新希望教育达标名校2022年中考五模数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.下列运算正确的是（）

A.X2+X3=X5B.%2+X3=X6C.（%2）^=%5D.（%2）?=%6

3.过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图几何体，其正确展开图正确的为（）

A-B/夕乙算c4乙闻D

4.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4

米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为（）

同

A.0.7米B.1.5米C.2.2米D.2.4米

5.如图，为了测量河对岸I1上两棵古树A、B之间的距离，某数学兴趣小组在河这边沿着与AB平行的直线L上取C、

D两点,测得NACB=15ADACD=45°,若1,、1,之间的距离为50m,则A、B之间的距离为（）

6.如图是抛物线y［二ax2+bx+c（a#0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1,3）,与x轴的一个交点B（4,0）,直

线y2=mx+n（m#））与抛物线交于A,B两点，下列结论：

①2a+b=0；②abc>0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（-1,0）；⑤当1

<xV4时，有丫2<丫］，

其中正确的是（）

A.①②③B.①③④C.①③⑤D.©©⑤

7.如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”.下列各组数据中，能作为一个

智慧三角形三边长的一组是（）

A.1,2,3B.1,1,霹C.1,1,0D.1,2,小

8.如图，点A,B,C在。O上，ZACB=30°,。。的半径为6,则A3的长等于（）

B.27rC.37tD.47r

9.已知关于x的不等式3x-m+l>0的最小整数解为2,则实数m的取值范围是（）

A.4<m<7B.4<m<7C.4<m<7D.4<m<7

10.（2016四川省甘孜州）如图，在5x5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1,若将△AO3绕点。顺时针旋

转90。得到则A点运动的路径44的长为（)

A.nB.27rC.47rD.87r

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.一组数据1,4,4,3,4,3,4的众数是.

12.某花店有单位为10元、18元、25元三种价格的花卉，如图是该花店某月三种花卉销售量情况的扇形统计图，根

据该统计图可算得该花店销售花卉的平均单价为元.

13.甲、乙两点在边长为100m的正方形ABCD上按顺时针方向运动，甲的速度为5m/秒，乙的速度为10m/秒，甲从

A点出发，乙从CD边的中点出发，则经过一秒，甲乙两点第一次在同一边上.

14.已知a,b为两个连续的整数，且a<JT<b,则ba=.

I

15.如图，RSABC中，ZACB=90°,D为AB的中点，F为CD上一点，KCF=-CD,过点B作BE〃DC交AF

的延长线于点E,BE=12,则AB的长为.

数学活动课上，老师出了一道作图问题：“如图，已知直线1和直线1外一点P.用直尺和圆规作直线PQ,使PQJJ于

点Q.”

小艾的作法如下：

（1）在直线1上任取点A,以A为圆心，AP长为半径画弧.

（2）在直线1上任取点B,以B为圆心，BP长为半径画弧.

（3）两弧分别交于点P和点M

（4）连接PM,与直线1交于点Q,直线PQ即为所求.

老师表扬了小艾的作法是对的.

请回答：小艾这样作图的依据是.

三、解答题（共8题，共72分）

23元

17.（8分）解分式方程：--+--=1

x-22-x

18.（8分）如图，6x6网格的每个小正方形边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点.已知7?以他。和

的顶点都在格点上，线段4勺的中点为。.

（1）以点。为旋转中心，分别画出把顺时针旋转90。，180。后的AB/C.

（2）利用（1）变换后所形成的图案，解答下列问题：

①直接写出四边形CqC，C「四边形A6R纥的形状；

5

②直接写出§四边形式明4的值;

四边形cqc2c§

③设心AABC的三边8C=a,AC^b,AB=c,请证明勾股定理.

19.（8分）雾霾天气严重影响市民的生活质量。在今年寒假期间，某校九年级一班的综合实践小组学生对“雾霾天气

的主要成因”随机调查了所在城市部分市民，并对调查结果进行了整理，绘制了下图所示的不完整的统计图表：

组别雾霾天气的主要成因百分比

A工业污染45%

B汽车尾气排放m

C炉烟气排放15%

D其他（滥砍滥伐等）n

请根据统计图表回答下列问题：本次被调查的市民共有多少人？并求加和"的值；请补全条形统计图，并计算扇形统

计图中扇形区域。所对应的圆心角的度数；若该市有10。万人口，请估计市民认为“工业污染和汽车尾气排放是雾霾

天气主要成因”的人数.

1

20.（8分）如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1,0）和点B,与y轴交于C（0,3）,直线y=-]X+m

经过点C,与抛物线的另一交点为点D,点P是直线CD上方抛物线上的一个动点，过点P作PF_Lx轴于点F,交直

线CD于点E,设点P的横坐标为m.

（1）求抛物线解析式并求出点D的坐标；

（2）连接PD,△CDP的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由；

（3）当△CPE是等腰三角形时，请直接写出m的值.

21.（8分）如图1,已知/DAC=90。，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连

结CP,将线段CP绕点C顺时针旋转60。得到线段CQ,连结QB并延长交直线AD于点E.

（1）如图1,猜想/QEP=。；

（2）如图2,3,若当NDAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想NQEP的度数，选取一种情况加以证明；

(3)如图如若NDAC=135。,ZACP=15°,且AC=4,求BQ的长.

22.（10分）先化简，再求值：（X+DG-1）+X2（X-1）,其中》=一2.

23.（12分）如图1,在直角梯形ABCD中，动点P从B点出发，沿B-C—D-A匀速运动，设点P运动的路程为x,

△ABP的面积为y,图象如图2所示.

（1）在这个变化中，自变量、因变量分别是、：

（2）当点P运动的路程x=4时，4ABP的面积为丫=：

（3）求AB的长和梯形ABCD的面积.

至132

24.如图，△DEF是由△ABC通过一次旋转得到的，请用直尺和圆规画出旋转中心.

D

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、D

【解析】

根据基的乘方：底数不变，指数相乘.合并同类项即可解答.

【详解】

解：A、B两项不是同类项，所以不能合并，故A、B错误，

C、D考查暴的乘方运算，底数不变，指数相乘.(X2»=X6,故D正确：

【点睛】

本题考查暴的乘方和合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键.

2、C

【解析】

试题分析：已知m〃n,根据平行线的性质可得N3=/l=70。.又因N3是△ABD的一个外角，可得N3=N2+NA.

即/人=/3—/2=70。-30。=40。.故答案选C.

3、B

【解析】

试题解析：选项A,C,O折叠后都不符合题意，只有选项8折叠后两个剪去三角形与另一个剪去的三角形交于一个顶

点，与正方体三个剪去三角形交于一个顶点符合.

故选B.

4、C

【解析】

在直角三角形中利用勾股定理计算出直角边，即可求出小巷宽度.

【详解】

在RtAA'BD中，VZA,DB=90°,A'D=2米，BD2+A'D2=A'B‘2,BD2+22=6.25,；.BD2=2.25,VBD>0,ABD=1.5

米，，CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米.故选C.

【点睛】

本题考查勾股定理的运用，利用梯子长度不变找到斜边是关键.

5、C

【解析】

如图，过点4作于点M,过点3作于点N.则AM=5N.通过解直角△ACM和△3CN分别求得

CM.CN的长度，则易得A5=MN=CM-CN,即可得到结论.

【详解】

如图，过点A作AMLOC于点M,过点8作3NLOC于点N.

则AM=BN.

在直角△ACM中，VZACM=45°,AM=50m,：.CM=AM=50m.

一人」BN5050J3

在直角△BCN中，,.•N5CN=/ACB+NACZ)=60°,8N=50/w,；.CN=----------=-==——(m),：.MN=CM-CN=50

tan60°串3

5073,.

-----------(m).

3

e50事

则AB=MN=(50--2_)tn.

3

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用.解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数

学问题.

6、C

【解析】

试题解析：•••抛物线的顶点坐标A(1,3),

b

・・・抛物线的对称轴为直线x=--=1,

2a

/.2a+b=0,所以①正确；

・・•抛物线开口向下，

Aa<0,

b=-2a>0,

；抛物线与y轴的交点在x轴上方，

，c>0,

...abcVO,所以②错误;

抛物线的顶点坐标A(1,3),

.•.x=l时，二次函数有最大值，

...方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，所以③正确；

；抛物线与x轴的一个交点为(4,0)

而抛物线的对称轴为直线x=L

...抛物线与x轴的另一个交点为(-2,0),所以④错误；

•抛物线y]=ax2+bx+c与直线j^mx+n(n#0)交于A(1,3),B点(4,0)

.,.当1VXV4时，y2<yr所以⑤正确.

故选C.

考点：1.二次函数图象与系数的关系；2.抛物线与x轴的交点.

7、D

【解析】

根据三角形三边关系可知，不能构成三角形，依此即可作出判定；

B、根据勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出判定；

C、解直角三角形可知是顶角120。，底角30。的等腰三角形，依此即可作出判定；

D、解直角三角形可知是三个角分别是90。，60°,30。的直角三角形，依此即可作出判定.

【详解】

,.1+2=3,不能构成三角形，故选项错误；

B,V12+12=(72)2,是等腰直角三角形，故选项错误；

C、底边上的高是J是-(#)2=',可知是顶角120。，底角30。的等腰三角形，故选项错误；

D、解直角三角形可知是三个角分别是90。，60。，30。的直角三角形，其中90。+30。=3,符合“智慧三角形”的定义，故

选项正确.

故选O.

8、B

【解析】

根据圆周角得出NAOB=60。，进而利用弧长公式解答即可.

【详解】

解：：NACB=30°,

../AOB=60°,

60nx6

•••A8的长==2九,

180

故选B.

【点睛】

此题考查弧长的计算，关键是根据圆周角得出NAOB=60。.

9、A

【解析】

先解出不等式，然后根据最小整数解为2得出关于m的不等式组，解之即可求得m的取值范围.

【详解】

解:解不等式3x-m+l>0,得：x>—-—,

•••不等式有最小整数解2,

解得：4<m<7,

故选A.

【点睛】

本题考查了一元一次不等式的整数解，解一元一次不等式组，正确解不等式，熟练掌握一元一次不等式、一元一次不

等式组的解法是解答本题的关键.

10、B

【解析】

试题分析：：每个小正方形的边长都为1,，OA=4,：将4AOB绕点O顺时针旋转90。得到△A9B，，ZAOAf=90°,

90Kx4

•••A点运动的路径44'的长为：,=2出故选B.

1oU

考点：弧长的计算；旋转的性质.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11,1

【解析】

本题考查了统计的有关知识，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个.

【详解】

在这一组数据中1是出现次数最多的，故众数是1.

故答案为1.

【点睛】

本题为统计题，考查了众数的定义，是基础题型.

12、17

【解析】

根据饼状图求出25元所占比重为20%,再根据加权平均数求法即可解题.

【详解】

解：1-30%-50%=20%,

25X20%+10X30%+18X50%=17.

【点睛】

本题考查了加权平均数的计算方法，属于简单题，计算25元所占权比是解题关键.

13、1

【解析】

试题分析：设x秒时，甲乙两点相遇.根据题意得：10x-5x=250,解得：x=50,

相遇时甲走了250m,乙走了500米，则根据题意推得第一次在同一边上时可以为1.

14、1

【解析】

根据己知a<a结合a、b是两个连续的整数可得a、b的值，即可求解.

【详解】

解：b为两个连续的整数，且

/.a=2,b=3,

ba=3z=l.

故答案为1.

【点睛】

此题考查的是如何根据无理数的范围确定两个有理数的值，题中根据"的取值范围,可以很容易得到其相邻两个整数,

再结合已知条件即可确定a、b的值，

15、1.

【解析】

根据三角形的性质求解即可。

【详解】

解：在RtAABC中,D为AB的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得:AD=BD=CD,

因为D为AB的中点,BE//DC,所以DF是^ABE的中位线,BE=2DF=12

1.

所以DF='5E=6,

12

设CD=x,由CF=^CD,则DF=wCO=6,

可得CD=9,故AD=BD=CD=9,

故AB=1,

故答案：1.

【点睛】

本题主要考查三角形基本概念，综合运用三角形的知识可得答案。

16、到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上或两点确定一条直线或sss或全等三角形对应角相等或等腰三角

形的三线合一

【解析】

从作图方法以及作图结果入手考虑其作图依据..

【详解】

解：依题意，AP=AM,BP=BM,根据垂直平分线的定义可知PM,直线1.因此易知小艾的作图依据是到线段两端距

离相等的点在线段的垂直平分线上;两点确定一条直线.故答案为到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上;两点

确定一条直线.

【点睛】

本题主要考查尺规作图，掌握尺规作图的常用方法是解题关键.

三、解答题（共8题，共72分）

17、x=l

【解析】

分式方程变形后去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.

【详解】

化为整式方程得：2-3x=x-2,

解得：x=l,

经检验x=l是原方程的解，

所以原方程的解是x=l.

【点睛】

此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为

整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.

5

18、(1)见解析；(2)①正方形；②不；③见解析.

【解析】

(1)根据旋转作图的方法进行作图即可；

(2)①根据旋转的性质可证AC=BC尸B|C2=B，G从而证出四边形CGC2c3是菱形，再根据有一个角是直角的菱形是

正方形即可作出判断，同理可判断四边形ABB]B2是正方形；

②根据相似图形的面积之比等相似比的平方即可得到结果；

③用两种不同的方法计算大正方形的面积化简即可得到勾股定理.

【详解】

.△ABC丝△BBC

.\AC=BC1,BC==B1C1,AB=BB1.

再根据旋转的性质可得：BC产Bgz=B2c岁

B2C=B2C2=AC3,

・・CC产CC=C2c3=(X3

AB=BB1=B1B2=AB2

四边形CC]C2c3和四边形ABBJB2是菱形.

VZC=ZABB=90°,

...四边形CCg2c3和四边形ABB]Bz是正方形.

②；四边形CCg2c3和四边形ABB]Bz是正方形,

•••四边形ccg2c3s四边形ABB(B2.

•••AB=M,CC,=3V2,

③四边形CC]C2c3的面积=CC/=(a+Z?)2=。2+2必+。2,

四边形CC|C2c3的面积=4△ABC的面积+四边形ABB|Bz的面积

二4乂一cib+C~=2。/?+。2

2

。2+2曲+/?2-2ab+C2,

化简得：G+bi=C2.

【点睛】

本题考查了旋转作图和旋转的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键.

19、(1)200人，m=30%,〃=10%；(2)见解析，36。；(3)75万人.

【解析】

(1)用A类的人数除以所占的百分比求出被调查的市民数，再用B类的人数除以总人数得出B类所占的百分比m,继

而求出n的值即可：

(2)求出C、D两组人数，从而可补全条形统计图，用360度乘以n即可得扇形区域。所对应的圆心角的度数；

(3)用该市的总人数乘以持有A、B两类所占的百分比的和即可.

【详解】

(1)本次被调查的市民共有：90+45%=200(人)，

.•.机=竺、100%=30%,〃=1一45%—15%—30%=10%；

200

⑵C组的人数是200x15%=30(人卜D组的人数是200-9()-60-30=20(人)，

：.m=-x100%=30%,n=生x100%=10%.

200200

补全的条形统计图如下图所示:

教

人J

V一

rO

t

扇形区域。所对应的圆心角的度数为：

360(>x10%=36。；

⑶100x(45%+30%)=75(万)，

...若该市有100万人口，市民认为“工业污染和汽车尾气排放是雾霾天气主要成因”的人数约为75万人.

【点睛】

本题考查了条形统计图、扇形统计图、统计表，读懂图形，找出必要的信息是解题的关键.

575125

20、(1)y=-x2+2x+3,D点坐标为(彳.)；(2)当111=下时，△CDP的面积存在最大值，最大值为二；(3)m的

24464

535-J5

值为W或］或2•

【解析】

1c

y=—x+3

(1)利用待定系数法求抛物线解析式和直线CD的解析式，然后解方程组J-2得D点坐标；

y--X2+2x+3

15155

(2)设P(m,-m2+2m+3),则E(m,-—m+3),则PE=-m2+—m,利用二角形面积公式得到SApcD=-x—x(-m2+—m)

525

=-Tm2+-^m-然后利用二次函数的性质解决问题；

48

51

(3)讨论：当PC=PE时，m2+(-m2+2m+3-3)2=(-m2+—m)2；当CP=CE时，m2+(-m2+2m+3-3)2=m2+(-—m+3-3)

15

2；当EC=EP时，m2+(-—m+3-3)2=(-m2+-m)2,然后分别解方程即可得到满足条件的m的值.

【详解】

—1—h+c-0b=2

(1)把A(T,0),C(0,3)分别代入y=-x2+bx+c得彳_,解得彳.，

c=3c=3

抛物线的解析式为y=-X2+2X+3；

把C(0,3)代入y=--x+n,解得n=3,

1

直线CD的解析式为y=--x+3,

1c

y=—x+3x=0

解方程组'-2，解得42

y=3

y=-x2+2x+3

57

.♦.D点坐标为(万，了)；

24

(2)存在.

1

设P(m,-m2+2m+3),则E(m,--m+3),

15

PE=-m2+2m+3-—m+3)=-m2+—m

22

.'.S,prn=—•—•(-mz+—m)=--m2+—m=-—(m--)2+---,

APCD222484464

5125

当m="时，△CDP的面积存在最大值，最大值为/“；

464

(3)当PC=PE时，m2+(-m2+2m+3-3)2=(-m2+—m)2,解得m=0(舍去)或m=下；

24

当CP=CE时，m2+(-m2+2m+3-3)i=mi+(-—m+3-3)2,解得m=0(舍去)或m=—(舍去)或m=—;

当EC=EP时，m2+(-:m+3-3)2=(-mz+m)2,解得m=§+事(舍去)或m=^~,

2222

综上所述，m的值为z5或亍3或25-TJ52.

本题考核知识点：二次函数的综合应用.解题关键点：灵活运用二次函数性质，运用数形结合思想.

21、(1)ZQEP=60°；(2)ZQEP=60°,证明详见解析；(3)8。=2和一2a

【解析】

(1)如图1,先根据旋转的性质和等边三角形的性质得出NPC4=NQC5,进而可利用SAS证明△CQB丝进

而得再在△PEM和4CQM中利用三角形的内角和定理即可求得NQEP=/QCP,从而完成猜想；

(2)以ND4c是锐角为例，如图2,仿(1)的证明思路利用SAS证明AACP四△5CQ,可得NAPC=N。，进一步即

可证得结论；

(3)仿(2)可证明AACP岭/XBC。，于是4尸=B。，再求出AP的长即可，作C4L4。于H,如图3,易证/APC=30°,

△AS为等腰直角三角形，由AC=4可求得CH、的长，于是AP可得，问题即得解决.

【详解】

解：⑴/Q£P=60。：

证明：连接尸。，如图1,由题意得：PC=CQ,且NPC?=60。，

•..△ABC是等边三角形，AZACB=60°,ZPCA=ZQCB,

则在△CPA和仆CQB中，

PC=QC

<ZPCA=ZQCB,

AC=BC

二ACQB冬ACPAISAS),

：.ZCQB=ZCPA,

又因为△PEM和4C0M中，ZEMP=ZCMQ,

：.NQEP=NQCP=60。.

故答案为60