2022-2023学年高一数学 人教A版2019必修第一册 同步讲义 第16讲 指数及指数运算3种题型 含解析

第16讲指数及指数运算3种题型

【考点分析】

考点一：指数及指数运算

①根式的定义：

一般地，如果£="，那么X叫做。的W次方根，其中(〃>1,〃eN*),记为布，〃称为根

指数，。称为根底数.

②根式的性质：

当〃为奇数时，正数的〃次方根是一个正数，负数的"次方根是一个负数.

当〃为偶数时，正数的"次方根有两个，它们互为相反数.

③指数的概念：指数是幕运算”"(4≠0)中的一个参数，。为底数，〃为指数，指数位于底数

的右上角，幕运算表示指数个底数相乘.

④有理数指数嘉的运算

“个

①正整数指数‘幕."=”"e⑶(〃6"*)；②零指数塞“°=13X0);

③负整数指数鼎了"=∖(α≠0,n∈N*);④0的正分数指数哥等于0,0的负分数指

数事没有意义.

⑤有理数指数靠的性质

①〃"α"=α"'+"(a>0,m,neQ).②(a")"=α"'"(n>0,m,neQ).

③(a。)'"=α"7∕"(α>0,b>0,meQ).©=a"(a>0,m,πeδ)∙

考点二：指数运算中的平方差、立方和差公式

(X+χT)=X2+2x∙x~λ+x^2=%2+2+X1,(%—x^')2=x2-2x-x~'+x~2=x2-2+x~2

X2-x~2=(X+x^'L+无T)

X3+X^3=(x+%^')(χ2-χ∙χ~'+X^2)=(X+χ-∣Xχ2-l+χ-2)

X3一/=Q_XTXX2+χ.χT+χ-2)=(χ-χT[χ2+]+χ-2)

ɜ_3<1_1Y1_1A<1、

X2-X2=∖X2-X2I∙r+∙r2'χ2+χ-'=Λ2-%2(x+l+x^')

【题型目录】

题型一：根式指数式的运算

题型二：平方差、立方差(和)公式运用

题型三：指数式运算应用题

【典型例题】

题型一：根式指数式的运算

【例1】化简求值:

/ʌα√α√a.

(1),.1—(α>0)；

【答案】/

/ɜʌi

1aai37

【解析】ay∣a4a∙

∖a2a∙a^QaI

---------二—IJ

2-^1~~

4Y

d1

27—1-t—

(2)(―)3+-√—+2∙(e-l)0-84×√2∙

8√7+2

/7

【答案】—

3

【解析呜尸+ξ⅛+2∙(iy一8"啦根ʒ√7-23ɪ

ι+2-2,∙2;

7-4

+2-2二+也二=也

3333

【例2]42+(√2-l),-83-43÷(√2^ɪ

【答案】-3

【解析】42+(√2-l)'-8i-43÷(√2^=(22)2+l-(23)i-23÷25=2+1-4-2=-3

【例3】(多选题)下列根式与分数指数幕的互化正确的是()

\_--1

ʌ--4X=(-X?b∙疗=y3(y<0)c∙*3=荻(x≠°)

----------31

D-[√(-Λ)2]4=X2(X>0)

【答案】CD

【解析】A选项一石=,B选项存=(y2∣=-j(y<0),C选项对，D选项

3

[∖∣(-x)2J4=■[(-x)2J,­=[(r)T=χ2(x>0)

【题型专练】

1.(2022•全国•高一课时练习)己知/"""=’256，α>0，且4*1,则a4m+n=______.

4

【答案】4

【分析】由题设可得α"'=2?、α"=2-6,根据指数塞运算，代入目标式求值即可.

m8

【详解】因为""+"=1=2々，a-"=256=2,

所以两式相乘得a3m=26,则«m=22.

将储"=2?代入a'"-"=2s,得a"=2«,

所以62

a"=",)d=Q2)X2-=2=4.

故答案为：4

2.(2022.全国•高一课时练习)计算：

(1)"J-O.+S?XC=;

1/2Y/T

(2)O.25^5-(-2×16O)×25+√2×4-5=

【答案】13

【分析】根据指数基的运算性质可得(I)(2)计算结果.

【详解】(1)原式=3—=1.

216364

(2)原式=[(O.5『『-(-2×1)2×2^2+25X25I-4×→2=2-l+2=3.

3.设2,=8"9V=3'-9,求X+7的值.

【答案】27

【分析】将等式两边化为同底数基的形式，然后可得关于x，y的方程组，求出χ,y的值，从

而可求得χ+y的值

【详解】因为2，=8”，所以2*=2.N)，即X=3(y+1).又9>'=3-,所以/=3•一9,即

x=3(y+l)尤=21

由,解得

2y=x-9y=6

故X+y的值为27.

【答案】

【分析】根据指数幕的运算性质可求出结果.

【详解】原式=(守-I-偌)-+(产+ɜɪ•(芋

527-,--,1-

=--l-(-)3÷(2-3)≡÷32∙(-r

121

^24

5.（2022•全国•高一课时练习）化简:

6I）I）

⑵席必川庐妤=-------

【答案】--b^1

4

【分析】（1）根据分数指数慕的运算性质即可求解；

（2）先将根式转化为分数指数辕，然后根据分数指数募的运算性质即可求解;

ɪ35LAA_1_1+251

【详解】解：（1）原式户X-3小厂÷2ajb"i=--ai'v3bv+i=--bi

44

（2）因为犷有意义，所以α>0,

所以原式=心./渭=√7+√7=

a÷a=∖*

故答案为：（1）-*■；（2）1.

4

题型二：平方差、立方差（和）公式运用

33

ɪ-ɪγ2J_Y29

【例1】已知/+x2=3,求.；人的值.

XT+x+3

【答案】2

【详解】因为

J+√L3，所以

‹ɪɪλ2!_1

J+x'=9=>x+2x]∙x5+x"=9=>x+x^^l+2=9，所以x+χ-∣=7，所以

3_3/ɪʌ3/ɪ3_3

22

+X=+X=/+X2,一1+九T）=3×（7-l）=18,所以χ2+x2+2

x-1+x+3

18+2C

=-------=2

7+3

/ɪ3λ<ɪ3ʌ

【例2】若x>0,则2xi÷3i2xi-3i∖-4xi=

【答案】-27

（[]3、]（]Y（3丫111

【详解】2χ4+3^2χ4一3^—4元2=2x4一3Ξ-4/=4尸-33-4-=-27

\八）V>\/

【例3】（2022•全国♦高一课时练习）已知。>0,且^=√2+l,求下列代数式的值：

⑴S+优'）（优-力；

ax+a

⑵

ax-a

⑶

ax+a^x

(注：立方和公式/+/=(a+b"-必+〃))

【答案】⑴2,(2)√2+∣.(3)2√2-l

【分析】(1)先求得优”，结合平方差公式求得正确答案.

(2)结合指数运算求得正确答案.

(3)结合指数运算以及立方和公式求得正确答案.

⑴因为2°,且m=四+I，所以"R=(…回产

2x2t

(优+«-')(«'-ɑ-ɪ)=a-β-=√2+l-(√2-l)=2.

ax+a^'_S+/1_α2x+α-2t+2_+l+(√2-1)+2_

7=V

―7≡7=S-L"+「)=2=2

「、a3x+a3x(ax+a-χ](a2x-ax-ax+a-2x],,--

lxxx2xrlrx

(3)a+α='----Δ-----------------------!-=a-a-a+a=^2+∖-∖+(^2-∖∖=

ax+axax+axvi

2√2-l∙

【题型专练】

1.(2022•全国•高一课时练习)已知函数f(x)=2'+2",若〃咐=4,则/(2用)=()

A.12B.14C.16D.20

【答案】B

【分析】根据指数式的运算即可求解.

【详解】因为f(x)=2,+2、所以/(M=2n∙+2T"=4,则

f(2m)=22m+2-2,"=(2,"+2^,"『一2=14,

故选:B.

IIχ2+X~-7

2.(2022・全国•高一单元测试)(1)已知4计算：---------i-------F;

XX--x+/+炉+”

【答案】4

2

(分析】对%+χ4=3两边平方，求出X+X-=7，再对此式两边平方,化简可得尤2+χ-=47，

从而代入可求结果，

2

,1(i.ιλ

【详解】因为产+”=3,所以/+一=9,所以x+∕+2=9,所以

x+x~i=7，

2

所以（x+χT）2=72,a∣J√+χ-+2=49,所以f+x"=47,所以

x2+x^2-l47-7,

----------------------=--------=4

ɪ47+3,

x+x+X2+X2

题型三：指数式运算应用题

【例1】（2022•河南开封•高二阶段练习（文））企业在生产中产生的废气要经过净化处理后

才可排放，某企业在净化处理废气的过程中污染物含量P（单位：mg∕L）与时间t（单位：

h）间的关系为P=4e-"（其中兄，k是正的常数）.如果在前IOh消除了20%的污染物，则

20h后废气中污染物的含量是未处理前的（）

A.40%B.50%C.64%D.81%

【答案】C

【分析】由r=o,得污染物含量的初始值为4,根据t=10得eY=0∙/,得P=0∙8强，代

入f=20,即可求出答案.

【详解】当/=0时，P=I当r=10时，（1一20%）4=MeT伙，

j2_

κu

即e=0.8,得eT=0.8而，所以P=EIe-*'=4卜一"）'=0.8元《；

当，=20时，/>=0.8而兄=0.644・

故选：C

【例2】（2021.安徽宣城.高一期中）某灭活疫苗的有效保存时间T（单位：小时〃）与储藏

的温度r（单位：°C）满足的函数关系为T=e""（k,b为常数,其中e=2∙71828…，是一

个和乃类似的无理数，叫自然对数的底数），超过有效保存时间，疫苗将不能使用.若在0℃

时的有效保存时间是1080Λ,在10°C时的有效保存时间是120%,则该疫苗在15℃时的有效

保存时间为（）

A.15hB.30hC.40hD.60h

【答案】C

【分析】根据已知的函数模型以及已知数据，待定系数即可求得结果.

【详解】由题意知1080=eJ120=eH）";樱甘，所以=（产?=篇="，

所以e5*=4，所以e**=-L,所以e'5"6=e∣5"∙e"=-5-xl080=40.

32727

故选：C.

【例3】（2022.北京房山.高一期末）某食品的保鲜时间N（单位：小时）与储藏温度X（单

位：°C）满足函数关系y=ett+"（e=2,718为自然对数的底数，k,b为常数）.若该食品

在0℃的保鲜时间是192小时，在33℃的保鲜时间是24小时，则该食品在22℃的保鲜时间

是（）

A.20小时B.24小时C.36小时D.48小时

【答案】D

【分析】根据题意建立方程组，进而解出3,8“，然后将22代入即可求得答案.

V=192?411

【详解】由题意，33]〜=e3狄=诉=!=8"=：,所以该食品在22。C的保鲜时间是

e=2419282

e22*+/>=e22*.e0=lxl92=48

4

故选：D.

【例4】（2021•四川省南充市白塔中学高一期中）Logis加模型是常用的数学模型之一，可

应用于流行病学领域，有学者根据公布的数据建立某地区流感累计确诊病例数R。）a的单

位：天）的模型：R。）=Tr而，其中K为最大确诊病例数，N为非零常数，当/?&）=：K

时，f0的值为（）

A.60B.61C.63D.66

【答案】A

【分析】根据指数的运算直接代入求值.

【详解】由R（0=∣J，且R&）=；K,

1+e',2

得1+eM'L60）=5K，

解得4=60,

故选：A.

【例5】（2021•全国•高一课时练习）一种细胞在分裂时由一个分裂成两个，两个分裂成四

个，四个分裂成八个……每天分裂一次.现在将一个该细胞放入一个容器中，发现经过10

天就可充满整个容器，则当细胞分裂到充满容器一半时需要的天数是（）

A.5B.9C.6D.8

【答案】B

【分析】由分裂的定义可知，后一天的细胞数应为前一天的二倍，则可表示经过10天的细

胞的数量，逆推可知，前一天时应为此时的一半，则可知需要9天即可充满容器一半.

【详解】根据题意可得，经过10天细胞数量为2∣°,

二细胞充满容器-半时，细胞数量为2∣°÷2=2K

当细胞分裂到充满容器一半时需要的天数是9天，

故选：B.

【题型专练】

1.（2022・浙江・杭十四中高二期末）在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈

指数增长，已知经过30天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍，那么经过60天后该湖

泊的蓝藻数大约为原来的（）

A.18倍B.24倍C.36倍D.48倍

【答案】C

【分析】构造指数函数模型，计算即可.

【详解】某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长，经过30天以后，该湖泊的蓝

藻数大约为原来的6倍，

设湖泊中原来蓝藻数量为。，则”（l+6.25%）3°=6"，

二经过60天后该湖泊的蓝藻数量为：y=α（l+6.25%）60=。［（1+6.25%严了=36〃

经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的36倍.

故选：C.

2.（202。全国.高三专题练习）毛衣柜里的樟脑丸会随着时间挥发而体积缩小，刚放进的新

丸体积为“，经过r天后体积V与天数『的关系式为V="∙e-"∙若新丸经过50天后，体积变

为3%则一个新丸体积变为点。需经过的时间为（）

A.125天B.IOO天C.75天D.50天

【答案】C

【分析】根据题意将当f=50时代入计算出"*=5《，然后再代入计算即可求出结果.

4

【详解】解析：由题意知4>0,当f=50时，有电=αd5ω.

呜=（e"f,得1=5点.

QQ

所以当V=三α时，有三α="∙e-".

所以1=75.

故选：C

3.（2022・湖南・邵阳市第二中学高三阶段练习）国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬

奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正

的智慧场馆、绿色场馆.并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水

k,

过滤系统.己知过滤过程中废水的污染物数量N（mg∕L）与时间t的关系为N=N0e-（乂为

最初污染物数量）.如果前4小时消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还需

要（）小时.

A.3.6B.3.8C.4D.4.2

【答案】C

【分析】分析可得出设MeT=O.64NoHN0,求出f的值，由此可得出结果.

【详解】由题意可得NoeYYN0,可得「=1,设NOeT'=0.64NO=0-NO,

k

可得e-∙=卜5Y=e-肽，解得f=8.

因此，污染物消除至最初的64%还需要4小时.

故选：C.

4.（2021・四川•成都外国语学校高一期中）国防部新闻发言人在2020年9月24日举行的例行

记者会上指出：“台湾是中国不可分割的一部分，解放军在台海地区组织实兵演练，展现的

是捍卫国家主权和领土完整的决心和能力“，我空军战机在海面上空进行绕台巡航，已知海

面上的大气压强是76OmmHg,大气压强P（单位：mmHg）和高度/?（单位：m）之间的

关系为p=760∕MC是自然对数的底数，A是常数），根据实验知50Om高空处的大气压强

是70OmmHg,则我战机在Iooom高空处的大气压强约是（结果保留整数）（）

A.644mmHgB.645mmHgC.646mmHgD.647mmHg

【答案】B

【分析】由已知可得e-5≡=^,进而可求得760e-κ≡=760χ（e-y,代值计算即可得解.

［详解】由已知可得76（V=700.可得e-500*=222,

所以，我战机在IOOom高空处的大气压强为

76OeTooM=760X卜-呻=760x（鬻）=4^°≈645（mmHg）.

故选：B.

5.（2021•辽宁・大连市第三十六中学高一期中）某食品的保鲜时间）（单位：小时）与储藏

温度X（单位：℃）满足函数关系y=e-"（e=2.718…为自然对数的底数，k,b为常数）.若

该食品在0°C的保鲜时间是144小时，在20°C的保鲜时间是36小时，则该食品在30°C的保

鲜时间是（）

A.16小时B.18小时C.20小时D.24小时

【答案】B

【分析】根据保鲜时间V与储藏温度X满足函数关系：y=ekx+b,并结合食品在0℃的保鲜时

144=/

间是144小时,在20℃的保鲜时间是36小时,可求出I610t,然后再将x=30代