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文档简介
第16讲指数及指数运算3种题型
【考点分析】
考点一:指数及指数运算
①根式的定义:
一般地,如果£=",那么X叫做。的W次方根,其中(〃>1,〃eN*),记为布,〃称为根
指数,。称为根底数.
②根式的性质:
当〃为奇数时,正数的〃次方根是一个正数,负数的"次方根是一个负数.
当〃为偶数时,正数的"次方根有两个,它们互为相反数.
③指数的概念:指数是幕运算”"(4≠0)中的一个参数,。为底数,〃为指数,指数位于底数
的右上角,幕运算表示指数个底数相乘.
④有理数指数嘉的运算
“个
①正整数指数‘幕."=”"e⑶(〃6"*);②零指数塞“°=13X0);
③负整数指数鼎了"=∖(α≠0,n∈N*);④0的正分数指数哥等于0,0的负分数指
数事没有意义.
⑤有理数指数靠的性质
①〃"α"=α"'+"(a>0,m,neQ).②(a")"=α"'"(n>0,m,neQ).
③(a。)'"=α"7∕"(α>0,b>0,meQ).©=a"(a>0,m,πeδ)∙
考点二:指数运算中的平方差、立方和差公式
(X+χT)=X2+2x∙x~λ+x^2=%2+2+X1,(%—x^')2=x2-2x-x~'+x~2=x2-2+x~2
X2-x~2=(X+x^'L+无T)
X3+X^3=(x+%^')(χ2-χ∙χ~'+X^2)=(X+χ-∣Xχ2-l+χ-2)
X3一/=Q_XTXX2+χ.χT+χ-2)=(χ-χT[χ2+]+χ-2)
ɜ_3<1_1Y1_1A<1、
X2-X2=∖X2-X2I∙r+∙r2'χ2+χ-'=Λ2-%2(x+l+x^')
【题型目录】
题型一:根式指数式的运算
题型二:平方差、立方差(和)公式运用
题型三:指数式运算应用题
【典型例题】
题型一:根式指数式的运算
【例1】化简求值:
/ʌα√α√a.
(1),.1—(α>0);
【答案】/
/ɜʌi
1aai37
【解析】ay∣a4a∙
∖a2a∙a^QaI
---------二—IJ
2-^1~~
4Y
d1
27—1-t—
(2)(―)3+-√—+2∙(e-l)0-84×√2∙
8√7+2
/7
【答案】—
3
【解析呜尸+ξ⅛+2∙(iy一8"啦根ʒ√7-23ɪ
ι+2-2,∙2;
7-4
+2-2二+也二=也
3333
【例2]42+(√2-l),-83-43÷(√2^ɪ
【答案】-3
【解析】42+(√2-l)'-8i-43÷(√2^=(22)2+l-(23)i-23÷25=2+1-4-2=-3
【例3】(多选题)下列根式与分数指数幕的互化正确的是()
\_--1
ʌ--4X=(-X?b∙疗=y3(y<0)c∙*3=荻(x≠°)
----------31
D-[√(-Λ)2]4=X2(X>0)
【答案】CD
【解析】A选项一石=,B选项存=(y2∣=-j(y<0),C选项对,D选项
3
[∖∣(-x)2J4=■[(-x)2J,=[(r)T=χ2(x>0)
【题型专练】
1.(2022•全国•高一课时练习)己知/"""=’256,α>0,且4*1,则a4m+n=______.
4
【答案】4
【分析】由题设可得α"'=2?、α"=2-6,根据指数塞运算,代入目标式求值即可.
m8
【详解】因为""+"=1=2々,a-"=256=2,
所以两式相乘得a3m=26,则«m=22.
将储"=2?代入a'"-"=2s,得a"=2«,
所以62
a"=",)d=Q2)X2-=2=4.
故答案为:4
2.(2022.全国•高一课时练习)计算:
(1)"J-O.+S?XC=;
1/2Y/T
(2)O.25^5-(-2×16O)×25+√2×4-5=
【答案】13
【分析】根据指数基的运算性质可得(I)(2)计算结果.
【详解】(1)原式=3—=1.
216364
(2)原式=[(O.5『『-(-2×1)2×2^2+25X25I-4×→2=2-l+2=3.
3.设2,=8"9V=3'-9,求X+7的值.
【答案】27
【分析】将等式两边化为同底数基的形式,然后可得关于x,y的方程组,求出χ,y的值,从
而可求得χ+y的值
【详解】因为2,=8”,所以2*=2.N),即X=3(y+1).又9>'=3-,所以/=3•一9,即
x=3(y+l)尤=21
由,解得
2y=x-9y=6
故X+y的值为27.
【答案】
【分析】根据指数幕的运算性质可求出结果.
【详解】原式=(守-I-偌)-+(产+ɜɪ•(芋
527-,--,1-
=--l-(-)3÷(2-3)≡÷32∙(-r
121
^24
5.(2022•全国•高一课时练习)化简:
6I)I)
⑵席必川庐妤=-------
【答案】--b^1
4
【分析】(1)根据分数指数慕的运算性质即可求解;
(2)先将根式转化为分数指数辕,然后根据分数指数募的运算性质即可求解;
ɪ35LAA_1_1+251
【详解】解:(1)原式户X-3小厂÷2ajb"i=--ai'v3bv+i=--bi
44
(2)因为犷有意义,所以α>0,
所以原式=心./渭=√7+√7=
a÷a=∖*
故答案为:(1)-*■;(2)1.
4
题型二:平方差、立方差(和)公式运用
33
ɪ-ɪγ2J_Y29
【例1】已知/+x2=3,求.;人的值.
XT+x+3
【答案】2
【详解】因为
J+√L3,所以
‹ɪɪλ2!_1
J+x'=9=>x+2x]∙x5+x"=9=>x+x^^l+2=9,所以x+χ-∣=7,所以
3_3/ɪʌ3/ɪ3_3
22
+X=+X=/+X2,一1+九T)=3×(7-l)=18,所以χ2+x2+2
x-1+x+3
18+2C
=-------=2
7+3
/ɪ3λ<ɪ3ʌ
【例2】若x>0,则2xi÷3i2xi-3i∖-4xi=
【答案】-27
([]3、](]Y(3丫111
【详解】2χ4+3^2χ4一3^—4元2=2x4一3Ξ-4/=4尸-33-4-=-27
\八)V>\/
【例3】(2022•全国♦高一课时练习)已知。>0,且^=√2+l,求下列代数式的值:
⑴S+优')(优-力;
ax+a
⑵
ax-a
⑶
ax+a^x
(注:立方和公式/+/=(a+b"-必+〃))
【答案】⑴2,(2)√2+∣.(3)2√2-l
【分析】(1)先求得优”,结合平方差公式求得正确答案.
(2)结合指数运算求得正确答案.
(3)结合指数运算以及立方和公式求得正确答案.
⑴因为2°,且m=四+I,所以"R=(…回产
2x2t
(优+«-')(«'-ɑ-ɪ)=a-β-=√2+l-(√2-l)=2.
ax+a^'_S+/1_α2x+α-2t+2_+l+(√2-1)+2_
7=V
―7≡7=S-L"+「)=2=2
「、a3x+a3x(ax+a-χ](a2x-ax-ax+a-2x],,--
lxxx2xrlrx
(3)a+α='----Δ-----------------------!-=a-a-a+a=^2+∖-∖+(^2-∖∖=
ax+axax+axvi
2√2-l∙
【题型专练】
1.(2022•全国•高一课时练习)已知函数f(x)=2'+2",若〃咐=4,则/(2用)=()
A.12B.14C.16D.20
【答案】B
【分析】根据指数式的运算即可求解.
【详解】因为f(x)=2,+2、所以/(M=2n∙+2T"=4,则
f(2m)=22m+2-2,"=(2,"+2^,"『一2=14,
故选:B.
IIχ2+X~-7
2.(2022・全国•高一单元测试)(1)已知4计算:---------i-------F;
XX--x+/+炉+”
【答案】4
2
(分析】对%+χ4=3两边平方,求出X+X-=7,再对此式两边平方,化简可得尤2+χ-=47,
从而代入可求结果,
2
,1(i.ιλ
【详解】因为产+”=3,所以/+一=9,所以x+∕+2=9,所以
x+x~i=7,
2
所以(x+χT)2=72,a∣J√+χ-+2=49,所以f+x"=47,所以
x2+x^2-l47-7,
----------------------=--------=4
ɪ47+3,
x+x+X2+X2
题型三:指数式运算应用题
【例1】(2022•河南开封•高二阶段练习(文))企业在生产中产生的废气要经过净化处理后
才可排放,某企业在净化处理废气的过程中污染物含量P(单位:mg∕L)与时间t(单位:
h)间的关系为P=4e-"(其中兄,k是正的常数).如果在前IOh消除了20%的污染物,则
20h后废气中污染物的含量是未处理前的()
A.40%B.50%C.64%D.81%
【答案】C
【分析】由r=o,得污染物含量的初始值为4,根据t=10得eY=0∙/,得P=0∙8强,代
入f=20,即可求出答案.
【详解】当/=0时,P=I当r=10时,(1一20%)4=MeT伙,
j2_
κu
即e=0.8,得eT=0.8而,所以P=EIe-*'=4卜一")'=0.8元《;
当,=20时,/>=0.8而兄=0.644・
故选:C
【例2】(2021.安徽宣城.高一期中)某灭活疫苗的有效保存时间T(单位:小时〃)与储藏
的温度r(单位:°C)满足的函数关系为T=e""(k,b为常数,其中e=2∙71828…,是一
个和乃类似的无理数,叫自然对数的底数),超过有效保存时间,疫苗将不能使用.若在0℃
时的有效保存时间是1080Λ,在10°C时的有效保存时间是120%,则该疫苗在15℃时的有效
保存时间为()
A.15hB.30hC.40hD.60h
【答案】C
【分析】根据已知的函数模型以及已知数据,待定系数即可求得结果.
【详解】由题意知1080=eJ120=eH)";樱甘,所以=(产?=篇=",
所以e5*=4,所以e**=-L,所以e'5"6=e∣5"∙e"=-5-xl080=40.
32727
故选:C.
【例3】(2022.北京房山.高一期末)某食品的保鲜时间N(单位:小时)与储藏温度X(单
位:°C)满足函数关系y=ett+"(e=2,718为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品
在0℃的保鲜时间是192小时,在33℃的保鲜时间是24小时,则该食品在22℃的保鲜时间
是()
A.20小时B.24小时C.36小时D.48小时
【答案】D
【分析】根据题意建立方程组,进而解出3,8“,然后将22代入即可求得答案.
V=192?411
【详解】由题意,33]〜=e3狄=诉=!=8"=:,所以该食品在22。C的保鲜时间是
e=2419282
e22*+/>=e22*.e0=lxl92=48
4
故选:D.
【例4】(2021•四川省南充市白塔中学高一期中)Logis加模型是常用的数学模型之一,可
应用于流行病学领域,有学者根据公布的数据建立某地区流感累计确诊病例数R。)a的单
位:天)的模型:R。)=Tr而,其中K为最大确诊病例数,N为非零常数,当/?&)=:K
时,f0的值为()
A.60B.61C.63D.66
【答案】A
【分析】根据指数的运算直接代入求值.
【详解】由R(0=∣J,且R&)=;K,
1+e',2
得1+eM'L60)=5K,
解得4=60,
故选:A.
【例5】(2021•全国•高一课时练习)一种细胞在分裂时由一个分裂成两个,两个分裂成四
个,四个分裂成八个……每天分裂一次.现在将一个该细胞放入一个容器中,发现经过10
天就可充满整个容器,则当细胞分裂到充满容器一半时需要的天数是()
A.5B.9C.6D.8
【答案】B
【分析】由分裂的定义可知,后一天的细胞数应为前一天的二倍,则可表示经过10天的细
胞的数量,逆推可知,前一天时应为此时的一半,则可知需要9天即可充满容器一半.
【详解】根据题意可得,经过10天细胞数量为2∣°,
二细胞充满容器-半时,细胞数量为2∣°÷2=2K
当细胞分裂到充满容器一半时需要的天数是9天,
故选:B.
【题型专练】
1.(2022・浙江・杭十四中高二期末)在某个时期,某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈
指数增长,已知经过30天以后,该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍,那么经过60天后该湖
泊的蓝藻数大约为原来的()
A.18倍B.24倍C.36倍D.48倍
【答案】C
【分析】构造指数函数模型,计算即可.
【详解】某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长,经过30天以后,该湖泊的蓝
藻数大约为原来的6倍,
设湖泊中原来蓝藻数量为。,则”(l+6.25%)3°=6",
二经过60天后该湖泊的蓝藻数量为:y=α(l+6.25%)60=。[(1+6.25%严了=36〃
经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的36倍.
故选:C.
2.(202。全国.高三专题练习)毛衣柜里的樟脑丸会随着时间挥发而体积缩小,刚放进的新
丸体积为“,经过r天后体积V与天数『的关系式为V="∙e-"∙若新丸经过50天后,体积变
为3%则一个新丸体积变为点。需经过的时间为()
A.125天B.IOO天C.75天D.50天
【答案】C
【分析】根据题意将当f=50时代入计算出"*=5《,然后再代入计算即可求出结果.
4
【详解】解析:由题意知4>0,当f=50时,有电=αd5ω.
呜=(e"f,得1=5点.
所以当V=三α时,有三α="∙e-".
所以1=75.
故选:C
3.(2022・湖南・邵阳市第二中学高三阶段练习)国家速滑馆又称“冰丝带”,是北京2022年冬
奥会的标志性场馆,拥有亚洲最大的全冰面设计,但整个系统的碳排放接近于零,做到真正
的智慧场馆、绿色场馆.并且为了倡导绿色可循环的理念,场馆还配备了先进的污水、雨水
k,
过滤系统.己知过滤过程中废水的污染物数量N(mg∕L)与时间t的关系为N=N0e-(乂为
最初污染物数量).如果前4小时消除了20%的污染物,那么污染物消除至最初的64%还需
要()小时.
A.3.6B.3.8C.4D.4.2
【答案】C
【分析】分析可得出设MeT=O.64NoHN0,求出f的值,由此可得出结果.
【详解】由题意可得NoeYYN0,可得「=1,设NOeT'=0.64NO=0-NO,
k
可得e-∙=卜5Y=e-肽,解得f=8.
因此,污染物消除至最初的64%还需要4小时.
故选:C.
4.(2021・四川•成都外国语学校高一期中)国防部新闻发言人在2020年9月24日举行的例行
记者会上指出:“台湾是中国不可分割的一部分,解放军在台海地区组织实兵演练,展现的
是捍卫国家主权和领土完整的决心和能力“,我空军战机在海面上空进行绕台巡航,已知海
面上的大气压强是76OmmHg,大气压强P(单位:mmHg)和高度/?(单位:m)之间的
关系为p=760∕MC是自然对数的底数,A是常数),根据实验知50Om高空处的大气压强
是70OmmHg,则我战机在Iooom高空处的大气压强约是(结果保留整数)()
A.644mmHgB.645mmHgC.646mmHgD.647mmHg
【答案】B
【分析】由已知可得e-5≡=^,进而可求得760e-κ≡=760χ(e-y,代值计算即可得解.
[详解】由已知可得76(V=700.可得e-500*=222,
所以,我战机在IOOom高空处的大气压强为
76OeTooM=760X卜-呻=760x(鬻)=4^°≈645(mmHg).
故选:B.
5.(2021•辽宁・大连市第三十六中学高一期中)某食品的保鲜时间)(单位:小时)与储藏
温度X(单位:℃)满足函数关系y=e-"(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若
该食品在0°C的保鲜时间是144小时,在20°C的保鲜时间是36小时,则该食品在30°C的保
鲜时间是()
A.16小时B.18小时C.20小时D.24小时
【答案】B
【分析】根据保鲜时间V与储藏温度X满足函数关系:y=ekx+b,并结合食品在0℃的保鲜时
144=/
间是144小时,在20℃的保鲜时间是36小时,可求出I610t,然后再将x=30代
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