新高考数学 小题必练 解三角形

小题必练15解三角形

老县讹闲

1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理.

2.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理.

3.能解决一些简单的三角形度量问题.

考以透就

2

1.【2020全国ni卷】在△A3C中，cosC=-,AC=4,BC=3,贝UcosB=()

3

【答案】A

2_|8C|2+|AC『—_32+42-|AB|2

【解析】由余弦定理可知:

3-2\BC\-\AC\——2x3x4

可得IAB|=3,

|A8|2+|8CF—|AC|232+32—42]_

又由余弦定理可知cos8故选A.

21ABi-|BC|2x3x39

【点睛】本题实际是余弦定理的正反应用，先通过角的余弦值结合余弦定理求边长，再用余弦定理求角的余弦

值.

2.【2020全国I卷】如图，在三棱锥尸一ABC的平面展开图中，AC=1,AB=AD=6ABA.AC,

AB±AD^NC4£=30°,则cosZFCB=.

【答案】-；

【解析】AB=6AC=1,AB_LAC,BC=2,

同理。B=J4，

•；AE=D4=5NC4E=30°,AC=1,

221

EC=AE+AC-2xAExACxcosZEAC=3+\-2xy/3xlx—=l.

2

在/\BCF中，BC-2，FC-EC-1>FB=DB=V6，

FC?+8c2—FB°1+4-6

cosZFCB=

-2xFCxBC2x2x14

【点睛】本题主要考察正弦定理和余弦定理，通过立体图形的展开，结合展开图型中变化的量和不变的量之间

的关系，利用正余弦定理解决问题.

卜—

考县叁破

一、单选题.

A34

1.已知△ABC的内角A,B,。的对边为a,b,c,若cosA=-g,cosB=g,a=20,则。=()

A.10B.7C.6D.5

【答案】B

【解析】由cosA=一-,cosB=—f得sinA=—,sin8二二，

所以sinC=sin(A+3)=sinAcosB+cosAsinB=—x------x—=一.

555525

根据正弦定理一L=-^,即解得c=7,故选B.

sinAsinC47

525

2.已知在AABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，A为最小角，且。=Ji,h=2,cosA=

8

则"BC的面积等于()

【答案】C

【解析】cosA=-?sinA\Jl-cos2A=—

88

由余弦定理得/=。2+匕2_2bccosA,即3=/+4-—,解得c=,或c=2

22'

QA为最小角，\c>a,...c=2,

屈

SnAIIC=—Z?csinA=—^1J22?洌

DAHC228

3.某船开始看见灯塔A时，灯塔A在船南偏东30。方向，后来船沿南偏东60°的方向航行45km后,

看见灯塔A在船正西方向，则这时船与灯塔A的距离是()

A.155/2kmB.30kmC.15kmD.156km

【答案】D

【解析】设灯塔位于A处，船开始的位置为8,船行45km后处于C,如图所示,

可得ZDBC=60°,ZABD=30°,3C=45ZABC=30°,ABAC

ACBC

在三角形ABC中，利用正弦定理可得

sinZABCsinABAC

一/且BCsinZABC451/r.

可得AC=----------------=—^x-=15V3km.

sinNBAC02

T

4.AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos?B-cos?A=J^sinBsinC,c=2\[?>b,

则角A=()

A兀2兀5兀

A.—BC.—D.

6-T3~6

【答案】A

【解析】cos2B-cos2A=V3sinBsinC=>sin2A-sin2B=V3sinBsinC,

Aa2-b2=A/3Z?C,解得a=Jib,

b2+l2b2-1h2_y/3

cosA=即不

2bc4回—2

5.如图，在八48。中，点。在边BC匕且8D=2OC，ADAC=30°，AD=2，AABC的面积

为36，则线段A8的长度为()

8D

A.3B.2A/2c.2V3D.3V2

【答案】C

【解析】因为%)=2OC，△ABC的面积为36，所以△AQC的面积为百，

则/ADxACxsinZDAC=6,即AC=2百.

在AACO中，CO?=12+4-2x26x2xcos300=4,所以8=2,

又因为NZMC=30°,AD=2，BD=2DC,所以NC=30°,BD=4,

所以在AABC中，AB?=(26)2+62—2x26x6xcos30°=12,即AB=26.

6.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若三边的长为连续的三个正整数,

且A>5>C,3Z?=20acosA,则sinA:sin8:sinC为()

A.4:3:2B.5:6:7C.5:4:3D.6:5:4

【答案】D

【解析】因为Q,b,。为连续的三个正整数，且A>3>C,可得

所以。=c+2,b=c+l①，

3b

又因为己知3〃=20acosA,所以cosA=——②,

20a

1222

由余弦定理可得cosA=+C-。③,

2bc

3bb~c~—ci~三

则由②③可得---=-----------④，

20。2bc

联立①©得7,一13。-60=0,解得。=4或。=一，（舍去）,

7

则Q=6,b=5,

故由正弦定理可得sinA:sinB:sinC=a:b:c=6:5:4.

7.已知在"BC中，AB=瓜,AC=6BC=J7,若。为小次？的外心且满足A0=xA8+yAC,

则6x+y=()

A.1B.3C.5D.6

【答案】B

【解析】由。为人钻。的外心且满足A0=xA8+yAC,

取A8中点为“，则。M_LA8,

12

所以A0AB=(AM+M0)-A8=AM-A8=—AB”,

2

即(xAB+yAC)-A8=3,

又由余弦定理可得COSNC4B=Y2,所以AB-AC=显舟与=1,所以6x+y=3.

66

8.在斜△ABC中，设角A,B，C的对边分别为b,c,已知asinA+Z?sinB-csinC=4人sinBcosC,

C。是N4CB的内角平分线，且CD=b,则cosNACB=()

1123

A.B.-C.-D.一

8634

【答案】A

2i22

【解析】由正弦定理得。2+玉2一。2=4/cosC=4b'"一。,得a=2b,

2ab

又C。平分角C,且。。=力，令NAC8=e,

I0I0I

由S4ACD+SABCO=S^ABC，得不匕气足不+^^^足］二］。/^!!，,

,9.oz.eA*.eo

即RnZrsm—+2b~sin—=4/rsin—cos—,

2222

n9301

即4cos—=3,•*•cos—=—,cos8=2cos?—1=一.

22428

D

9.设c分别是A43c的内角A，B,C的对边，已知(b+c)sin(A+C)=(a+c)(sinA-sinC),

设。是3c边的中点，且八钻。的面积为G，则AB・(D4+Q8)等于()

A.2B.4C.-4D.-2

【答案】A

【解析】:(b+c)sin(A+C)=(a+c)(sinA-sinC),

・・・由正弦定理可得S+c)b=(a+C)(Q-c),整理可得b2+c2-a2=-be，

12兀

*,•由余弦定理可得cosA=—，・,•由A£(0,7t),可得A=—，

23

又/MBC的面积为G，即Ibcsingug,.•.8c=4,

一y..2.2

又AB•(DA+DB)=(DB—DA)•(DA+DB)=DB-DA

2_

_CB_(AC+ACy_(43-AC)2_(AB+AC)2

一~44-44

4-AB,AC.

=---------------=-AB•AC=-becosA=2.

4

10.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sinA+cos(A+')=@，b+c-4,

62

则"BC周长的取值范围是()

A.[6,8)B.[6,81C.[4,6)D.(4,6]

【答案】A

【解析】VsinA+cos(A+—)=V3sinA+旦。s』nA=g

62222

可得sin(A+工)=N,

32

•••Ae(O,兀)，A+-e(-,—),：.A+-=—,解得A=殳，

333333

；h+c=4,.•.由余弦定理可得/=〃+°2-20ccosA=(。+—2Z?cc=16-3bc,

•.•由Z?+c=4,b+c>2yfbc,得。<bcW4,

.,.4<a2<16,即2«a<4,

Z\ABC周长L=a+/?+c=a+4e[6,8).

二、多选题.

11.在AABC中，己知(。+勿：(c+a)：3+c)=6:5:4,给出下列结论中正确结论是()

A.由已知条件，这个三角形被唯一确定B.AA8C一定是钝三角形

C.sinA:sinB:sinC=7:5:3D.若Z?+c=8,则ZkABC的面积是住叵

2

【答案】BC

【解析】可设△ABC的周长为/,则由(。+份：(c+a)：S+c)=6:5:4,

一，口,6C,121,+八9.2/=国，"”土2/=包

可得。+Z?=-2/=—

151515151515

7/3/

又a+b+c=/,则。=一b=—,c

151515

故三角形不确定，A错;

22221

由cosA=+厂一"一=_'<0,A为钝角，故B正确;

2bc2

由正弦定理sinA:sin5:sinC=a:〃：c=7:5:3,故C正确;

Q7

由。+c=8,则一=8,得/=15,故。=7,b=5»c=3,

15

由cosA―――,得sinA=，

22

△A5C的面积是，0csinA=Lx5x3x^=H8,故D错,

2224

故选BC.

12.在ZVIBC中，已知角A,6,C所对的边分别为a,4c,且。=6,sinA=2sinC,则以下四个结论正确

的有（）

A.AA3C不可能是直角三角形B.AA5C有可能是等边三角形

C.当A=B时，△43C的周长为15D.当3=1时，"BC的面积为6G

【答案】CD

【解析】由正弦定理得。=2。，

对选项A,若A直角，则/=后+c2n（2。『=36+/=>。=2豆.

所以存在A4BC是直角三角形，故A错误；

对选项B,因为a=2c,所以不存在△A6C是等边三角形，故B错误；

对选项C,若A=JB，则。=b=6,c=3,△ABC的周长为15,故C正确；

j3Hca2+c2-b14c2+C2-361r-r-

对选项D,cosB=----------=-------z—=—,触得c=2>/3,Q=45A/3,

2ac2x2c~2

所以5=,。。5m8=66，故D正确，

2

故选CD.

三、填空题.

13.已知一个三角形的三边长分别为3,5,7,则该三角形的最大内角为.

2兀

【答案】—

3

【解析】根据三角形中，大边对大角，故边长分别为3,5,7的三角形的最大内角，即边7对的角,

设为8,则由余弦定理可得cos。=~二^=一上，.

2x3x523

14.己知△ABC,AB.AC=2且N84C=60。，则卜同AC卜，AABC的面积为.

【答案】4,G

【解析】AB-AC=|AB||AC|COS60°=2,所以,即AC|=4,S“Bc=gx4x?=VL

15.《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海

伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜累并大斜累减中斜基，

余半之，自乘于上，以小斜哥乘大斜塞减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积，”若把以上这段文字

fjc2+a2-h2-

写成公式，即5=——-——)2],已知/XABC满足(sinA—sinB)(sinA+sin8)=

sinAsinC-sin2C,且A3=2BC=20,则用以上给出的公式可求得ZvlBC的面积为.

【答案】6

【解析】•••43=28。=2也，二由题意可得。=2。=20，a=6,

V(sinA-sinB)(sinA+sinB)=sinAsinC-sin2C)

由正弦定理可得(a-b){a+b)=ac-c2,可得a2+c2-b2=ac，

s=J；[C%2_(C'2+：b3_(?2]=乎ac=gX夜X272=6.

V42V4244

16.如图，在本市某旧小区改造工程中，需要在地下铺设天燃气管道.已知小区某处三幢房屋分别位于扇形

0LB的三个顶点上，点。是弧A3的中点，现欲在线段。。上找一处开挖工作坑P（不与点O,Q重合），为