2024年甘肃省一月份高考诊断考试（一诊）数学试卷及答案（原卷）

甘肃省一月份高考诊断考试・数学

中本试卷满分150分，考试时间120分钝.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑,如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试

卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

参考公式:锥体的体积公式;V=Js/i（其中s为锥体的底面积/为锥体的高）.

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的）

1.已知集合A=｛H1=后不｝，8=（川工2-2工一3〈0｝,则人03=（）

A.[9,3）B.[/,1）C.（31+℃＞）D.（―1,+°o）

2.若复数z满足（3—i）z=l-2i,其中i是虚数单位，则匆数z在宓平面内对应的点位于《）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.在等差数列｛即｝中,42，々8是方程/+8=0的两根，若a.[+a6=ag+l,则相的值为（）

A.-6B.-2C.2D.6

4.众数、平均数、中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在如图

所示的分布形态中，平均数、众数和中位数的大小关系是（由小到大排列）（

A.众数V中位数V平均数B,平均数〈众数V中位数

C.中位数V平均数〈众数D.众数V平均数V中位数

'/+2工,工40,

5.已知函数义工）二1山]、八若函数g（z）=/（x）一切有3个零点，则m的取值范围为（）

---,x＞0,

X

A.[04）B.（一14）C,（p+°°）

D.（—8,一1）

6.已知平行四边形ABCD,若点P是边AD的中点，而=3/，直线AC与PQ相交于点M,

则禁

B

A-f4竭D-f

7.已知sin卜+件）-sina="^"，则sinRa—£）=（）

7_724「24

AA,25Bn-25Cr，25D,25

8.设函数/（为满足切7（工）一＞1（工）=]足工,《9）=~若工＞（），则/（H）（）

A.有极大值，无极小值B.有极小位,无极大ffi

C.既有极大值又有极小值D,既无极大值也无极小值

甘痢省一月份高考诊断考试•数学•第1页（共4页）

二、多项选择题（本题共4小慰每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.已知函数/（x）=Asin（2wN+夕）（A>0,3>0,0VaVx）在一个周期内的图象如图所示，图象与y轴

的交点为（0,"）,则下列结论正确的是

A./（H）的最小正周期为K

的最大值为2

77r

C.直线了=卷是/（工）图象的一个对称轴12

D.人］）在区间［一年,0］上单调递增

10.已知a<0,6>0,若a+26=l,则

A.ab的最大值为首B.a2+17的锻小值为1

O

C《+今的最小值为8D.2、+#的最小值为2展

11.已知直线Z过抛物线C：y2=4工的焦点F,且与抛物线C交于A（HI,“），以亚）两点，点M为C

的准线与工轴的交点，则下列结论正确的是

A.若Xj+工2=5,则|AB|=7

B.过C的焦点的最短弦长为4

C.当行=2而时，直线I的倾斜角为年

D.存在2条宜线人使得|AF|•|BM|=|BF|•|AM|成立

12.已知直三棱柱ABGAiBiG内接于球O,AAi=8,ABJ_AC,AB=AC=4,点D，E为AB，AC的

中点，点Q为侧面BCCiBi上一动点，且A1Q=4,则下列结论正确的是（）

Q

A.点A到平面A】BC的距离为今

B.存在点Q,使得CQ_L平面A】DE

C.过点D作球的截面，撇面的面积最小为4“

D.点Q的轨迹长为2"兀

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知是奇函数，则.

14.传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆

柱的高相等.“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现.在一个“圆柱容球”模型中,若球的体积为4点7T,

则该模型中圆柱的表面积为.

15.如图，点B，F2是双曲线Ci：马一4=13>0,6>0）的左、右焦点，同时也是双、1〃

CLU\\G1/1M

曲线C2：条一条=1的左、右顶点，过点K的直线交双曲线G的左、右两支

分别于A,B两点，交双曲线C2的右支于点M（与点Fz不重合），且△BF1F2//W

与AABF2的周长之差为6,则双曲线Ci的方程为.//|、

16.某学校有A,B两个餐厅，已知同学甲每天中午都会在这两个餐厅中选择一个就餐，如果甲当天选择

了某个餐厅,他第二天会有60%的可能性换另一个餐厅就餐，假如第1天甲选择了A餐厅，则第n

天选择A餐厅的概率P”为

甘肃省一月份高考诊断考试•数学•.第2页（共4页）

四、解答题(本题共6小题，共70分.解笨应为山文字说明、证明过程或演.芥步臊)

17.(10分)已知△△!«；的内角A,B,C的对边分别为且ccosB+〃cosC=-2flcosB.

(1)求角B的大小.

(2)若A的角平分线交边BC于点D,且AD=G，r=&,求边b.

18.(12分)如图，在四梭锥P-ABCD中，底而A3CD为正方形，侧梭PA,底而八BCO,且PA=AB.

.箴E,F分别为PB,PD的中点.

(1)若平面PBCf)平面PAD=/，证明平面PABf

(2)求平面AEF与平面PAB夹角的余弦值.

19.(12分)第18届亚洲杯将于2024年1月12日在卡塔尔举行，该比赛预计会吸引亿万球迷观看.为了

了解某校大学生喜爱观看足球比赛是否与性别有关，该大学记者站随机抽取了10。名学生进行

统计，其中女生喜爱观看足球比赛的占女生人数的男生有10人表示不喜欢看足球比赛.

(D完成下面2X2列联表，试根据小概率值a=0.001的独立性检验，判断能否认为喜爱观看足球比

赛与性别有关联？

男女合计

喜爱看足球比赛

不喜爱看足球比赛

合计60

(2)在不喜爱观看足球比赛的观众中，按性别用分层随机抽样的方式抽取8人,再从这8人中随机抽

取2人参加校记者站的访谈节目，设抽到的男生人数为X,求X的分布列和期望.

=

附：12=/4-八、〃-1-八，其中na+b+c+d.

4(a+6)(c+a)(a+c)(b+d)

a0.10.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

甘窗省一月份高考诊断考试•数学•第3页(共4页)

20.（12分）已知数列（即｝的前“项和为S”，且S„=2a„-2,｛an•〃”｝是首项为1,公差为2的等差数列.

（D求｛即｝,｛6”｝的通项公式；

（2）若数列（4｝的前n项和为T„，且不等式人》“（3—T”）对一切"GN，恒成立，求实数A的取值范围.

21.（12分）已知函数/（x）=（x+a）ln（x+l）.

（D当a=2时，求曲线人工）在点（0,/（0））处的切线方程；

（2）若函数/（x）-x在（0,+8）单调递增，求。的取值范围.

22.（12分）已知椭圆C告+£=l（a>b>。）的离心率e=^，短轴长为2.

（D求椭圆C的方程；

（2）过点（4,2）且斜率不为4的动直线I与椭圆C交于M,N两点，点P是直线y=/工上一定点,

设直线PM,PN的斜率分别为防/2，若kxk2为定值，求点P的坐标.

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甘肃省一月份高考诊断考试・数学参考答案

1.选AA={1|y=,-1}=卜)•由x2—2/因为人向=A/$+PA7=Q+砂一“I=(1—〃)。+〃b・

(22=1一〃，

-3V0,解得一1OV3•即B=(-1,3),所以Ap|B=所以《4解得人=高.

1/入.1。

卜十&rV3)=+.3).故选A.

所以杵病,口嘿=需=余故选C.

1—2i

2.选D因为(3—i)T=l-2i,所以z=•1=

(l-2i)(3+i)_3+i-6i-2i27.选B因为sin(a+半)-sina=geosa-}sina=

，则复数N在

(3-i)(3+i)10

强平面内对应的点为(斗■，一十),位于第四象限.3(。+卷)=4■•所以/(%一/尸sin2(a+r)一£

故选D.=-COS仔卜+•卜一松6+专产一击.

3.选B因为。2，48是方程/+"m•一8=0的两根.所以

8.选D令gQ)=§1则/(幻=山产

。2+。8=一〃?，42a8=—8,A=〃?2+32>0.在等差数列

｛。“｝中，。2+。8=。4+。6=为5•又。4+。6=堤+1•所以

2。5=#+1，所以=1，所以­〃？=2〃5=2,所以手心)/(!)

1.

〃?=—2.故选B.1

4.选A众数是最高矩形的中点横坐标，因此众数在第二T

，

列的中点处.因为直方图在右边拖尾,所以平均数大于中由/(7)=/屋/).得f(j-)=g(j*)+xg(x)=g(.r)+ln

位数，在第三、四列的位置，因此有众数V中位数V平均/(工)=/(工)+2=^^.

XX

数.故选A.

5.选B当aW0时，/(1)=/+2工・，当zC(0—)时，/\1)〈0,/(工)单调递减；当了6

当aW(-8,-1)时・/(R)单调递减；

(十,+8)时,/(1)>0,/Cr)单调递增.所以/(工)而产

当16(—1,0)时,/(1)单调递增.

所以当N40时,/(J')=/(―1)=-1.

|ninfe)=g(1)+ln'=0,所以八工)》。•所以—在

%,、八n\rx、InJC।f.、1Inx

当Z>0时，/(E)=——•则Nfr(a)=——z—,

(0.+8)上单调递增.所以/(力既无极大值也无极小值.

当(0,e)时，/(z)>0,函数/(1)单调递增；9.选ABD设/(GuAsiMZtar+GlAXhsXhOVKn)的

当/£(e,+8)时，/(N)VO,函数/(K)单调递减.最小正周期为T,

所以当2>0时，/(Z)max=/(e)=¥=J由图象可知苫一专解得T=",A正确；

画出函数/(H)的图象如图所示：

因为s>0,所以2aj=-^=2,解得3=1,

故/(«r)=Asin(2/+g).

U将(各人)代入解析式得小出(卷+.=A.

因为0V夕工灰，所以夕=£".

因为函数/Gr)经过点(0流)，所以Asin号■=>&.故A=2,

因为函数g(/)=/(1)一加有3个零点./*(/)的最大值为2・B正确；

所以y=ni与》=/(/)的图象有3个交点，由上述分析知/(/)=2sin(2/+等)，当/=生时・21+

由图可知—1.

e5=2",点信,0)是函数“工〉的对称中心,

所以m的取值范围为(-1,).故选B.

宜线工=蓼不是对称轴,C错误；

6.选C设7户=a,旗=6,则祝=2a+£b.70=b-a.

当zG—^-，0时，2z+与G-"

设与j=AAC,PM=PQ,—yC

P9-

因为ksin之在一恭手上单调递增•故/(/)在区间

则AM=2Xa+yA&,

A-QB

一年上单调递增・正确.故选

PM=/J)—Ba.,0DABD.

1

以A为原点，AB.AC.AAi所在直线为工.》,N轴建系

10.选ACD对于A,由2ab=a-••印

(困略).则C(0,4,0),D(2,0,0),E(0,2,0),Ai(0.0,

当且仅当〃,且。+〃•印，〃

a=22=1a=3=1-8).设Q(2.4一2.浦.则g=(3—；I.Q,平面ADE的

oZ4｛

时•取等号，所以A正确：法向量为”=(4,4.1),我与法向量”不平行.所以不存

对于B,因为«2+62=(1-2b)2+/=5b2—4〃+1=在点Q.使得CQJ_平面AWE.B错误；

/2\2]o

5(/>一母)+?,当且仅当〃=?•时，取到最小三棱柱的外接球O即为以AB.ACAAi为邻边的长方

体的外接球,当OD与过点D的裁面垂直时.裁面的面

值♦所以B错误；积最小.

o

球心疝.则过点作球的

对于C,由工+:=(。+2〃)(二+十)=4+色+言)O(2,2,4).DO=2jT,AO=2D

截面.截面半径的最小值为，(2届2-(26*=为所以

4+2JT=8•当且仅当—=-y-•且a+2〃=1.即a=.截面的面积最小为4n.C正确：

abZ

过点A1作AH±BC于H(图略).则A[H=2笈.

b--y-时•取等号.所以C正确;1I1

HQ=，A]Q2—A]H?=-16—8=2-J2.

对于D.2〃+〃'=2,2a•心=2,2"+'=2四.当且仅当

则点Q的轨迹是以点H为囿心.2笈为半径的一段回

。=2〃.且〃+2〃=1,即。=4・〃=+时.取等号•所以D

弧.其囿心角为“，点Q的凯迹长印为2扃.D正确.

正确.故选

ACD.13.解析：由函数八力=-^7+，”，可得=

11.选AB由抛物线的定义可得|AB|=|AF|+|BF|=a-1a"-1

勺+气+/>=5+2=7.故A正确；

当过抛物线C的焦点且与]轴垂直时弦长最短•此时弦

长为4•故B正确；

因为/(H)是奇函数.所以/(£)+/(-H)=0.即

设直线/的方程为/=〃?>+1,

由「2'得y2—4〃?、一4=0,于是得％+“=+m——="+，〃=().解得

ax-1Z

1t/=4z,

4〃7，》1>2=14,答案:一十

当A户=2时,yi=-2^2•而“+”=4〃？・

14.解析：设球的半径为R.则囿柱的底面半径为R.母线长为次

?12=-4,解得》2=±四，3(+.士笈"=士2&•

则球的体积为｝1?3=4后.所以R=5

倾斜角不是全故C锌课；

所以圄柱表面积为+

由“(1,0)・M(—1.0),则|AF|=，5—1)?+•=答案：1品

J(〃3+1-1)2+货=/(1+〃+)工,15.解析：因为△BF1F?与AABF2的周长之差为6.所以

\BF\+\FF\-\AB\-\AF\^\FF\-^\AF\

|BF|=J(及-1)2+J=J(加北+l-1),+晓ll22l22

-IAF\|)=2c—勿=6.

=，(1+〃/)瓦

又点F「F,是双曲线C2：三■一当=1的左、右顶点,所

|AM|=y(xj+1)^+^f=J(〃0+1+1)'+乂4a44〃

=J(1+〃?2+4〃0+4.以<*=2。•所以a=3・。=6.〃=3

|BM|=,5+1=J(,”2+1+1)，+»、所以双曲线C1的方程为—一石•=1.

=J(1+〃()yg+4〃7y2+4•

答案.——^-=1

由|所|•|W|=|*-|AM|.则(圈『=(遍)2,台■汆.927

16.解析：若甲在第(”一1)天选择了A餐厅.那么在第〃天

Fyf(1+〃/)yf+4〃?w+4

可得需=(1+〃/)苗+4,”2+4.化简可得(”物"十有40%的可能性选择A餐厅.

若甲在第(”-1)天选择了B鬟厅.那么在第〃天有

y\+y2)(”一>2)=o，

的可能性选择餐厅.

由•则，〃)1)2+31+»2=°•将例+32=4加，60%A

力力=-4代入，则一4〃？+4〃？=0恒成立，故D错误.所以第n天选择A冬厅的概率

故选AB.P“=0.4P1+0.6(1-P„_1)(42,“GN*),

12.选ACD设点A到平面AiBC的距离为人•因为P„=-0.2P„-1+0.6.所以P„—0.5=—0.2(P„_i—0.5).

V/V八产=V/\・/U3C，所以十四•八=gS^Aiic•又由题意得.Pi=1.所以｛P〃-0.5｝是以0.5为首项.

-0.2为公比的等比数列.

Q

-1

AAi,Saz,c=8,AA]=8•S4A四=24,所以八=不，即所以P„-0.5=0.5X(-0.2)".

Q所以P„=0.5+0.5X(-0.2)1.

点A到平面A]BC的距离为云,A正确；

答案：0.5+0.5X(-0.2)"T

2

17.解：(1)因为AG(0,兀)•所以sinA>0.19.解：(1)由题意得2X2列联表:

由正弦定理可得一2cosBsinA=sinCeosB+sinBcosC男女合计

=sin(B+C)=sinA,

喜娃看足球比赛501060

(2分)

所以cosB=—分

2不喜爱看足球比赛103040

又B6又,3故8=争4分合计6040100

家假设为Ho：喜爱观看足球比要与性别无关联.

(2)在AABD中，焉J=sinNAD夕

根据列联表中的数据计算得

2

/=100X(50X30-10X10)1225

也.・・/Arxnrsin13\J2as34.028>

所以sinNAD3=7.=苛~6分60X40X60X4036

10.828=/o.ooi.4分

根据小概率值a=0.001的独立性检胎,推断Ho不成

立,即认为喜爱观看足球比赛与性别有关联.5分

(2)按照分层随机抽样的方式抽取8人,其中男生2人，

结合B=,女生6人......................6分

则X的可能取值为0,1,2,……7分

所以NBAD=NDAC=6,Ci15

P(X=0)=/=^・P(X=l)3

Cg"cT-^

所以NACB=NBAC=8分Cfi

bp(x=2>=^=±,..................10分

所以△ABC是等腰三角形,且a=c

所以X的分布列为

所以b=2acos==娓.10分

0X012

18.解：(1)证明：因为AD〃BC.ADU平面PBC.BCU平面153111分

P

PBC,所以AD〃平面PBC.......................:2分2828

又因为平面P3Cn平面PAD=2・ADU平面PAD.E(X)=0X^+1X-^-+2X^T=....

12分

40/404

所以AD〃/.....................................................................；3分

20.解：(1)当〃=1时・臼=2勺-2,解得勺=2.1分

因为PA_L底面ABCD,AD(二平面ABCD.所以AD±PA.

当〃22时3“二？。”-2,S〃_]=2a“_1-2,

又因为AQ_£AB.ABnPA=A,

两式相减得a“=2a”一2a〃一i，.........2分

所以AD」.平面PAB..........5分

即乌一=2(”22).所以｛a“｝是首项、公比均为2的等

所以LL平面PAB.............6分an-I

(2)由(1)知.AB,AD.AP两两相互垂直.如图.以点A比数列.故a“=2".4分

/»A1u.,2〃-12n-1

为坐标原点.AB,AD,AP所在直线分别为1轴、y轴、义a“•6”=2“-1,故b„=-----=——■6分

a.乙

z轴,建立空间直向坐标系.设AB=2,则A(0.0.0).

B(2,O,O),D(O,2.O),P(O,O.2).E(1,O.1).F(O.1.1),⑵〃产铝•则兀=++3+/+…+与工①

AE=(l,0,l),AF=(0.1,l).，••…♦•…—•7分2n~1

②7分

设平面AEF的一个法向量为〃[=《，・》・？>•京产尹尹尹T2kH，

①一②.得十丁“=/+(T+^+…+日-2«-1

2"+i

=+1]\_2〃-1_32〃+3

T(2”一]/-2"+122"+i•

_2〃+3

所以T“=32n"9分

不等式入>”(3—T“)对一切"GN'恒成立,

2，/+3”

印转化为对一切”GN•恒成立.

2"

10分

2,，+7”+52nz+3n-2n?+"+5

/_|=囱12分又/(〃+1)-/(〃)

>/3Xl3,

3

当〃=1时，/(〃+1)­

”一方/。yz(1-2^0)+12(-NO+4)-4+万/()

当时,/-f(〃)V0・

j*2—1。yz(16-4a*o)+工2(-2J*O+1)—8+9/。

所以/(DV/(2)>/(3)>/(4)>….

1

7

则久》/(7?)max=/(2)=子----二—,.................................9分

“一才0

所以实教人的取值范围为「看.+8).....................12分若超七为定值,则根据约分可得

.91

21.解式1)当0=2时，/(工)=(l+2)ln(z+l),一工。+4=-4+—]=一5才。

7-4-2

/(jr)=ln(jr+l)+£^r，...........................................1分1-16—4/()-8+9]。'

•r十1

解得J*o=-1--................................................................10分

/(O)=O,/(O)=2t.....................................................3分

所以/(%)在点(0,/(0))处的切线方程为y=2/•…・4分

(2)令gCr)=/(/)-/=Gr+a)ln(/+l)-/,

因为g(z)在(0,+8)单调递增，77

此时k\k=