考点巩固卷21双曲线方程及其性质(十一大考点)（解析版）

考点巩固卷21双曲线方程及其性质(十一大考点)考点01双曲线的定义及标准方程1．设是双曲线左支上的动点，分别为左右焦点，则（

）A． B． C．4 D．【答案】A【分析】利用双曲线的方程的特点和双曲线的定义即可求解.【详解】由，得解得．因为是双曲线左支上的动点，所以.由双曲线的定义可知．故选：A.2．如果双曲线上一点到它的右焦点的距离是，那么点到它的左焦点的距离是（

）A． B． C．或 D．不确定【答案】C【分析】根据双曲线的定义即可求得答案.【详解】设双曲线的左、右焦点为，则；则，由双曲线定义可得，即，所以或，由于，故点到它的左焦点的距离是或，故选：C3．已知点，动点满足，则动点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由双曲线的定义可知，动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，利用待定系数法求轨迹方程.【详解】，，又动点满足，动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，设双曲线方程为，则有，动点的轨迹方程为．故选：A．4．已知，动点P满足，求动点P的轨迹方程．【答案】【分析】根据双曲线的定义求得正确答案.【详解】因为，所以根据双曲线的定义可知，一定在1，2且焦点在x轴上的双曲线的右支上，则，这就是说，点P的坐标一定满足．另一方面，由可知，因此P的横坐标要大于零，从而可知P的轨迹方程为．5．已知点，，动点P满足，当点P的纵坐标是时，求点P到坐标原点的距离．【答案】【分析】首先求动点的轨迹方程，再求点的坐标，即可求的值.【详解】由题意可知，点的轨迹是以为焦点的双曲线的左支，其中，，，则动点的轨迹方程是，当，得，即，所以.所以点到原点的距离为.6．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)；(2)焦点为，经过点．【答案】(1)或；(2)．【分析】（1）根据给定的量，求出，再按焦点位置写出双曲线方程作答.（2）利用双曲线定义求出实轴长，再求出方程作答.【详解】（1）由，得，所以双曲线的标准方程为或.（2）依题意，双曲线半焦距，而双曲线过点，因此双曲线实轴长，即，虚半轴长有，所以所求双曲线的标准方程是.考点02根据方程表示圆、椭圆、双曲线求参数7．已知方程表示的焦点在y轴的双曲线，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先化为双曲线的标准方程，再建立不等式求解即可.【详解】方程可化为：，由方程表示的焦点在y轴的双曲线，得，解得.故选：C.8．“”是“表示双曲线”的（

）．A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据方程表示双曲线以及充分、必要条件等知识确定正确答案.【详解】当，即或时，表示双曲线，所以“”是“表示双曲线”的充分不必要条件．故选：B9．（多选）已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（

）A．当时，曲线C是椭圆 B．当或时，曲线C是双曲线C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则【答案】BCD【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线方程的特征逐项判断作答.【详解】对于A，当时，，则曲线是圆，A错误；对于B，当或时，，曲线是双曲线，B正确；对于C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，C正确；对于D，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，D正确．故选：BCD10．（多选）已知，为两个不相等非零实数，则方程，与所表示的曲线不可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】ABD【分析】先变形得到，对四个选项一一分析，得到答案.【详解】变形得到，A选项，双曲线交点在轴上，故，此时应该经过第一，二，四象限，A不可能；B选项，椭圆焦点在轴上，故，此时经过第一，二，三象限，B不可能；C选项，双曲线交点在轴上，故，此时应该经过第一，三，四象限，C可能；D选项，椭圆焦点在轴上，故，此时经过第一，二，三象限，D不可能；故选：ABD11．（多选）若方程所表示的曲线为，则下面四个说法中正确的是（

）A．若，则为椭圆B．若为椭圆，且焦点在轴上，则C．曲线可能是圆D．若为双曲线，则【答案】BC【分析】根据椭圆，圆，双曲线方程的特征，列不等式求解，即可判断选项.【详解】方程所表示的曲线为.A.当，取时，方程为，表示圆，错误；B.若为椭圆，且焦点在y轴上，则，即，所以B正确；C.时，方程为，表示圆，所以C正确；.若为双曲线，可得，解得或，所以D错误.故选：BC12．若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是；若表示椭圆，则m的取值范围是．【答案】【分析】根据已知方程，由双曲线、椭圆方程的性质列不等式求参数范围即可.【详解】若方程表示双曲线，则，即，故；若方程表示椭圆，则，解得且，故．故答案为：，考点03双曲线的焦点三角形问题13．已知双曲线的左焦点为为坐标原点，右焦点为，点为双曲线右支上的一点，且的周长为为线段的中点，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据右焦点为，得到，进而得到，再根据的周长为得到，然后利用三角形中位线求解.【详解】解：因为右焦点为，所以，又因为，则，又因为，则，所以为坐标原点，且为线段的中点，所以，故选：B14．设，是双曲线的左､右焦点，过的直线交双曲线的左支于，两点，若直线为双曲线的一条渐近线，，则的值为（

）A．11 B．12 C．14 D．16【答案】C【分析】根据双曲线的标准方程可得,再由双曲线的定义可得，得到,再根据得到答案.【详解】根据双曲线的标准方程，得,由直线为双曲线的一条渐近线，得,解得,得.由双曲线的定义可得①，②，①②可得,因为过双曲线的左焦点的直线交双曲线的左支于,两点,所以,得.故选：C.

15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支相交于A，B两点，，且的周长为10，则双曲线C的焦距为．【答案】/【分析】根据双曲线的定义，解得，然后根据的周长为10，解得各边长，最后根据余弦定理求解即可；【详解】

设，，，根据双曲线的定义可知：，可得，有，解得，在和中，由余弦定理有，解得，可得双曲线的焦距为．故答案为：.16．如图，双曲线的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，求的面积．

【答案】48【分析】过点作边上的高，根据所给条件结合双曲线的定义可求出三角形的高，即可求出三角形的面积.【详解】如图，

由可得，，，，，过点作边上的高，则，，所以的面积为.17．若，是双曲线的左、右焦点，点P在此双曲线上，且，求的大小．【答案】【分析】在焦点三角形中，利用余弦定理求解即可.【详解】如图，

由可得，设，则，又，所以，在中，又因为，.18．双曲线的左、右两焦点分别为，点在双曲线上，且，求的面积．【答案】【分析】根据给定条件，利用双曲线的定义结合余弦定理求出的余弦，再利用三角形面积公式求解作答.【详解】双曲线方程化为，即，所以，解得，于是，设，由双曲线的定义知，又，在中，由余弦定理得，而，则，所以的面积.

考点04双曲线的简单几何性质19．已知双曲线与，下列说法正确的是（）A．两个双曲线有公共顶点B．两个双曲线有公共焦点C．两个双曲线有公共渐近线D．两个双曲线的离心率相等【答案】C【分析】根据双曲线方程可得答案.【详解】双曲线的焦点和顶点都在x轴上，而双曲线的焦点和顶点都在y轴上，故A、B错误；双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为，故C正确；双曲线的离心率，而双曲线的离心率，故D错误.故选：C.20．已知离心率为的双曲线C：的左、右焦点分别为，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且，O为坐标原点，若，则双曲线的实轴长是（

）A．32 B．16C．84 D．4【答案】B【分析】根据，求出，，再根据以及求出即可得解.【详解】由题意知，不妨令点在渐近线上，由题意可知，所以，由，可得，即，又，，所以，所以双曲线C的实轴长为16.故选：B．21．已知双曲线与双曲线，则两双曲线的（

）A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等【答案】D【分析】通过的范围，结合曲线，求解焦距，实半轴长，虚半轴长，判断选项即可．【详解】的实半轴的长为5，虚半轴的长为3，实数满足，曲线是双曲线，实半轴的长为，虚半轴的长为，显然两条曲线的实轴的长与虚轴的长不相等，所以A、B均不正确；焦距为：，焦距相等，所以D正确；离心率为：和，不相等，所以C不正确．故选：D．22．已知双曲线的离心率为，虚轴长为4，则的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】曲线方程化为标准方程为，再根据已知列出方程组求出即得解.【详解】曲线方程化为标准方程为，则依题意可得解得.所以的方程为.故选：D．23．（多选）双曲线C经过，两点，则下列说法正确的是（

）A．双曲线C的标准方程是B．双曲线C的渐近线程为C．双曲线C的焦点坐标是，D．双曲线C的离心率为2【答案】BCD【分析】根据已知条件待定系数法求出双曲线方程，根据方程写出焦点坐标、离心率、及渐近线判断各个选项即可.【详解】依题意，设双曲线，双曲线C经过，两点，则，解得，所以双曲线C的标准方程为，A错误，实半轴长，虚半轴长，半焦距，双曲线的渐近线方程为：，B正确；双曲线C的焦点坐标是，，C正确；双曲线的离心率，D正确.故选：BCD24．已知点是双曲线上一点，分别是双曲线的左、右焦点，的周长为，则的面积为．【答案】【分析】利用双曲线的定义以及的周长可求出，再利用余弦定理可求出，再利用同角三角函数基本关系求出，进而求出结果.【详解】根据对称性，不妨设在双曲线的右支上，则．因为的周长为，所以，所以．

在中，，则，所以的面积为．故答案为：.考点05求双曲线离心率25．（2023·甘肃酒泉·统考三模）已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由双曲线的性质可得四边形为矩形，然后结合双曲线的定义及的勾股定理可得，，再由的勾股定理即可求得结果.【详解】设双曲线的左焦点为，连接，，，如图所示，

又因为，所以，所以四边形为矩形，设，则，由双曲线的定义可得：，，又因为为直角三角形，所以，即，解得，所以，，又因为为直角三角形，，所以，即：，所以，即.故选：D.26．学业质量联合检测数学试题）已知双曲线（，），直线的斜率为，且过点，直线与轴交于点，点在的右支上，且满足，则的离心率为（

）A． B．2C． D．【答案】D【分析】首先写出直线点斜式方程并求出点，由向量线性运算的坐标表示可以求出，将其代入双曲线方程即可求解.【详解】由题意知直线的方程为，令，得，所以．又因为，不妨设，所以有，解得，所以，将其代入双曲线方程，化简得，解得或（舍去），所以的离心率．故选：D.27．设，是双曲线C：的左、右焦点，过的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点，点M在x轴上，，平分，则C的离心率为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由题意，结合双曲线的定义以及角平分线定理可得，，，，，，在，中，由余弦定理结合，计算可得答案.【详解】

可知，，得设，则，由双曲线的定义可知：.因为平分，所以，故，又，即有，，，，，在，中，由余弦定理可得，，，由，可得.故选：C.28．双曲线C：的右顶点为，点均在C上，且关于y轴对称.若直线AM，AN的斜率之积为，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知条件列方程，化简求得，进而求得双曲线的离心率.【详解】依题意，设，则，且，而，，，所以.故选：A29．（多选）已知双曲线的上焦点为，过焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为，并与另一条渐近线交于点，若，则的离心率可能为（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】当时，不符合题意舍去；再分、求得渐近线的斜率，再根据离心率定义即可求解.【详解】当时，两渐近线的斜率为，此时直线与另一渐近线平行，不满足题意.当时，如图1所示，

.，又，解得，，，，即渐近线的斜率为，当时，如图2所示，设与轴交于点P，

，，又，解得，即渐近线的斜率为，综上，双曲线的离心率为或.故选：AC.30．已知双曲线：的右焦点为，过分别作的两条渐近线的平行线与交于，两点，若，则的离心率为【答案】/【分析】设直线方程为与双曲线方程联立，根据求解.【详解】解：如图所示：

设直线方程为与双曲线方程联立，解得，因为，所以，即，即，解得，故答案为：考点06求双曲线离心率的取值范围31．已知点F是双曲线（）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据双曲线的对称性结合题意可得为等腰三角形，由此可得，进而得到关于的齐次式，即可求解离心率.【详解】由题意可知即为等腰三角形，

故是锐角三角形，只需，将代入可得，故在中，，，则，化简整理，得，∴，∴，又，∴，故选：B.32．已知双曲线的左、右焦点分别为，，若在上存在点不是顶点，使得，则的离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题意判断P点在双曲线右支上，推出，可得，从而利用在中求出，再结合三角形内角和推出，继而推出，由此可得答案.【详解】设与y轴交于Q点，连接，则，

因为，故P点在双曲线右支上，且，故，而，故，在中，，即，故，由，且三角形内角和为，故，则，即，即，所以的离心率的取值范围为，故选：A33．已知双曲线为左焦点，分别为左､左顶点，为右支上的点，且（为坐标原点）.若直线与以线段为直径的圆相交，则的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意可推出，设，由勾股定理可得，结合直线与以线段为直径的圆相交可得，由此结合的根的分布，列不等式即可求得答案.【详解】设双曲线的右焦点为，则，则，

为右支上的点，取的中点为B，连接，则，设，则，则，在中，，即，又直线与以线段为直径的圆相交，故，设，则，则需使，解得，即双曲线离心率的范围为，即的离心率的取值范围为，故选：D34．已知双曲线与直线相交于两个不同的点，则双曲线C的离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意，联立直线与双曲线方程，即可得到的范围，再由双曲线的离心率的公式，代入计算，即可得到结果.【详解】由可得，，则，即，解得，故，则，故.故选：D35．已知斜率为的直线经过双曲线的上焦点，且与双曲线的上、下两支都相交，则双曲线的离心率的取值范围是．【答案】【分析】根据已知直线的斜率，求出渐近线的斜率范围，推出，的关系，然后求出离心率的范围．【详解】由题意可得双曲线的渐近线方程为，过双曲线上焦点且平行于渐近线的方程为，此直线只与双曲线的上支有一个交点，要使斜率为的直线经过双曲线的上焦点的直线与与双曲线的上、下两支相交，则，所以，因此，故答案为：

36．双曲线的两个焦点为，，若双曲线上存在点，使，求双曲线离心率的取值范围.【答案】【分析】首先结合双曲线的性质求得，再根据双曲线右支上的点到焦点的距离的范围，即可求解.【详解】由题意知在双曲线上存在一点，使得，如图所示.

又，即在双曲线右支上恒存在点使得，即，，.又，，，即，所以双曲线离心率的取值范围为.考点07双曲线的渐近线37．过原点的直线l与双曲线E：交于A，B两点（点A在第一象限），交x轴于C点，直线BC交双曲线于点D，且，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题可设，，，分别表示出，逐步转化，即可求得本题答案.【详解】因为直线过原点，所以关于原点对称，设，因为与轴垂直，所以，设，则，而所以，，所以，所以渐近线方程为.故选：B

38．已知双曲线C：的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则C的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题意可得，结合渐近线方程列式求，进而可得结果.【详解】设双曲线C的半焦距为，由椭圆可得，由题意可得，解得，所以双曲线C：，即.故选：D.39．双曲线的两条渐近线的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意求得双曲线的渐近线方程，进而求得其夹角.【详解】由双曲线，可得，所以双曲线的渐近线的方程为，所以两渐近线的夹角为.故选：C.40．（2023·贵州遵义·统考三模）过双曲线的左焦点F作C的其中一条渐近线的垂线l，垂足为M，l与C的另一条渐近线交于点N，且，则C的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意及图形可求出渐进线的倾斜角，即可得答案.【详解】如图，设双曲线右焦点为，OM，ON为双曲线的两条渐进线.由题意可知，，又，则M为FN中点，则为等腰三角形，则，又，则.所以双曲线的渐进线方程为：.故选：B

41．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据共线向量的性质、角平分线的性质，结合双曲线的定义、余弦定理、双曲线的渐近线方程进行求解即可.【详解】因为，所以∽．设，则，设，则，．因为平分，由角平分线定理可知，，所以，所以．由双曲线定义知，即，解得．又由，得，所以，即是等腰三角形．由余弦定理知，即，化简得，所以，则双曲线的渐近线方程为．

故选：D【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用角平分线性质和共线向量的性质.42．设，分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，求该双曲线的渐近线方程．【答案】．【分析】根据题意，由双曲线的定义结合其渐近线方程，代入计算，即可得到结果.【详解】

设的中点为M，连接．由，故，即．在中，，故．根据双曲线的定义有，即，即，即，即，故双曲线的渐近线方程是，即．考点08直线与双曲线的位置关系43．双曲线与直线的公共点的个数为（

）A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2【答案】C【分析】根据已知直线和双曲线的渐近线的位置关系判断即可.【详解】因为双曲线的渐近线方程为，所以，当时，直线与渐近线重合，此时直线与双曲线无交点；当时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线有一个交点.故选：C

44．直线与双曲线有且只有一个公共点，则实数．【答案】或【分析】由消去y，对二次系数是否为0分类讨论可得.【详解】由消去y，整理得，当时，由得；又注意到直线恒过点，且渐近线的斜率为时，直线与渐近线平行时也成立．故答案为：或

45．关于曲线有如下四个命题：①曲线C经过第一、二、四象限；②曲线C与坐标轴围成的面积为；③直线与曲线C最多有两个公共点；④直线与曲线C有且仅有一个公共点.其中所有真命题的序号是（填上所有正确命题的序号）.【答案】①③④【分析】分，，，四种情况讨论，去绝对值符号，作出曲线的图象，根据图象逐一分析即可.【详解】当，可得曲线方程为，为圆的一部分；当，可得曲线方程为，为双曲线的一部分；当，可得曲线方程为，为双曲线的一部分；当，曲线方程为，不存在这样的曲线；作出曲线得图象，如图所示，由图可知，曲线C经过第一、二、四象限，故①正确；②中，围成的面积S＝，故②不正确；③中，因为直线的斜率与双曲线的渐近线的斜率相等，圆心O到直线的距离，，则时，直线与曲线相切，只有一个交点，当时，直线与曲线有两个交点，当或时，直线与曲线无交点，所以直线与曲线C最多有两个公共点，故③正确；④由图象知直线与曲线C有且仅有一个公共点，故④正确.故答案为：①③④.

【点睛】关键点点睛：去绝对值符号，作出曲线的图象，是解决本题的关键.46．设直线与双曲线的方程分别为和，当实数取何值时，直线与双曲线分别有两个公共点？一个公共点？没有公共点．

【答案】答案见解析【分析】联立直线与双曲线的方程，分二次项系数为0和不为0两种情况讨论，即可得出答案.【详解】将直线方程代入双曲线方程，得．①当，即时，方程①有两个不同的实根，直线与双曲线有两个不同的公共点；当，即时，方程①无解，直线与双曲线没有公共点；直线与双曲线只有一个公共点的情况不存在．综上：时，直线与双曲线分别有两个公共点；时，直线与双曲线没有公共点；直线与双曲线只有一个公共点的情况不存在．47．已知双曲线，直线，试确定实数k的取值范围，使：(1)直线l与双曲线有两个公共点；(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；(3)直线l与双曲线没有公共点．【答案】(1)或或；(2)或(3)或【分析】（1）联立直线方程和双曲线方程，根据直线与双曲线有两交点，则，注意二次项系数不等于0；（2）根据直线与双曲线仅有一交点，分二次项系数等于0和不等于0两种情况讨论.当二次项系数不等于0时，由即可得出答案；（3）根据直线与双曲线没有交点，得，注意二次项系数不等于0.【详解】（1）联立，消整理得，（*）因为直线l与双曲线C有两个公共点，所以，整理得解得：或或.（2）当即时，直线l与双曲线的渐近线平行，方程（*）化为，故方程（*）有唯一实数解，即直线与双曲线相交，有且只有一个公共点，满足题意．当时，因为直线l与双曲线C仅有一个公共点，则，解得；综上，或.（3）因为直线l与双曲线C没有公共点，所以，解得：或.48．已知双曲线E的两个焦点分别为，并且E经过点.(1)求双曲线E的方程；(2)过点的直线l与双曲线E有且仅有一个公共点，求直线l的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据双曲线的焦距及过点列出方程求解方程即可；（2）分直线斜率存在，不存在讨论，当斜率存在时，利用直线与双曲线方程组有且只有一解求斜率即可.【详解】（1）由已知可设双曲线E的方程为，则，解得，所以双曲线E的方程为.（2）当直线l的斜率不存在时，显然不合题意，所以可设直线l的方程为，如图，

联立，得（*），①当，即或时，方程（*）只有一解，所以直线l与双曲线E有且仅有一个公共点，此时，直线l的方程为；②当，即时，要使直线l与双曲线E有且仅有一个公共点，则，解得，此时，直线l的方程为.综上所述，直线l的方程为或.考点09双曲线的弦长问题49．已知双曲线C：的渐近线方程为，左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线l交双曲线的右支于M，N两点，若的周长为36，则双曲线C的方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意可得，则直线为，代入双曲线方程中，利用弦长公式求出，再由双曲线的定义和的周长为36，可求出，从而可求出双曲线的方程.【详解】因为双曲线的渐近线方程为，所以，则双曲线方程为，，，所以直线为，设，由，得，则，所以，因为，，所以，因为的周长为36，所以，所以，得，所以双曲线方程为，故选：D50．（2023·河北唐山·迁西县第一中学校考二模）（多选）已知直线经过双曲线（，）的左焦点，且与C交于A，B两点，若存在两条直线，使得的最小值为4，则下列四个点中，C经过的点为（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据最短弦长确定双曲线方程，再把点代入验证得出结果.【详解】若直线与C的两支交于顶点A、B，则，若直线与C的一支交于A，B两点，则通径最短，，由题意得，解得，则C的方程为，把选项ABCD分别代入方程，则B选项表示的点不在双曲线上，ACD选项表示的点在双曲线上．故选：ACD．51．过双曲线的右焦点F作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，B两点，则弦长．【答案】8【分析】写出直线方程，联立双曲线方程，利用弦长公式求解即可.（也可以直接使用双曲线焦点弦长公式代值求解）【详解】由双曲线，得，，焦点为，倾斜角，法一：直线斜率，直线方程为，联立消得，，由韦达定理知，代入弦长公式，得.法二：.故答案为：8.52．已知双曲线：，若直线的倾斜角为60°，且与双曲线C的右支交于M，N两点，与x轴交于点P，若，则点P的坐标为.【答案】【分析】设直线的方程为，与双曲线方程联立，利用根与系数的关系及弦长公式列式求解的值，即可求出直线的方程，令即可得出答案.【详解】双曲线双曲线：的渐近线方程为，而直线的倾斜角为60°，则直线的斜率为，可设直线的方程为，与双曲线方程联立，化简可得，由，得或．设，，则，，则，所以，，解得：（舍去）或，所以直线的方程为，令，可得.故点P的坐标为.故答案为：.53．设动点与点之间的距离和点到直线的距离的比值为，记点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)若为坐标原点，直线交曲线于两点，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，结合距离公式列出方程，整理即可得到曲线的方程；（2）联立方程组，设，利用弦长公式和点到直线的距离公式，结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）解：由动点与点之间的距离和到直线：的距离的比值为，可得，整理得，即曲线的方程为.（2）解：联立方程组，整理得，设，，可得，，所以，又由点到直线的距离，所以的面积.54．已知为坐标原点，，，直线，的斜率之积为4，记动点的轨迹为.(1)求的方程；(2)直线经过点，与交于，两点，线段中点为第一象限，且纵坐䏡为，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）设点的坐标为，根据题意结合斜率公式求解即可；（2）显然直线的斜率不存在时，不符合题意，设直线方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理求出的值，再求出和到直线的距离即可求解.【详解】（1）设点的坐标为，因为，，所以，化简得：所以的方程为：.（2）当直线的斜率不存在时，显然不符合题意；

设，，直线方程为，与联立得：，由且，解得且，由韦达定理得，因为线段中点在第一象限，且纵坐标为，所以，解得或（舍去），所以直线为，所以，所以，点到直线的距离，所以.【点睛】解决直线与圆锥曲线相交（过定点、定值）问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于或的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为，形式；（5）代入韦达定理求解.考点10双曲线的中点弦问题55．已知双曲线C：，若双曲线C的一条弦的中点为，则这条弦所在直线的斜率为（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】运用点差法，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解判断即可.【详解】设该弦为，设，则有，两式相减，得，因为双曲线C的一条弦的中点为，所以，因此由，即这条弦所在直线的斜率为，方程为，代入双曲线方程中，得，因为，所以该弦存在，故选：D56．已知双曲线的中心在原点，且它的一个焦点为，直线与其相交于、两点，线段中点的横坐标为，求此双曲线的方程．【答案】【分析】设双曲线的方程为，利用点差法求出的关系，再结合，求出，即可得解.【详解】设双曲线的方程为，由题意可得，设，，由直线与其相交于、两点，线段中点的横坐标为，得的中点为，则，由且，两式相减得，则，即，所以，联立，解得，，故所求双曲线的方程为．57．过点作直线与双曲线相交于B，C两点，且A为线段BC的中点，求这条直线的方程.【答案】【分析】首先讨论斜率不存在的情况是否满足题意，再设直线斜率存在时直线方程，并与双曲线方程联立，利用韦达定理，结合中点坐标公式，即可求解.【详解】若过点的直线的斜率不存在时，若点为的中点，则点必在轴上，这与矛盾，当过点的直线的斜率存在时，设该直线方程为，，，联立方程，消去可得，，当时，，整理为恒成立，有，，因为点是的中点，所以，得，成立，所以所求直线方程为，即.58．如图1、2，已知圆方程为，点．M是圆上动点，线段的垂直平分线交直线于点．

(1)求点的轨迹方程；(2)记点的轨迹为曲线，过点是否存在一条直线，使得直线与曲线交于两点，且是线段中点．【答案】(1)(2)不存在这样的直线【分析】（1）根据双曲线的定义求得点的轨迹方程.（2）利用点差法求得直线的方程，联立直线的方程和点的轨迹方程联立，根据方程组无解求得正确答案.【详解】（1）由中垂线性质知，所以所以点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线设此双曲线方程为，则所以点的轨迹方程为．（2）设可得两式相减得由题意，所以直线方程为，由，得∵．∴不存在这样的直线．59．已知焦点在轴上的双曲线实轴长为，其一条渐近线斜率为．(1)求双曲线的标准方程；(2)过点能否作直线，使直线与所给双曲线交于、两点，且点是弦的中点？如果直线存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．【答案】(1)(2)不存在，理由见解析【分析】（1）设曲线的标准方程为，根据已知条件求出、的值，即可得出该双曲线的标准方程；（2）设以为中点的弦的两端点为、，利用点差法求出直线的斜率，进而可得出直线的方程，判断直线与双曲线的位置关系，可得出结论.【详解】（1）解：因为双曲线的焦点在轴上，设该双曲线的标准方程为，因为该双曲线的实轴长为，一条渐近线斜率为，则，解得，因此，该双曲线的标准方程为.（2）解：假定直线存在，设以为中点的弦的两端点为、，则有，．

根据双曲线的对称性知．由点、在双曲线上，得，，两式相减得，所以，所以，即以为中点的弦所在直线的斜率，故直线的方程为，即．联立，消去得，，因此直线与双曲线无交点，故满足条件的直线不存在．60．过双曲线的弦，且为弦的中点，求直线的方程.【答案】【分析】设，，代入曲线方程，两式相减，根据中点坐标可知和的值，进而求得直线的斜率，再根据点斜式求方程.【详解】设，，因为为弦的中点，所以，，因为直线与双曲线的相交于，两点，所以，两式相减得，即所以，故直线的方程为，即.经验证该直线与双曲线相交.考点11直线与双曲线的综合问题61．已知双曲线的渐近线倾斜角分别为和，为其左焦点，为双曲线右支上一个动点．(1)求双曲线方程．(2)过点分别作两渐近线的垂线，垂足分别为，求证：为定值．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由渐近线方程求解，即可得双曲线方程；（2）设点，由点线距离公式用点坐标表达，再利用可证.【详解】（1）双曲线渐近线方程为，又，所以，双曲线的标准方程为.（2）设，两渐近线方程为，则又，即，所以为定值．62．已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)过点的直线与曲线交于两点，直线与相交于．求证：点在定直线上．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用可整理得到轨迹方程；（2）设，，表示出直线的方程，联立后可整理得到，联立与双曲线方程可得韦达定理的结论，利用可整理得到所求定直线.【详解】（1），，，整理可得：，又，曲线的方程为：.（2）

由题意知：直线斜率不为，则可设，设，则直线，直线，由得：，由得：，则，即，，，，，解得：，即点在定直线上.【点睛】思路点睛：本题考查直线与双曲线综合应用中的定直线问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与双曲线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，消掉变量后可得定直线方程.63．在平面直角坐标系中，已知双曲线Ｃ的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，右支与x轴的交点为，其中一条渐近线的倾斜角为.(1)求C的标准方程；(2)过点作直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，在线段上取一点E满足，证明：点E在一条定直线上.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据题意可得双曲线焦点在轴上，且，，即可求得双曲线方程；（2）根据双曲线对称性以及交点特征，设