河南省周口市恒大中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题

2023-2024学年高二下学期数学3月考试卷数学试题试卷考试时间：120分钟满分：150第I卷（选择题）单项选择题（每小题5分，共40分）1．设等差数列的前项和为，若，则满足时正整数的最小值为（

）A．11 B．12 C．13 D．142．已知是双曲线上一点，为左、右焦点，且，则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知，则（）A．-3 B．-6C．3 D．64．已知点是棱长为2的正方体的底面上一点（包括边界），则的取值范围是（

）A． B． C． D．5．若，则此函数可能是(

)A． B．C． D．6．直三棱柱中，，、分别是、的中点，，则与所成的角的余弦值为（

）A． B． C． D．7．已知数列是单调递增数列，，，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．8．设曲线在点P(3，2)处的切线与直线平行，则=A．2 B．－2 C． D．二．多项选择题（每小题5分，共20分，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）9．已知抛物线的焦点为，准线为，直线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，则（

）A．若，则 B．C． D．面积的最小值为1610．已知分别为双曲线的左､右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的半径为的内切圆的半径为.若双曲线的离心率，则下列说法正确的是（

）A．以为直径的圆与直线相切B．C．在直线上D．的范围是11．如图，正方体的棱长为1，设，则下列各式的值为1的有（

）A． B．C． D．12．若方程所表示的曲线为，则下面四个说法中正确的是（

）A．若，则为椭圆B．若为椭圆，且焦点在轴上，则C．曲线可能是圆D．若为双曲线，则第II卷（非选择题）三、填空题（每小题5分，共20分）13．数列满足，且与的等差中项是5，则；14．已知函数，若函数恰有一个实根，则实数的取值范围是15．若圆与圆相切，则的值为16．已知数列的前n项和，则的最大值为.四、解答题（共6小题，共计70分.第17题10分，第18---22题，每题12分）17．在平面直角坐标系中，已知圆O：和圆．(1)若圆O与圆C关于直线l对称，求直线l的方程；(2)若圆O上恰有三个点到直线的距离都等于1，求b的值.18．已知圆C经过点，，且圆心C在直线上．(1)求圆C的标准方程；(2)过点向圆C引两条切线PD，PE，切点分别为D，E，求切线PD，PE的方程，并求弦DE的长．19．已知函数，.求的单调区间.20．已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)当时，求证：.21．设数列的前项和为，___________从①；②；③数列是各项和均为正数递增数列，，成等差数列；这三个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并解答以下两个问题.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和为22．已知函数，且.（1）求函数的极值；

（2）当时，证明：.参考答案：1．C【分析】根据可得，，，由此可以求出满足的正整数的最小值.【详解】∵等差数列的前项和为，且，∴，∴，，故满足的正整数的最小值是13.故选：C.2．B【分析】化简得到或，故当时，或；当时，，得到答案.【详解】是双曲线上一点，为左、右焦点，且，则或，当时，或；当时，.故“”是“”的必要不充分条件.故选：.【点睛】本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的推断能力.3．B【分析】函数求导，再代值得解【详解】故选：B4．B【分析】由题设及向量加法的几何意义可得、，结合向量数量积的运算律及正方体的性质有且，即可求的范围.【详解】由题设，，，∴，又，，∴，而在面上一点（包括边界），∴，故.故选：B5．B【分析】对四个选项逐项求导即可求解.【详解】选项A：，故A错误；选项B：，故B正确；选项C：，故C错误；选项D：，故D错误．故选：B.6．C【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得与所成的角的余弦值.【详解】由题意可知平面，且，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设，则、、、，，，.故与所成的角的余弦值为.故选：C.7．C【分析】由数列为单调递增数列得，从而得，再令，求出的最大值，从而可求解.【详解】由题意可得，由于数列为单调递增数列，即，，整理得，令，则，，所以数列单调递减，故是数列的最大项，则的取值范围为，故C正确.故选：C．8．D【分析】根据除法求导运算，求得曲线的导函数，进而得到直线的斜率．由两条直线平行，可得两条直线斜率相等，因而求得a的值．【详解】对曲线求导，可得，在点P处切线的斜率为直线方程可化为y＝ax＋1若与直线平行，则两条直线的斜率相等所以所以选D【点睛】本题考查了曲线求导的基本运算，求过曲线上一点的切线方程求法，属于基础题．9．ACD【分析】确定焦点和准线，设直线为，联立得到根与系数的关系，计算得到，A正确，，B错误，，C正确，，D正确，得到答案.【详解】抛物线的焦点为，准线，，设直线为，则，即，，故，，故，

对选项A：，正确；对选项B：，错误；对选项C：，正确；对选项D：，当时等号成立，正确；故选：ACD.10．ABC【分析】对于C，结合三角形内球圆以及圆的切线性质推得，，即可判断；对于A，结合梯形的几何性质推出到距离为，进行判断；对于B，利用直角三角形相似，推出，结合离心率，可得的关系，化简即可判断；对于D，设直线方程为，联立双曲线方程，可得根与系数关系式，结合题意求得m的范围，设直线的倾斜角为，推出，结合函数的单调性，求得其范围，即可判断.【详解】设，其中,设.对于C，过分别作的垂线，垂足分别为，由切线长定理有，则，又因为，所以，又，所以，同理可得，则在直线上，故C正确；对于A，过作的垂线，垂足为，因为，则，设的中点分别为，则，且，所以，到距离为，则以为直径的圆与直线相切，故正确.对于B，由过圆外一点的切线性质知平分平分，则，在中，.则∽,则，可得，，故B正确；对于D，设直线方程为，将其与双曲线联立有：，消去得：，则，,又两点在双曲线右支，则,设，又由对称性设直线的倾斜角为，其中,则，又当时，，则，则结合，可得，所以，得，则，，所以，又在上单调递增，则，故D错误,【点睛】难点点睛：本题综合考查双曲线和直线的位置关系问题，涉及到三角形内切圆，双曲线离心率以及求参数范围，综合性强，难点在于D项的判断，要结合图形的几何性质以及双曲线的相关性质求出，结合函数的单调性，求得其范围.11．BC【分析】利用空间向量的垂直、数量积及其运算律运算即可得解.【详解】正方体中，∴，即，，即，，即，∴，，.对于选项A，，故A错误；对于选项B，，故B正确；对于选项C，，故C正确；对于选项D，，故D错误；故选：BC.12．BC【分析】根据椭圆，圆，双曲线方程的特征，列不等式求解，即可判断选项.【详解】方程所表示的曲线为.A.当，取时，方程为，表示圆，错误；B.若为椭圆，且焦点在y轴上，则，即，所以B正确；C.时，方程为，表示圆，所以C正确；.若为双曲线，可得，解得或，所以D错误.故选：BC13．【分析】根据定义得到为等比数列，公比为2，由与的等差中项是5列出方程，求出首项，从而利用等比数列的求和公式计算出答案.【详解】，则为等比数列，公比为2，又，解得：，所以．故答案为：14．【分析】利用导函数得到的单调性，极值和最值情况，进而画出图象，数形结合得到实数的取值范围.【详解】当时，，，故在上单调递减，且，当时，，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故在处取得极大值，也是最大值，，且当时，恒成立，画出的图象如下：

函数恰有一个实根，则或，则实数的取值范围是.故答案为：15．或【解析】根据两圆的方程，先得到圆心坐标和半径，由两圆相切，讨论内切和外切两种情况，即可得出结果.【详解】圆的圆心为，半径为；由整理得，则圆的圆心为，半径为；因为两圆相切，若两圆外切，则有，即，解得；若两圆内切，则有或，即或（舍），解得.故答案为：或.【点睛】本题主要考查由两圆相切求参数，属于基础题型.16．【分析】由数列的递推公式可得数列是首项为，公比为的等比数列，从而可求得数列的通项公式，写出的表达式，分n为偶数和奇数两种情况求得的取值范围即可得解.【详解】已知，令，则，解得，当时，，两式相减，得，即，数列是首项为，公比为的等比数列，，则，，当n为偶数时，；当n为奇数时，.，即的最大值为.故答案为：【点睛】已知求步骤：1、先利用求出.2、用n-1替换中的n得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式.3、对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写.17．(1)(2)【分析】（1）由题意所求直线方程即公共弦方程，两个圆方程相减即可求解.（2）将原问题转换为圆心到直线的距离等于1，由点到直线的距离公式即可得解.【详解】（1）由题意圆O：和圆即关于直线l对称．两式相减得，公共弦方程即直线l的方程为.（2）圆O：的圆心为，半径为，若圆O上恰有三个点到直线的距离都等于1，则圆心到直线的距离等于1，所以，解得.18．(1)(2)或，【分析】（1）设圆心，根据圆心在直线上及圆过两点建立方程求解即可；（2）分切线的斜率存在与不存在分类讨论，利用圆心到切线的距离等于半径求解，再根据圆的切线的几何性质求弦长即可.【详解】（1）设圆心，因为圆心C在直线上，所以

①因为A，B是圆上的两点，所以，所以，即

②联立①②，解得，．所以圆C的半径，所以圆C的标准方程为．（2）若过点P的切线斜率不存在，则切线方程为．若过点P的切线斜率存在，设为k，则切线方程为，即．由，解得，所以切线方程为．综上，过点P的圆C的切线方程为或．设PC与DE交于点F，因为，，PC垂直平分DE，所以，所以所以．19．答案见解析【分析】利用导数的正负与函数单调性的关系及对参数进行讨论即可求解；【详解】因为，所以，若，则当时，，函数单调递增；若，则当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，综上所述，当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.20．(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用的导函数的正负情况去讨论函数单调性即可；（2）构造新函数，并利用其导函数求得最小值非负，从而证明不等式成立【详解】（1）由题意知，当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增；当时，令，解得，令，解得，故函数在上单调递减，在上单调递增.（2）当时，，令，则.令，则在上恒成立所以函数在区间上是增函数，又，所以函数存在唯一的零点，且当时，；当时，.所以当时，；当时，.所以函数在上单调递减，在上单调递增.故，由得：，即，两边取对数得，故.所以，即.【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.21．(1)(2)【分析】（1）根据条件中的递推关系式化简计算求解数列的通项公式即可；（2）根据题中求得的通项公式化简数列通项，再运用分组求和法求解数列的和可得出结果.【详解】（1）选①：∵，当时，，解得.当时，，所以.即.时，又时，∴数列是首项为2，公比为2的等比数列.故数列的通项公式为：；选②：∵∴当时，，当时，，∴，当时，依然成立.所以；选③：∵数列是各项和均为正数递增数列，且∴数列是等比数列∵，成等差数列，则即，整理可得解得或（舍去）∴.（2）∵∴∴22．（1）有极大值，函数有极小值（2）证明见解析【分析】（1）求得导数，然后通过解不等式确定增区间，解不等式确定减区间，则可得极大值和极小值；（2）记，求出其导数，得到的单调性和极值，可分和分别证明．【详解】（1）依题意，，故，令，则或，在单调递