2022-2023学年辽宁省部分学校高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年辽宁省部分学校高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列与45。终边相同角的集合中正确的是（）

A.{a\a=2kn+45°,k6Z]B.{a|a=h360°+，，kWZ}

C.{a\a=2/CTT—eZ]D.{a|a=ZCTT4-pfceZ]

2.已知非零向量五=(cos(a-0),s3S),b=(l,sina),若:_L4,则tanatcm/?=()

A.B.-2C.\D.2

3.已知16cos2/-3cos2。=3,则cos。=()

A.—?B.-|C.|D.?

4.已知函数/（x）=Asin^aix+@）+B（A>0,a）>0,0<（p<兀）的

部分图像如图所示，且门x）的图像关于点（会,2）中心对称，则

f（（P）=（）

A.4

B.3

C.2

D.0

5.已知平面向量苍=（,一|）,|瓦=3,且|五一29|=|3+2日|，贝Ucos（瓦力=（）

C.3073

D.25c

7.在边长为2的等边三角形4BC中，M为边4c上的动点，则丽.丽的最小值是（）

A.B.C.-JD.

8.已知3>0,\(p\<函数f(Y)=2sin(a>x+w)+1的图像如图

所示，A,C,。是/(x)的图像与y=1相邻的三个交点，与久轴交于

相邻的两个交点0,B,若在区间(a,b)上，f(x)有2023个零点，则

b-Q的最大值为()

A.2020TT

口30347T

B-k

r3032TT

J~~r~

D.1O127T

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.已知函数/(x)=sin3x+，？cos3x,则下列结论正确的是()

A.“X)的图象可由函数y=2s出3x的图象向左平移5个单位长度得到

B./(x)的图象可由函数y=2cos3%的图象向右平移5个单位长度得到

C./(x)的图象关于直线％=相对称

D.f(x)和图象关于点G，0)中心对称

10.已知△ABC中，角4B,C的对边分别为a,b,c,则以下四个命题正确的有()

A.当a=5,b=7,4=60。时，满足条件的三角形共有1个

B.若a2tanB=匕2£。加4,则。=b

C.若C=：，a?—c2=bc,则为等腰直角三角形

D.若cos(4—B)cos(B—C)cos(C—A)=1,则AABC—•定是等边三角形

11.已知平面向量瓦*,与是两个夹角为与的单位向量，且五=3瓦•+(4—1)&与方=(24-

1)瓦：-2右垂直，则下列说法正确的是()

A.若4>0,则与日方向相同的单位向量是可

B.若；I>0,则泥E部上的投影向量是?孩

C.若；l<0,则与a方向相同的单位向量是牢”

D.若;1<0,则五与冠的夹角的余弦值为学

12.已知函数f(x)=sin(2x+与)+2cos2尤，neZ,则下列说法正确的是()

A.当"1时，f(x)图象的一个对称中心为年,1)

B.当n为奇数时，f(x)的最小正周期是兀

C.当n为偶数时，f(x}max=1+，工

D.当n为偶数时，/Xx)在弓,1)上单调递减

OO

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知向量a,3满足e+E=(4,—1),2a-K=(2,1)，则cos位一方向=.

14.已知函数人x)=2sin(a)x-颔3>0)的一条对称轴为x=或则一个满足题意的3的值

是.

15.已知0<a<，若tanftana=|,则sg+R=___.

,ZJsina

16.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中a=9,。为边BC上一点，DB=

DA=3,若，？bsinC+ccosB=a,则4ABC的面积为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

如图所示，力，B分别是单位圆与其轴、y轴正半轴的交点，点P(cos0,s讥。)在单位圆上，^AOP=

。(0<。<〃)，C点坐标为(-2,0),平行四边形OAQP的面积为S.

(1)求a•0Q+S的最大值；

(2)若CB1OP,求|的『+52的值.

18.(本小题12.0分)

已知tanG_a)=£,a6(0,^).

(1)求sin2a—2s讥2a的值；

(2)若£6(0,%且sin(。+£)=?,求a+0的值.

19.(本小题12.0分)

上海中心大厦的阻尼器全名为“电涡流摆设式调谐质量阻尼器”，是一种为了消减强风下高

层晃动的专业工程装置：质量块和吊索构成一个巨型复摆，它与主体结构的共振，能消减大

楼晃动，由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似看为单摆运动，其离开平衡位置的

位移/(t)(单位：m)和时间t(单位：s)的函数关系为f(t)=simot-，？cos3t®>0)，若该

阻尼在摆动过程中连续四次到达平衡位置的时间依次为〃，t2,t3,14,且tl+方+t3=14,

t2+t3+t4=20.

(1)求函数f(t)的单调增区间；

(2)若f(t)=L求t的取值集合.

20.(本小题12.0分)

从①(4。2—2ac)cosB+c2=a2+b2；②2(sin4—sinC)2+cos2B=1—2sinAsinC；③a+

acosB=CbsinA这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，然后解答补充完整的题目.(注:

如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分).已知△ABC的三个内角4B,C的对边分别

^ja,b,c,.且.

(1)求角B的大小；

(2)若。=「，求2a+c的最大值.

21.(本小题12.0分)

已知△4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且QCOS?^-bcos??=等.

(1)求4

(2)若点D,E,M均在边BC上,且4。1BC,4E平分2R4C,BM=CM,AD=竺二,AE=?

求4M的长.

22.(本小题12.0分)

已知函数/(久)=2sin(2a>x+1).

(1)若/(%i)</(X)</(x2),lx：-x2\min=专求/(x)的对称轴；

(2)己知0<3<5,函数f(x)图像向右平移9个单位，再向上平移1个单位，得到函数g(x)的

图像，％=g是g(x)的一个零点，当xe传卷初时，方程g(x)-a=0恰有三个不相等的实数

31730

根%1，%2，%3(%1V%2V%3)，求实数a的取值范围以及％1+2%2+久3的值.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：因为角度值和弧度制不能混用，故A、B错误;

因为45°=1=]—2兀=一?，故C正确；

444

对于选项D：因为a—彳=(k/r+[)-3=卜兀H2k7t,kEZ,

则/=也+系壮2与45。终边不相同，故。错误；

故选：C.

根据终边相同的角分析判断.

本题主要考查了终边相同角的定义，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】解：因为

所以方•b=(cos(a—/?),s讥0)•(l,sina)=cos(a—0)+sinasinfi=cosacosfi+2sinasinp=0,

由题易知a对，£对，

sinasinpsinasinp1

所以比matcmS=

cosacos/?-2sinas\np2

故选:A.

由向量垂直的坐标公式得cosacosS+2sinasinp=0,再求解答案即可.

本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】解：由16cos2^-3cos2。=3,

得8(1+cos。)一3(2cos26-1)=3,

即3cos2。—4cos6—4=0,

解得cos。=一|或cos。=2(舍去).

故选：B.

由已知利用二倍角的余弦变形，然后求解关于cos。的一元二次方程得答案.

本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题.

4.【答案】A

【解析】解：由图可知，A=B=2,

又因为f(x)过点(0,3),

所以/"(0)=2sin(0+*)+2=3,解得sinp=

又因为0<8<兀，且(0,3)在/(%)的一个减区间上，

所以<p=算，

根据五点作图法可知，^-xa)+^=n,解得3=2,

1ZO

/(%)=2sin(2x+£)+2,f(<p)=2sin(2x期+祭)+2=2stny+2=4.

故选：A.

根据函数图像的最低点及对称中心的位置得到4B的值，根据点(0,3)得出*的值，由五点作图法

可得3=2,即可得出答案.

本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.

5.【答案】D

【解析】解：由题意得|五|=J(》2+(-令2=1，

由|为一23|=|3+2初，得|五『+4口|2—4五)=|方产+4|五产+4五•方，

所以五叱=3,所以cos位由=微曾=弓=1.

故选：D.

根据向量模长的计算公式可得五.b=3解-3回2=3,进而根据夹角公式即可求解.

8

本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题.

6.【答案】A

【解析】解：设铁塔or的高度为九米，

由题意可得：。4==?八，

在A04B中，由余弦定理泗=0A2+0B2-20A-0B.cos乙40B,

即2102=3h2+^h2-2chx一八x解得/i=30V-五

故选：/.

设铁塔。7的高度为九，用九表示出/。和B。，在中利用余弦定理即可求出九.

本题考查了余弦定理的应用，属中档题.

7.【答案】C

【解析】解：取BC的中点为。，连接。M,

则丽-CM=（BO+OM）■（CO+OM）=（BO+OM）-（-SO+OM）=OM2-苗=OM2-1,

因为当OMJLAC时，|而|取得最小值，此时|两|=lxsin6（T=y，

所以询•CM=OM2-1>（三>-1=-i.

故选：c.

通过转化法得两-CM=OM-^根据平面几何知识求解即可

本题考查向量数量积的最值的求解，数形结合思想，属中档题.

8.【答案】D

【解析】解：令/（x）=2sin（3X+9）+1=0,则sin（3X+w）=

与题意相对应且使得sinx=的值可以取-等J则-》（-%=1,

2662”3

由题意可得《=&则7=兀，

由题意可知：若b-a的最大值，则a,b均为零点，

不妨取a=0,且2023为奇数，则f（x）在（0,句内有2024个零点，

所以b-a=^T=10127T.

故选：D.

根据题意结合三角函数的周期性的特征分析求解.

本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，也考查了运算能力和逻辑思维能力，是中档题.

9.【答案】AC

【解析】解：/(x)=sin3x+V_3cos3x=2sin(3x+今=2cos(3x—，

4B选项：将函数y=2sin3x的图象向左平移g个单位长度得到y=2sin3(x+9=2sin(3x+9,

即f(x)的图象，将y=2cos3x的图象向右平移沙单位长度得到y=2cos3(%一?=2cos(3x-

=2sin3x,不是/(x)的图象，所以A正确，B错误；

C选项：因为f儡)=2s讥(3x看+卞=2,所以函数/(x)的图象关于直线”看对称，所以C正

确；

0选项：因为/③=2sin茎=V?¥0,

所以函数/(乃的图象不关于点G，。)中心对称，所以。错误.

故选：AC.

根据辅助角公式化简/(x)=sin3x+yT3cos3x=2sin(3x+今=2cos(3%-，即可根据图象平

移变换的性质判断4B,代入验证即可判断CD.

本题主要考查了辅助角公式的应用，还考查了三角函数的性质的应用，属于中档题.

10.【答案】CD

【解析】解：对于选项A：由余弦定理a?=垓+-2bccos力，

可得25=49+C2-2X7XCX|,则C?-7c+24=0,

因为4=(-7)2-4x1x24=—47<0,

所以该方程无解，即不存在满足条件的三角形，故A错误；

对于选项B：因为标也几^=b2tanA,由正弦定理可得siM/tcmB=sin2BtanA,

则sinAsinB_sinBsinA

cosBcosA

且A,BE(0,7T),则si/M00,sinB=A0,2428€(0,2TT),

可得吗=吗，整理得S讥24=sin2B,

cosBcosA

可得24=2B或2/+2B=n,即4=B或4+B=p

所以a=b或a?+Z?2=c2,故B错误；

对于选项C：由余弦定理c2=a?+-2abcosC,则c?=a?+炉-/Zb，

因为a?—c2=bc,可得b+c=V~至a,

则a?=be+c2=(b+c)c-y/~2ac>则a-y/~2b->J-2c>

所以△ABC为等腰直角三角形，故C正确；

对于选项D：因为4B,CG(0,71),则4-8,B-C,C-AE(-n,n),

可得cos(A-B),cos(B-C),cos(C-4)e(-1,1],

若cos(4—B)cos(B-C)cos(C—A)=1,则cos(4—B)=cos(B—C)=cos(C—A)=1,

可得4—B=B—C=C—A=0,即4=B=C,

所以△ABC一定是等边三角形，故£>正确.

故选：CD.

对于4利用余弦定理分析运算；对于反利用正弦定理结合倍角公式分析判断；对于C：利用余

弦定理分析运算；对于D：根据角的范围结合余弦函数分析判断.

本题考查解三角形，考查转化思想，考查正余弦定理的应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属

于中档题.

11.【答案】AC

【解析】解：因为方=35+(4-1)/与石=(24—1)瓦-2霓垂直，

所以行不=[3瓦+(4-1)司•[(24-1)说-2引=6A-3-2(A-1)+A2--|=A2+

5,7

21-2=0,

解得4=1或;1=—

若4>0,则4=1,

此时五=3可，E=瓦一2芭,

与,方向相同的单位向量是瓦，B在瓦上的投影向量是鬻•高=-5/，故选项A正确，选项B错

误.

若;1<0,则4=一(，

此时丘=3瓦石，

因此与日方向相同的单位向量是写至，

五•石(3片一名办药2yT7

且益与筱的夹角的余弦值为商翁=J屋j司2田=一一二，故选项C正确，选项。错误.

故选：AC.

先由向量垂直化简可得；I=1或；I=-p分4>0结合投影向量判断4B><0时由夹角公式判断CD.

本题考查投影向量的概念，向量的夹角公式，属中档题.

12.【答案】ACD

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的性质，化归转化思想，属中档题.

对4：根据对称中心的性质分析运算；对B：分n=4k+l(/ceZ)和n=4k-l(k6Z)两种情况讨

论，整理分析；对C：分n=4做k€Z)和《=4卜+2(卜€2)两种情况讨论，结合辅助角公式运算

求解；对。：根据选项C的结果，结合单调性分析运算.

【解答】

解:4选项：当n=l时，则f(x)=sin(2x+今+2cos24=cos2x+cos2x+1=2cos2x+1,

可得人争=2cos:+1=1,故人x)图象的一个对称中心为岑,1),故A正确；

B选项：当n为奇数时，则有：

若n=4k+l(/ceZ),则/'(x)=sin(2x+2kn+?)+2cos2x=sin(2x+,+2cos2x=cos2x+

cos2x+1=2cos2x+1,

此时函数/(%)的最小正周期是7T；

若九=4k-l(/ceZ),则f(%)=sin(2x+2kn-])+2cos2x=sin(2x—])+2cos2x=-cos2x+

cos2x+1=1,

显然/(%)没有最小正周期；故8错误；

C选项：当几为偶数时，则有：

若九=4k(kEZ),则f(%)=sin(2x+2/CTT)+2cos2x=sin2x+cos2x+1=\T~2s\n(2x+》+1,

/Wmax=>^2+1：

若九=4/c+2(fc6Z),则/(x)=sin(2x+2kn+TT)+2cos2x=sin(2x+TT)+2cos2x=-sin2x+

cos2x+1=4~2COS(2X+^)+1,f(x)max=1，故C正确.

。选项：由选项C可知：当n为偶数时，/'(x)=/Isin(2x+》+^f(x)=，^cos(2x+》+l,

•••尤€/,萼)，所以2%+*砥兀)，故f(x)在弓，萼)上单调递减，故。正确.

OO什乙oO

故选：ACD.

13.【答案】——

【解析】由题意可得户+'](4，一1),两式相加可得3方=(6,0),即@=(2,0),

(2a-b=(2,1)

可得五一石=(2a-b)-a=(0,l),b=(a+b)-a=

所以COS〈方—b,b)=("心)&_-

''|a-h||fe|1X>T55

故答案为：_等.

根据题意结合向量的坐标运算可得不一方=(0,1)1=(2,-1)，进而可求结果.

本题主要考查平面向量的坐标运算，属于基础题.

14.【答案】2(答案不唯一，3=3k+2,k€N*均可)

【解析】解：由题意侬x刍—*=攵兀+9，3=3k+2,kEZ,

SOL

其中最小的正数为2,即口=2.

故答案为：2(答案不唯一，a)=3k+2,/cWN*均可).

结合正弦函数的对称轴求解.

本题考查正弦函数的对称性，掌握其对称轴方程是关键，属于基础题.

15.【答案】察

O

【解析】解：根据正切的二倍角公式，由1211“m&=|可得手:=,,

所以tan2(=±因为0<a<J,所以。<微<[,tan^>0,

24，24Z

故tan|=

所以sin=?，cos

所以sin(3+2)=¥(sin3+cos^)=^7^，sina=2sin^cos^=

'24，2'22，102/5

所以sinG+9_3E

sina8

故答案为：智.

根据正切的二倍角公式可求得tan^,从而求得sinacos会然后代入计算，即可得到结果.

本题主要考查了同角基本关系及和差角公式的应用，属于中档题.

16.【答案】空I

4

【解析】解：作图：

•・•y/~3bsinC+ccosB=Q,A

•・・在中，由正弦定理得

yT~3sinBsinC+sinCcosB=sinA^

^]y/~3sinBsinC+sinCcosB=

BC

sin(B+C)=sinBcosC+

cosBsinC,

整理得=sinBcosC,

又B,C£(O,zr),则S比8HO,

整理得tanC=?，即C=*

由题意得。8=DA=3,DC=6,

在44co中，由余弦定理得=AC2+DC2-2AC-DC-cos^ACD,

即9=AC2+36-24Cx6x?,整理得AC?-6cAe+27=0.解得AC=3「，

则44CD的面积S“CD=；xACxDCxsinC=1x6x3门xg=亨，

Ve_1c_9/3

入JfBO-2^^ACD一

则SMHC=S^ABD+S^ACD=29•

故答案为：罕.

4

根据题意利用由正弦定理结合三角恒等变换可得c=S，利用余弦定理结合面积公式运算求解，即

可得出答案.

本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

17.【答案】解：(1)由题意可得：A(1,O),Q(^l+cosd,sinG),

可得=(1,0),丽=(1+cos0,stn。)，S=2x；xlxsin。=sind,

所以市•而4-S=l+cosO+sind=sinO+cosO4-1=V~^sin(0+^)4-1,

因为。e(0,TT),

则片)，

当e+泻,即时,

OAOQ+S取到最大值YU+1.

(2)因为方=(2,1),OP=(cos0,sin0)，

若CB1OP,则方.OP=2cos0+sin9=0.即sin。=-2cos6,

肝+士工口fsin。=-2cos0

联”力程tsin2e+cos26=l'

・-等

,smdn=—2<5sin”

解得5或

A<3

cosd=———cosd=—

-5

且。e(0,7T),则sin。>0,

sind=1

所以

a<5

cosd=一一—

5

所以||24-S2=(14-cosdY+sin20+sin20=sin20+2cos0+2=4-2x(—?)+

c14-2<3

2=-5—

【解析】(1)根据题意结合向量的坐标运算可得瓦晨的+S=，Nsin(0+》+l,结合正弦函数

运算求解;

(2)根据题意向量的坐标运算可得sin。=-2cos9,可得sin。，cos9,进而可得结果.

本题主要考查平面向量的数量积，属于中档题.

黑黑=瀛弓，解得=：，

18.【答案】解：(1)因为tan6—a)

2sinacosa—2siv?-a_2tana—2tan?a_2x1-2x(1)22

所以sin2a—2sin2a=

sin2a+cos2atan22aa+ll(1)2+15,

(2)因为06(0,9则年+0€(学汾,

则cos耳+夕)=—Jl—sin2(与+S)=-半，可得tan(与+夕)=::;鼻;=

所以tan[岑+夕)-(»a)]=tang+(□+?)]=一鬲扁tan第+0)Tan(2-a)_-2

l+tan(^+/?)tan(^-a)l+|x(-|)

则tan(a+£)=1,

又因为ae(0,»则a+夕6(0,当，

所以a+0=*

【解析】(1)由两角差公式可得tana=g,根据齐次式问题运算求解；

(2)根据题意可得有+夕)-6-a)=尹(a+夕)，根据两角和差公式分析运算即可.

本题主要考查了同角基本关系，和差角公式的综合应用，属于中档题.

19.【答案】解：(1)因为/'(t)=sin3t-，Zcos3t=2s讥(3t-“，且定义域为[0,+8),

由题意可得：t4-ti=«2+t3+t4)-(ti+t2+J)=6,即:=6,

则7=普=4,且3>0,解得①=今

所以f(t)=2si呜t-)

5

4fkz

-<£-<c+-6

令2/CTT——2kn+],kCZ,解得4/c—|3

注意到f(t)的定义域为[0,+oo),

所以函数/(t)的单调增区间[0,凯4k一/4k+肌GN*.

(2)令f(t)=2s\n("t一今=1，即sin(W

则酎-g=2kn+£N或"—[=2kn+言,kEN,

解得t=4k+l,k€l^t=4k+W，keN,

所以t的取值集合{t|t=4k+1或t=4/c+(,/c€N}.

【解析】(1)根据题意辅助角公式，结合周期求得3=会再根据正弦函数的单调性分析运算;

(2)根据正弦函数分析运算.

本题主要考查三角函数的应用，考查转化能力，属于中档题.

20.【答案】①(或②或③)

【解析】解：(1)若选①:由余弦定理得(4小-2ac)cosB=a2+b2-c2=2abcosC,即(2Q-

c)cosB=bcosC,

由正弦定理得(2sin4—sinC)cosB=sinBcosC,

则2s5AcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(F+C)=sinA,

因为4,BG(0,TT),则sinAH0,

1TT

所以cosB=解得8=

Z。

若选②：因为2(sim4—sinC)2+cos2B=1—2sinAsinC,

所以2(sin24—2sinAsinC+sin2C)+1—2sin2B=1—2sinAsinC,

整理得siMa+sin2C—sin2B=sinAsinC,

由正弦定理得小+c2—b2=ac,

由余弦定理得COSB=M+C2f2=O£=l

2ac2ac2

又因为所以B=l

若选③：因为a+acosB=yfSbsinA,

由正弦定理得sinA+sinAcosB=\T~3sinBsinA,

因为4BG(0,7r),所以sinAHO,所以1+cosB=Cs讥8，

整理得/"无勿〃—cosB=1»

所以sin(B—^)=!»

由得B—3建，所以B冶.

、、abcV_3。

(2)由正弦定理诉=/港=赤=亘=2,B]<a=2sinA,c=2sinC,

I-

所以2a+c=4sinA+2sinC=4sinA+2sin(A+B)=4sinA+sinA+y/~~3cosA

=5sinA+yT~3cosA=2V_7sin(i4+(p),

其中tan,=E(0g)，

当4+(p=],即4=^―0时，

所以£刖4=tan(^一(p)=时，2a+c取到最大值为

(1)选条件①：先利用正、余弦定理化边为角，结合两角和的正弦公式及三角形内角和定理即可得

解；

选条件②：利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解；

选条件③：利用正弦定理化边为角，再利用辅助角公式化简即可得解；

(2)先利用正弦定理边化角，再根据三角恒等变换变换运算求解.

本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力与转化思想，是中档题.

21.【答案】解:⑴由acos2?-bcos2?=等，

4且a(l+cosB)b(l+cosA')a+c

得22=

即acosB-bcosA=c+b,

由余弦定理可得ax吆M—bxQ*Q=c+b，

2ac2bc

整理得a?=b2+c2+be.再由余弦定理可得cos4=一士>=-l.

2bc2

因为46(0,兀)，所以4=督.

(2)不妨设AB>47,由题可得4BAE=々C4E=C0S4D4E