人教版七年级数学上册 第二章 数学活动课 教案

/第二章数学活动课(刘绍中)一、教学目标〔一〕学习目标1.用整式和整式的加减运算表示实际问题中的数量关系.2.掌握从特殊到一般,个体到整体的观察分析问题的方法去解决规律问题.3.体验数形结合的思想,由特殊到一般的研究方法.〔二〕学习重点用整式和整式的加减运算表示实际问题中的数量关系.〔三〕学习难点〔1〕用整式和整式的加减运算表示实际问题中的数量关系.〔2〕掌握从特殊到一般,个体到整体的观察分析问题的方法解决规律问题二、教学设计〔一〕课前设计1.预习任务如下图是一组有规律的图案,第〔1〕个图案由4个根底图形组成,第〔2〕个图案由7个根底图形组成,……第〔是正整数〕个图案由个根底图形组成．2.预习自测〔1〕如图是一组由深圳世界大学生运动会桔祥物“〞组成的有规律的图案,请你观察比拟它们组成的规律,试判断第个图案需要用“〞〔〕A．B．C．D．【知识点】整式表示数量关系【解题过程】解：第一个图案1个,第二个图案个,第三个图案个,第四个图案个…第个图案,应选B.【思路点拨】从前四个图中去发现数据的变化规律,从列出整式表示数量关系.【答案】B.〔2〕某市出租车的收费标准为：起步价12.50元,3千米后每千米2.40元,某人乘坐出租车行驶〔〕千米,试用含的式子表示他应付的费用,并求出当时,这一式子的值．【知识点】整式表示数量关系 【解题过程】解：总费用==,当时,原式=【思路点拨】总费用=起步价+单价×超过3千米的局部,在代入求值即可.【答案】,24.5.〔3〕假设表示一个三位数,表示一个两位数,假设把放在的左边组成一个五位数,那么这个五位数是．【知识点】用整式解决实际问题【解题过程】解：把放在的左边组成一个五位数,相当于的值不变,的小数点向右移动了三位,所以,所得的数是.故答案为：.【思路点拨】把放在的左边组成一个五位数,相当于把乘以100求出所得的积,再加上.【答案】.〔4〕如图,在边长为的正方形的四个角挖去边长为的四个小正方形．〔1〕余下的局部〔阴影局部〕的面积为多少?〔2〕当,时,阴影局部的面积是多少?【知识点】整式解决实际问题,并求值.【解题过程】解：(1)余下局部的面积为；(2)当,时,.∴当,时,阴影局部的面积是45.【思路点拨】(1)阴影局部的面积等于大正方形的面积减去四个小正方形的面积,正方形的面积等于边长的平方．(2)把、的值代入(1)所列式子中计算即可.【答案】(1)；(2)45.(二)课堂设计1.知识回忆〔1〕用字母表示数的含义可以使实际问题中的数量关系更加的简洁、标准.〔2〕整式的加减运算实际就是去括号合并同类项.〔3〕用整式表示实际问题中的数量关系的方法及步骤：弄清数量关系,注意语句顺序,熟记常用公式,标准书写.2.问题探究探究一用整式表示规律问题中的数量关系●活动①回忆旧知,整式表示数量关系师问：用整式表示实际问题中的数量关系的方法和步骤是什么？学生举手抢答.师：整式的加减运算是什么？学生举手抢答.【设计意图】通过复习提问,为用整式表示规律问题中的数量关系作好铺垫.探究二★▲●活动①〔大胆操作,探究整式表示规律中的数量关系的方法〕如下图,用火柴棍拼成一排由三角形组成的图形.

(1)如果图形中含有个三角形,需要多少根火柴棍?

(2)当图形中含有2019个三角形时,需要多少根火柴棍?师生活动：学生分成几个小组,利用准备好的的火柴棍动手摆放图形进行探究.学生代表展示小组讨论的过程和结果.【设计意图】通过学生动手操作、讨论交流,初步感知特殊到一般的观察、分析的数形结合思想方法.●活动②〔集思广益,发现如何探究规律问题中的数量关系的方法〕师：由图形的变化规律看数据的变化规律：从第二个图形起,与前一个图比拟,每增加一个三角形,就增加两根火柴,可得三角形个数1234…火柴棍根数33+23+2+23+2+2+2…所以表达形式：=〔2〕当时,=2×2019+1=4025追问：还可以从图像的哪些角度去思考,寻找数据的变化规律？生答总结：方法一：每个三角形都由三根火柴棍组成,从第一个图起,火柴棍根数等于所含的三角形个数乘以3,再减去重复的火柴根数,可得三角形个数1234…火柴棍根数1×32×3-13×3-24×3-3…所以表达式为=方法二：从第一个图形起,以一个火柴棍为根底,每增加一个三角形,就增加两根火柴棍,可得三角形个数1234…火柴棍根数1+21+2+21+2+2+21+2+2+2+2…所以表达式为方法三：还可以从图形的摆放位置把火柴棍分为“横〞放和“斜〞放两类统计计算,可得三角形个数1234…火柴棍根数1+22+33+44+5…所以表达式为=追问：刚刚大家都是从图像的变化规律中去观察、分析、发现数据的变化规律,我们可不可以从火柴棍的根数去观察发现与三角形的个数的对应关系？三角形个数1234…火柴棍根数3=1×2+15=2×2+17=3×2+19=4×2+1…所以表达式为【设计意图】通过图形从不同角度去分析,加强对图形的变化的感受.●活动③〔反思过程,归纳方法〕师问：刚刚同学的思路都很好,我们从哪些角度去观察、分析、发现规律,从而用一个整式表达规律的一般性？学生答复.师生活动：学生小组讨论交流并展示总结：〔1〕如方法1-4种,可以从图形角度去观察、分析、发现它的变化规律,从而得到数据的变化规律,再用整式表达出规律即可.(由形到数的研究方法)；〔2〕如方法5,也可以从每个图形的火柴棍的根数去观察、分析、发现它与图形个数的对应关系.〔由数到形的研究方法〕.这种研究图形变化规律的方法：数形结合的思想方法和特殊到一般的思想方法【设计意图】应用列表法得到用整式表示三角形个数和所用火柴棍的根数的对应关系,让学生体会到特殊到一般、数形结合、个体到整体的观察、分析问题的方法.探究三★▲●活动①〔根底性例题〕师问：今天学习了数学中很重要的思想方法即数形结合、特殊到一般的思想方法,你能利用它可以解决图形规律变化的问题吗？例1.如下图,用大小相等的小正方形拼大正方形,拼第1个正方形需要4个小正方形,拼第2个正方形需要9个小正方形,…,按照这样的方法拼下去,第个大正方形比第个大正方形多多少个小正方形〔〕.A.；B.；C.；D..【知识点】整式表示规律.【数学思想】特殊到一般、数形结合.【解题过程】解：∵第一个图形有个正方形组成,第二个图形有个正方形组成,第三个图形有个正方形组成,∴第个图形有个正方形组成,第个图形有个正方形组成,∴第个大正方形比第个大正方形多个小正方形.应选A.【思路点拨】观察题目,将第一、二、三个图形的小正方形个数表示出来,根据图形中小正方形的个数规律得出变化规律,第个图形有个正方形组成,此时即可得出第个大正方形比第个大正方形多多少个小正方形.【答案】A.练习：如图①所示的是一个三角形,分别连接这个三角形三边的中点得到图②,再分别连接图②中间的小三角形三边的中点,得到图③,按此方法继续连接,请你根据每个图中三角形的个数的规律完成各题．(1)将下表填写完整；图形编号①②③④⑤…三角形个数15…(2)在第个图形中有个三角形.〔用含的式子表示〕【知识点】整式表示规律【数学思想】数形结合思想、特殊到一般思想【解题过程】解：(1)图形编号为③中三角形的个数为9=4×3-3；图形编号为④的三角形的个数是4×4-3=13,图形编号为⑤的三角形的个数是4×5-3=17,图形编号①②③④⑤…三角形个数1591317…(2)第n图形中三角形的个数是4-3.【思路点拨】(1)结合题意,总结可知,每个图中三角形个数比图形的编号的4倍少3个三角形由此可计算出答案；

(2)根据(2)中的规律可直接写出答案.【答案】4-3.【设计意图】使学生通过由图形的变化规律去发现数据的变化规律,从而用含字母的式子把一般性的规律表示出来,进一步体会数形结合思想和特殊到一般的研究方法.●活动2〔提升型例题〕例2．一种笔记本售价为2.3元/本,如果买100本以上(不含100本),售价为2.2元/本,列式表示买本笔记本所需钱数(注意对的大小要有所考虑).请同学们讨论下面的问题:

(1)按照这种售价规定,会不会出现多买比少买反而付钱少的情况?

(2)如果需要100本笔记本,怎样购置能省钱?(3)了解实际生活中的类似问题,并举出几个例子.【知识点】整式解决实际问题.【数学思想】分类讨论思想.【解题过程】解:(1)当时:需要的钱数是元；当时:需要的钱数是元；当时,需要的钱数是元,由得：,

那么时,会出现多买比少买反而付钱少的情况；

(2)因为如果需要100本笔记本,购置101本时,需要的钱数是(元),

购置100本时,需要的钱数是(元),所以如果需要100本笔记本,购置101本能省钱；

(3)例如一个乒乓球售价为2元/个,如果买10个以上(不含10个),售价为1.9元/个,按照这种售价规定,会不会出现多买比少买反而付钱少的情况?【思路点拨】(1)分两种情况讨论,一种是不超过100本,另一种是超过100本,分别求出各自的代数式即可.

(2)因为买100本以上(不含100本)售价较低,所以可以购置101本笔记本比拟省钱.【答案】〔1〕时,会出现多买比少买反而付钱少的情况；〔2〕购置101本能省钱；〔3〕略.练习：A、B两家公司都准备向社会招聘人才,两家公司条件根本相同,只有工资待遇有如下差异：A公司年薪两万元,每年加工龄工资400元,B公司半年薪一万元,每半年加工龄工资100元,求A、B两家公司,第年的年薪分别是多少,从经济角度考虑,选择哪家公司有利？【知识点】整式表示数量关系.【数学思想】分类讨论思想.【解题过程】解：A公司第年的年薪是；

B公司第年的年薪是．

A、B公司第年的年薪差为．

当时,,此时选择B公司有利；

当时,,此时选择A公司有利．【思路点拨】提示1：根据题意列出A、B两公司第年的年薪的代数式,对这两个式子进行比拟即可．

提示2：解决问题的关键是读懂题意,找到所求的量的等量关系．此题为文字阅读题,学生要养成仔细阅读理解的习惯．【答案】,当时,,此时选择B公司有利；

当时,,此时选择A公司有利．【设计意图】使学生通过由图形的变化规律去发现数据的变化规律,从而用含字母的式子把一般性的规律表示出来,进一步体会数形结合思想和特殊到一般的研究方法.3.课堂总结知识梳理〔1〕整式和整式的加减表示数量关系.〔2〕列表整理分析数据,发现变化规律.〔3〕数形结合思想、特殊到一般思想.重难点归纳〔1〕列表整理分析数据,发现变化规律.〔2〕数形结合思想、特殊到一般思想.〔三〕课后作业根底型自主突破1.观察一组数,,,,,根据这组数的规律,可推出第100个数是．【知识点】整式解决规律问题中数量关系.【数学思想】特殊到一般.【解题过程】解:分子为1,2,3,4,5,,第100个数的分子为100,

分母为3,5,7,9,11,第100个数的分母为,

第100个数为:,因此,此题正确答案是:.【思路点拨】这是一组分数,分子是从1开始的连续自然数,分母是从3开始的连续奇数,且每个分数的分子分母存在的关系:,故此题可解.【答案】.2.观察图中给出的四个点阵,表示每个点阵中的个数,按照图形中的点的个数变化规律,猜测第10个点阵中的点的个数为〔〕.【知识点】整式表示数量关系.【数学思想】特殊到一般、数形结合思想.【解题过程】解：看图可知,第幅图就比第一幅图多个4,所以第幅图中点的个数就是,再乘以4,然后加1,列式为：==所以第10个图形点的个数=4×10-3=37.【思路点拨】仔细看图,分析图中点的数量的变化,发现规律是：第幅图就比第一幅图多个4,据此即可解题；在找出点的总个数的关系后,不要忽略第的图中点的总个数应加上1,否那么导致答案错误.【答案】.3.如下图,那么第2019个图形中笑脸的个数是,第个图形中笑脸的个数是.【知识点】整式表示数量关系.【数学思想】特殊到一般.【解题过程】解：根据题意可知,第2019个图形中笑脸的个数是4016个,第个图形中的笑脸的个数是2.【思路点拨】分析笑脸的个数与的值之间的变化规律,笑脸的个数总是的值的2倍,根据这一规律可以分析出第2019个图形笑脸的个数以及第个图形笑脸的个数.【答案】4016,2.4.如图,用围棋子按下面的规律摆图形,那么摆第个图形需要围棋子的枚数是().第1个第2个第3个A.B.C.D.【知识点】整式表示数量关系.【数学思想】特殊到一般、数形结合思想.【解题过程】解：依题意得：摆第1个“小屋子〞需要5枚围棋子；

摆第2个“小屋子〞需要11枚；摆第3个“小屋子〞需要17枚．

那么摆第个图形需要围棋子的枚数为个,应选C.【思路点拨】此题中可根据图形分别得出=1,2,3,4时的小屋子需要的点数,然后找出规律得出第个时小屋子需要的点数．【答案】C.5.图是用棋子摆成的图案,每条边上有()个棋子,每个图案棋子的总数是,按此规律推断与的函数关系式为________．【知识点】整式表示数量关系.【数学思想】特殊到一般、数形结合思想.【解题过程】解：由图可知,当=2时,当=3时,；当=4时,……；因而【思路点拨】此题中可根据图形分别得出=1,2,3,4时的图案需要的点数,然后找出规律得出第个时图案需要的点数.【答案】.6.如图,以一根火柴棍为一边,用火柴棍拼成一排由正方形组成的图形,如果图形中含有2013个正方形,那么需要根火柴棍.【知识点】整式表示数量关系.【数学思想】特殊到一般、数形结合思想.【解题过程】解：时,有4根火柴；时,有根火柴；时,有根火柴；…,,当时,【思路点拨】易得时火柴的根数,分别求得为任意值时,火柴的根数在4的根底上增加了几个3即可．【答案】6040.能力型师生共研1.有一组单项式：,,,请观察它们的构成规律,用你发现的规律写出第10个单项式为_____.【知识点】用整式表示规律问题中数量关系.【数学思想】特殊到一般.【解题过程】解：注意观察各单项式系数及系数的符号和次数的变化,系数依次是1(可以看成是),,,…据此推测,第十项的系数为；次数依次是2,3,4,5…据此推出,第十项的次数为11．所以第十个单项式为,故答案为：.【思路点拨】通过单项式的特点可以找到以下规律：分母为自然数,偶数项符号为负号,字母指数比分母大1．【答案】.2.如图是一个有规律排列的数表,请用含的代数式(为正整数)表示数表中第行第列的数.【知识点】整式表示规律图形中数量关系.【数学思想】特殊到一般.【解题过程】解:第一行第个数可用来表示,而第一列第个数可以用来表示.

那么第行列的数就可用(第一行第个数+第一列第个数)÷2来表示,

即：=.【思路点拨】由图可以知道,第一行第个数可用来表示,而第一列第个数可以用来表示.那么第行列的数就可用(第一行第个数+第一列第个数)÷2来表示,即=.【答案】.探究型多维突破1.某市居民使用自来水按如下标准收费:假设每户月用水不超过,按元/收费,假设超过,但不超过,那么超过局部按元/收费；假设超过,超过局部按元/收费,根据表中户月用水量的取值,把相应的收费金额填在下表中.户月用水量/101826(>20)收费金额/元1021【知识点】整式表示数量关系.【解题过程】当户月用水量是26方时：；当户月用水量是方时：表中空格从左至右依次填和.【思路点拨】分别计算出,按元/收费,假设超过,按元/收费,超过,按元/收费,然后计算三局部的和即可求解．【答案】和.2.一组有规律的图案如下图,第1个图案有4个五角星,第2个图案有7个五角星,第3个图案有10个五角星,……,第2019个图案有____个五角星．第1个图案第2个图案第3个图案【知识点】整式表示数量关系.【数学思想】特殊到一般、数形结合思想.【解题过程】第一个图有4个五星,第二个图有4+3个五星,第三个图有4+3+3个五星…第个图有,所以2019个图有==6043.【思路点拨】以第一个图的个数4为根底,以后每增加一个图就增加3个五星,从而发现增加的个数与对应图像个数的对应关系,从而发现变化规律,用含的式子表示出来即可.【答案】6043.自助餐1.观察下面的一列单项式：、、、、、…根据其中的规律,得出的第10个单项式是〔〕.A. B. C. D.【知识点】整式表示数量关系.【数学思想】特殊到一般.【解题过程】解：依题意得：〔1〕为奇数,单项式为：；〔2〕为偶数时,单项式为：．综合〔1〕、〔2〕,本数列的通式为：,∴第10个单项式为：．应选：B．【思路点拨】通过观察题意可得：为奇数时,单项式为负数．的指数为时,2的指数为〔〕．由此可解出此题．【答案】B.2.一组按规律排列的多项式：,,,,…,其中第10个式子是〔〕.A. B.C. D.【知识点】整式表示数量关系.【数学思想】特殊到一般.【解题过程】解：多项式的第一项依次是,,,,…,,第二项依次是,,,,…,,所以第10个式子即当=10时,代入后得到,应选B．【思路点拨】把的多项式看成由两个单项式组成,分别找出两个单项式的规律,也就知道了多项式的规律．【答案】B.3.如图,是用火柴棍摆出的一系列三角形图案,按这种方式摆下去,当