模型复旦大学自主招生试题：玉皇大帝与如来佛祖谁大？目标层O(选择旅游地)P2黄山P1桂林P3北戴河准则层方案层C3居住C1景色C2费用C4饮食C5旅途选择旅游地如何在3个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择.“选择旅游地”思维过程的归纳

将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P。每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。

通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。对中学生来说，建模就是应用所学知识解决实际问题！中学学科建模的意义

1.培养创新意识和创造能力

2．训练快速获取信息和资料的能力

3．锻炼快速了解和掌握新知识的技能

4．培养团队合作意识和团队合作精神

5．增强写作技能

6．增强发现问题与解决问题的能力

7．优秀论文可在权威期刊发表，获得升学推力

8．更重要的是训练人的逻辑思维和开放性思考方式建模原则

必须以实验、调查所得的数据为基础,以事实为依据。利用实验、调查可以积累数据､形成表象,再经过抽象概括,从而“提炼”出模型｡另外,模型正确与否及其适用范围,都必须以实验事实为标准来判断,并随着新的实验事实的出现而不断修正､完善和发展。建模思维：综合应用各种思维方法,才能建立正确的模型

(1)抽象思维､形象思维两种思维方式不可偏废｡（2）收敛思维与发散思维相结合（3）逻辑思维与辩证思维是保证假说｡由于事物的复杂性,某些事物的本质､组成､结构､规律等比较隐蔽,人们当时还搞不清楚,这时就要在观察､实验､思维的基础上提出假设,建立起一个模型｡重要的思维方法！---假设建模方法（1）类比法（2）控制变量法（3）调查统计法（4）动态模拟法（5）估算法建模成功与否，关键在假设，在切合实际与科学简化之间选择恰当的平衡点,体现了建模工作的想象力和创造力。“合理的假设”主要作用是简化问题以便在有限的时间内能应用所学知识产生解决方案、提供某些必须而又无法采集到的信息。最后通过灵敏度分析，检验模型的可信度和有效度。一人看到闪电12.3s后又听到雷声。已知空气中的声速约为330m/s~340m/s，光速为3×108m/s，于是他用12.3除以3很快估算出闪电发生位置到他的距离为4.1km。根据你所学的知识可以判断。A.这种估算方法是错误的，不可采用。B.这种估算方法可以比较准确地估算出闪电发生位置与观察者间的距离。C.这种估算方法没有考虑光的传播时间，结果误差很大。D.即使声速增大2倍以上，本题的估算结果依然正确。模型准备模型假设模型构成模型求解模型检验模型应用

数学建模的一般步骤数学建模的全过程现实对象的信息数学模型现实对象的解答数学模型的解答表述求解解释验证(归纳)(演绎)现实世界数学世界分类标准具体类别对某个实际问题了解的深入程度白箱模型、灰箱模型、黑箱模型表现特征确定性模型和随机型模型、静态模型和动态模型、线性模型和非线性模型、连续模型和离散模型建模中所用的数学方法初等模型、微分方程模型、差分方程模型、优化模型、概率模型等研究课题的实际范畴人口模型、生态系统模型、交通流模型、经济模型、基因模型等数学模型的分类托勒密、哥白尼、伽利略等人收集了大量的天体运行的数据资料。开普勒利用第谷近30年详细的天文观测资料，发现了行星运动三大定律。牛顿建立行星运动学方程的数学模型。建立了微积分，发展数学理论，从理论上证明开普勒三大定律。亚当斯和勒威耶分别运用天文观测资料和牛顿模型计算出海王星的轨道和位置。柏林天文台台长伽勒根据勒威耶的报告观测到海王星，验证了牛顿所建模型的正确性。模型准备模型构成模型求解模型应用模型检验包汤圆问题通常1公斤面1公斤馅包100个汤圆，今天，1公斤面不变，馅比1公斤多了，问应多包几个（每个汤圆包小一些），还是少包几个（每个汤圆包大一些）？

第一步：问题的提出

将实际问题翻译成数学问题

要将问题加以分解，分成几个层次或部分

必要时还要先学习其背景知识

预先判断即将建立什么样的模型

经验介绍归结为数学上的面积和体积的问题

包汤圆问题—问题的分析

数学问题

圆面积为S的一个皮，可以包成体积为V的汤圆．若将其分成n个皮，每个圆面积为s，包成体积为v，则V和nv哪个大呢？Ssss…Vvvv(共n个)第二步:量的分析

经验介绍首先要分清量的类型其次要分清哪些是主要量，哪些是次要量。再次，要分清量之间的关系

为了建立的模型的可读性，确定了量之后，最好用字母进行表示,一般处理大型问题的论文中，需要对量的设置单列一项符号说明。包汤圆问题—符号说明R：大皮的半径。r：小皮的半径．第三步:模型的假设

为了问题的规范化，模型的严密性。简化问题两个目的经验介绍略去枝节，保留主干，深刻认识后再添枝加叶。斩断一些关系，分割成几个小问题。重要提示：假设要合理。包汤圆问题—模型的假设1．皮的厚度一样。2．汤圆的形状一样，假设是球形。3．每种包法汤圆的大小一样．包汤圆问题—模型的建立第四步:模型的求解

求解方法解方程，图解，定理证明，逻辑推理，数值计算，统计分析等．特别是数学软件和计算机技术．

有时候得到比较优的解也是满意的．求解的过程当中，可能还要对模型不断的进行修改，从而得到问题的更好的结果．有时候也会对求解方法不断更新，以得到模型的更好结果．经验介绍包汤圆问题—模型的求解第五步:结果的分析对求解的结果可能需要误差分析，统计分析。模型对参数的灵敏度分析。对假设的强健性分析。变量之间的依赖性分析，稳定性分析。结果对实际问题的意义。参数在实际问题的中的作用。对模型进行评价，优化，甚至重新建模。第六步:模型的检验

把求解的和分析的结果翻译回到实际问题，与实际的现象、数据比较，检验模型的合理性和适用性．一个成功的模型往往是一个多次对建模步骤循环的结果．

对于包汤圆问题，我们已经在定性分析上解决了原问题，即应该少包几个．更进一步，我们可以进行定量分析，如果100个汤圆可以包1公斤馅，那么50个汤圆可以包多少馅呢？包汤圆问题—结果的分析100是50的2倍，所以50个汤圆可以包大约1．4公斤左右的馅第八步:模型的应用

模型的应用是数学建模的宗旨．一个好的模型或方法，不光可以解决目前的实际问题，还应该在更广阔的空间有着更广泛的应用．

市场上牙膏、香皂和洗发精等日用品，同一种品牌一般有规格大小不同的包装，你是选择购买大包装还是购买小包装才实惠呢？包汤圆问题—模型的推广交通灯在绿灯转换成红灯时，有一个过渡状态——亮一段时间的黄灯。请分析黄灯应当亮多久。设想一下黄灯的作用是什么，不难看出，黄灯起的是警告的作用，意思是马上要转红灯了，假如你能停住，请立即停车。停车是需要时间的，在这段时间内，车辆仍将向前行驶一段距离L。这就是说，在离街口距离为L处存在着一条停车线（尽管它没被画在地上），见图对于那些黄灯亮时已过线的车辆，则应当保证它们仍能穿过马路。

马路的宽度D是容易测得的，问题的关键在于L的确定。为确定L，还应当将L划分为两段：L1和L2，其中L1是司机在发现黄灯亮及判断应当刹车的反应时间内驶过的路程，L2为刹车制动后车辆驶过的路程。L1较容易计算，交通部门对司机的平均反应时间t1早有测算，反应时间过长将考不出驾照），而此街道的行驶速度v也是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大，可另建模型研究，从而L1=v*t1。刹车距离L2既可用曲线拟合方法得出，也可利用牛顿第二定律计算出来。黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。第一步，先计算出L应多大才能使看见黄灯的司机停得住车。第二步，黄灯亮的时间应当让已过线的车顺利穿过马路，即T至少应当达到（L+D）/v。

DL餐馆每天都要洗大量的盘子，为了方便，某餐馆是这样清洗盘子的：先用冷水粗粗洗一下，再放进热水池洗涤，水温不能太高，否则会烫手，但也不能太低，否则不干净。由于想节省开支，餐馆老板想了解一池热水到底可以洗多少盘子，请你帮他建模分析一下这一问题。盘子有大小吗?是什么样的盘子？盘子是怎样洗的?………不妨假设我们了解到：盘子大小相同，均为瓷质菜盘，洗涤时先将一叠盘子浸泡在热水中，然后一清洗。

不难看出，是水的温度在决定洗盘子的数量

。盘子是先用冷水洗过的，其后可能还会再用清水冲洗，更换热水并非因为水太脏了，而是因为水不够热了。

那么热水为什么会变冷呢？假如你想建一个较精细的模型，你当然应当把水池、空气等吸热的因素都考虑进去，但餐馆老板的原意只是想了解一下一池热水平均大约可以洗多少盘子，杀鸡焉用牛刀？

不妨可以提出以下简化假设：（1）水池、空气吸热不计，只考虑盘子吸热，盘子的大小、材料相同（2）盘子初始温度与气温相同，洗完后的温度与水温相同（3）水池中的水量为常数，开始温度为T1，最终换水时的温度为T2（4）每个盘子的洗涤时间△T是一个常数。（这一假设甚至可以去掉不要）根据上述简化假设，利用热量守衡定律，餐馆老板的问题就很容易回答了，当然，你还应当调查一下一池水的质量是多少，查一下瓷盘的吸热系数和质量等。

可见，假设条件的提出不仅和你研的问题有关，还和你准备利用哪些知识、准备建立什么样的模型以及你准备研究的深入程度有关，即在你提出假设时，你建模的框架已经基本搭好了。

2012美赛A题：一棵树的叶子

“一棵树的叶子有多重？”怎么能估计树的叶子（或者树的任何其它部分）的实际重量？怎样对叶子进行分类？建立一个数学模型来对叶子进行描述和分类。模型要考虑和回答下面的问题：

•为什么叶子具有各种形状？

•叶子之间是要将相互重叠的部分最小化，以便可以最大限度的接触到阳光吗？树叶的分布以及树干和枝杈的体积影响叶子的形状吗？

•就轮廓来讲，叶形（一般特征）是和树的轮廓以及分枝结构有关吗？

•你将如何估计一棵树的叶子质量？叶子的质量和树的尺寸特征（包括和外形轮廓有关的高度、质量、体积）有联系吗？除了你的一页摘要以外，给科学杂志的编辑写一封信，阐述你的主要发现。四足动物的身长和体重问题四足动物的躯干（不包括头尾）的长度和它的体重有什么关系？这个问题有一定的实际意义。比如，一个在生猪收购站或屠宰场工作的人，往往希望能从生猪的身长估计它的重量。四足动物的生理构造因种类不同而异，如果陷入生物学对复杂的生理结构的研究，将很难得到什么有价值的模型。为此我们可以在较粗浅的假设的基础上，建立动物的身长和体重的比例关系。本问题与体积和力学有关，搜集与此有关的资料得到弹性力学中两端固定的弹性梁的一个结果：模型准备

长度为L的圆柱型弹性梁在自身重力f作用下,弹性梁的最大弯曲v与重力f和梁的长度立方成正比，与梁的截面面积s和梁的直径d平方成反比，即。模型假设1.设四足动物躯干（不包括头尾）长度为L、断面直径为d的圆柱体，体积为m。2.四足动物的躯干（不包括头尾）重量与其体重相同，记为f。3.四足动物可看做一根支撑在四肢上的弹性梁,其腰部的最大下垂对应弹性梁的最大弯曲，记为v。dlf根据弹性理论对这种梁的研究,有

v/l

太大,四肢将无法支撑。v/l太小，四肢的材料和尺寸超过了支撑躯体的需要，无疑是一种浪费。是动物的相对下垂。因此从生物学的角度可以确定，经过长期进化，对于每一种动物，v/l已经达到其最合适的数值，即是一个常数（当然，不同种类的动物，常数值不同）于是可以得出：体重与躯干长度的四次方成正比。ProblemB:GoingGreenTheUnitedStatescanaddressitsnationalcarbonfootprintintwoways:byreducingcarbondioxideemissionsorbyincreasingcarbondioxideconsumption(sequestration).AssumethatthetotalU.S.carbondioxideemissionsarecappedat2007-2008levelsindefinitely.WhatshouldtheU.S.dotoincreasecarbondioxideconsumptiontoachievenationalcarbonneutralitywithminimaleconomicandculturalimpact?Isitevenpossibletoachieveneutrality?Modelyoursolutiontoshowfeasibility,effectiveness,andcosts.PrepareashortsummarypaperfortheU.S.Congresstopersuadethemtoadoptyourplan.

建模论文写作须知一、如何准备你的论文资料1、选择一个研究对象（可以是一种现象、一种物体或一个事件等）2、初步确定课题选择完研究对象后，可到图书馆、网络等查询相关信息，收集资料，若有条件，可与该领域的专家进行沟通。67选题新颖，有意义，力所能及.1.有意义和价值－－真实问题2.有基础－－善于观察3.有特色－－发挥想象力4.问题可行－－仔细推敲选题：经济类：房价、车价、股票、旅游、物价、油耗、理财。优化类：路线、排队、家具摆放、红绿灯问题。家电节能、出行方式选择。策略类：学习计划、游戏攻略、环境污染。

市场营销(广告预算和媒介选择，竞争性定价，新产品开发，制定销售计划。)

生产计划制定(合理下料，配料，“生产计划、库存、劳力综合”。)

库存管理(合理物资库存量，停车场大小，设备容量。)

预测问题

运输问题

财政、会计(预算，贷款，成本分析，投资，证券管理。)

人事(人员分配，人才评价，工资和奖金的确定。)

设备管理(维修计划，设备更新。)

城市管理(供水，污水管理，服务系统设计、运用。)

投入产出问题

综合评价问题3、材料组织整理组织你所学到的关于该课题的所有知识，在这一步骤中你应该通过把思想集中在某个范围内来慢慢确定你的假设。4、制定一个时间表选定一个不仅仅使你感兴趣，而且可以在你所有的时间内完成的课题，用一个日历标出完成的日期。为调查、实验或收集资料留出充足的时间，并且要留出时间来具体撰写论文。5、设计你的调